عظام نابير

تحتوي هذه المقالة على العديد من المشكلات. يُرجى المساعدة في تحسينها أو مناقشة هذه المشكلات على صفحة المناقشة . ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسائل ) تتضمن هذه المقالة قائمة مراجع عامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية .يرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم اقتباسات أكثر دقة. ( سبتمبر 2022 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) قد تحتوي هذه المقالة على أمثلة مفرطة أو غير ذات صلة .يرجى المساعدة في تحسين المقالة عن طريق إضافة نص وصفي وإزالة الأمثلة الأقل صلة . ( سبتمبر 2022 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

عظام نابير هي جهاز حسابي يعمل يدويًا ابتكره جون نابير من ميرشيستون باسكتلندا لحساب حاصل ضرب وحاصلات الأرقام. كانت الطريقة تعتمد على الضرب الشبكي ، وتسمى أيضًا علم العِرق ، وهي كلمة اخترعها نابير. نشر نابير نسخته في عام 1617. ^[1] وقد طُبعت في إدنبرة وأهديت إلى راعيه ألكسندر سيتون .

باستخدام جداول الضرب المضمنة في القضبان، يمكن اختزال الضرب إلى عمليات جمع والقسمة إلى عمليات طرح . يمكن من خلال الاستخدام المتقدم للقضبان استخراج الجذور التربيعية . لا تتشابه عظام نابير مع اللوغاريتمات ، التي يرتبط بها اسم نابير أيضًا، ولكنها تستند إلى جداول ضرب مشرحة.

يتضمن الجهاز الكامل عادةً لوحة أساسية ذات حافة؛ يضع المستخدم قضبان نابير والحافة لإجراء الضرب أو القسمة. تنقسم الحافة اليسرى للوحة إلى تسعة مربعات، تحمل الأرقام من 1 إلى 9. في التصميم الأصلي لنابير، تكون القضبان مصنوعة من المعدن أو الخشب أو العاج ولها مقطع عرضي مربع. يتم نقش جدول الضرب على كل قضيب من الوجوه الأربعة. في بعض التصميمات اللاحقة، تكون القضبان مسطحة ولها طاولتان أو واحدة فقط محفورة عليها، ومصنوعة من البلاستيك أو الورق المقوى الثقيل . قد تكون مجموعة من هذه العظام محاطة بحقيبة حمل.

يحتوي وجه القضيب على تسعة مربعات. ينقسم كل مربع باستثناء المربع العلوي إلى نصفين بخط قطري من الزاوية السفلية اليسرى إلى الزاوية العلوية اليمنى. تحتوي المربعات على جدول ضرب بسيط . يحتوي المربع الأول على رقم واحد ، والذي أطلق عليه نابير "الرقم الفردي". تحتوي المربعات الأخرى على مضاعفات الرقم الفردي، أي ضعف الرقم الفردي، وثلاثة أضعاف الرقم الفردي وهكذا حتى المربع التاسع الذي يحتوي على تسعة أضعاف الرقم الموجود في المربع العلوي. تُكتب الأرقام المكونة من رقم واحد في المثلث السفلي الأيمن مع ترك المثلث الآخر فارغًا، بينما تُكتب الأرقام المكونة من رقمين مع رقم على جانبي القطر.

إذا تم وضع الجداول على قضبان ذات جانب واحد، فستكون هناك حاجة إلى 40 قضيبًا لضرب أرقام مكونة من 4 أرقام - نظرًا لأن الأرقام قد تحتوي على أرقام متكررة، فستكون هناك حاجة إلى أربع نسخ من جدول الضرب لكل من الأرقام من 0 إلى 9. إذا تم استخدام قضبان مربعة، فيمكن نقش جداول الضرب الأربعين على 10 قضبان. أعطى نابير تفاصيل عن مخطط لترتيب الجداول بحيث لا يحتوي أي قضيب على نسختين من نفس الجدول، مما يتيح تمثيل كل رقم مكون من أربعة أرقام ممكن بواسطة 4 من القضبان العشرة. تسمح مجموعة من 20 قضيبًا، تتكون من نسختين متطابقتين من قضبان نابير العشرة، بالحساب بأرقام تصل إلى ثمانية أرقام، ويمكن استخدام مجموعة من 30 قضيبًا للأرقام المكونة من 12 رقمًا.

