دالة نسيان

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال نظرية الفئات ، يقوم المؤثر النسياني (المعروف أيضًا بالمؤثر المُجرّد ) بحذف بعض أو كل بنية أو خصائص المُدخل قبل تحويله إلى المُخرج. بالنسبة لبنية جبرية ذات توقيع مُحدد ، يُمكن التعبير عن ذلك بتقليص التوقيع: التوقيع الجديد هو شكل مُعدّل من التوقيع القديم. إذا تُرك التوقيع كقائمة فارغة، فإن المؤثر ببساطة يأخذ المجموعة الأساسية للبنية. ولأن العديد من البنى في الرياضيات تتكون من مجموعة مع بنية إضافية مُضافة، فإن المؤثر النسياني الذي يُحوّل إلى المجموعة الأساسية هو الحالة الأكثر شيوعًا.

على سبيل المثال، هناك العديد من الدوال النسيانية من فئة الحلقات التبديلية . الحلقة ( الوحدوية ) ، الموصوفة بلغة الجبر الشامل ، هي مجموعة مرتبة${\displaystyle (R,+,\times ,a,0,1)}$تحقيق بعض البديهيات، حيث${\displaystyle +}$و${\displaystyle \times }$هي دوال ثنائية على المجموعة${\displaystyle R}$،${\displaystyle a}$هي عملية أحادية تُقابل المعكوس الجمعي، و0 و1 عمليتان صفريتان تُعطيان عنصري العمليتين الثنائيتين. حذف 1 يُعطي دالة نسيان لفئة الحلقات بدون عنصر محايد ؛ فهي ببساطة "تنسى" العنصر المحايد. حذف${\displaystyle \times }$و1 ينتج عنه دالة لفئة المجموعات الأبيلية ، والتي تُسند إلى كل حلقة${\displaystyle R}$المجموعة الأبيلية الجمعية الأساسية لـ${\displaystyle R}$تُسند إلى كل تشاكل من الحلقات نفس الدالة ، باعتبارها مجرد تشاكل جمع بين المجموعات الأساسية. يؤدي حذف جميع العمليات إلى الحصول على الدالة للمجموعة الأساسية.${\displaystyle R}$.

من المفيد التمييز بين الدوال النسيانية التي "تتجاهل البنية" وتلك التي "تتجاهل الخصائص". على سبيل المثال، في مثال الحلقات التبديلية المذكور أعلاه، بالإضافة إلى الدوال التي تحذف بعض العمليات، توجد دوال تتجاهل بعض البديهيات. توجد دالة من فئة CRing إلى Ring تتجاهل بديهية التبديلية، لكنها تحتفظ بجميع العمليات. أحيانًا، قد يتضمن الكائن مجموعات إضافية غير مُعرَّفة بدقة بدلالة المجموعة الأساسية (في هذه الحالة، يُعد تحديد الجزء الذي يُعتبر المجموعة الأساسية مسألة ذوق، مع أن هذا نادرًا ما يكون غامضًا عمليًا). بالنسبة لهذه الكائنات، توجد دوال نسيانية تتجاهل المجموعات الإضافية الأكثر عمومية.

تُبنى معظم الكائنات الشائعة التي تُدرس في الرياضيات على شكل مجموعات أساسية بالإضافة إلى مجموعات إضافية من البنية على تلك المجموعات (العمليات على المجموعة الأساسية، والمجموعات الفرعية المميزة للمجموعة الأساسية، وما إلى ذلك) والتي قد تُحقق بعض البديهيات. بالنسبة لهذه الكائنات، فإن الدالة النسيانية الشائعة هي كما يلي. ليكن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يمكن أن تكون أي فئة مبنية على المجموعات ، مثل الزمر - مجموعات من العناصر - أو الفضاءات الطوبولوجية - مجموعات من "النقاط". وكالعادة، اكتب${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$لأغراض​​${\displaystyle {\mathcal {C}}}$واكتب${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})}$بالنسبة للتشاكلات من نفس النوع. انظر إلى القاعدة التالية:

للجميع${\displaystyle A}$في${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}),A\mapsto |A|=}$المجموعة الأساسية من${\displaystyle A,}$

للجميع${\displaystyle u}$في${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}}),u\mapsto |u|=}$التشوه،${\displaystyle u}$، كخريطة للمجموعات.

