حيود فرينل

تكمن المشكلة الرئيسية في حل التكامل في إيجاد قيمة r . أولاً، يمكننا تبسيط العمليات الجبرية عن طريق إدخال التعويض. $${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.}$$

بالتعويض في صيغة r ، نجد $${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.}$$

ثم، باستخدام مفكوك ذات الحدين، $${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }$$

يمكننا التعبير${\displaystyle r}$مثل $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

إذا أخذنا في الاعتبار جميع حدود متسلسلة ذات الحدين ، فلن يكون هناك تقريب. ^{[ 5 ]} لنستبدل هذا التعبير في وسيط الدالة الأسية داخل التكامل؛ يكمن مفتاح تقريب فرينل في افتراض أن الحد الثالث صغير جدًا ويمكن إهماله، وبالتالي أي رتب أعلى. ولتحقيق ذلك، يجب أن يُسهم هذا الحد في تغير الدالة الأسية بمقدار ضئيل جدًا. بعبارة أخرى، يجب أن يكون أصغر بكثير من دورة الدالة الأسية المركبة، أي${\displaystyle 2\pi }$: $${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}$$

التعبير عن k بدلالة الطول الموجي، $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},}$$

نحصل على العلاقة التالية: $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.}$$

بضرب كلا الطرفين في${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3},}$لدينا $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},}$$

أو، استبدال التعبير السابق بـ${\displaystyle \rho ^{2},}$$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.}$$

إذا تحقق هذا الشرط لجميع قيم x و x' و y و y' ، فيمكننا إهمال الحد الثالث في معادلة تايلور. علاوة على ذلك، إذا كان الحد الثالث مهملاً، فإن جميع الحدود ذات الرتب الأعلى ستكون أصغر، وبالتالي يمكننا إهمالها أيضاً.

بالنسبة للتطبيقات التي تتضمن أطوال موجية ضوئية، يكون الطول الموجي λ عادةً أصغر بكثير من الأبعاد الفيزيائية ذات الصلة. على وجه الخصوص، $${\displaystyle \lambda \ll z,}$$

و $${\displaystyle \lambda \ll \rho .}$$

وبالتالي، من الناحية العملية، ستظل المتباينة المطلوبة صحيحة دائمًا طالما $${\displaystyle \rho \ll z.}$$

يمكننا بعد ذلك تقريب التعبير باستخدام الحدين الأولين فقط: $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.}$$

هذه المعادلة هي تقريب فرينل ، والمتباينة المذكورة أعلاه هي شرط لصحة التقريب.

إن شرط الصلاحية ضعيف نسبياً، ويسمح لجميع معلمات الطول بأخذ قيم متقاربة، شريطة أن تكون الفتحة صغيرة مقارنة بطول المسار. أما بالنسبة لـ r في المقام، فإننا نذهب خطوة أبعد ونقربها بالحد الأول فقط.${\displaystyle r\approx z.}$يصدق هذا الأمر تحديدًا إذا كنا مهتمين بسلوك المجال في منطقة صغيرة قريبة من نقطة الأصل، حيث تكون قيم x و y أصغر بكثير من z . وبشكل عام، يكون حيود فرينل صحيحًا إذا كان عدد فرينل يقارب  1.

بالنسبة لحيود فرينل، يكون المجال الكهربائي عند النقطة${\displaystyle (x,y,z)}$ثم يتم تحديده بواسطة $${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.}$$

هذا هو تكامل حيود فرينل؛ ويعني أنه إذا كان تقريب فرينل صحيحًا، فإن المجال المنتشر عبارة عن موجة كروية، تنشأ عند الفتحة وتتحرك على طول المحور z . يُعدِّل التكامل سعة وطور الموجة الكروية. لا يزال الحل التحليلي لهذه المعادلة ممكنًا في حالات نادرة فقط. للاطلاع على حالة مبسطة أخرى، صالحة فقط لمسافات أكبر بكثير من مصدر الحيود، انظر حيود فراونهوفر . على عكس حيود فراونهوفر، يأخذ حيود فرينل في الاعتبار انحناء جبهة الموجة ، وذلك لحساب الطور النسبي للموجات المتداخلة بدقة.

يمكن التعبير عن التكامل بطرق أخرى لحسابه باستخدام بعض الخصائص الرياضية. إذا عرّفنا الدالة $${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},}$$

عندئذٍ يمكن التعبير عن التكامل بدلالة عملية الالتفاف : $${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);}$$

بمعنى آخر، نحن نمثل الانتشار باستخدام نموذج مرشح خطي. ولهذا السبب قد نسمي الدالة${\displaystyle h(x,y,z)}$الاستجابة النبضية لانتشار الموجات في الفضاء الحر.

ثمة طريقة أخرى ممكنة وهي من خلال تحويل فورييه . إذا عبّرنا في التكامل عن k بدلالة الطول الموجي: $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

وتوسيع كل مكون من مكونات الإزاحة العرضية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}$$

عندئذٍ يمكننا التعبير عن التكامل بدلالة تحويل فورييه ثنائي الأبعاد. لنستخدم التعريف التالي: $${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$$

حيث p و q هما الترددات المكانية ( الأعداد الموجية ). يمكن التعبير عن تكامل فرينل على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}}$$

أي، أولاً اضرب المجال المراد نشره بدالة أسية مركبة، ثم احسب تحويل فورييه ثنائي الأبعاد الخاص به، واستبدل${\displaystyle (p,q)}$مع${\displaystyle \left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)}$ثم اضربه في عامل آخر. هذا التعبير أفضل من غيره عندما تؤدي العملية إلى تحويل فورييه معروف، وتزداد الصلة بتحويل فورييه في التحويل الكنسي الخطي ، الذي سيتم شرحه لاحقًا.

من وجهة نظر التحويل الكنسي الخطي ، يمكن اعتبار حيود فرينل بمثابة قص في مجال التردد الزمني ، وهو ما يتوافق مع كيفية كون تحويل فورييه عبارة عن دوران في مجال التردد الزمني.