أبسط أنواع الضرب ، وهو ضرب عدد مكون من عدة أرقام في عدد مكون من رقم واحد، يتم عن طريق وضع قضبان تمثل العدد المكون من عدة أرقام في الإطار مقابل الحافة اليسرى. تتم قراءة الإجابة من الصف المقابل للعدد المكون من رقم واحد والمُحدَّد على يسار الإطار، مع قدر بسيط من الجمع المطلوب، كما هو موضح في الأمثلة أدناه.

عند ضرب رقم مكون من عدة أرقام في رقم آخر مكون من عدة أرقام، يتم وضع الرقم الأكبر على القضبان في الإطار. يتم إنتاج نتيجة وسيطة بواسطة الجهاز لضرب كل رقم من أرقام الرقم الأصغر. يتم تدوين هذه النتائج ويتم حساب النتيجة النهائية بالقلم والورق.

لتوضيح كيفية استخدام عظام نابير في عملية الضرب، يتم شرح ثلاثة أمثلة ذات صعوبة متزايدة أدناه.

المثال الأول يحسب 425 × 6 .

توضع عظام نابير للأرقام 4 و2 و5 في اللوحة، بالترتيب . تُظهر هذه العظام الرقم الأكبر الذي سيتم ضربه. الأرقام الموجودة في الأسفل في كل عمود، أو عظمة، هي الأرقام الموجودة في جداول الضرب العادية للعدد الصحيح المقابل، والموجودة أعلى وأسفل خط قطري. (على سبيل المثال، الأرقام الموضحة في الصف السابع من العظمة 4 هي 2 ⁄ 8 ، والتي تمثل 7 × 4 = 28. ) في المثال أدناه لـ 425 × 6 ، يتم تصوير العظام هنا باللون الأحمر (4) والأصفر (2) والأزرق (5).

العمود الأيسر الذي يسبق العظام الموضحة بالألوان قد يمثل العظمة 1. (يجب فهم وجود مساحة فارغة أو صفر في الجزء العلوي الأيسر من كل رقم، مفصولًا بخط قطري، لأن 1 × 1 = 01 ، 1 × 2 = 02 ، 1 × 3 = 03 ، إلخ.) يتم اختيار رقم صغير، عادةً من 2 إلى 9، لضرب الرقم الكبير به. في هذا المثال، الرقم الصغير الذي يتم ضرب الأكبر به هو 6. الصف الأفقي الذي يقع فيه هذا الرقم هو الصف الوحيد المطلوب لإجراء الحسابات المتبقية ويمكن الآن عرضه بمعزل.

بالنسبة للحساب، يتم جمع الأرقام المفصولة بخطوط رأسية (أي المقترنة بين الخطوط القطرية، المتقاطعة من عظمة إلى أخرى) معًا لتشكيل أرقام المنتج. لن يتطلب الرقم الأخير (أقصى اليمين) في هذا الصف أي جمع، لأنه معزول دائمًا بواسطة الخط القطري الأخير، وسيكون دائمًا الرقم الأخير للمنتج. في هذا المثال، هناك أربعة أرقام، نظرًا لوجود أربع مجموعات من قيم العظام تقع بين الخطوط القطرية. ستكون أرقام المنتج بالترتيب المحسوب من اليسار إلى اليمين. بصرف النظر عن الرقم الأول والأخير، ستكون أرقام المنتج كل منها عبارة عن مجموع قيمتين مأخوذتين من عظمتين مختلفتين.