الدالة${\displaystyle |\cdot |}$ثم يكون المؤثر النسياني من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إلى المجموعة ، فئة المجموعات .

تكون الدوال النسيانية دائمًا تقريبًا دوالًا أمينة . تحتوي الفئات الملموسة على دوال نسيانية لفئة المجموعات - في الواقع، يمكن تعريفها على أنها تلك الفئات التي تقبل دالة أمينة لتلك الفئة.

الدوال التي تتجاهل البديهيات فقط تكون دائمًا أمينة تمامًا ، لأن كل تشاكل يحترم البنية بين الكائنات التي تحقق البديهيات يحترمها تلقائيًا. أما الدوال التي تتجاهل البنى، فلا يشترط أن تكون أمينة تمامًا؛ فبعض التشاكلات لا تحترم البنية. ومع ذلك، تظل هذه الدوال أمينة لأن التشاكلات المتميزة التي تحترم البنية تظل متميزة حتى عند تجاهل البنية. كذلك، لا يشترط أن تكون الدوال التي تتجاهل المجموعات الإضافية أمينة، لأن التشاكلات المتميزة التي تحترم بنية تلك المجموعات الإضافية قد لا يمكن تمييزها على المجموعة الأساسية.

في لغة المنطق الصوري، يُزيل المؤثر من النوع الأول البديهيات، ويُزيل المؤثر من النوع الثاني المسندات، ويُزيل المؤثر من النوع الثالث الأنواع . مثال على النوع الأول هو المؤثر النسياني Ab → Grp . مثال على النوع الثاني هو المؤثر النسياني Ab → Set . مثال على النوع الثالث هو المؤثر Mod → Ab ، حيث Mod هي الفئة الليفية لجميع الوحدات النمطية على الحلقات العشوائية. لتوضيح ذلك، اختر تشاكلًا حلقيًا بين الحلقات الأساسية لا يُغير فعل الحلقة. تحت المؤثر النسياني، يُعطي هذا التشاكل العنصر المحايد. لاحظ أن الكائن في Mod هو مجموعة مرتبة، تتضمن حلقة ومجموعة أبيلية، لذا فإن اختيار أي منهما مسألة ذوق.

تميل الدوال النسيانية إلى امتلاك دوال مساعدة يسارية ، وهي عبارة عن تركيبات " حرة ". على سبيل المثال:

• الوحدة المجانية : الدالة النسيانية من${\displaystyle \mathbf {Mod} (R)}$(فئة${\displaystyle R}$- الوحدات ) إلى${\displaystyle \mathbf {Set} }$ترك الجار${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}}$، مع${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Free} _{R}(X)}$، المجاني${\displaystyle R}$- وحدة مع أساس${\displaystyle X}$.
• مجموعة مجانية
• شبكة حرة
• جبر الموترات
• فئة حرة ، ملحقة بالدالة النسيانية من الفئات إلى الأسهم
• الجبر الشامل المغلف

للاطلاع على قائمة أكثر شمولاً، انظر (ماك لين 1997).

بما أن هذا مثال أساسي على المرافقات، فإننا نوضحه بالتفصيل: المرافقة تعني أنه بالنظر إلى مجموعة X وكائن (مثلاً، وحدة نمطية R ) M ، فإن تطبيقات المجموعات${\displaystyle X\to |M|}$تتوافق مع خرائط الوحدات النمطية${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}(X)\to M}$كل خريطة للمجموعات تنتج خريطة للوحدات، وكل خريطة للوحدات تأتي من خريطة للمجموعات.

في حالة الفضاءات المتجهة، يمكن تلخيص ذلك على النحو التالي: "يتم تحديد الخريطة بين الفضاءات المتجهة من خلال المكان الذي ترسل إليه الأساس، ويمكن تعيين الأساس إلى أي شيء".

رمزياً:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}}(\operatorname {Free} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\operatorname {Forget} (M)).}$

وحدة الإضافة الحرة النسيانية هي "إدراج أساس":${\displaystyle X\to \operatorname {Free} _{R}(X)}$.

تُقدّم فئة الحقول Fld مثالاً على دالة نسيان بدون مُرافق. لا يوجد حقل يُحقق خاصية شاملة حرة لمجموعة مُعطاة.

• الدوال المرافقة
• الدوال
• الإسقاط (نظرية المجموعات)

• دالة النسيان في مختبر n