توزيع ميتالوغ

يُعدّ توزيع ميتالوغ توزيعًا احتماليًا مستمرًا مرنًا مصممًا لسهولة الاستخدام العملي. إلى جانب تحويلاته، تتميز عائلة توزيعات ميتالوغ المستمرة بخصائص فريدة، منها: مرونة شكل غير محدودة تقريبًا؛ إمكانية الاختيار بين التوزيعات غير المحدودة، وشبه المحدودة، والمحدودة؛ سهولة مطابقة البيانات باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية؛ معادلات دالة الكمية البسيطة ذات الصيغة المغلقة ( دالة التوزيع التراكمي العكسي ) التي تُسهّل المحاكاة ؛ دالة كثافة احتمالية بسيطة ذات صيغة مغلقة ؛ وتحديث بايزي بصيغة مغلقة في ضوء البيانات الجديدة. علاوة على ذلك، وكما هو الحال في متسلسلة تايلور ، قد تحتوي توزيعات ميتالوغ على أي عدد من الحدود، وذلك حسب درجة مرونة الشكل المطلوبة واحتياجات التطبيق الأخرى.

تتضمن التطبيقات التي يمكن أن تكون فيها توزيعات الميتالوج مفيدة عادةً مطابقة البيانات التجريبية أو البيانات المحاكاة أو الكميات المستخرجة من الخبراء مع توزيعات احتمالية سلسة ومستمرة. مجالات التطبيق واسعة النطاق، وتشمل الاقتصاد والعلوم والهندسة والعديد من المجالات الأخرى. نُشرت توزيعات الميتالوج، المعروفة أيضًا باسم توزيعات كيلين، لأول مرة في عام 2016 ^{[ 1 ]} بواسطة توم كيلين. ^{[ 2 ]}

يمكن النظر إلى تاريخ التوزيعات الاحتمالية ، جزئيًا، على أنه تطورٌ نحو مزيدٍ من المرونة في الشكل والحدود عند ملاءمتها للبيانات . نُشر التوزيع الطبيعي لأول مرة عام ١٧٥٦، ^{[ ٣ ]} ونظرية بايز عام ١٧٦٣. ^{[ ٤ ]} وضع التوزيع الطبيعي الأساس لجزء كبير من تطور الإحصاء الكلاسيكي. في المقابل، أرست نظرية بايز الأساس لتمثيلات الاحتمالية القائمة على المعلومات والمعتقدات . ولأن الاحتمالات القائمة على المعتقدات يمكن أن تتخذ أي شكل وقد يكون لها حدود طبيعية، فقد برزت الحاجة إلى توزيعات احتمالية مرنة بما يكفي لاستيعاب كلا الشكلين. علاوة على ذلك، أظهرت العديد من مجموعات البيانات التجريبية أشكالًا لا يمكن مطابقتها جيدًا مع التوزيع الطبيعي أو التوزيعات المستمرة الأخرى . وهكذا بدأ البحث عن توزيعات احتمالية مستمرة ذات أشكال وحدود مرنة.

في مطلع القرن العشرين، برزت عائلة توزيعات بيرسون ^{[ 5 ]} ، التي تشمل التوزيع الطبيعي ، وبيتا ، والتوزيع المنتظم ، وجاما ، وتوزيع t للطالب ، وتوزيع كاي تربيع ، وتوزيع F ، وخمسة توزيعات أخرى ^{[ 6 ]} ، كتقدمٍ كبير في مرونة شكل التوزيع. تبع ذلك توزيعات جونسون ^{[ 7 ] [ 8 ]} . تستطيع كلتا العائلتين تمثيل اللحظات الأربع الأولى للبيانات ( المتوسط ، والتباين ، والالتواء ، والتفرطح ) بمنحنيات متصلة سلسة. إلا أنهما لا تستطيعان مطابقة اللحظات من الرتبة الخامسة أو أعلى. علاوة على ذلك، بالنسبة لقيمة معينة للالتواء والتفرطح، لا يوجد خيار لتحديد الحدود. فعلى سبيل المثال، قد ينتج عن مطابقة اللحظات الأربع الأولى لمجموعة بيانات توزيع ذو حد أدنى سالب، حتى وإن كان معروفًا أن الكمية المعنية لا يمكن أن تكون سالبة. أخيرًا، تتضمن معادلاتهما تكاملات معقدة ودوال إحصائية معقدة، لذا فإن مطابقة البيانات تتطلب عادةً أساليب تكرارية.

