المجسم العشري الوجوه

في الهندسة ، المجسم العشروني ( / ˌaɪkɒsəˈhiːdrən , -kə- , -koʊ - / أو / aɪˌkɒsəˈhiːdrən / [ 1 ] ) هو متعدد الوجوه مع 20 وجهًا .​​​​​​​​​​​​​^​​​​​ ​الاسم يأتي من اليونانية القديمة εἴκοσι (eíkosi) ' عشرين ' و ἕδρα (hédra) ' مقعد ' . يمكن أن تكون صيغة الجمع إما "عشروني الوجوه" ( /- د ص ə / ) أو "عشرونية الوجوه".  

توجد أشكال لا حصر لها من المجسمات العشرية الوجوه غير المتشابهة ، بعضها أكثر تناظراً من غيرها. أشهرها المجسم العشري الوجوه المنتظم ( المحدب ، غير النجمي ) - أحد المجسمات الأفلاطونية - الذي تتكون وجوهه من 20 مثلثًا متساوي الأضلاع .

نوعان من المجسمات العشرية الوجوه المنتظمة: المحدبة وغير المحدبة

يوجد شكلان، أحدهما محدب والآخر غير محدب، يُمكن الإشارة إليهما باسم المجسم العشري الوجوه المنتظم، ويتميزان بـ 30 ضلعًا و20 وجهًا مثلثيًا. يُشير مصطلح "المجسم العشري الوجوه المنتظم" عمومًا إلى مجسم متعدد الوجوه محدب ، سواء كان دلتا هيدرون أو مجسمًا أفلاطونيًا ؛ ويُطلق عليه أيضًا اسم "المجسم العشري الوجوه" اختصارًا. ^{[ 2 ]} أما المجسم العشري الوجوه غير المحدب فهو المجسم العشري الوجوه الكبير ، وهو مجسم كبلر-بوانسو . يتمتع كلا الشكلين بتناظر عشري الوجوه .

يوجد 59 شكلاً نجمياً للمجسم العشري الوجوه المنتظم (بما في ذلك المجسم العشري الوجوه الأصلي نفسه) وفقًا لكوكسيتر وآخرون في كتابهم " المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون" . ويعني الشكل النجمي أن المجسم متعدد الوجوه يمتد بأوجهه أو حوافه حتى تلتقي لتشكيل مجسم متعدد الوجوه جديد. ويتم ذلك بشكل متناظر بحيث يحتفظ الشكل الناتج بالتناظر العام للشكل الأصلي. ومن بين هذه الأشكال، المجسم العشري الوجوه المنتظم والمجسم العشري الوجوه الكبير. أما الأشكال النجمية الأخرى، فلها أكثر من وجه واحد في كل مستوى، أو تشكل مركبات من مجسمات متعددة الوجوه أبسط. وهذه ليست مجسمات عشرية الوجوه بالمعنى الدقيق، على الرغم من أنها تُسمى كذلك في كثير من الأحيان. ^{[ 3 ]}

أبرز التكوينات النجمية للمجسم العشري الوجوه
عادي	نجم عادي	ثنائيات موحدة
(محدب) عشريني الوجوه	مجسم عشريني الوجوه عظيم	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي صغير	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع متوسط	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع عظيم
المركبات المنتظمة			آحرون
مركب من خمسة ثمانيات الأوجه	مركب من خمسة رباعيات الأوجه	مركب من عشرة رباعيات الأوجه	مجسم ذو اثني عشر وجهاً تم استخراجه	التشكيل النجمي النهائي

يمكن تشويه المجسم العشري الوجوه المنتظم أو تمييزه بتناظر بيريتوهيدرالي سفلي ، ^{[ 4 ] [ 5 ]} ويُسمى حينها ثماني الوجوه المقطوع ، أو رباعي الوجوه المقطوع ، أو رباعي الوجوه المقطوع ، أو شبه عشري الوجوه . ^{[ 6 ]} ويمكن اعتباره ثماني وجوه مقطوع بالتناوب . إذا كانت جميع المثلثات متساوية الأضلاع ، فيمكن تمييز التناظر أيضًا بتلوين مجموعتي المثلثات الثمانية والاثني عشر بألوان مختلفة. يُرمز لتناظر البيريتوهيدرا بالرمز (3*2)، [3 ⁺ ,4]، من الرتبة 24. أما تناظر رباعي الأوجه فيُرمز له بالرمز (332)، [3,3] ⁺ ، من الرتبة 12. تسمح هذه التناظرات الدنيا بتشوهات هندسية من 20 وجهًا مثلثيًا متساوي الأضلاع، إلى 8 مثلثات متساوية الأضلاع و12 مثلثًا متساوي الساقين متطابقًا . تُقدم هذه التناظرات مخططات كوكسيتر : و على التوالي، حيث يُمثل كل منهما التناظر الأدنى للمجسم العشري الوجوه المنتظم ، (*532)، [5,3]، وهو تناظر عشري الوجوه من الرتبة 120.