تُجمع قيم العظام معًا، كما هو موضح أعلاه، لإيجاد أرقام حاصل الضرب. في هذا الرسم البياني، يكون الرقم الثالث من حاصل الضرب من العظام الصفراء والزرقاء له قيم ذات صلة ملونة باللون الأخضر. يتم كتابة كل مجموع في المساحة أدناه. ينتج تسلسل المجاميع من اليسار إلى اليمين الرقم 2550. وبالتالي، فإن حل ضرب 425 في 6 هو 2550.

عند الضرب بأرقام مفردة أكبر، من الشائع أنه عند إضافة عمود قطري، فإن مجموع الأرقام يؤدي إلى رقم يساوي 10 أو أكبر.

المثال الثاني يحسب 6785 × 8 .

كما هو الحال في المثال 1، يتم وضع العظام المقابلة لأكبر عدد على اللوحة. في هذا المثال، تم وضع العظام 6 و7 و8 و5 بالترتيب الصحيح كما هو موضح أدناه.

في العمود الأول، يوجد الرقم الذي يتم ضرب أكبر رقم به. في هذا المثال، كان الرقم 8. سيتم استخدام الصف 8 فقط للحسابات المتبقية، لذا تم مسح بقية اللوحة لتسهيل شرح الخطوات المتبقية.

كما في السابق، يتم تقييم كل عمود قطري، بدءًا من الجانب الأيمن. إذا كان مجموع العمود القطري يساوي 10 أو أكبر، فيجب نقل خانة "العشرات" من هذا المجموع وإضافتها مع الأرقام الموجودة في العمود الأيسر المجاور كما هو موضح أدناه.

بعد تقييم كل عمود قطري، تتم قراءة الأرقام المحسوبة من اليسار إلى اليمين لإنتاج الإجابة النهائية؛ في هذا المثال، تم إنتاج 54280.

وبالتالي: الحل لضرب 6785 في 8 هو 54280.

المثال الثالث يحسب 825 × 913 .

يتم وضع العظام المقابلة للرقم الرئيسي على اللوحة. في هذا المثال، تم وضع العظام 8 و2 و5 بالترتيب الصحيح كما هو موضح أدناه.

لضرب عدد مكون من عدة أرقام، تتم مراجعة عدة صفوف. في هذا المثال، تمت إزالة الصفوف الخاصة بالأرقام 9 و1 و3 من اللوحة من أجل التوضيح.

يتم تقييم كل صف على حدة، ويتم إضافة كل عمود قطري كما هو موضح في الأمثلة السابقة. تتم قراءة المجاميع من اليسار إلى اليمين، مما ينتج عنه الأرقام اللازمة لحسابات الجمع الطويلة. في هذا المثال، تم تقييم الصف 9 والصف 1 والصف 3 بشكل منفصل لإنتاج النتائج الموضحة أدناه.

بدءًا من الرقم الأيمن من الرقم الثاني، يتم وضع المبالغ من الصفوف بالترتيب المتسلسل كما هو موضح من اليمين إلى اليسار تحت بعضها البعض مع استخدام الرقم 0 كعلامة مكان.

   2475 
   825 0
  7425 00

يتم جمع الصفوف وعناصر المكان للحصول على الإجابة النهائية.

    2475
    8250
+ 742500 
  753225

في هذا المثال، كانت الإجابة النهائية الناتجة هي 753225. وبالتالي: الحل لضرب 825 في 913 هو 753225.