في أوائل القرن الحادي والعشرين، بدأ محللو القرار العمل على تطوير توزيعات احتمالية متصلة تتناسب تمامًا مع أي ثلاث نقاط محددة على دالة التوزيع التراكمي لكمية غير مؤكدة (على سبيل المثال، تلك التي يستخلصها الخبراء).${\displaystyle 0.10,0.50}$، و${\displaystyle 0.90}$الكميات المئوية). لم تكن توزيعات بيرسون وجونسون كافية عمومًا لهذا الغرض. إضافةً إلى ذلك، سعى محللو القرار إلى إيجاد توزيعات احتمالية يسهل تحديد معالمها باستخدام البيانات (على سبيل المثال، باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية ، أو ما يعادلها، الانحدار الخطي المتعدد ). وقد حققت فئة التوزيعات الكمية المعلمة (QPDs)، التي طُرحت عام 2011، كلا الهدفين. ورغم كونها تقدمًا كبيرًا لهذا السبب، إلا أن توزيع Q-Normal البسيط، الذي استُخدم في الأصل لتوضيح هذه الفئة من التوزيعات ^{[ 9 ]} ، كان أقل مرونة في الشكل من توزيعات بيرسون وجونسون، وافتقر إلى القدرة على تمثيل التوزيعات شبه المحدودة والمحدودة. بعد ذلك بوقت قصير، قام كيلين ^{[ 1 ]} بتطوير عائلة توزيعات الميتالوغ، وهي حالة أخرى من فئة QPD، والتي تتميز بمرونة شكلية أكبر من عائلتي بيرسون وجونسون، وتوفر خيارًا للتقييد، ولها معادلات مغلقة الشكل يمكن ملاءمتها للبيانات باستخدام المربعات الصغرى الخطية، ولها دوال كمية مغلقة الشكل ، مما يسهل محاكاة مونت كارلو .

يُعدّ التوزيع الميتالوغ تعميمًا للتوزيع اللوجستي ، حيث يُشير مصطلح "ميتالوغ" إلى اختصار "ميتالولوجستيك". بدءًا من دالة الكمية اللوجستية ،${\displaystyle x=Q(y)=\mu +s{\mbox{ }}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$استبدل كيلين متسلسلات القوى في الاحتمال التراكمي${\displaystyle y=F(x)}$لـ${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle s}$^{[ 10 ]}​

${\displaystyle \mu =a_{1}+a_{4}(y-0.5)+a_{5}(y-0.5)^{2}+a_{7}(y-0.5)^{3}+a_{9}(y-0.5)^{4}+\dots }$

${\displaystyle s=a_{2}+a_{3}(y-0.5)+a_{6}(y-0.5)^{2}+a_{8}(y-0.5)^{3}+a_{10}(y-0.5)^{4}+\dots }$

كانت مبررات كيلين لهذا الاستبدال خمسة أسباب. ^{[ 10 ]} أولاً، ستتمتع دالة الكمية الناتجة بمرونة كبيرة في الشكل، تخضع للمعاملات.${\displaystyle a_{i}}$ثانيًا، سيكون لها صيغة مغلقة بسيطة وخطية في هذه المعاملات، مما يعني أنه يمكن تحديدها بسهولة من بيانات دالة التوزيع التراكمي باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية . ثالثًا، ستكون دالة الكمية الناتجة سلسة وقابلة للتفاضل وتحليلية ، مما يضمن توفر دالة كثافة احتمالية سلسة ومغلقة . رابعًا، ستُسهّل دالة التوزيع التراكمي العكسية المغلقة الناتجة عملية المحاكاة . خامسًا، مثل متسلسلة تايلور ، يمكن استخدام أي عدد من الحدود.${\displaystyle k}$يمكن استخدامها، اعتمادًا على درجة مرونة الشكل المطلوبة واحتياجات التطبيق الأخرى.

