نظرية مونسكي

في الهندسة ، تنص نظرية مونسكي على أنه لا يمكن تقسيم مربع إلى عدد فردي من المثلثات متساوية المساحة. ^{[ 1 ]} بعبارة أخرى، لا يوجد تقسيم متساوي فردي للمربع .

طُرحت المسألة من قبل فريد ريتشمان في المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية عام 1967، بعد أن حلها جون توماس للإحداثيات النسبية، وتم توسيع الحل ليشمل جميع الإحداثيات بواسطة بول مونسكي عام 1970. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} لمزيد من المعلومات حول تاريخ المسألة، انظر Equidissection#Monsky's_theorem .

يجمع برهان مونسكي بين التقنيات التوافقية والجبرية ، ويمكن تلخيصه كما يلي:

1. لنفترض أن المربع هو مربع الوحدة ذو الرؤوس عند (0،  0)، (0،  1)، (1،  0)، و(1،  1). إذا تم تقسيمه إلى n مثلثًا متساوية المساحة، فإن مساحة كل مثلث تساوي 1/ n .
2. قم بتلوين كل نقطة في المربع بأحد الألوان الثلاثة، اعتمادًا على التقييم الثنائي لإحداثياتها.
3. أثبت أن الخط المستقيم لا يمكن أن يحتوي إلا على نقاط بلونين فقط.
4. استخدم ليمّة سبيرنر لإظهار أن كل تثليث للمربع إلى مثلثات تلتقي من حافة إلى حافة يجب أن يحتوي على مثلث واحد على الأقل رؤوسه لها ثلاثة ألوان مختلفة.
5. استنتج من خاصية الخط المستقيم أن المثلث ثلاثي الألوان يجب أن يوجد أيضًا في كل تقسيم للمربع إلى مثلثات، وليس بالضرورة أن تلتقي حوافها ببعضها البعض.
6. استخدم الهندسة الديكارتية لإثبات أن القيمة الثنائية لمساحة المثلث الذي رؤوسه لها ثلاثة ألوان مختلفة أكبر من 1. لذلك، يجب أن يحتوي كل تقسيم للمربع إلى مثلثات على مثلث واحد على الأقل تكون مساحته ذات قيمة ثنائية أكبر من 1.
7. إذا كان n فرديًا، فإن القيمة الثنائية لـ 1/ n هي 1، لذلك من المستحيل تقسيم المربع إلى مثلثات جميعها مساحتها 1/ n . ^{[ 5 ]}

بحسب نظرية مونسكي، يلزم وجود مثلثات بمساحات مختلفة لتقسيم مربع إلى عدد فردي من المثلثات. وقد دُرست الحدود الدنيا لفروق المساحات اللازمة لتقسيم مربع إلى عدد فردي من المثلثات، بالإضافة إلى عمليات التقسيم المثلى. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

بما أن التحويلات الأفينية تحافظ على التقسيمات المتساوية، فإنه يترتب بشكل عام أن متوازيات الأضلاع (الصور الأفينية للمربعات) لا تحتوي أيضًا على تقسيمات متساوية فردية. وبشكل عام، لا تحتوي المضلعات المتناظرة مركزيًا على تقسيمات متساوية فردية، وكذلك متعددات الأضلاع . ^{[ 4 ]}

يمكن تعميم النظرية على أبعاد أعلى: لا يمكن تقسيم مكعب فائق الأبعاد n إلى أجزاء بسيطة متساوية الحجم إلا إذا كان عدد الأجزاء البسيطة من مضاعفات n !. ^{[ 9 ]}