المتغيرات الآلية

في الإحصاء ، والاقتصاد القياسي ، وعلم الأوبئة ، والتخصصات ذات الصلة، تُستخدم طريقة المتغيرات الآلية شبه التجريبية لتقدير العلاقات السببية عندما لا تكون التجارب المضبوطة ممكنة ^، أو عندما لا يُطبَّق العلاج بنجاح على جميع الوحدات في تجربة عشوائية. ^[ 1 ^] وبشكل بديهي، تُستخدم المتغيرات الآلية عندما يكون المتغير التفسيري (المعروف أيضًا بالمتغير المستقل أو المتنبئ) محل الاهتمام مرتبطًا بحد الخطأ (المتغير الداخلي)، وفي هذه الحالة، تُعطي طريقة المربعات الصغرى العادية وتحليل التباين نتائج متحيزة . عند استخدام أداة صالحة، فإنها تُغير المتغير التفسيري (المتغير المرتبط بالمتغير الداخلي) ولكن ليس لها تأثير مستقل على المتغير التابع، ولا ترتبط بحد الخطأ، مما يسمح للباحث أو المحلل بالكشف عن التأثير السببي الحقيقي للمتغير التفسيري على المتغير التابع.

تتيح طرق المتغيرات الآلية تقديرًا متسقًا عندما تكون المتغيرات التفسيرية (المتغيرات المساعدة) مرتبطة بحدود الخطأ في نموذج الانحدار . قد يحدث هذا الارتباط عندما:

1. تؤدي التغييرات في المتغير التابع إلى تغيير قيمة واحد على الأقل من المتغيرات المساعدة ("السببية العكسية").
2. هناك متغيرات محذوفة تؤثر على كل من المتغيرات التابعة والمتغيرات التفسيرية، أو
3. تخضع المتغيرات المصاحبة لخطأ القياس .

تُعرف المتغيرات التفسيرية التي تعاني من مشكلة أو أكثر من هذه المشكلات في سياق الانحدار أحيانًا بالمتغيرات الداخلية . في هذه الحالة، تُنتج طريقة المربعات الصغرى العادية تقديرات متحيزة وغير متسقة. ^{[ 2 ]} مع ذلك، إذا توفر متغير مساعد ، يُمكن الحصول على تقديرات متسقة. المتغير المساعد هو متغير لا ينتمي إلى المعادلة التفسيرية ولكنه مرتبط بالمتغيرات التفسيرية الداخلية، بشرط قيمة المتغيرات المصاحبة الأخرى.

في النماذج الخطية، هناك شرطان رئيسيان لاستخدام المتغيرات الآلية:

• يجب أن يكون المتغير الآلي مرتبطًا بالمتغيرات التفسيرية الداخلية، بشرط ثبات المتغيرات المصاحبة الأخرى. إذا كان هذا الارتباط قويًا، يُقال إن المتغير الآلي يتمتع بمرحلة أولى قوية . قد يؤدي الارتباط الضعيف إلى استنتاجات مضللة حول تقديرات المعلمات، ويتسبب في أن تكون الأخطاء المعيارية في المرحلة الثانية أكبر من تقديرات المربعات الصغرى العادية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• لا يمكن أن يرتبط المتغير المتحرك بحد الخطأ في المعادلة التفسيرية، بشرط ثبات المتغيرات المصاحبة الأخرى. بعبارة أخرى، لا يمكن أن يعاني المتغير المتحرك من نفس مشكلة المتغير التنبؤي الأصلي. إذا تحقق هذا الشرط، يُقال إن المتغير المتحرك يستوفي شرط الاستبعاد .

بشكل غير رسمي، عند محاولة تقدير التأثير السببي لمتغير ما X ("المتغير المصاحب" أو "المتغير التفسيري") على متغير آخر Y ( "المتغير التابع")، فإن الأداة هي متغير ثالث Z يؤثر على Y فقط من خلال تأثيره على X. 

