معيار موحد

في التحليل الرياضي ، المعيار الموحد (أويُعيّن (معيار sup ) للدوال المحدودةالقيمالحقيقيةأوالمركبة .${\displaystyle f}$معرفة على مجموعة​${\displaystyle S}$، العدد غير السالب

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

يُطلق على هذا المعيار أيضًا اسمالمعيار الأعلى،معيار تشيبيشيف،معيار اللانهاية ،أو عندماالقيمة العلياهي القيمة القصوى بالفعل،المعيار الأقصى . يُشتق اسم "المعيار المنتظم" من حقيقة أن سلسلة من الدوال${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$يتقارب إلى​${\displaystyle f}$⁠ تحت المقياس المشتق من المعيار الموحد إذا وفقط إذا ⁠${\displaystyle f_{n}}$يتقارب إلى​${\displaystyle f}$بشكل موحد . ^{[ 1 ]}

إذا​${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة متصلة على فترة مغلقة ومحدودة ، أو بشكل أعم على مجموعة متراصة ، فإنها تكون محدودة، ويتم الحصول على القيمة العليا في التعريف أعلاه بواسطة نظرية القيم القصوى لـ Weierstrass ، لذا يمكننا استبدال القيمة العليا بالقيمة القصوى. في هذه الحالة، يُطلق على المعيار أيضًا اسمالمعيار الأقصى . على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle x}$⁠ هو متجه ما بحيث${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$في فضاء الإحداثيات ذي الأبعاد المحدودة ، يأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

هذا ما يسمى بـ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$-norm .

تُعرَّف المعايير الموحدة، بشكل عام، للدوال المحدودة التي لها قيم في فضاء معياري . ليكن${\displaystyle X}$كن مجموعة ودع${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ليكن فضاءً معيارياً . على المجموعة${\displaystyle Y^{X}}$من الدوال من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$، هناك معيار موسع محدد بواسطة

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

هذا بشكل عام معيار موسع لأن الدالة${\displaystyle f}$قد لا تكون محدودة. يؤدي تقييد هذا المعيار الموسع على الدوال المحدودة (أي الدوال ذات المعيار الموسع المحدود أعلاه) إلى معيار (ذي قيمة محدودة)، يُسمى المعيار المنتظم على${\displaystyle Y^{X}}$لاحظ أن تعريف المعيار المنتظم لا يعتمد على أي بنية إضافية على المجموعة${\displaystyle X}$، على الرغم من أنه في الممارسة العملية${\displaystyle X}$غالباً ما يكون على الأقل فضاءً طوبولوجياً .

التقارب على${\displaystyle Y^{X}}$في الطوبولوجيا المستحثة بواسطة المعيار الممتد المنتظم، يوجد التقارب المنتظم ، بالنسبة للمتتاليات، وكذلك بالنسبة للشبكات والمرشحات على${\displaystyle Y^{X}}$.

يمكننا تعريف المجموعات المغلقة وإغلاقات المجموعات بالنسبة لهذه الطوبولوجيا المترية؛ تُسمى المجموعات المغلقة في المعيار المنتظم أحيانًا بالمجموعات المغلقة بانتظام، وتُسمى الإغلاقات بالإغلاقات المنتظمة . الإغلاق المنتظم لمجموعة من الدوال A هو فضاء جميع الدوال التي يمكن تقريبها بواسطة متتالية من الدوال المتقاربة بانتظام على${\displaystyle A.}$على سبيل المثال، إحدى إعادة صياغة نظرية ستون-ويرستراس هي أن مجموعة جميع الدوال المتصلة على${\displaystyle [a,b]}$هو الإغلاق المنتظم لمجموعة كثيرات الحدود على${\displaystyle [a,b].}$

بالنسبة للدوال المتصلة المعقدة على مساحة مضغوطة، فإن هذا يحولها إلى جبر C* (انظر تمثيل جيلفاند ).

مجموعة المتجهات التي يكون معيارها اللانهائي ثابتًا معطى،${\displaystyle c,}$يشكل سطح مكعب فائق بطول حافة ${\displaystyle 2c.}$

سبب استخدام الرمز السفلي "${\displaystyle \infty }$"هل هذا هو الحال كلما"${\displaystyle f}$متصل و${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$بالنسبة للبعض${\displaystyle p\in (0,\infty )}$، ثم $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$ أين $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$ أين${\displaystyle D}$هو مجال${\displaystyle f}$؛ يصبح التكامل مساوياً للمجموع إذا${\displaystyle D}$هي مجموعة منفصلة (انظر p -norm ).

• فضاء المتتاليات المحدودة L-infinity 
• الاستمرارية المنتظمة – التقييد المنتظم للتغير في الوظائف 
• الفضاء المنتظم – الفضاء الطوبولوجي ذو مفهوم الخصائص المنتظمة 
• مسافة تشيبيشيف – مقياس رياضي