جونسون سوليد

في الهندسة ، يُعرف مجسم جونسون ، أو مجسم جونسون - زالغالر ، ^{[ 1 ]} بأنه متعدد السطوح محدب وجوهه ^{[ 2 ]} مضلعات منتظمة ، وهو ليس متعدد السطوح منتظمًا . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} يوجد 92 مجسمًا من هذا النوع .

48 تتكون من الأهرامات البدائية والقباب والدوائر المجمعة بطرق مختلفة مع الموشورات والموشورات المضادة ؛
35 تم تشكيلها عن طريق تعديل المجسمات متعددة السطوح المنتظمة ، عن طريق زيادة أو تقليل أو تدوير الأشكال الأولية؛ و
9 والتي لا تستمد من عمليات "القص واللصق" للمواد الصلبة المتجانسة.

التعريف والخلفية

المجسم متعدد الأوجه على اليسار، وهو المربع المطول ذو القبة الجيروسكوبية ، هو مجسم جونسون. أما المجسم متعدد الأوجه على اليمين، وهو النجمة الثمانية الأضلاع ، فليس مجسم جونسون: فهو ذو أوجه منتظمة، ولكنه ليس محدبًا ، لأن بعض أقطاره تقع خارج المجسم.

المجسم المحدب هو الغلاف المحدب لمجموعة محدودة من النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وليست جميعها في مستوى واحد. ^{[ 5 ]} حدوده عبارة عن اتحاد محدود من المضلعات، لا يوجد اثنان منها في نفس المستوى؛ وتُسمى هذه المضلعات بالأوجه . أما مجسم جونسون فهو مجسم محدب ^{[ 2 ]} جميع أوجهه مضلعات منتظمة، ^{[ 6 ]} ولكنه ليس مجسمًا منتظمًا ؛ ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} يستثني الشرط الأخير المجسمات الأفلاطونية ، والمجسمات الأرخميدية ، والموشورات ، والموشورات المضادة .

سُميت هذه المجسمات نسبةً إلى نورمان جونسون وفيكتور زالغالر . ^{[ 7 ]} نشر جونسون (1966) قائمةً تضم 92 مجسمًا من هذا النوع، وخصص لها أسماءً وأرقامًا. أثبت زالغالر (1969) ^{[ 8 ]} صحة فرضية جونسون ^{[ 9 ]} بأنه لا يوجد أي مجسم آخر غير هذه المجسمات الـ 92.

يُعرف المجسم المحدب الذي تكون جميع وجوهه منتظمة تقريبًا، ولكن بعضها ليس منتظمًا تمامًا، باسم مجسم جونسون شبه المفقود . ^{[ 10 ]}

تسمية وبناء المجسمات

الأشكال الصلبة الـ 92 لجونسون وبعض الأشكال ذات الصلة. (شاهد نسخة متحركة هنا ).

- غير صالح، - أفلاطوني ، - أرخميدس ، - مقاطع دوارة.

تتبع تسمية المواد الصلبة وفقًا لنموذج جونسون صيغة وصفية مرنة ودقيقة، تسمح بتسمية العديد من المواد الصلبة بطرق مختلفة دون المساس بدقة كل اسم كوصف. ترد أسماء المواد الصلبة وفقًا لنموذج جونسون في الأقسام التالية.

الأهرامات، والقباب، والدوائر

تتكون الأشكال الصلبة الـ 48 الأولى لجونسون من أهرامات أو قباب أو قبة مستديرة ، بالإضافة إلى موشورات أو موشورات مضادة . تُضاف البادئات التالية إلى الكلمة للإشارة إلى تركيبات محددة من الأشكال: ^{[ 11 ]}

يشير الرمز Bi- إلى أن نسختين من المجسم متصلتان من القاعدة إلى القاعدة.
- بالنسبة للقباب والدوائر، يشير مصطلح "أورثو" إلى أن الوجوه المتشابهة تلتقي.
- بالنسبة للقباب والدوائر، يشير مصطلح "gyro-" إلى أن الوجوه المختلفة تلتقي.
يشير مصطلح "مطول" إلى أن المنشور متصل بقاعدة الجسم الصلب، أو بين القواعد.
يشير مصطلح "مطول بشكل دائري" إلى أن المنشور المضاد متصل بقاعدة الجسم الصلب، أو بين القواعد.