على سبيل المثال، لنفترض أن باحثًا يرغب في تقدير الأثر السببي للتدخين ( X ) على الصحة العامة ( Y ). ^{[ 5 ]} لا يعني وجود ارتباط بين التدخين والصحة أن التدخين يُسبب تدهورًا في الصحة، لأن متغيرات أخرى، مثل الاكتئاب، قد تؤثر على كليهما، أو لأن الصحة قد تؤثر على التدخين. من غير الممكن إجراء تجارب مضبوطة على حالة التدخين في عموم السكان. قد يحاول الباحث تقدير الأثر السببي للتدخين على الصحة من خلال بيانات رصدية باستخدام معدل الضريبة على منتجات التبغ ( Z ) كأداة للتدخين. يُعد معدل الضريبة على منتجات التبغ خيارًا مناسبًا كأداة، لأن الباحث يفترض أنه لا يمكن ربطه بالصحة إلا من خلال تأثيره على التدخين. إذا وجد الباحث بعد ذلك ارتباطًا بين ضرائب التبغ والحالة الصحية، فقد يُنظر إلى ذلك على أنه دليل على أن التدخين يُسبب تغيرات في الصحة.

استُخدم المتغير الآلي لأول مرة في كتاب صدر عام 1928 للمؤلف فيليب ج. رايت ، المعروف بوصفه الممتاز لإنتاج ونقل وبيع الزيوت النباتية والحيوانية في أوائل القرن العشرين في الولايات المتحدة. ^{[ 6 ] [ 7 ]} وفي عام 1945، طبّق أولاف رايرسول المنهج نفسه في سياق نماذج الأخطاء في المتغيرات في أطروحته، ومن هنا جاء اسم هذه الطريقة. ^{[ 8 ]}

حاول رايت تحديد العرض والطلب على الزبدة باستخدام بيانات لوحية حول الأسعار والكميات المباعة في الولايات المتحدة. كانت الفكرة هي أن تحليل الانحدار يمكن أن يُنتج منحنى طلب أو عرض، لأنهما يتشكلان من خلال المسار بين الأسعار والكميات المطلوبة أو المعروضة. لكن المشكلة كانت أن البيانات الرصدية لم تُشكل منحنى طلب أو عرض بالمعنى الدقيق، بل مجموعة من الملاحظات النقطية التي اتخذت أشكالًا مختلفة باختلاف ظروف السوق. ويبدو أن استخلاص استنتاجات من البيانات ظل أمرًا صعبًا.

تكمن المشكلة في أن السعر يؤثر على كل من العرض والطلب، بحيث لا يمكن بناء دالة تصف أحدهما فقط مباشرةً من البيانات الرصدية. وقد استنتج رايت بشكل صحيح أنه بحاجة إلى متغير يرتبط إما بالطلب أو بالعرض، وليس بكليهما، أي متغير وسيط.

بعد مداولات مطولة، قرر رايت استخدام معدل هطول الأمطار الإقليمي كمتغير وسيط: وخلص إلى أن هطول الأمطار يؤثر على إنتاج العشب، وبالتالي على إنتاج الحليب، وفي نهاية المطاف على عرض الزبدة، ولكنه لا يؤثر على الطلب عليها. وبهذه الطريقة، تمكن من بناء معادلة انحدار باستخدام المتغير الوسيط فقط، وهو السعر والعرض. ^{[ 9 ]}

قدّمت جوديا بيرل في عام 2000 تعريفات رسمية للمتغيرات الآلية، باستخدام الافتراضات المضادة للواقع والمعايير البيانية. ^{[ 10 ]} وقدّم أنغريست وكروجر ( 2001 ) دراسة استقصائية لتاريخ واستخدامات تقنيات المتغيرات الآلية. ^{[ 11 ]} وناقش هيكمان (2008) مفاهيم السببية في الاقتصاد القياسي، وعلاقتها بالمتغيرات الآلية وغيرها من الأساليب. ^{[ 12 ]}

على الرغم من أن الأفكار الكامنة وراء المتغيرات الآلية تمتد إلى فئة واسعة من النماذج، إلا أن سياق استخدامها الشائع جدًا هو الانحدار الخطي . تقليديًا، ^{[ 13 ]} يُعرَّف المتغير الآلي بأنه متغير${\displaystyle Z}$يرتبط ذلك بالمتغير المستقل ${\displaystyle X}$وغير مرتبط بـ "مصطلح الخطأ"${\displaystyle U}$في المعادلة الخطية