يتم إجراء القسمة بطريقة مماثلة. لقسمة 46785399 على 96431، يتم وضع أشرطة المقسوم (96431) على اللوحة، كما هو موضح في الرسم البياني أدناه. باستخدام العداد ، يتم العثور على جميع منتجات المقسوم من 1 إلى 9 من خلال قراءة الأرقام المعروضة. لاحظ أن المقسوم عليه يحتوي على ثمانية أرقام، في حين أن المنتجات الجزئية (باستثناء الرقم الأول) تحتوي جميعها على ستة أرقام. لذلك يتم تجاهل الرقمين الأخيرين من 46785399، أي "99"، مؤقتًا، مما يترك الرقم 467853. بعد ذلك، يتم العثور على أكبر حاصل جزئي أقل من المقسوم المقطوع. في هذه الحالة، 385724. يجب تحديد شيئين، كما هو موضح في الرسم البياني: نظرًا لأن 385724 موجود في الصف "4" من العداد، يتم تحديد "4" باعتباره الرقم الموجود في أقصى يسار الحاصل؛ يُكتب أيضًا حاصل الضرب الجزئي، المحاذي لليسار، أسفل المقسوم الأصلي. يُطرح الحدان، مما يترك 8212999. تُكرر نفس الخطوات: يُقتطع الرقم إلى ستة أرقام، ويُختار حاصل الضرب الجزئي الأقل مباشرةً من الرقم المقطوع، ويُكتب رقم الصف كرقم تالٍ للحاصل، ويُطرح حاصل الضرب الجزئي من الفرق الموجود في التكرار الأول. تظهر العملية في الرسم التخطيطي. تُكرر الدورة حتى تصبح نتيجة الطرح أقل من المقسوم عليه. الرقم المتبقي هو الباقي.

لذا في هذا المثال، ما تبقى هو حاصل قسمة 485 مع باقي 16364. تتوقف العملية عادةً هنا وتستخدم الإجابة الشكل الكسري ⁠485+16364/96431⁠ .

لمزيد من الدقة، تستمر الدورة للعثور على أكبر عدد ممكن من الأماكن العشرية المطلوبة. يتم وضع علامة عشرية بعد الرقم الأخير من الحاصل ويتم إلحاق صفر بالباقي الذي يترك 163640. تستمر الدورة، مع إلحاق صفر في كل مرة بالنتيجة بعد الطرح.

لاستخراج الجذر التربيعي يتم استخدام عظمة إضافية تختلف عن العظام الأخرى حيث تحتوي على ثلاثة أعمدة، العمود الأول يحتوي على أول تسعة أرقام مربعة، العمود الثاني يحتوي على أول تسعة أرقام زوجية، والعمود الأخير يحتوي على الأرقام من 1 إلى 9.

لإيجاد الجذر التربيعي للعدد 46785399، يتم تجميع أرقامه في اثنينات بدءًا من اليمين حتى يبدو الأمر كما يلي:

46 78 53 99

ملاحظة: سيتم تجميع الرقم الذي يحتوي على عدد فردي من الأرقام مثل 85399 على أنه 08 53 99

يتم اختيار المجموعة الموجودة في أقصى اليسار أولاً، في هذه الحالة 46. يتم اختيار أكبر مربع على عظم الجذر التربيعي أقل من 46، وهو 36 من الصف السادس. الرقم الأول من الحل هو 6، حيث تم اختيار الصف السادس.

ثم يتم وضع الرقم الموجود في العمود الثاني من الصف السادس على عظم الجذر التربيعي، وهو 12، على السبورة.

يتم طرح القيمة الموجودة في العمود الأول من الصف السادس، 36، من 46، مما يترك 10.

المجموعة التالية من الأرقام، 78، تضاف بجوار 10؛ وهذا يترك الباقي 1078.

في هذه المرحلة، يجب أن تبدو حسابات اللوحة والحسابات الوسيطة على النحو التالي:

        √ 46 78 53 99     = 6
       - 36
         10 78

الأرقام في كل صف "مقروءة"، متجاهلة العمودين الثاني والثالث من عظم الجذر التربيعي؛ حيث يتم تسجيلها. (على سبيل المثال، يُقرأ الصف السادس على النحو التالي: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 ).

كما هو الحال في الضرب الموضح سابقًا، يتم قراءة الأرقام من اليمين إلى اليسار وإضافة الأرقام القطرية من أعلى اليمين إلى اليسار إلى الأسفل ( 6 + 0 = 6 ؛ 3 + 2 = 5 ؛ 1 + 6 = 7 ).

يتم العثور على أكبر عدد أقل من الباقي الحالي، 1078 (من الصف الثامن).