باستخدام هذه التسمية، فإن الهرم الخماسي المزدوج هو مجسم يتكون من ربط قاعدتي هرمين خماسيين. أما القبة المثلثية القائمة على القبة، فتتكون من قبتين مثلثيتين على طول قاعدتيهما.

الأجسام المستبعدة: - المستوية، - الأفلاطونية ، - الأرخميدية .

	الأهرامات			القباب			قبة-روتندا	القاعات المستديرة
	الهرم الثلاثي "رباعي الأوجه"	1 هرم مربع	2- الهرم الخماسي	3 قبة مثلثة	قبة مربعة الشكل 4	5 قبة خماسية		6 قبة خماسية
ممدود	7- هرم مثلثي ممدود	8 هرم مربع ممدود	9- هرم خماسي ممدود	18 قبة مثلثة الشكل مستطيلة	19 قبة مربعة مستطيلة	20 قبة خماسية مستطيلة		21 قبة خماسية مستطيلة
ممتدة بشكل دائري	ثماني السطوح المعزز "هرم مثلثي مستطيل الشكل"	10 هرم مربع مستطيل الشكل	11 هرم خماسي مستطيل الشكل	22 قبة مثلثة الشكل ذات شكل دائري	23 قبة مربعة مستطيلة الشكل	24 قبة خماسية مستطيلة الشكل		25 قبة خماسية مستطيلة الشكل
تقويم العظام-	12 هرم ثنائي مثلثي	ثماني السطوح "هرم ثنائي مربع"	13- الهرم الخماسي المزدوج	27 قبة مثلثة الشكل	28 مربع أورثوبيكوبولا	30 قبة خماسية الأضلاع	32 خماسي الأضلاع أورثوكوبولاروتوندا	34 أورثوبيروتندا خماسية الأضلاع
جيروبي-	12 هرم ثنائي مثلثي	ثماني السطوح "هرم ثنائي مربع"	13- الهرم الخماسي المزدوج	مكعب ثماني الأوجه "قبة مثلثة دوارة"	قبة دوارة مربعة 29	31 قبة خماسية الشكل	33 قبة دائرية خماسية الأضلاع	Icosidodecahedron "pentagonal gyrobirotunda"
تقويم العظام المطول-	14- هرم ثنائي مثلث الشكل ممدود	15 هرم ثنائي مربع ممدود	16- هرم ثنائي خماسي ممدود	35 قبة مثلثة مستطيلة الشكل	Rhombicuboctahedron "orthobicupola مربع مستطيل"	38 قبة خماسية مستطيلة الشكل	40 أورثوكوبولاروتوندا خماسية الشكل مستطيلة	42 أورثوبيروتوندا خماسية مستطيلة
جيروبي ممدود-	14- هرم ثنائي مثلث الشكل ممدود	15 هرم ثنائي مربع ممدود	16- هرم ثنائي خماسي ممدود	36 قبة دوارة مثلثة مستطيلة	37 قبة دوارة مربعة مستطيلة	39- جيروبيكوبولا خماسية الشكل مستطيلة	41 جيروكوبولاروتوندا خماسية الشكل ممدودة	43 جيروبيروتوندا خماسية الأضلاع ممدودة
ثنائي مطول دورانيًا	شبه منحرف ثلاثي "هرم ثنائي مثلثي مستطيل الشكل"	17 هرم ثنائي مربع مستطيل الشكل	مجسم ذو عشرين وجهاً "هرم ثنائي خماسي مستطيل الشكل"	44 قبة ثنائية مثلثة الشكل مستطيلة الشكل	45 قبة مربعة مستطيلة الشكل	46 قبة خماسية مستطيلة الشكل	47 قبة خماسية مستطيلة الشكل	48- دوار خماسي مستطيل الشكل

	فاستيجيوم
جيروبي-	26 جيروبيفاستيجيوم

متعددات السطوح المنتظمة المعدلة

يتم إضافة ثلاثة أهرامات مربعة إلى منشور ثلاثي، ليصبح منشورًا ثلاثيًا معززًا .

هيدرون معيني ذو اثني عشر وجهاً يتناقص حجمه.