${\displaystyle Y=X\beta +U}$

${\displaystyle Y}$هو متجه.${\displaystyle X}$هي مصفوفة، عادةً ما تحتوي على عمود من الواحدات، وربما أعمدة إضافية لمتغيرات أخرى. فكّر في كيفية سماح الأداة${\displaystyle \beta }$يجب استعادتها. تذكر أن طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) تحل لـ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$بحيث${\displaystyle \operatorname {cov} (X,{\widehat {U}})=0}$(عندما نقلل مجموع مربعات الأخطاء،${\displaystyle \min _{\beta }(YX\beta )'(YX\beta )}$، شرط الرتبة الأولى هو بالضبط${\displaystyle X'(YX{\widehat {\beta }})=X'{\widehat {U}}=0}$). إذا كان يُعتقد أن النموذج الحقيقي لديه${\displaystyle \operatorname {cov} (X,U)\neq 0}$بسبب أي من الأسباب المذكورة أعلاه - على سبيل المثال، إذا كان هناك متغير محذوف يؤثر على كليهما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$بشكل منفصل - عندها لن ينتج عن إجراء المربعات الصغرى العادية هذا التأثير السببي لـ${\displaystyle X}$على${\displaystyle Y}$ستختار طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) ببساطة المعلمة التي تجعل الأخطاء الناتجة تبدو غير مرتبطة بـ${\displaystyle X}$.

لتبسيط الأمر، لنفترض حالة المتغير الواحد. لنفترض أننا ندرس نموذج انحدار بمتغير واحد وثابت (ربما لا توجد متغيرات مساعدة أخرى ضرورية، أو ربما استبعدنا أي متغيرات مساعدة أخرى ذات صلة):

${\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}$

في هذه الحالة، يُعطى معامل المتغير المستقل محل الاهتمام بواسطة${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}}$. استبدال بـ${\displaystyle y}$أعطِ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x+u)}{\operatorname {var} (x)}}\\[6pt]&={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x)}{\operatorname {var} (x)}}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}}=\beta ^{*}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \beta ^{*}}$هذا ما سيكون عليه متجه المعاملات المقدر إذا ${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)=0}$في هذه الحالة، يمكن إثبات أن${\displaystyle \beta ^{*}}$هو مُقدِّر غير متحيز لـ${\displaystyle \beta }$. لو${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)\neq 0}$في النموذج الأساسي الذي نؤمن به، فإن طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) تعطي تقديرًا غير متسق لا يعكس التأثير السببي الأساسي محل الاهتمام. تساعد طريقة المتغيرات الآلية (IV) في حل هذه المشكلة من خلال تحديد المعلمات.${\displaystyle {\beta }}$لا يعتمد على ما إذا${\displaystyle x}$لا توجد علاقة بين${\displaystyle u}$ولكن بناءً على ما إذا كان هناك متغير آخر${\displaystyle z}$لا توجد علاقة بين${\displaystyle u}$إذا كانت النظرية تشير إلى ذلك${\displaystyle z}$يرتبط بـ${\displaystyle x}$(المرحلة الأولى) ولكن غير مرتبطة بـ${\displaystyle u}$(في حالة شرط الاستبعاد)، قد تُحدد طريقة المتغيرات الآلية (IV) المعلمة السببية محل الاهتمام حيث تفشل طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS). ولأن هناك طرقًا متعددة ومحددة لاستخدام واشتقاق مُقدِّرات المتغيرات الآلية حتى في الحالة الخطية فقط (IV، 2SLS، GMM)، فإننا نؤجل المزيد من المناقشة إلى قسم التقدير أدناه.

طُوِّرت تقنيات المتغيرات الآلية ضمن فئة أوسع بكثير من النماذج غير الخطية. وقدّم بيرل (2000، ص  248) تعريفات عامة للمتغيرات الآلية، باستخدام الصيغة الافتراضية والبيانية. ^{[ 10 ]} يتطلب التعريف البياني أن تستوفي Z الشروط التالية:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}$

أين${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$يرمز إلى الفصل d و${\displaystyle G_{\overline {X}}}$يرمز إلى الرسم البياني الذي يتم فيه قطع جميع الأسهم الداخلة إلى X.

يتطلب التعريف المضاد للواقع أن يحقق Z ما يلي:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}$

حيث يمثل Y _x القيمة التي كان سيحققها Y لو كان X يساوي x و${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$يرمز إلى الاستقلال.