يمكن تحديد الإحداثيات الديكارتية للرؤوس الاثني عشر بواسطة المتجهات المُعرَّفة بجميع التبديلات الدورية الممكنة وانعكاسات الإشارة للإحداثيات من الشكل (2، 1، 0). تمثل هذه الإحداثيات ثماني السطوح المبتور برؤوس محذوفة بالتناوب . يُطلق على هذا التركيب اسم رباعي السطوح المبتور في شكله العشري السطوح المنتظم ، والذي يتم إنشاؤه بنفس العمليات التي تُجرى بدءًا من المتجه ( φ ، 1، 0)، حيث φ هي النسبة الذهبية . ^{[ 5 ]}

المجسم العشري الوجوه المنتظم مطابق طوبولوجيًا للمجسم المكعب الثماني الوجوه ذي الوجوه المربعة الستة المقسمة قطريًا بتناظر بيريتوهيدرالي. تشكل المجسمات العشرية الوجوه ذات التناظر البيريتوهيدرالي عائلة لانهائية من متعددات الوجوه، تشمل المجسم المكعب الثماني الوجوه، والمجسم العشري الوجوه المنتظم، ومجسم جيسن العشري الوجوه، والمجسم الثماني الوجوه ذي الغطاء المزدوج . وتحدث تحولات حركية دورية بين أفراد هذه العائلة.

أما الأشكال العشرية الوجوه الأخرى، والتي تشمل الأشكال المحدبة وغير المحدبة، فهي كالتالي، إلى جانب أوصافها:

• 
  مجسم جيسن العشري الوجوه، والذي يُسمى أحيانًا "مجسم جيسن العشري الوجوه المتعامد": هو مجسم متعدد السطوح يتكون من ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع واثني عشر وجهًا متساوي الساقين. وعند ترتيبه بشكل مختلف، يكون هذا الشكل غير محدب وله زوايا ثنائية قائمة .
• 
  المعين العشري الوجوه : شكل هندسي يتكون من 20 معينًا متطابقًا. يمكن اشتقاقه من المعين الثلاثي الوجوه بإزالة 10 أوجه وسطية. على الرغم من تطابق جميع الأوجه، فإن المعين العشري الوجوه ليس متعديًا على الأوجه .
• 
  هرم ذو 19 وجهًا مثلثيًا وقاعدة مكونة من 19 ضلعًا
• 
  منشور ذو 18 وجهًا جانبيًا وقاعدتين مكونتين من 18 ضلعًا
• 
  منشور مضاد ذو قاعدة مضلعة ذات تسعة جوانب
• 
  هرم مزدوج ذو عشرين وجهًا مثلثيًا
• 
  قبة مثلثة مستطيلة الشكل : مجسم جونسون يتكون من 16 مثلثًا و3 خماسيات وسداسي واحد
• 
  المجسم المثلثي المتعامد ذو القبة المتعامدة المطولة هو مجسم جونسون يتكون من 8 مثلثات و12 مربعًا. مجسم جونسون مشابه له نفس عدد وأنواع الأوجه هو المجسم المثلثي الجيروسكوبي المطولة ذو القبة المتعامدة ، ولكن طريقة إنشائه تختلف بتدوير إحدى قباته المثلثية .
• 
  المجسم ذو الاثني عشر وجهًا شبه المعزز هو مجسم جونسون يتكون من عشرة مثلثات وعشرة خماسيات. عدد وأنواع أوجهه مماثلة للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المعزز . الفرق بينهما يكمن في طريقة التركيب، حيث يتم ربط هرم خماسي بوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا بشكل مختلف.
• 
  هيبسفينوروتوندا المثلثية : آخر مجسمات جونسون، ويتكون من 13 مثلثًا متساوي الأضلاع، و3 مربعات، و3 خماسيات، وسداسي واحد.

• مجسم عشروني الوجوه مقطوع
• 600 خلية
• إيكوسوكو
• التوائم العشرية الوجوه - جسيمات نانوية غالباً ما تكون قريبة من الأشكال العشرية الوجوه المثالية.