هيدرون معيني الشكل ذو اثني عشر وجهًا يدور

تُبنى المجسمات الـ 35 التالية لجونسون عن طريق تعديل المجسمات المنتظمة مثل الموشورات ، والمجسمات الأفلاطونية ، والمجسمات الأرخميدية ، وذلك بإضافة أو طرح أو تدوير الأهرامات أو القباب . تُضاف البادئات التالية إلى الكلمة للدلالة على الإضافات أو الطرح أو التدوير: ^{[ 11 ]}

يشير مصطلح "معزز" إلى إضافة هرم أو قبة إلى وجه واحد أو أكثر من أوجه الجسم الصلب المعني.
يشير مصطلح "متناقص" إلى إزالة هرم أو قبة من وجه واحد أو أكثر من أوجه الجسم الصلب المعني.
يشير مصطلح "Gyrate" إلى أن القبة المثبتة على الجسم الصلب المعني أو الموجودة فيه تدور بحيث تتطابق الحواف المختلفة.

يمكن إجراء العمليات الثلاث - التكبير والتصغير والدوران - عدة مرات على بعض الأجسام الصلبة الكبيرة. يشير الرمز "ثنائي " إلى عملية مزدوجة، بينما يشير الرمز "ثلاثي" إلى عملية ثلاثية. على سبيل المثال، يحتوي الجسم الصلب ثنائي الدوران على قبتين مُدارتين، بينما يحتوي الجسم الصلب ثلاثي التصغير على ثلاث أهرامات أو قباب مُزالة. في بعض الأجسام الصلبة الكبيرة، يُفرّق بين الأجسام الصلبة ذات الأوجه المُعدّلة المتوازية والأجسام الصلبة ذات الأوجه المُعدّلة المائلة. يشير الرمز "متوازي " إلى النوع الأول، أي أن الجسم الصلب المعني يحتوي على أوجه متوازية مُعدّلة، بينما يشير الرمز "ميتا" إلى النوع الثاني، أي أن الأوجه مائلة مُعدّلة. على سبيل المثال، يحتوي الجسم الصلب ثنائي التكبير المتوازي على وجهين متوازيين مُكبّرين، بينما يحتوي الجسم الصلب ثنائي الدوران الميتا على قبتين مائلتين خضعتا للدوران. ^{[ 11 ]}

الموشورات المعززة
49- منشور مثلثي مُعزز	50 منشور مثلثي معزز	51 منشور مثلثي ثلاثي الأضلاع
52 منشور خماسي معزز	53 منشور خماسي معزز
54 منشور سداسي مُعزز	55 موشور سداسي معزز	56 موشور سداسي معزز ميتابي	57 منشور سداسي ثلاثي الأضلاع
أفلاطونية معدلة
58 مجسم ذو اثني عشر وجهًا مُعززًا	59 مجسم ذو اثني عشر وجهًا معززًا	60 مجسمًا اثني عشري الأوجه مُعززًا بالميتا	61 مجسم ذو اثني عشر وجهًا ثلاثي الأبعاد
62 مجسم عشريني الوجوه منزوع التناظر	63 مجسم عشريني الوجوه ثلاثي التناقص	64- مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأبعاد معزز
أرخميدس المعدل
65 رباعي الأوجه المقطوع المعزز	66 مكعب مقطوع مُعزز	67 مكعب مقطوع مُعزز
68 مجسم ذو اثني عشر وجهًا مبتورًا معززًا	69 مجسم اثني عشري مقطوع معزز بشكل متوازي	70 مجسم اثني عشري مقطوع معزز ميتابي	71 مجسم اثني عشري مقطوع ثلاثي الأبعاد
72 دوارة معينية اثني عشرية	73 شبه متناظر مع 12 وجهًا معينيًا	74 ميتابيغيرات رومبيكوسيدوديكاهيدرون	75 ثلاثي الدوران المعيني ذو الاثني عشر وجهًا
76- مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا منقوصًا	77- مجسم ذو اثني عشر وجهًا معينيًا متناقصًا متناظرًا	78 ميتاجيرايت مينيزد هومبريكوسيدودياهيدرون	79 ثنائي الجيرات مُصغّر مُعيّن ذو اثني عشر وجهًا
80 مجسم شبه منقوص من المعين ذي الاثني عشر وجهًا	81 ميتابيديمينشد رومبيكوسيدوديكاهيدرون	82 مجسم دوار ثنائي التناقص من المعين ذي الاثني عشر وجهًا	83 مجسم ذو اثني عشر وجهًا معينيًا ثلاثي التناقص