لاحظ أن الرموز السفلية لـ${\displaystyle a}$معاملات - هي بحيث${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{4}}$هم في${\displaystyle \mu }$توسع،${\displaystyle a_{2}}$و${\displaystyle a_{3}}$هم في${\displaystyle s}$يتم التوسيع، وتتبادل الرموز السفلية بعد ذلك. تم اختيار هذا الترتيب بحيث يتوافق أول حدين في دالة الكمية الميتالوجية الناتجة مع التوزيع اللوجستي تمامًا؛ إضافة حد ثالث مع${\displaystyle a_{3}\neq 0}$يُعدِّل الانحراف؛ بإضافة حد رابع مع${\displaystyle a_{4}\neq 0}$يُعدِّل التفرطح بشكل أساسي؛ وإضافة حدود لاحقة غير صفرية تُؤدي إلى تحسينات أكثر دقة في الشكل. ^{[ 10 ] : ص 252}

إعادة كتابة دالة الكمية اللوجستية لتضمين الاستبدالات المذكورة أعلاه لـ${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle s}$ينتج عنه دالة الكمية الميتالوجية ، للاحتمال التراكمي${\displaystyle 0<y<1}$.

${\displaystyle M_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{لـ }}k=2\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{لـ }}k=3\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}(y-0.5)&{\mbox{لـ }}k=4\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{k-1 \over 2}&{\mbox{لـ }}k\geq 5\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{{k \over 2}-1}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{لـ }}k\geq 6\\\end{array}}\right.}$

وبالمثل، يمكن التعبير عن دالة الكمية المعدنية بدلالة الدوال الأساسية:${\displaystyle M_{k}(y)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}g_{i}(y)}$، حيث تكون دوال الأساس الميتالوجية${\displaystyle g_{1}(y)=1,{\mbox{ }}g_{2}(y)=\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )},}$وكل ما يليه${\displaystyle g_{i}(y)}$يُعرَّف بأنه التعبير الذي يُضرب في${\displaystyle a_{i}}$في معادلة لـ${\displaystyle M_{k}(y)}$أعلاه. لاحظ أن المعامل${\displaystyle a_{1}}$هو الوسيط ، لأن جميع الحدود الأخرى تساوي صفرًا عندما${\displaystyle y=0.5}$تُعدّ التوزيعات اللوجستية حالات خاصة من دالة الكمية الميتالوجية (${\displaystyle k=2}$) والتوزيع المنتظم (${\displaystyle k\geq 4,a_{1}=0.5,a_{4}=1,a_{i}=0}$خلاف ذلك).

التمايز${\displaystyle x=M_{k}(y)}$بالنسبة إلى${\displaystyle y}$ينتج عنه دالة كثافة الكمية ^{[ 11 ]}${\displaystyle q(y)=dx/dy}$مقلوب هذه الكمية،${\displaystyle (q(y))^{-1}=dy/dx=f(Q(y))}$، هي دالة كثافة الاحتمال معبر عنها كـ p-PDF، ^{[ 12 ]}

${\displaystyle m_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}{y(1-y) \over {a_{2}}}&{\mbox{لـ }}k=2\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{لـ }}k=3\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{لـ }}k=4\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{k-1 \over 2}(y-0.5)^{(k-3)/2}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{لـ k فردي}}k\geq 5\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{\Bigl (}{(y-0.5)^{k/2-1} \over {y(1-y)}}+({k \over 2}-1)(y-0.5)^{(k/2-2)}\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{لـ k زوجي}}k\geq 6,\\\end{array}}\right.}$

والتي يمكن التعبير عنها بشكل مكافئ بدلالة الدوال الأساسية كما يلي

${\displaystyle m_{k}(y)=\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}$أين${\displaystyle 0<y<1}$.