إذا كانت هناك متغيرات مشتركة إضافية W، فسيتم تعديل التعريفات المذكورة أعلاه بحيث يصبح Z مؤهلاً كأداة إذا تحققت المعايير المعطاة بشرط W.

جوهر تعريف بيرل هو:

1. المعادلات محل الاهتمام هي "هيكلية"، وليست "انحدارية".
2. يمثل مصطلح الخطأ U جميع العوامل الخارجية التي تؤثر على Y عندما يكون X ثابتًا.
3. يجب أن يكون الجهاز Z مستقلاً عن U.
4. يجب ألا يؤثر الجهاز Z على Y عندما يتم تثبيت X (قيد الاستبعاد).
5. لا ينبغي أن يكون الجهاز Z مستقلاً عن X.

لا تعتمد هذه الشروط على شكل وظيفي محدد للمعادلات، وبالتالي فهي قابلة للتطبيق على المعادلات غير الخطية، حيث يمكن أن تكون U غير جمعية (انظر التحليل غير البارامتري). كما أنها قابلة للتطبيق على نظام من المعادلات المتعددة، حيث يؤثر X (وعوامل أخرى) على Y من خلال عدة متغيرات وسيطة. لا يشترط أن يكون المتغير الآلي سببًا لـ X ؛ إذ يمكن استخدام بديل لهذا السبب، إذا استوفى الشروط من 1 إلى 5. ^{[ 10 ]} يُعد شرط الاستبعاد (الشرط 4) زائدًا عن الحاجة؛ فهو ناتج عن الشرطين 2 و3.

سنعيد الآن النظر في آليات التحليل المتغير المستقل (IV) ونتوسع فيها بمزيد من التفصيل. لنفترض أن البيانات يتم توليدها بواسطة عملية من الشكل التالي:

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +e_{i},}$

أين

• يقوم i بفهرسة الملاحظات،
• ${\displaystyle y_{i}}$يمثل القيمة رقم i للمتغير التابع،
• ${\displaystyle X_{i}}$هو متجه للقيم i للمتغير (المتغيرات) المستقل وثابت،
• ${\displaystyle e_{i}}$يمثل القيمة رقم i لحد خطأ غير مُلاحظ، والذي يمثل جميع أسباب${\displaystyle y_{i}}$بخلاف${\displaystyle X_{i}}$، و
• ${\displaystyle \beta }$هو متجه معلمات غير مُلاحظة.

متجه المعلمات${\displaystyle \beta }$هو التأثير السببي على${\displaystyle y_{i}}$من تغيير وحدة واحدة في كل عنصر من عناصر${\displaystyle X_{i}}$مع مراعاة جميع الأسباب الأخرى${\displaystyle y_{i}}$ثابت. الهدف الاقتصادي القياسي هو تقدير${\displaystyle \beta }$. من أجل التبسيط، افترض أن سحوبات e غير مرتبطة وأنها مسحوبة من توزيعات لها نفس التباين (أي أن الأخطاء غير مرتبطة تسلسليًا ومتجانسة التباين ).

لنفترض أيضًا أنه تم اقتراح نموذج انحدار ذي شكل مماثل اسميًا. وبالنظر إلى عينة عشوائية من T مشاهدة من هذه العملية، فإن مقدر المربعات الصغرى العادية هو

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }(X\beta +e)=\beta +(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }e}$

حيث تمثل X و y و e متجهات عمودية بطول T. هذه المعادلة مشابهة للمعادلة التي تتضمن${\displaystyle \operatorname {cov} (X,y)}$في المقدمة (هذه هي صيغة المصفوفة لتلك المعادلة). عندما يكون X و e غير مرتبطين ، وفي ظل شروط انتظام معينة، يكون للحد الثاني قيمة متوقعة تساوي صفرًا بشرط X ، ويتقارب إلى الصفر في النهاية، لذا يكون المُقدِّر غير متحيز ومتسق. مع ذلك، عندما يكون X والمتغيرات السببية الأخرى غير المقاسة، المُدمجة في الحد e ، مرتبطة، فإن مُقدِّر المربعات الصغرى العادية يكون متحيزًا وغير متسق بشكل عام بالنسبة لـ β . في هذه الحالة، من الصحيح استخدام التقديرات للتنبؤ بقيم y بمعلومية قيم X ، لكن التقدير لا يستعيد التأثير السببي لـ X على y .  