غير قابل للنسخ واللصق

تُسمى المجسمات التسعة الأخيرة لجونسون بأسماء تستند إلى مجمعات مضلعية معينة تُشكل منها. وقد حدد جونسون هذه الأسماء وفقًا للتسمية التالية: ^{[ 11 ]}

الهلال هو شكل يتكون من مثلثين متصلين بضلعين متقابلين لمربع. البادئات التي تشير إلى مجموعة من الأهلة هي:
- Spheno- عبارة عن مركب على شكل إسفين يتكون من هلالين متجاورين. Dispheno- يشير إلى مركبين من هذا النوع.
- هيبسفينو - عبارة عن مجموعة غير حادة من ثلاثة أهلة متجاورة.
اللواحق التي تشير إلى مجموعة من المثلثات هي:
- - كورونا عبارة عن مجمع يشبه التاج مكون من ثمانية مثلثات.
- - ميجاكورونا عبارة عن مجمع أكبر يشبه التاج ويتكون من اثني عشر مثلثًا.
- - الحزام هو حزام مكون من اثني عشر مثلثًا.
اللاحقة - rotunda تشير إلى مجموعة من اثنين أو ثلاثة أشكال خماسية مع مثلثات بينها، تحمل تشابهاً هيكلياً مع الروتوندا الخماسية .

متعددات السطوح القصيرة
84 عظم الوتد القصير	85 منشور مربع مضاد قصير
تتكون من أهلة ومثلثات
86 سفينوكورونا	87 تاج إسفيني معزز
88 Sphenomegacorona	89 هيبسفينوميغاكورونا
90 ديسفينوسينجولوم
المستديرون
91 بيلونابيروتوندا	92 هيبسفينوروتوندا مثلثة الشكل

مجموعات فرعية بارزة

دلتا هيدرا

5. مجسمات جونسون هي دلتاهيدرا، ذات أوجه مثلثية فقط.

J12 هرم ثنائي مثلثي J13 هرم ثنائي خماسي J17 هرم ثنائي مربع مستطيل الشكل	J51 منشور مثلثي ثلاثي الأبعاد J84 Snub disphenoid

المواد الصلبة الكيرالية

إن القبة المزدوجة أو القبة المزدوجة ذات الشكل الدائري المستطيل هي حلزونية ولها أشكال مميزة يسارية ويمينية.

J44 قبة ثنائية مثلثة الشكل مستطيلة الشكل J45 قبة مربعة مستطيلة الشكل J46 قبة خماسية مستطيلة الشكل	J47 قبة خماسية مستطيلة الشكل J48 جيرويلوند خماسي الشكل

المواد الصلبة القابلة للتحديد

25 من مجسمات جونسون لها رؤوس تقع على سطح كرة . ويمكن ملاحظة أن جميعها مرتبطة بمجسم أفلاطوني أو أرخميدسي عن طريق الدوران أو التصغير أو التقطيع. ^{[ 12 ]}

المجسم الثماني	المجسم العشري الوجوه
J1	J2	J11	J62	J63

مكعب ثماني الأوجه		مُكعب ثماني الأوجه مُعيني الأوجه			عشروني الوجوه
J3	J27	J4	J19	J37	J6	J34
المعين ذو الاثني عشر وجهًا
J5	J72	J73	J74	J75	J76	J77
J5	J78	J79	J80	J81	J82	J83