لاحظ أن دالة كثافة الاحتمال هذه معبر عنها كدالة للاحتمال التراكمي،${\displaystyle y}$، بدلاً من المتغير محل الاهتمام،${\displaystyle x}$لرسم دالة كثافة الاحتمال (كما هو موضح في الأشكال الموجودة في هذه الصفحة)، يمكن للمرء أن يغير${\displaystyle y\in (0,1)}$بشكل بارامتري، ثم ارسم${\displaystyle x=M_{k}(y)}$على المحور الأفقي و${\displaystyle m_{k}(y)}$على المحور الرأسي.

استنادًا إلى المعادلات المذكورة أعلاه والتحويلات التالية التي تتيح اختيار الحدود، تتكون عائلة توزيعات الميتالوغ من الميتالوغ غير المحدودة وشبه المحدودة والمحدودة، إلى جانب حالاتها الخاصة من الثلاثية المئوية المتناظرة (SPT).

كما هو مُعرَّف أعلاه، فإن توزيع الميتالوج غير محدود، باستثناء الحالة الخاصة غير العادية حيث${\displaystyle a_{i}=0}$لجميع المصطلحات التي تحتوي على${\displaystyle \ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$ومع ذلك، تتطلب العديد من التطبيقات توزيعات احتمالية مرنة ذات حد أدنى${\displaystyle b_{l}}$، حد أعلى${\displaystyle b_{u}}$أو كليهما. ولتلبية هذه الحاجة، استخدم كيلين التحويلات لاستنتاج توزيعات ميتالوج شبه محدودة ومحدودة. ^{[ 1 ]} تخضع هذه التحويلات لخاصية عامة لدوال الكمية: لأي دالة كمية${\displaystyle x=Q(y)}$وزيادة الوظيفة${\displaystyle z(x),x=z^{-1}(Q(y))}$وهي أيضًا دالة كمية . ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، دالة الكمية للتوزيع الطبيعي هي${\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}$بما أن اللوغاريتم الطبيعي ،${\displaystyle z(x)=\ln(x-b_{l})}$، هي دالة متزايدة،${\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}$هي دالة الكمية للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي . وبالمثل، بتطبيق هذه الخاصية على دالة الكمية الميتالوجية${\displaystyle M_{k}(y)}$باستخدام التحويلات أدناه، نحصل على الأعضاء شبه المحدودة والمحدودة لعائلة الميتالوج. من خلال النظر في${\displaystyle z(x)}$لكي يتم توزيعها وفقًا للميتالوج، فإن جميع أعضاء عائلة الميتالوج يستوفون تعريف كيلين وباولي ^{[ 9 ]} للتوزيع ذي المعلمات الكمية وبالتالي يمتلكون خصائصه.

${\displaystyle {\begin{array}{l|c|c|c|c|c}&&&&&{\mbox{shape}}\\&{\mbox{transformation}}&{\mbox{quantile function}}&{\mbox{PDF}}&{\mbox{where}}&{\mbox{parameters}}\\\hline {\mbox{Metalog (unbounded)}}&z(x)=x&M_{k}(y)&m_{k}(y)&0<y<1&k-2\\\hline {\mbox{Log metalog}}&z(x)=\ln(x-b_{l})&M_{k}^{\log }(y)=b_{l}+e^{M_{k}(y)}&m_{k}^{\log }(y)=m_{k}(y)e^{-M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded below)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\\hline {\mbox{Negative-log metalog}}&z(x)=-\ln(b_{u}-x)&M_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=b_{u}-e^{-M_{k}(y)}&m_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=m_{k}(y)e^{M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded above)}}&&=b_{u}&=0&y=1\\\hline {\mbox{Logit metalog}}&z(x)=\ln {\Bigl (}{x-b_{l} \over {b_{u}-x}}{\Bigr )}&M_{k}^{\operatorname {logit} }(y)={b_{l}+b_{u}e^{M_{k}(y)} \over {1+e^{M_{k}(y)}}}&m_{k}^{\operatorname {logit} }(y)=m_{k}(y){{\bigl (}1+e^{M_{k}(y)}{\bigr )}^{2} \over {(b_{u}-b_{l})e^{M_{k}(y)}}}&0<y<1&k\\{\mbox{(bounded)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\&&=b_{u}&=0&y=1\end{array}}}$

