مصفوفة هالباخ

إن الطريقة المستخدمة لإيجاد المجال الناتج عن الأسطوانة تشبه رياضياً إلى حد كبير تلك المستخدمة لدراسة كرة ممغنطة بشكل منتظم. ^{[ 23 ]}

بسبب تناظر الترتيب على طول محور الأسطوانة، يمكن التعامل مع المسألة على أنها ثنائية الأبعاد. استخدم الإحداثيات المستوية القطبية.${\displaystyle (r,\theta )}$مع متجهات الوحدة المرتبطة بها${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$وليكن للأسطوانة امتداد شعاعي${\displaystyle r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} }}$ثم المغنطة في جدران الأسطوانة، والتي لها مقدار${\displaystyle M_{0}}$يدور بسلاسة

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {cyl} }=M_{0}(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}),}$

بينما يختفي التمغنط خارج الجدران، أي بالنسبة للتجويف${\displaystyle r<r_{\mathrm {i} }}$والمناطق المحيطة${\displaystyle r>r_{\mathrm {o} }}$.

بحسب التعريف، فإن قوة المجال المغناطيسي المساعد${\displaystyle \mathbf {H} }$يرتبط ذلك بالمغنطة وكثافة التدفق المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$بواسطة${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$باستخدام قانون جاوس${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$وهذا يعادل

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =-\nabla \cdot \mathbf {M} .}$

1

بما أن المسألة ساكنة، فلا توجد تيارات حرة وتتلاشى جميع المشتقات الزمنية، لذا فإن قانون أمبير يتطلب أيضًا${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0\implies \mathbf {H} =\nabla \varphi }$، أين${\displaystyle \varphi }$يمثل الجهد القياسي المغناطيسي (حتى إشارة معينة وفقًا لبعض التعريفات). وبتعويض هذا في المعادلة 1 السابقة التي تحكم${\displaystyle \mathbf {H} }$و${\displaystyle \mathbf {M} }$، نجد أننا بحاجة إلى حل

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {M} ,}$

2

والتي تأخذ شكل معادلة بواسون .

لننظر الآن في الشروط الحدية عند واجهات الأسطوانة والهواء${\displaystyle r=r_{\mathrm {i} }}$و${\displaystyle r=r_{\mathrm {o} }}$دمج${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0}$يتطلب تطبيق نظرية ستوكس على حلقة صغيرة تمتد على طول الحدود أن يكون المكون الموازي لـ${\displaystyle \mathbf {H} }$متصلة. وهذا بدوره يتطلب أن${\displaystyle \varphi }$متصلة عبر الحدود. (بشكل أدق، هذا يعني أن${\displaystyle \varphi }$يجب أن يختلف بمقدار ثابت عبر الحدود، ولكن بما أن الكميات الفيزيائية التي تهمنا تعتمد على تدرجات هذا الجهد، فيمكننا تعيين الثابت إلى الصفر بشكل اعتباطي للتسهيل. للحصول على مجموعة ثانية من الشروط، نكامل المعادلة 1 عبر حجم صغير يمتد على جانبي الحدود ونطبق نظرية التباعد لإيجاد

${\displaystyle \left[{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right]=\pm \mathbf {M} \cdot {\hat {\mathbf {r} }},}$

حيث الترميز${\displaystyle [f]}$يشير إلى قفزة في الكمية${\displaystyle f}$عبر الحدود، وفي حالتنا تكون الإشارة سالبة عند${\displaystyle r=r_{\mathrm {i} }}$وإيجابي في${\displaystyle r=r_{\mathrm {o} }}$يرجع اختلاف الإشارة إلى التوجه النسبي للمغنطة والسطح العمودي على جزء من حجم التكامل داخل جدران الأسطوانة، حيث يكونان متعاكسين عند الحدود الداخلية والخارجية.

في الإحداثيات القطبية المستوية، تباعد حقل متجه${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+F_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}.}$

3

وبالمثل، فإن تدرج حقل قياسي${\displaystyle f}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

4

بدمج هاتين العلاقتين، اللابلاسي${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)}$يصبح

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.}$

5

باستخدام المعادلة 3 ، يكون تباعد المغنطة في جدران الأسطوانة هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {M} _{\mathrm {cyl} }&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rM_{0}\cos \theta )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(M_{0}\sin \theta )\\[5pt]&={\frac {M_{0}\cos \theta }{r}}+{\frac {M_{0}\cos \theta }{r}}\\[5pt]&={\frac {2M_{0}\cos \theta }{r}}.\end{aligned}}}$

وبالتالي، تصبح المعادلة 2 ، التي نريد حلها، باستخدام المعادلة 5

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}={\begin{cases}0&r<r_{\mathrm {i} },\\-{\frac {2M_{0}\cos \theta }{r}}&r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {0} }.\end{cases}}}$

6

ابحث عن حلٍّ خاصٍّ لهذه المعادلة في جدران الأسطوانة. مع الاستفادة من معرفة ما حدث لاحقًا، ضع في اعتبارك${\displaystyle \varphi _{\mathrm {p} }=r\ln r\cos \theta }$لأننا حينها سنمتلك

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi _{\mathrm {p} }}{\partial r}}\right)&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}(r\ln r\cos \theta )\right]\\[5pt]&={\frac {\cos \theta }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r(\ln r+1)\right]\\[5pt]&={\frac {\cos \theta }{r}}(\ln r+1+1)\\[5pt]&={\frac {\ln r\cos \theta }{r}}+{\frac {2\cos \theta }{r}}\end{aligned}}}$

وأيضًا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi _{\mathrm {p} }}{\partial \theta ^{2}}}&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}(r\ln r\cos \theta )\\[5pt]&=-{\frac {\ln r\cos \theta }{r}}.\end{aligned}}}$

لذلك${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{\mathrm {p} }={\frac {2\cos \theta }{r}}}$وتُظهر المقارنة مع المعادلة 6 أن${\displaystyle -M_{0}\varphi _{\mathrm {p} }=-M_{0}r\ln r\cos \theta }$هو الحل المحدد المناسب.

