مسألة القيمة الابتدائية

في حساب التفاضل والتكامل ^، تُعرَّف مسألة القيمة الابتدائية ⁽ IVP ⁾ بأنها معادلة تفاضلية عادية مصحوبة بشرط ابتدائي ، تُحدد قيمة الدالة المجهولة عند نقطة معينة في مجال المسألة . غالبًا ما يُختزل نمذجة نظام ما في الفيزياء أو غيرها من العلوم إلى حل مسألة قيمة ابتدائية. في هذا السياق، تُعرَّف مسألة القيمة الابتدائية بأنها معادلة تفاضلية تُحدد كيفية تطور النظام مع الزمن ، بالإضافة إلى الشروط الابتدائية للمسألة.

مسألة القيمة الابتدائية هي معادلة تفاضلية

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ مع ${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$أين$أوميغا$هي مجموعة مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$،

بالإضافة إلى نقطة في نطاق${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega ,}$

تسمى الحالة الابتدائية .

حل مسألة القيمة الابتدائية هو دالة${\displaystyle y}$هذا حل للمعادلة التفاضلية ويحقق

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

في الأبعاد الأعلى، يتم استبدال المعادلة التفاضلية بمجموعة من المعادلات${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$، و${\displaystyle y(t)}$يُنظر إليه على أنه متجه${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$، والتي ترتبط عادةً بالموقع في الفضاء. وبشكل أعم، الدالة المجهولة${\displaystyle y}$يمكن أن تأخذ قيمًا في فضاءات لا نهائية الأبعاد، مثل فضاءات باناخ أو فضاءات التوزيعات .

تُوسّع مسائل القيمة الابتدائية لتشمل رتبًا أعلى من خلال التعامل مع المشتقات بنفس طريقة التعامل مع الدوال المستقلة، على سبيل المثال${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$بالنسبة لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية، يلزم شرطان ابتدائيان، على سبيل المثال القيم العددية لـ${\displaystyle y(0)}$و${\displaystyle y'(0)}$.

تضمن نظرية بيكارد -ليندلوف وجود حل وحيد على فترة ما تحتوي على t ≥ ₀ إذا كانت الدالة f متصلة على منطقة تحتوي على t _{≥ 0} و y _{≥ 0} ، وتحقق شرط ليبشيتز على المتغير y . ويتم إثبات هذه النظرية بإعادة صياغة المسألة كمعادلة تكاملية مكافئة . ويمكن اعتبار التكامل مؤثرًا يحول دالة إلى أخرى، بحيث يكون الحل نقطة ثابتة لهذا المؤثر. ثم تُستعان بنظرية باناش للنقطة الثابتة لإثبات وجود نقطة ثابتة وحيدة، وهي حل مسألة القيمة الابتدائية.

يُنشئ برهانٌ قديمٌ لنظرية بيكارد-ليندلوف متتاليةً من الدوال التي تتقارب إلى حل المعادلة التكاملية، وبالتالي، إلى حل مسألة القيمة الابتدائية. يُطلق على هذا البناء أحيانًا اسم "طريقة بيكارد" أو "طريقة التقريبات المتتالية". وتُعدّ هذه الصيغة في جوهرها حالةً خاصةً من نظرية باناش للنقطة الثابتة.

توصل هيروشي أوكامورا إلى شرط ضروري وكافٍ لكي يكون حل مسألة القيمة الابتدائية فريدًا. ويتعلق هذا الشرط بوجود دالة ليابونوف للنظام.

في بعض الحالات، لا تنتمي الدالة f إلى الفئة C1 ^، ولا حتى إلى فئة ليبشيتز ، لذا لا تنطبق النتيجة المعتادة التي تضمن وجود حل وحيد محليًا. مع ذلك، تُثبت نظرية بيانو للوجود أنه حتى بالنسبة للدوال f المتصلة فقط، فإن الحلول مضمونة الوجود محليًا في الزمن؛ تكمن المشكلة في عدم وجود ضمان للوحدانية. يمكن إيجاد هذه النتيجة في كودينغتون وليفينسون (1955، النظرية 1.3) أو روبنسون (2001، النظرية 2.6). وهناك نتيجة أكثر عمومية وهي نظرية كاراثيودوري للوجود ، التي تُثبت وجود حلول لبعض الدوال f غير المتصلة .

مثال بسيط على ذلك هو حل${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$و${\displaystyle y(0)=19}$نحن نحاول إيجاد صيغة لـ${\displaystyle y(t)}$الذي يحقق هاتين المعادلتين.

أعد ترتيب المعادلة بحيث${\displaystyle y}$يقع على الجانب الأيسر

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

الآن قم بتكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى${\displaystyle t}$(هذا يُدخل ثابتًا غير معروف)${\displaystyle B}$).

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

تخلص من اللوغاريتم مع الأس في كلا الطرفين

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

يترك${\displaystyle C}$ليكن ثابتًا جديدًا مجهولًا،${\displaystyle C=\pm e^{B}}$، لذا

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

الآن نحتاج إلى إيجاد قيمة لـ${\displaystyle C}$. يستخدم${\displaystyle y(0)=19}$كما هو موضح في البداية، واستبدل 0 بـ${\displaystyle t}$و19 لـ${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

وهذا يعطي الحل النهائي لـ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$.

المثال الثاني

حل

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

يمكن العثور على

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

بالفعل،

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

و${\displaystyle y(0)=2+0+1=3}$لذا فإن الدالة المعطاة تحقق المعادلة التفاضلية العادية والشرط الأولي.

المثال الثالث

حل

${\displaystyle y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt}$

${\displaystyle 3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B}$

بتطبيق الشروط الابتدائية نحصل على${\displaystyle B=0}$ومن هنا جاء الحل:

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{3}}{27}}}$.

ومع ذلك، فإن الدالة التالية هي أيضاً حل لمسألة القيمة الابتدائية:

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.}$

الدالة قابلة للاشتقاق في كل مكان ومتصلة، وتحقق المعادلة التفاضلية ومسألة القيمة الابتدائية. لذا، يُعد هذا مثالاً على مسألة من هذا النوع ذات عدد لا نهائي من الحلول.

• مسألة القيمة الحدية
• ثابت التكامل
• منحنى التكامل
• قبة نورتون