لاحظ أن عدد معلمات الشكل في عائلة الميتالوغ يزداد خطيًا مع عدد الحدود${\displaystyle k}$لذلك، يمكن لأي من التوزيعات المعدنية المذكورة أعلاه أن تحتوي على أي عدد من معلمات الشكل. في المقابل، تقتصر عائلتا توزيعات بيرسون وجونسون على معلمتين للشكل.

تُعدّ توزيعات الميتالوج الثلاثية المتناظرة المئوية (SPT) توزيعات ثلاثية الحدود${\displaystyle (k=3)}$حالة خاصة من توزيعات الميتالوج غير المحدودة، وشبه المحدودة، والمحدودة. ^{[ 14 ]} يتم تحديد هذه التوزيعات بواسطة ثلاثة عوامل.${\displaystyle (x,y)}$نقاط خارج منحنى دالة التوزيع التراكمي ، على شكل${\displaystyle (x_{1},\alpha )}$،${\displaystyle (x_{2},0.5)}$، و${\displaystyle (x_{3},1-\alpha )}$، أين${\displaystyle 0<\alpha <0.5}$تُعدّ المَثَلُ الفيزيائية لـ SPT مفيدةً عندما، على سبيل المثال، الكميات المئوية${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$بما يتوافق مع احتمالات دالة التوزيع التراكمي (على سبيل المثال)${\displaystyle 0.1,0.5,0.9}$تُستخلص هذه البيانات من خبير وتُستخدم لضبط معلمات توزيعات الميتالوج ثلاثية الحدود. وكما هو موضح أدناه، فإن بعض الخصائص الرياضية تُبسط بواسطة معلمات SPT.

تتمتع عائلة التوزيعات الاحتمالية الميتالوجية بالخصائص التالية.

التوافق مع البيانات

المعاملات${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$يمكن تحديدها من البيانات باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية .${\displaystyle n}$نقاط البيانات${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$والتي تهدف إلى تحديد خصائص دالة التوزيع التراكمي للمعادن، و${\displaystyle n\times k}$مصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$والتي تتكون عناصرها من الدوال الأساسية${\displaystyle g_{j}(y_{i})}$ثم طالما${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}$إذا كان متجه العمود قابلاً للعكس${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$من المعاملات${\displaystyle a_{i}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {z}}}$، أين${\displaystyle n\geq k}$ومتجه عمودي${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z(x_{1}),\ldots ,z(x_{n}))}$. لو${\displaystyle n=k}$، وتختزل هذه المعادلة إلى${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {z}}}$حيث يمر توزيع التوزيع التراكمي للميتالوج الناتج عبر جميع نقاط البيانات بدقة. بالنسبة لميتالوجات SPT، فإنه يختزل إلى تعبيرات بدلالة الثلاثة.${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$^{[ 14 ]}​

تعتمد طريقة التوفيق البديلة، التي يتم تنفيذها كبرنامج خطي، على تحديد المعاملات عن طريق تقليل مجموع المسافات المطلقة بين دالة التوزيع التراكمي والبيانات، مع مراعاة قيود الجدوى. ^{[ 19 ]}

بفضل مرونة شكلها وحدودها، يمكن استخدام الميتالوجات لتمثيل البيانات التجريبية أو غيرها في أي مجال من مجالات المسعى البشري تقريبًا.