والآن، لننظر في المعادلة المتجانسة للمعادلة 6 ، وهي:${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{\mathrm {h} }=0}$يأخذ هذا شكل معادلة لابلاس . وباستخدام طريقة فصل المتغيرات ، يمكن إثبات أن الحل المتجانس العام الذي يكون تدرجه دوريًا في${\displaystyle \theta }$(بحيث تكون جميع الكميات الفيزيائية أحادية القيمة) تُعطى بواسطة

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {h} }=A_{0}+B_{0}\theta +C_{0}\ln r+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}\right)\cos n\theta +\sum _{n=1}^{\infty }\left(C_{n}r^{n}+D_{n}r^{-n}\right)\sin n\theta ,}$

حيث${\displaystyle A_{i},\ B_{i},\ C_{i},\ D_{i}}$هي ثوابت اختيارية. الحل المطلوب هو مجموع الحلول الخاصة والمتجانسة التي تحقق الشروط الحدية. مرة أخرى، مع الاستفادة من المعرفة اللاحقة، دعونا نجعل معظم الثوابت تساوي صفرًا مباشرةً ونؤكد أن الحل هو

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\alpha r\cos \theta &r<r_{\mathrm {i} },\\\beta r\cos \theta -M_{0}r\ln r\cos \theta &r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {o} },\end{cases}}}$

أين الآن؟${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$هي ثوابت يجب تحديدها. إذا استطعنا اختيار الثوابت بحيث تتحقق الشروط الحدية، فبموجب نظرية التفرد لمعادلة بواسون ، نكون قد وجدنا الحل.

شروط الاستمرارية تعطي

${\displaystyle \alpha =\beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }}$

7

عند الحدود الداخلية و

${\displaystyle \beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {o} }=0}$

8

عند الحد الخارجي. يمتلك تدرج الجهد مركبة شعاعية غير معدومة${\displaystyle \beta \cos \theta -M_{0}\ln r\cos \theta -M_{0}\cos \theta }$في جدران الأسطوانة و${\displaystyle \alpha \cos \theta }$في التجويف، وبالتالي تصبح الشروط على المشتق المحتمل

${\displaystyle (\beta \cos \theta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }\cos \theta -M_{0}\cos \theta )-\alpha \cos \theta =-M_{0}\cos \theta \implies \beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }-\alpha =0\implies \alpha =\beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }}$

عند الحدود الداخلية و

${\displaystyle 0-(\beta \cos \theta -M_{0}\ln r_{\mathrm {0} }\cos \theta -M_{0}\cos \theta )=M_{0}\cos \theta \implies \beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {o} }=0}$

عند الحد الخارجي. لاحظ أن هذه القيم مطابقة للمعادلتين 7 و 8 ، لذا كان التخمين متسقًا بالفعل. ومن ثم لدينا${\displaystyle \beta =M_{0}\ln r_{\mathrm {o} }}$و${\displaystyle \alpha =M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)}$، مما يعطي الحل

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)r\cos \theta &r<r_{\mathrm {i} },\\M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r}}\right)r\cos \theta &r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {o} }.\end{cases}}}$

وبالتالي، يُعطى المجال المغناطيسي بالعلاقة التالية

${\displaystyle \mathbf {H} =\nabla \varphi ={\begin{cases}M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&r<r_{\mathrm {i} },\\M_{0}\cos \theta \left[\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r}}\right)-1\right]\,{\hat {\mathbf {r} }}-M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r}}\right)\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {o} },\end{cases}}}$

بينما يمكن إيجاد كثافة التدفق المغناطيسي في كل مكان باستخدام التعريف السابق${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$في التجويف، حيث يتلاشى التمغنط، يتقلص هذا إلى${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathrm {bore} }={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {H} _{\mathrm {bore} }}$وبالتالي فإن مقدار كثافة التدفق هناك هو

${\displaystyle B_{\mathrm {bore} }=\left|\mathbf {B} _{\mathrm {bore} }\right|={\sqrt {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }}{\frac {M_{0}}{\mu _{0}}}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)={\frac {M_{0}}{\mu _{0}}}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right),}$

وهو أمر مستقل عن الموضع. وبالمثل، يتلاشى التمغنط خارج الأسطوانة، وبما أن المجال المغناطيسي يتلاشى هناك، فإن كثافة التدفق تتلاشى أيضًا. لذا، فإن المجال يكون منتظمًا داخل أسطوانة هالباخ ​​المثالية، وينعدم خارجها، وتعتمد قيمته على أبعادها الفيزيائية.