انظر أيضاً

مراجع

↑ أراكي، يوشياكي؛ هورياما، تاكاشي؛ أوهارا، ريوهي (2015). "الفتح المشترك للهرم الرباعي المنتظم ومجسم جونسون-زالغالر" . في: رحمن، م. سهيل؛ توميتا، إتسوجي (محرران). والكوم: الخوارزميات والحساب . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 8973. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 294-305 . doi : 10.1007/978-3-319-15612-5_26 . ISBN 978-3-319-15612-5.
بحسب التعريف ، كل وجه هو تقاطع متعدد السطوح المحدب مع مستوى محيط مختلف، لذا لا يوجد وجهان متجاوران في مستوى واحد - أي وجهين متجاورين يشكلان زاوية أقل من 180 درجة. إذا عُرض متعدد السطوح المحدب بدلاً من ذلك من خلال مجموعة من المضلعات التي قد تكون متحدة المستوى مسبقًا (على سبيل المثال، بتقسيم وجه)، فيمكن كتابة " متعدد سطوح محدب تمامًا " هنا للإشارة إلى الشرط الذي ينص على عدم وجود مضلعين متجاورين في مستوى واحد، أي عدم تقاطع أي مضلعين بزاوية 180 درجة. يختلف مفهوم "التحدب التام" لمتعددات السطوح عن المفهوم القياسي المستخدم للمجموعات المحدبة العامة : لا يوجد متعدد سطوح محدب تمامًا بالمعنى الأخير؛ انظر الصفحة 263 من كتاب AG Khovanskii ، هندسة متعددات السطوح الافتراضية المعممة، مجلة العلوم الرياضية 269 (2023)، 256-269.
1 2 توديسكو، جيان ماركو (2020). "خلية النحل الزائدية". في إيمر، ميشيل؛ أباتي، ماركو (محرران). تخيل الرياضيات 7: بين الثقافة والرياضيات . سبرينغر. ص 282. doi : 10.1007/978-3-030-42653-8 . ISBN 978-3-030-42653-8.
1 2 ويليامز، كيم؛ مونتيليوني، كوزينو (2021). منظور دانييلي باربارو لعام 1568 . سبرينغر. ص. 23. دوى : 10.1007/978-3-030-76687-0 . رقم ISBN 978-3-030-76687-0.
↑ بولديجين، ف. ف.؛ خارازيشفيلي، أ. ب. (2000). الجوانب الهندسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي . سبرينغر. ص 2. doi : 10.1007/978-94-017-1687-1 . ISBN 978-94-017-1687-1.
↑ ديوديا، إم في (2018). التجمعات متعددة الأوجه متعددة الطبقات . مواد الكربون: الكيمياء والفيزياء. المجلد 10. سبرينغر. ص 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2.
↑ أوهارا، ريوهي (2020). مقدمة في فن طي الورق الحاسوبي: عالم الهندسة الحاسوبية الجديدة . سبرينغر. ص 62. doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5.
↑ زالغالر، فيكتور أ. (1969). متعددات السطوح المحدبة ذات الوجوه المنتظمة . مكتب الاستشارات.
↑ جونسون، نورمان (1966). "الأجسام المحدبة ذات الأوجه المنتظمة". المجلة الكندية للرياضيات . 18 : 169-200 . doi : 10.4153/CJM-1966-021-8 .
↑ كابلان، كريج س.؛ هارت، جورج و. (2001). "المجسمات المتناظرة: متعددات السطوح من الوضع المتناظر للمضلعات المنتظمة" (ملف PDF) . جسور: روابط رياضية في الفن والموسيقى والعلوم : 21-28 .
1 2 3 4 بيرمان، مارتن (1971). "مجسمات محدبة منتظمة الأوجه". مجلة معهد فرانكلين . 291 (5): 329-352 . doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 .
↑ كليتزينغ، د. ريتشارد. "جونسون سوليدز وآخرون" . bendwavy.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2018 .

روابط خارجية

غانيون، سيلفان (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [ متعددات وجوه محدبة ذات وجوه منتظمة ] (PDF) . الطوبولوجيا الهيكلية (6): 83-95 .
نماذج ورقية للمجسمات متعددة الأوجه، مؤرشفة بتاريخ ٢٦ فبراير ٢٠١٣ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). روابط متعددة
كتاب جونسون للمواد الصلبة من تأليف جورج دبليو هارت.
كتاب "المجسمات المرئية متعددة الأوجه" ، مع نماذج ثلاثية الأبعاد وبيانات لجميع الأجسام الصلبة الـ 92، من تأليف ديفيد آي. ماكوي.
صور لجميع الأشكال الصلبة الـ 92، مصنفة، على صفحة واحدة
وايسشتاين، إريك دبليو. "جونسون سوليد" . ماث وورلد .
نماذج VRML للمواد الصلبة من نوع جونسون من تصميم جيم ماكنيل
نماذج VRML للمواد الصلبة من نوع جونسون من تصميم فلاديمير بولاتوف
مشروع اكتشاف CRF polychora يسعى لاكتشاف CRF polychora ( متعددات الوجوه المحدبة رباعية الأبعاد ذات المضلعات المنتظمة كوجوه ثنائية الأبعاد)، وهو تعميم لمجسمات جونسون إلى الفضاء رباعي الأبعاد. مؤرشف في 31 أكتوبر 2020 على موقع Wayback Machine ( متعددات الوجوه المحدبة رباعية الأبعاد ذات المضلعات المنتظمة كوجوه ثنائية الأبعاد )، وهو تعميم لمجسمات جونسون إلى الفضاء رباعي الأبعاد.
https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ مولد متعددات السطوح وعمليات كونواي المطبقة عليها، بما في ذلك مجسمات جونسون.

[1] أراكي، يوشياكي؛ هورياما، تاكاشي؛ أوهارا، ريوهي (2015). "الفتح المشترك للهرم الرباعي المنتظم ومجسم جونسون-زالغالر" . في: رحمن، م. سهيل؛ توميتا، إتسوجي (محرران). والكوم: الخوارزميات والحساب . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 8973. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 294-305 . doi : 10.1007/978-3-319-15612-5_26 . ISBN 978-3-319-15612-5.

[strictly_convex-2] بحسب التعريف ، كل وجه هو تقاطع متعدد السطوح المحدب مع مستوى محيط مختلف، لذا لا يوجد وجهان متجاوران في مستوى واحد - أي وجهين متجاورين يشكلان زاوية أقل من 180 درجة. إذا عُرض متعدد السطوح المحدب بدلاً من ذلك من خلال مجموعة من المضلعات التي قد تكون متحدة المستوى مسبقًا (على سبيل المثال، بتقسيم وجه)، فيمكن كتابة " متعدد سطوح محدب تمامًا " هنا للإشارة إلى الشرط الذي ينص على عدم وجود مضلعين متجاورين في مستوى واحد، أي عدم تقاطع أي مضلعين بزاوية 180 درجة. يختلف مفهوم "التحدب التام" لمتعددات السطوح عن المفهوم القياسي المستخدم للمجموعات المحدبة العامة : لا يوجد متعدد سطوح محدب تمامًا بالمعنى الأخير؛ انظر الصفحة 263 من كتاب AG Khovanskii ، هندسة متعددات السطوح الافتراضية المعممة، مجلة العلوم الرياضية 269 (2023)، 256-269.

[todesco-3] 1 2 توديسكو، جيان ماركو (2020). "خلية النحل الزائدية". في إيمر، ميشيل؛ أباتي، ماركو (محرران). تخيل الرياضيات 7: بين الثقافة والرياضيات . سبرينغر. ص 282. doi : 10.1007/978-3-030-42653-8 . ISBN 978-3-030-42653-8.

[williams-4] 1 2 ويليامز، كيم؛ مونتيليوني، كوزينو (2021). منظور دانييلي باربارو لعام 1568 . سبرينغر. ص. 23. دوى : 10.1007/978-3-030-76687-0 . رقم ISBN 978-3-030-76687-0.

[bk-5] بولديجين، ف. ف.؛ خارازيشفيلي، أ. ب. (2000). الجوانب الهندسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي . سبرينغر. ص 2. doi : 10.1007/978-94-017-1687-1 . ISBN 978-94-017-1687-1.

[diudea-6] ديوديا، إم في (2018). التجمعات متعددة الأوجه متعددة الطبقات . مواد الكربون: الكيمياء والفيزياء. المجلد 10. سبرينغر. ص 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2.

[uehara-7] أوهارا، ريوهي (2020). مقدمة في فن طي الورق الحاسوبي: عالم الهندسة الحاسوبية الجديدة . سبرينغر. ص 62. doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5.

[zalgaller-8] زالغالر، فيكتور أ. (1969). متعددات السطوح المحدبة ذات الوجوه المنتظمة . مكتب الاستشارات.

[johnson-9] جونسون، نورمان (1966). "الأجسام المحدبة ذات الأوجه المنتظمة". المجلة الكندية للرياضيات . 18 : 169-200 . doi : 10.4153/CJM-1966-021-8 .

[kaplan-hart-10] كابلان، كريج س.؛ هارت، جورج و. (2001). "المجسمات المتناظرة: متعددات السطوح من الوضع المتناظر للمضلعات المنتظمة" (ملف PDF) . جسور: روابط رياضية في الفن والموسيقى والعلوم : 21-28 .

[berman-11] 1 2 3 4 بيرمان، مارتن (1971). "مجسمات محدبة منتظمة الأوجه". مجلة معهد فرانكلين . 291 (5): 329-352 . doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 .

[12] كليتزينغ، د. ريتشارد. "جونسون سوليدز وآخرون" . bendwavy.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2018 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