• علم الفلك . تم تطبيق الميتالوغ لتقييم مخاطر اصطدام الكويكبات. ^{[ 26 ]}
• الأمن السيبراني . استُخدمت المصطلحات الوصفية في تقييم مخاطر الأمن السيبراني. ^{[ 19 ] [ 27 ]}
• استطلعت هيئة الإحصاء الكندية آراء 18 خبيرًا حول معدلات الخصوبة الكندية المستقبلية، وذلك من خلال استخدام جداول بيانات إلكترونية تعتمد على بيانات PDF فورية، مستندة إلى خمسة مصطلحات وصفية. ثم جرى ترجيح آراء الخبراء الفردية ودمجها في توقعات شاملة قائمة على هذه المصطلحات . ^{[ 24 ]}
• استكشاف البيانات التجريبية وتصويرها . في علم الأحياء السمكية، تمّت ملاءمة توزيع لوغاريتمي معدني ذي عشرة حدود (محدود من الأسفل عند الصفر) لأوزان 3474 سمكة سلمون مرقطة فولاذية تمّ صيدها وإطلاقها في نهر بابين في كولومبيا البريطانية خلال الفترة 2006-2010. وقد عُزيت ثنائية النمط في التوزيع الناتج إلى وجود أسماك تضع بيضها للمرة الأولى وأخرى للمرة الثانية في النهر، حيث تميل الأخيرة إلى أن تكون أثقل وزنًا. ^{[ 28 ]}
• علم المياه . تم استخدام نموذج ميتالوج شبه محدود مكون من 10 حدود لنمذجة التوزيع الاحتمالي لارتفاعات قياس الأنهار السنوية. ^{[ 29 ]}
• إنتاج حقول النفط . تم استخدام نماذج SPT شبه المحدودة لتحليل الانحيازات في توقعات إنتاج حقول النفط عند مقارنتها بالإنتاج المرصود بعد حدوثه. ^{[ 30 ]}
• إدارة المحافظ الاستثمارية . تم استخدام نماذج SPT لنمذجة القيمة التجارية للمنتجات الجديدة ومحافظ المنتجات. ^{[ 31 ]}
• توزيعات مدخلات المحاكاة . لدعم قرار تقديم العطاء، تم تمثيل عدم اليقين بشأن القيمة المستقبلية لكل أصل من الأصول المالية الـ 259 باستخدام نموذج SPT. وقد أظهرت محاكاة القيمة الإجمالية للمحفظة نتائج أكثر واقعية من محاكاة مماثلة تعتمد على قيم منفصلة منخفضة ومتوسطة وعالية لكل أصل. ^{[ 32 ]}
• توزيعات مخرجات المحاكاة . كما استُخدمت المخططات الفوقية لملاءمة بيانات مخرجات المحاكاة لتمثيل تلك المخرجات كتوزيعات مستمرة مغلقة الشكل (دوال التوزيع التراكمي ودوال كثافة الاحتمال). عند استخدامها بهذه الطريقة، تكون عادةً أكثر استقرارًا وسلاسة من المدرجات التكرارية. ^{[ 32 ]}
• مجموع التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية . تُمكّن التوزيعات الميتالوجية من تمثيل التوزيعات المعروفة بصيغة مغلقة، والتي لا تملك دوال التوزيع التراكمي الخاصة بها صيغة مغلقة . وقد طبّق كيلين وآخرون (2019) ^{[ 18 ]} هذه الطريقة على مجموع التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية المستقلة والمتطابقة، حيث يمكن تحديد كميات المجموع من خلال عدد كبير من عمليات المحاكاة. تُستخدم تسع كميات من هذه الكميات لضبط معلمات توزيع ميتالوجي شبه محدود يمر عبر كل كمية من هذه الكميات التسع بدقة. تُخزّن معلمات الكميات في جدول، ويمكن بعد ذلك استيفاؤه للحصول على قيم وسيطة؛ وتضمن خاصية التحدب المذكورة أعلاه أن تكون هذه القيم ممكنة.

بالنسبة لتطبيق ومجموعة بيانات معينة، اختيار عدد المصطلحات الوصفية${\displaystyle k}$يعتمد ذلك على السياق وقد يتطلب تقديرًا شخصيًا. لاستخلاص المعلومات من الخبراء، عادةً ما تكفي ثلاثة إلى خمسة مصطلحات. أما لاستكشاف البيانات ومطابقة توزيعات احتمالية أخرى، مثل مجموع التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية، فعادةً ما تكفي ثمانية إلى اثني عشر مصطلحًا. تعرض لوحة الميتالوج دوال كثافة الاحتمال الميتالوجية المقابلة لأعداد مختلفة من المصطلحات.${\displaystyle k}$بالنسبة لمجموعة بيانات معينة، قد يُساعد ذلك في هذا التقييم. على سبيل المثال، في لوحة بيانات وزن سمك السلمون المرقط ^{[ 1 ]} ، يُمكن القول إن استخدام أقل من سبعة حدود يُقلل من ملاءمة البيانات عن طريق إخفاء التوزيع الثنائي المتأصل فيها. استخدام أكثر من 11 حدًا غير ضروري، وقد يُؤدي، من حيث المبدأ، إلى مُبالغة في ملاءمة البيانات. أما استخدام 16 حدًا فهو غير عملي لهذه المجموعة من البيانات، كما هو مُبين في الخلية الفارغة في لوحة البيانات. قد تكون أدوات أخرى، مثل التنظيم واختيار النموذج ( معيار معلومات أكايكي ومعيار معلومات بايز )، مفيدة أيضًا. على سبيل المثال، عند تطبيقها على بيانات وزن سمك السلمون المرقط، يُحدد تصنيف معيار معلومات أكايكي لتوزيعات البيانات من 2 إلى 16 حدًا، إلى جانب مجموعة واسعة من التوزيعات الكلاسيكية، أن توزيع البيانات اللوغاريتمي ذو 11 حدًا هو الأنسب لهذه البيانات. وبالمثل، يُحدد تصنيف معيار معلومات بايز توزيع البيانات اللوغاريتمي ذو 10 حدود كأفضل مُلاءمة. يُقدم كيلين (2016) ^{[ 1 ]} وجهات نظر إضافية حول اختيار التوزيع ضمن عائلة البيانات. ^{[ 33 ]}

تنتمي التوزيعات الميتالوجية إلى مجموعة التوزيعات المُعرَّفة بدلالة دالة الكمية ، والتي تشمل التوزيعات المُعَلمة بالكمية ، وتوزيع توكي لامدا ، وتعميمه GLD، ^{[ 34 ]} وتوزيع جوفينداراجولو ^{[ 35 ]} وغيرها. ^{[ 13 ]} وتندرج التوزيعات التالية ضمن عائلة الميتالوج:

• يُعد التوزيع اللوجستي حالة خاصة من الميتالوج غير المحدود حيث${\displaystyle a_{i}=0}$للجميع${\displaystyle i>2}$.
• التوزيع المنتظم هو حالة خاصة من: 1) الميتالوج غير المحدود حيث${\displaystyle k\geq 4}$،${\displaystyle a_{1}=0.5}$،${\displaystyle a_{4}=1}$و${\displaystyle a_{i}=0}$وإلا؛ و2) المَثَلْغ المحدود حيث${\displaystyle k\geq 2}$،${\displaystyle b_{l}=0}$،${\displaystyle b_{u}=1}$،${\displaystyle a_{2}=1}$، و${\displaystyle a_{i}=0}$خلاف ذلك.
• يُعد التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي ، المعروف أيضًا باسم توزيع فيسك في علم الاقتصاد، حالة خاصة من التوزيع اللوجستي الفوقي حيث${\displaystyle b_{l}=0}$، و${\displaystyle a_{i}=0}$للجميع${\displaystyle i>2}$.
• يُعد التوزيع اللوغاريتمي المنتظم حالة خاصة من التوزيع اللوغاريتمي الفائق حيث${\displaystyle k\geq 4}$،${\displaystyle a_{1}=0.5}$،${\displaystyle a_{4}=1}$، و${\displaystyle a_{i}=0}$خلاف ذلك.
• يُعد توزيع اللوجيت اللوجستي ^{[ 36 ]} حالة خاصة من توزيع اللوجيت الفوقي حيث${\displaystyle a_{i}=0}$للجميع${\displaystyle i>2}$.

يمكن استخدام أدوات برمجية متاحة مجاناً للعمل مع توزيعات البيانات الوصفية:

• دفاتر إكسل. من خلال لصق أو كتابة بيانات CDF، يتم عرض البيانات الوصفية (مع اختيار النطاقات) على الفور.
  • يحسب كتاب عمل SPT metalogs ^{[ 37 ]} metalogs المكونة من 2-3 مصطلحات والتي تحددها ثلاثة${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$بيانات CDF.
  • يقوم كتاب عمل Metalogs ^{[ 38 ]} بحساب Metalogs من 2 إلى 16 مصطلحًا (بما في ذلك لوحة Metalog) التي يتم تحديدها بواسطة 2-10000.${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$بيانات CDF.
  • تقوم دفاتر عمل ELD (بيانات متساوية الاحتمال) Metalog ^{[ 39 ]} بحساب Metalogs من 2 إلى 16 مصطلحًا يتم تحديدها بواسطة 2-10000${\displaystyle (x_{i})}$بيانات التوزيع التراكمي، حيث${\displaystyle y_{i}}$يتم حساب لوحة البيانات المعدنية تلقائيًا.
• R. rmetalog ^{[ 40 ]} (على شبكة أرشيف R الشاملة، CRAN ).
• تُحاكي حزمة Pymetalog ^{[ 41 ]} في لغة بايثون حزمة R بشكل كبير. أما حزمة Metalogistic ^{[ 42 ]} فتستفيد من منصة SciPy .
• يُسهّل موقع MakeDistribution.com ^{[ 43 ]} إجراء التجارب على نماذج البيانات الوصفية المُعَلمة بواسطة عدة نقاط بيانات CDF. وتُعدّ كلٌّ من حاسبة نماذج البيانات الوصفية SPT ^{[ 44 ]} ، وحاسبة نماذج البيانات الوصفية ^{[ 45 ]} ، وحاسبة نماذج البيانات الوصفية ELD ^{[ 46 ]} نسخًا إلكترونية من مصنفات Excel.
• تدعم أدوات SIPmath Modeler ^{[ 47 ]} توزيعات البيانات الوصفية في إضافة Excel للمحاكاة.
• برنامج Lumina's Analytica Free 101 ^{[ 48 ]} لنمذجة والمساعدة في اتخاذ القرارات الصعبة.
• يُتيح برنامج Metalog Builder من BayesFusion ^{[ 49 ]} إنشاء توزيعات الميتالوج بشكل تفاعلي. أما برنامج GeNIe من BayesFusion ^{[ 50 ]} (النسخة الأكاديمية منه مجانية للاستخدام في البحث والتدريس الأكاديمي) فيُنفذ توزيعات الميتالوج.

كما تدعم الحزم المتوفرة تجارياً استخدام توزيعات البيانات الوصفية:

• FrontLine Solvers: Analytic Solver، وRASON، وSolver SDK، ^{[ 51 ]} برنامج لتحسين الأداء. يقوم البرنامج تلقائيًا بملاءمة بيانات المستخدم مع النطاق الكامل لتوزيعات الميتالوج (المحدودة وغير المحدودة، ومتعددة الحدود)، ويوفر خيارًا لمقارنة توزيعات الميتالوج مع التوزيعات الكلاسيكية بناءً على معايير جودة الملاءمة التي يحددها المستخدم .
• تحليل لون ستار: برنامج TruNavigator و AnalyticsOS ^{[ 52 ]} للتحليلات التنبؤية والوصفية.

• موقع شركة ميتالوغ للتوزيعات، www.metalogs.org
• قناة Metalog Distributions على يوتيوب، فيديوهات تعليمية