        √ 46 78 53 99     = 6 8 
       − 36
         10 78
       - 10 24
             54

كما في السابق، يتم إلحاق الرقم 8 للحصول على الرقم التالي من الجذر التربيعي ويتم طرح قيمة الصف الثامن، 1024، من الباقي الحالي، 1078، للحصول على 54. يتم قراءة العمود الثاني من الصف الثامن على عظم الجذر التربيعي، 16، ويتم تعيين الرقم على اللوحة على النحو التالي.

الرقم الحالي على اللوحة هو 12. تتم إضافة الرقم الأول من 16 إلى 12، ويتم إلحاق الرقم الثاني من 16 بالنتيجة. لذا يجب ضبط اللوحة على:

12 + 1 = 13 → أضف 6 → 136

ملاحظة: إذا كان العمود الثاني من عظم الجذر التربيعي يحتوي على رقم واحد فقط، فسيتم إلحاق هذا الرقم بالرقم الحالي الموجود على اللوحة.

الآن تبدو الحسابات الوسيطة واللوحة بهذا الشكل.

        √ 46 78 53 99     = 68
       - 36
         10 78
       - 10 24
            54 53

مرة أخرى، تم العثور على الصف الذي يحمل أكبر قيمة أقل من الباقي الجزئي الحالي، 5453. هذه المرة، هو الصف الثالث الذي يحمل 4089.

        √ 46 78 53 99     = 68 3 
       − 36
         10 78
       - 10 24
            54 53
          - 40 89
             13 64

الرقم التالي للجذر التربيعي هو 3. تُكرر نفس الخطوات السابقة ويُطرح 4089 من الباقي الحالي، 5453، للحصول على 1364 باعتباره الباقي التالي. عند إعادة ترتيب اللوحة، يكون العمود الثاني من عظم الجذر التربيعي هو 6، وهو رقم واحد. لذا يُضاف 6 إلى الرقم الحالي على اللوحة، 136، لترك 1366 على اللوحة.

136 → إضافة 6 → 1366

        √ 46 78 53 99     = 683
       - 36
         10 78
       - 10 24
            54 53
          - 40 89
            13 64 99

تتكرر العملية مرة أخرى. الآن، أكبر قيمة على اللوحة أصغر من الباقي الحالي، 136499، هي 123021 من الصف التاسع.

غالبًا ما لا يلزم معرفة قيمة كل صف للحصول على الإجابة. يمكن تخمين الصف الذي يحتوي على الإجابة من خلال النظر إلى الرقم الموجود على العظام القليلة الأولى ومقارنته بالأرقام القليلة الأولى من الباقي. لكن المخططات توضح قيمة جميع الصفوف لجعلها مفهومة.

يتم إضافة 9 إلى النتيجة ويتم طرح 123021 من الباقي الحالي.

        √ 46 78 53 99     = 683 9 
       − 36
         10 78
       - 10 24
            54 53
          - 40 89
            13 64 99
          - 12 30 21
              1 34 78

إذا تم استخدام جميع الأرقام، وتم ترك الباقي، فسيتم حل الجزء الصحيح، ولكن لا يزال يتعين العثور على الجزء الكسري.

إذا تم حل الجزء الصحيح، فيجب أن يكون مربع النتيجة الحالية ( 6839 ² = 46771921 ) أكبر مربع مثالي أصغر من 46785899.

يتم استخدام هذه الفكرة لاحقًا لفهم كيفية عمل التقنية، ولكن يمكن إنشاء المزيد من الأرقام.

على غرار إيجاد الجزء الكسري في القسمة الطويلة ، يتم إضافة صفرين إلى الباقي للحصول على الباقي الجديد 1347800. العمود الثاني من الصف التاسع من عظم الجذر التربيعي هو 18 والرقم الحالي على السبورة هو 1366.

1366 + 1 → 1367 → إضافة 8 → 13678

يتم حسابها لتعيين 13678 على اللوحة.

الآن تبدو الحسابات الوسيطة واللوحة على هذا النحو.