لاستعادة المعلمة الأساسية${\displaystyle \beta }$نُعرّف مجموعة من المتغيرات Z التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بكل مُكوّن داخلي من X ، ولكنها (في نموذجنا الأساسي) غير مرتبطة بـ e . ولتبسيط الأمر، يُمكن اعتبار X مصفوفة T × 2 تتكون من عمود من الثوابت ومتغير داخلي واحد، و Z مصفوفة T × 2 تتكون من عمود من الثوابت ومتغير آلي واحد. مع ذلك، يُمكن تعميم هذه التقنية لتشمل X التي تتكون من ثابت واحد، ولنقل 5 متغيرات داخلية، و Z التي تتكون من ثابت واحد و5 متغيرات آلية. في المناقشة التالية، سنفترض أن X مصفوفة T × K ، وسنترك قيمة K غير مُحددة. يُشار إلى المُقدِّر الذي تكون فيه كل من X و Z مصفوفتين T × K باسم المُقدِّر المُحدَّد بدقة . 

لنفترض أن العلاقة بين كل مكون داخلي xᵢ والأدوات معطاة بالصيغة التالية _:

${\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}$

يستخدم نموذج المتغيرات الآلية الأكثر شيوعًا المقدر التالي:

${\displaystyle {\widehat {\beta}} _ {\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y}$

تقترب هذه المواصفات من القيمة الحقيقية للمعامل كلما كبرت العينة، طالما أن${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$في النموذج الحقيقي:

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X\beta +(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }e\rightarrow \beta }$

طالما${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$في العملية الأساسية التي تولد البيانات، سيؤدي الاستخدام المناسب لمُقدِّر المتغيرات الآلية إلى تحديد هذه المعلمة. ينجح هذا لأن المتغيرات الآلية تحل المعادلة لإيجاد المعلمة الفريدة التي تحقق الشرط التالي:${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$وبالتالي، فإنه يركز على المعلمة الأساسية الحقيقية مع نمو حجم العينة.

والآن، امتدادًا لذلك: لنفترض أن عدد الأدوات في المعادلة محل الاهتمام يفوق عدد المتغيرات المستقلة، بحيث تكون Z مصفوفة من الرتبة T × M حيث M > K. يُطلق على هذه الحالة غالبًا اسم حالة التحديد الزائد . في هذه الحالة، يمكن استخدام طريقة العزوم المعممة (GMM). مُقدِّر GMM IV هو

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X^{\mathrm {T} }P_{Z}X)^{-1}X^{\mathrm {T} }P_{Z}y,}$

أين${\displaystyle P_{Z}}$يشير إلى مصفوفة الإسقاط${\displaystyle P_{Z}=Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}$.

يؤول هذا التعبير إلى التعبير الأول عندما يتساوى عدد الأدوات مع عدد المتغيرات المساعدة في المعادلة محل الاهتمام. وبالتالي، فإن المتغير الآلي المُفرط التحديد هو تعميم للمتغير الآلي المُحدد بدقة.

يوجد مُقدِّر مُكافئ غير مُحدَّد في حالة m < k . وبما أن المعاملات هي حلول لمجموعة من المعادلات الخطية، فإن نموذجًا غير مُحدَّد يستخدم مجموعة المعادلات${\displaystyle Z'v=0}$ليس لديه حل فريد.

إحدى الطرق الحسابية المستخدمة لحساب تقديرات المتغيرات الآلية هي طريقة المربعات الصغرى على مرحلتين (2SLS أو TSLS). في المرحلة الأولى، يتم تحليل انحدار كل متغير تفسيري يمثل متغيرًا داخليًا في المعادلة محل الاهتمام على جميع المتغيرات الخارجية في النموذج، بما في ذلك المتغيرات الخارجية في المعادلة محل الاهتمام والأدوات المستبعدة. ويتم الحصول على القيم المتوقعة من عمليات الانحدار هذه.

المرحلة 1: تحليل الانحدار لكل عمود من X على Z ، (${\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}$):

${\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X,\,}$

وحفظ القيم المتوقعة:

${\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}={\color {ProcessBlue}Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}X={\color {ProcessBlue}P_{Z}}X.\,}$

في المرحلة الثانية، يتم تقدير الانحدار محل الاهتمام كالمعتاد، باستثناء أنه في هذه المرحلة يتم استبدال كل متغير داخلي بالقيم المتوقعة من المرحلة الأولى:

المرحلة الثانية: تحليل الانحدار Y على القيم المتوقعة من المرحلة الأولى:

${\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} ,\,}$

مما يعطي

${\displaystyle \beta _{\text{2SLS}}=\left(X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}Y.}$

لا تصح هذه الطريقة إلا في النماذج الخطية. أما بالنسبة للمتغيرات الداخلية الفئوية، فقد يميل المرء إلى استخدام مرحلة أولى مختلفة عن طريقة المربعات الصغرى العادية، مثل نموذج بروبيت للمرحلة الأولى متبوعًا بطريقة المربعات الصغرى العادية للمرحلة الثانية. يُعرف هذا في الأدبيات الاقتصادية القياسية باسم الانحدار المحظور ، ^{[ 15 ]} لأن تقديرات معلمات المتغيرات الآلية في المرحلة الثانية لا تكون متسقة إلا في حالات خاصة. ^{[ 16 ]}

المُقدِّر الناتج لـ${\displaystyle \beta }$وهي متطابقة عدديًا مع التعبير الموضح أعلاه. يجب إجراء تصحيح طفيف على مجموع مربعات البواقي في النموذج المُطابق للمرحلة الثانية لكي تكون مصفوفة التغاير لـ${\displaystyle \beta }$تم حسابها بشكل صحيح.

عندما يكون شكل المعادلات الهيكلية غير معروف، يتم استخدام متغير آلي${\displaystyle Z}$لا يزال من الممكن تعريفها من خلال المعادلات التالية:

${\displaystyle x=g(z,u)\,}$

${\displaystyle y=f(x,u)\,}$

أين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$دالتان اختياريتان و${\displaystyle Z}$مستقل عن${\displaystyle U}$على عكس النماذج الخطية، فإن قياسات${\displaystyle Z,X}$و${\displaystyle Y}$لا تسمح بتحديد متوسط ​​التأثير السببي لـ${\displaystyle X}$على${\displaystyle Y}$، ويرمز لها بـ ACE

${\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}$

استنتج بالكي وبيرل [1997] حدودًا دقيقة على ACE وأظهرا أن هذه الحدود يمكن أن توفر معلومات قيمة حول إشارة وحجم ACE. ^{[ 17 ]}

في التحليل الخطي، لا يوجد اختبار لدحض الافتراض التالي:${\displaystyle Z}$له دور فعال بالنسبة للزوج${\displaystyle (X,Y)}$هذا ليس هو الحال عندما${\displaystyle X}$منفصلة. وقد أظهر بيرل (2000) أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، يجب أن يتحقق القيد التالي، المسمى "عدم المساواة الآلية"، كلما${\displaystyle Z}$يحقق المعادلتين أعلاه: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}$

يفترض العرض أعلاه أن التأثير السببي محل الاهتمام لا يختلف باختلاف الملاحظات، أي أن${\displaystyle \beta }$هو ثابت. عمومًا، تستجيب الأفراد المختلفة بطرق متباينة للتغيرات في "المعالجة" x . عند إدراك هذه الإمكانية، قد يختلف متوسط ​​تأثير تغيير x على y في المجتمع ككل عن تأثيره في فئة فرعية معينة. على سبيل المثال، قد يختلف متوسط ​​تأثير برنامج تدريب مهني اختلافًا كبيرًا بين مجموعة الأشخاص الذين يتلقون التدريب فعليًا ومجموعة الأشخاص الذين يختارون عدم تلقيه. لهذه الأسباب، تستند أساليب المتغيرات الآلية إلى افتراضات ضمنية حول الاستجابة السلوكية، أو بشكل أعم، افتراضات حول العلاقة بين الاستجابة للمعالجة والميل لتلقيها. ^{[ 18 ]}

يُمكن لمُقدِّر المتغيرات الآلية القياسي استخلاص متوسط ​​تأثيرات المعالجة المحلية (LATE) بدلاً من متوسط ​​تأثيرات المعالجة (ATE). ^{[ 1 ]} يُبيّن إمبنز وأنجريست (1994) أن تقدير المتغيرات الآلية الخطي يُمكن تفسيره، في ظل شروط ضعيفة، على أنه متوسط ​​مرجّح لمتوسط ​​تأثيرات المعالجة المحلية، حيث تعتمد الأوزان على مرونة المُتنبئ الداخلي للتغيرات في المتغيرات الآلية. وبعبارة أخرى، لا يظهر تأثير المتغير إلا في المجموعات الفرعية المتأثرة بالتغيرات الملحوظة في المتغيرات الآلية، وأن المجموعات الفرعية الأكثر استجابةً لهذه التغيرات سيكون لها أكبر تأثير على حجم تقدير المتغيرات الآلية.

على سبيل المثال، إذا استخدمت باحثة وجود كلية حكومية كأداة لتحليل تأثير التعليم الجامعي على الدخل، فإنها تحدد أثر التعليم الجامعي على الدخل لدى فئة فرعية من السكان الذين سيحصلون على شهادة جامعية في حال وجود كلية، ولكنهم لن يحصلوا عليها في حال عدم وجودها. ولا يُقدم هذا النهج التجريبي، دون افتراضات إضافية، أي معلومات للباحثة حول أثر التعليم الجامعي على الأفراد الذين سيحصلون على شهادة جامعية دائمًا أو لن يحصلوا عليها أبدًا، بغض النظر عن وجود كلية محلية من عدمه.

كما أشار باوند ، وجيجر ، وبيكر (1995)، تكمن المشكلة في اختيار أدوات "ضعيفة"، أي أدوات لا تُعدّ مؤشرات دقيقة للمتغير التنبؤي الداخلي في معادلة المرحلة الأولى. ^{[ 19 ]} في هذه الحالة، سيكون تنبؤ الأداة بالمتغير التنبؤي ضعيفًا، وستكون القيم المتوقعة متقاربة جدًا. وبالتالي، من غير المرجح أن تُحقق هذه الأدوات نجاحًا يُذكر في التنبؤ بالنتيجة النهائية عند استخدامها كبديل للمتغير التنبؤي في معادلة المرحلة الثانية.

في سياق مثال التدخين والصحة المذكور أعلاه، تُعدّ ضرائب التبغ أدوات ضعيفة لقياس التدخين إذا لم تتأثر حالة التدخين بشكل كبير بتغيرات الضرائب. فإذا لم تدفع الضرائب المرتفعة الناس إلى الإقلاع عن التدخين (أو عدم البدء به)، فإنّ تباين معدلات الضرائب لا يُخبرنا شيئًا عن تأثير التدخين على الصحة. وإذا أثّرت الضرائب على الصحة عبر قنوات أخرى غير تأثيرها على التدخين، فإنّ هذه الأدوات تصبح غير صالحة، وقد يُؤدي استخدام المتغيرات الآلية إلى نتائج مُضلّلة. على سبيل المثال، قد تُطبّق مناطق وأوقات ذات وعي صحي نسبي ضرائب مرتفعة على التبغ، ومع ذلك يتمتّع السكان بصحة أفضل حتى مع ثبات معدلات التدخين، وبالتالي سنلاحظ وجود ارتباط بين الصحة وضرائب التبغ حتى لو لم يكن للتدخين أي تأثير على الصحة. في هذه الحالة، سنكون مخطئين إذا استنتجنا وجود علاقة سببية بين التدخين والصحة من الارتباط الملحوظ بين ضرائب التبغ والصحة.

عندما تكون المتغيرات المساعدة خارجية، يمكن اشتقاق خصائص تقدير المربعات الصغرى العادية (OLS) للعينات الصغيرة بسهولة عن طريق حساب عزمات التقدير المشروطة بـ X. أما عندما تكون بعض المتغيرات المساعدة داخلية، مما يستدعي استخدام تقدير المتغيرات الآلية، فلا يمكن الحصول على تعابير بسيطة لعزمات التقدير بهذه الطريقة. عمومًا، لا تتمتع تقديرات المتغيرات الآلية إلا بخصائص تقاربية مرغوبة، وليست خصائص للعينات المحدودة، ويستند الاستدلال إلى تقريبات تقاربية لتوزيع المعاينة الخاص بالتقدير. حتى عندما تكون الأدوات غير مرتبطة بالخطأ في المعادلة محل الاهتمام، وعندما لا تكون الأدوات ضعيفة، قد تكون خصائص تقدير المتغيرات الآلية للعينات المحدودة ضعيفة. على سبيل المثال، تنتج النماذج المحددة بدقة مقدرات عينة محدودة بدون عزم، لذلك يمكن القول إن المقدر ليس متحيزًا ولا غير متحيز، وقد يكون الحجم الاسمي لإحصائيات الاختبار مشوهًا بشكل كبير، وقد تكون التقديرات عادةً بعيدة عن القيمة الحقيقية للمعلمة. ^{[ 21 ]}

لا يمكن اختبار افتراض عدم وجود ارتباط بين الأدوات وحد الخطأ في المعادلة محل الاهتمام في النماذج المحددة بدقة. أما في حالة النموذج المحدد بشكل زائد، فتتوفر معلومات يمكن استخدامها لاختبار هذا الافتراض. يعتمد الاختبار الأكثر شيوعًا لهذه القيود المتعلقة بالتحديد الزائد ، والذي يُسمى اختبار سارجان-هانسن ، على ملاحظة أن البواقي يجب ألا تكون مرتبطة بمجموعة المتغيرات الخارجية إذا كانت الأدوات خارجية بالفعل. ^{[ 22 ]} ويمكن حساب إحصائية اختبار سارجان-هانسن كما يلي:${\displaystyle TR^{2}}$(عدد المشاهدات مضروبًا في معامل التحديد ) من انحدار المربعات الصغرى العادية للبواقي على مجموعة المتغيرات الخارجية. ستكون هذه الإحصائية مقاربة لتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية m  − k تحت فرضية العدم القائلة بأن حد الخطأ غير مرتبط بالأدوات. 

• وظيفة التحكم (الاقتصاد القياسي) – الأساليب الإحصائية لتصحيح مشاكل التداخل الداخلي 
• الأدوات المثلى – تقنية لتحسين كفاءة المقدرات في نماذج العزوم الشرطية 

• غرين، ويليام هـ. (2008). التحليل الاقتصادي القياسي (  الطبعة السادسة). أبر سادل ريفر: بيرسون برنتيس هول. الصفحات 314-353 . ISBN  978-0-13-600383-0.
• جوجاراتي، دامودار ن .؛ بورتر، داون س. (2009). أساسيات الاقتصاد القياسي (  الطبعة الخامسة). نيويورك: ماكجرو هيل إروين. الصفحات 711-736 . ISBN  978-0-07-337577-9.
• كين، مايكل ب.؛ نيل، تيموثي (2024). " دليل عملي للأدوات الضعيفة ". المراجعة السنوية للاقتصاد . 16 : 185-212.
• سارجان، دينيس (1988). محاضرات في نظرية الاقتصاد القياسي المتقدمة . أكسفورد: باسل بلاكويل. ص 42-67 . ISBN  978-0-631-14956-9.
• وولدريدج، جيفري م. (2013). مدخل إلى الاقتصاد القياسي: منهج حديث (  الطبعة الدولية الخامسة). ماسون، أوهايو: ساوث ويسترن. ص 490-528 . ISBN  978-1-111-53439-4.

• وولدريدج، ج. (1997): أساليب شبه الاحتمالية لبيانات العد، دليل الاقتصاد القياسي التطبيقي، المجلد 2، تحرير إم إتش بيساران وب. شميدت، أكسفورد، بلاكويل، ص  352-406
• تيرزا، جيه في (1998): "تقدير نماذج العد مع التبديل الداخلي: اختيار العينة وتأثيرات المعالجة الداخلية". مجلة الاقتصاد القياسي (84)، ص  129-154
• وولدريدج، ج. (2002): "التحليل الاقتصادي القياسي لبيانات المقطع العرضي وبيانات اللوحات"، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، كامبريدج، ماساتشوستس.

• فصل من كتاب دانيال مكفادين الدراسي
• محاضرة في الاقتصاد القياسي (الموضوع: المتغير الآلي) على موقع يوتيوب من تقديم مارك ثوما .
• محاضرة في الاقتصاد القياسي (الموضوع: طريقة المربعات الصغرى على مرحلتين) على يوتيوب من تقديم مارك ثوما