        √ 46 78 53 99.00     = 6839.
       - 36
         10 78
       - 10 24
            54 53
          - 40 89
            13 64 99
          - 12 30 21
             1 34 78 00

الصف التاسع الذي يحتوي على 1231101 هو أكبر قيمة وأصغر من الباقي، وبالتالي فإن الرقم الأول من الجزء الكسري من الجذر التربيعي هو 9.

        √ 46 78 53 99.00     = 6839. 9 
       − 36
         10 78
       - 10 24
            54 53
          - 40 89
            13 64 99
          - 12 30 21
             1 34 78 00
           - 1 23 11 01
                11 66 99

يتم طرح قيمة الصف التاسع من الباقي وإضافة بضعة أصفار أخرى للحصول على الباقي الجديد 11669900. العمود الثاني في الصف التاسع هو 18 مع 13678 على السبورة، لذا

13678 + 1 → 13679 → إضافة 8 → 136798

يتم حسابه لتعيين 136798 على اللوحة.

        √ 46 78 53 99.00 00     = 6839.9
       - 36
         10 78
       - 10 24
            54 53
          - 40 89
            13 64 99
          - 12 30 21
             1 34 78 00
           - 1 23 11 01
               11 66 99 00

يمكن متابعة الخطوات للعثور على العدد المطلوب من الأرقام، وإذا تم تحقيق الدقة المطلوبة. إذا أصبح الباقي صفرًا، فهذا يعني أنه تم العثور على الجذر التربيعي الدقيق.

بعد العثور على العدد المطلوب من الأرقام، من السهل تحديد ما إذا كان يحتاج إلى التقريب لأعلى أم لا؛ أي تغيير الرقم الأخير. لا يلزم العثور على رقم آخر لمعرفة ما إذا كان يساوي أو أكبر من 5. يتم إلحاق 25 بالجذر ومقارنته بالباقي؛ إذا كان أقل من أو يساوي الباقي، فسيكون الرقم التالي خمسة على الأقل ويكون التقريب لأعلى مطلوبًا. في المثال أعلاه، 6839925 أقل من 11669900، لذا يجب تقريب الجذر لأعلى إلى 6840.0.

للعثور على الجذر التربيعي لرقم ليس عددًا صحيحًا، على سبيل المثال 54782.917، كل شيء هو نفسه، باستثناء أن الأرقام على يسار ويمين النقطة العشرية يتم تجميعها في اثنين.

لذلك سيتم تجميع 54782.917 على النحو التالي

05 47 82.91 70

ومن ثم يمكن إيجاد الجذر التربيعي باستخدام العملية المذكورة سابقًا.

خلال القرن التاسع عشر، تم تحويل عظام نابير لتسهيل قراءتها. تم صنع القضبان بزاوية حوالي 65 درجة بحيث يتم محاذاة المثلثات التي يجب إضافتها. في هذه الحالة، في كل مربع من القضيب تكون الوحدة إلى اليمين والعشرة (أو الصفر) إلى اليسار.

تم تصميم القضبان بحيث تكون الخطوط الرأسية والأفقية أكثر وضوحًا من الخط الذي تلامس فيه القضبان، مما يجعل قراءة المكونين لكل رقم من النتيجة أسهل. وبالتالي، يتضح على الفور في الصورة ما يلي:

987654321 × 5 = 4938271605

في عام 1891، اخترع هنري جينيل نسخة مختلفة من عظام نابير والتي أصبحت تُعرف باسم مسطرة جينيل-لوكاس . من خلال تمثيل الحمل بيانيًا، يمكن قراءة نتائج مسائل الضرب البسيطة مباشرةً، دون الحاجة إلى حسابات ذهنية وسيطة. ^[2]

يحسب المثال التالي 52749 × 4 = 210996 .

• حاسبة الشرائح
• حكام جينايل-لوكاس
• حاسبة باسكال
• مسطرة حاسبة

• الوسائط المتعلقة بعظام نابير في ويكيميديا ​​كومنز
• تنفيذ عرض ولفرام لعظام نابير في أنظمة أعداد مختلفة في موقع قطع العقدة
• نابير وعظام أخرى والعديد من الآلات الحاسبة

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate