منحنى متوازٍ

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 106 صور
الموسوعة الحرة
تعريفان للمنحنى المتوازي: 1) غلاف لمجموعة من الدوائر المتطابقة، 2) بمسافة عمودية ثابتة

المنحنى الموازي لمنحنى أصلي هو غلاف مجموعة من الدوائر المتطابقة (متساوية الأقطار) المتمركزة حول المنحنى. وهو تعميم لمفهوم الخطوط المتوازية (المستقيمة) . ويمكن تعريفه أيضًا بأنه منحنى تقع نقاطه على مسافة عمودية ثابتة من منحنى أصلي. [ 1 ] هذان التعريفان ليسا متطابقين تمامًا، إذ يفترض التعريف الثاني سلاسة المنحنى ، بينما لا يفترضها التعريف الأول. [ 2 ]

في التصميم بمساعدة الحاسوب، يُفضّل استخدام مصطلح " منحنى الإزاحة" للإشارة إلى المنحنى المتوازي . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] (في سياقات هندسية أخرى، قد يشير مصطلح "الإزاحة" إلى الانتقال ؛ ومع ذلك، قد يكون للمنحنى المتوازي شكل مختلف عن شكله الأصلي. [ 5 ] ) تُعدّ منحنيات الإزاحة مهمة، على سبيل المثال، في عمليات التشغيل الآلي المُتحكّم بها رقميًا (NC) ، حيث تصف، على سبيل المثال، شكل القطع الذي تُحدثه أداة قطع دائرية في آلة ثنائية المحاور. ينحرف شكل القطع عن مسار أداة القطع بمسافة ثابتة في الاتجاه العمودي على مسار أداة القطع عند كل نقطة. [ 6 ]

في مجال رسومات الحاسوب ثنائية الأبعاد المعروفة باسم الرسومات المتجهة ، يتضمن أحد عمليات الرسم الأساسية، والتي تسمى التخطيط، الحساب (التقريبي) للمنحنيات المتوازية، والذي يتم تطبيقه عادةً على الخطوط المتعددة أو منحنيات بيزير المتعددة (التي تسمى بدورها مسارات) في هذا المجال. [ 7 ]

المنحنيات المتوازية في الرسم البياني لـy=1.5الخطيئة⁡(x){\displaystyle y=1.5\sin(x)}(باللون الأحمر) للمسافاتد=0.25،...،1.5{\displaystyle d=0.25,\dots ,1.5}

باستثناء حالة الخط أو الدائرة ، تتميز المنحنيات المتوازية ببنية رياضية أكثر تعقيدًا من المنحنى الأصلي. [ 1 ] على سبيل المثال، حتى لو كان المنحنى الأصلي أملسًا ، فقد لا تكون إزاحاته كذلك؛ وتوضح هذه الخاصية في الشكل العلوي، باستخدام منحنى جيبي كمنحنى أصلي. [ 2 ] بشكل عام، حتى لو كان المنحنى كسريًا ، فقد لا تكون إزاحاته كسرية. على سبيل المثال، إزاحات القطع المكافئ هي منحنيات كسرية، لكن إزاحات القطع الناقص أو القطع الزائد ليست كسرية، على الرغم من أن هذه المنحنيات الأصلية نفسها كسرية. [ 3 ]

ينطبق هذا المفهوم أيضًا على الأسطح ثلاثية الأبعاد ، حيث يُطلق عليها اسم سطح الإزاحة أو السطح الموازي . [ 8 ] تُسمى زيادة حجم جسم صلب بمقدار إزاحة (ثابتة) أحيانًا بالتمدد (على غرار عملية تمدد الصورة). [ 9 ] وتُسمى العملية المعاكسة أحيانًا بالتقشير . [ 8 ] تُعد أسطح الإزاحة مهمة في التحكم العددي، حيث تصف شكل القطع الذي تُجريه قاطعة كروية الطرف في آلة ثلاثية المحاور. [ 10 ] يمكن نمذجة أشكال أخرى لريش القطع رياضيًا باستخدام أسطح إزاحة عامة. [ 11 ]

منحنى موازٍ لمنحنى معطى بارامتريًا

إذا كان هناك تمثيل بارامتري منتظمx→=(x(ت)،y(ت)){\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}بالنسبة للمنحنى المعطى المتاح، فإن التعريف الثاني للمنحنى المتوازي (المذكور أعلاه) يؤدي إلى التمثيل البارامتري التالي للمنحنى المتوازي مع المسافة|د|{\displaystyle |d|}:

x→د(ت)=x→(ت)+دن→(ت){\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}مع الوحدة العاديةن→(ت){\displaystyle {\vec {n}}(t)}.

في الإحداثيات الديكارتية:

xد(ت)=x(ت)+دy′(ت)x′(ت)2+y′(ت)2{\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}
yد(ت)=y(ت)-دx′(ت)x′(ت)2+y′(ت)2 .{\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}

معامل المسافةد{\displaystyle d}قد تكون القيمة سالبة. في هذه الحالة، نحصل على منحنى موازٍ على الجانب المقابل للمنحنى الأصلي (انظر الرسم التوضيحي للمنحنيات المتوازية للدائرة). يمكن التحقق بسهولة من أن المنحنى الموازي لخط مستقيم هو خط مستقيم موازٍ بالمعنى المتعارف عليه، وأن المنحنى الموازي لدائرة هو دائرة متحدة المركز.

الخصائص الهندسية

المصدر: [ 12 ]

  • x→د′(ت)∥x→′(ت)،{\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }وهذا يعني: أن متجهات المماس لمعامل ثابت تكون متوازية.
  • كد(ت)=ك(ت)1+دك(ت)،{\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }معك(ت){\displaystyle k(t)}انحناء المنحنى المعطى وكد(ت){\displaystyle k_{d}(t)}انحناء المنحنى الموازي للمعاملت{\displaystyle t}.
  • Rد(ت)=R(ت)+د،{\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }معR(ت){\displaystyle R(t)}نصف قطر انحناء المنحنى المعطى وRد(ت){\displaystyle R_{d}(t)}نصف قطر انحناء المنحنى الموازي للمعاملت{\displaystyle t}.
  • عندما توجد هذه الدوائر، تكون الدوائر المتلامسة مع المنحنيات المتوازية عند النقاط المتناظرة متحدة المركز. [ 13 ]
  • أما بالنسبة للخطوط المتوازية ، فإن الخط العمودي على منحنى ما يكون عمودياً أيضاً على الخطوط الموازية له.
  • عند إنشاء منحنيات متوازية، ستكون لها نقاط انعطاف عندما تتطابق المسافة من المنحنى مع نصف قطر انحنائه . هذه هي النقاط التي يلامس فيها المنحنى سطح التطور .
  • إذا كان المنحنى الأصلي هو حدود مجموعة مستوية وكان منحنى التوازي الخاص به بدون تقاطعات ذاتية، فإن الأخير هو حدود مجموع مينكوفسكي للمجموعة المستوية والقرص ذي نصف القطر المعطى.

إذا كان المنحنى المعطى متعدد الحدود (بمعنى أنx(ت){\displaystyle x(t)}وy(ت){\displaystyle y(t)}إذا كانت الدوال متعددة الحدود، فإن المنحنيات المتوازية عادةً لا تكون متعددة الحدود. يُعدّ هذا عيبًا في مجال التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، لأن أنظمة CAD تستخدم دوال متعددة الحدود أو منحنيات كسرية. وللحصول على منحنيات كسرية على الأقل، يجب أن يكون الجذر التربيعي لتمثيل المنحنى المتوازي قابلاً للحل. تُسمى هذه المنحنيات منحنيات هودوغراف فيثاغورس، وقد درسها آر تي فاروقي. [ 14 ]

منحنيات متوازية لمنحنى ضمني

منحنيات متوازية للمنحنى الضمني (باللون الأحمر) مع المعادلةx4+y4-1=0{\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0}

لا تمتلك جميع المنحنيات الضمنية منحنيات متوازية ذات تمثيلات تحليلية، ولكن هذا ممكن في بعض الحالات الخاصة. على سبيل المثال، تُعد منحنيات هودوغراف فيثاغورس منحنيات كسرية ذات منحنيات متوازية كسرية، والتي يمكن تحويلها إلى تمثيلات ضمنية. ومن أنواع المنحنيات الكسرية الضمنية الأخرى ذات المنحنيات المتوازية الكسرية القطع المكافئ . [ 15 ] أما في الحالات الأبسط، كالخطوط والدوائر، فيمكن وصف المنحنيات المتوازية بسهولة. على سبيل المثال:

خطو(x،y)=x+y-1=0{\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}→ دالة المسافة:ح(x،y)=x+y-12=د{\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}(صيغة هيس الطبيعية)
دائرةو(x،y)=x2+y2-1=0{\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}→ دالة المسافة:ح(x،y)=x2+y2-1=د.{\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}

بشكل عام، وبافتراض شروط معينة، يمكن إثبات وجود دالة مسافة موجهة.ح(x،y){\displaystyle h(x,y)}عمليًا، يجب التعامل معها عدديًا. [ 16 ] عند النظر إلى المنحنيات المتوازية، يكون ما يلي صحيحًا:

  • المنحنى الموازي للمسافة d هو مجموعة المستوىح(x،y)=د{\displaystyle h(x,y)=d}دالة المسافة الموجهة المقابلةح{\displaystyle h}.

خصائص دالة المسافة

المصدر: [ 12 ] [ 17 ]

  • |خريج⁡ح(x→)|=1،{\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}
  • ح(x→+دخريج⁡ح(x→))=ح(x→)+د،{\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}
  • خريج⁡ح(x→+دخريج⁡ح(x→))=خريج⁡ح(x→).{\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}

مثال: يوضح الرسم البياني منحنيات متوازية للمنحنى الضمني ذي المعادلةو(x،y)=x4+y4-1=0.{\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}ملاحظة: المنحنياتو(x،y)=x4+y4-1=د{\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}ليست منحنيات متوازية، لأن|خريج⁡و(x،y)|=1{\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}هذا غير صحيح في مجال الاهتمام.

أمثلة أخرى

المنحنيات الملتفة للدائرة
  • المنحنيات المتداخلة لمنحنى معين هي مجموعة من المنحنيات المتوازية. على سبيل المثال: المنحنيات المتداخلة للدائرة هي حلزونات متوازية (انظر الرسم التوضيحي).

و: [ 18 ]

منحنى موازٍ لمنحنى ذي زاوية

منحنيات متوازية لمنحنى ذي متجه عمودي غير متصل حول زاوية

عند تحديد مسار القطع لجزء ذي زاوية حادة في عملية التشغيل الآلي ، يجب تحديد المنحنى الموازي (المزاح) للمنحنى الأصلي الذي يكون له متجه عمودي غير متصل عند الزاوية. مع أن المنحنى الأصلي ليس أملسًا عند الزاوية الحادة، إلا أن المنحنى الموازي له قد يكون أملسًا بمتجه عمودي متصل، أو قد يحتوي على نقاط حادة عندما تتطابق المسافة من المنحنى الأصلي مع نصف قطر الانحناء عند الزاوية الحادة.

كما هو موضح أعلاه ، فإن التمثيل البارامتري لمنحنى متوازي،x→د(ت){\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}بالنسبة لمنحنى معين،x→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t)}، مع المسافة|د|{\displaystyle |d|}يكون:

x→د(ت)=x→(ت)+دن→(ت){\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}مع الوحدة العاديةن→(ت){\displaystyle {\vec {n}}(t)}.

عند زاوية حادة (ت=تج{\displaystyle t=t_{c}}), الطبيعي إلىx→(تج){\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}مقدم منن→(تج){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}غير متصل، أي أن الحد من جانب واحد للعمودي من اليسارن→(تج-){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}لا يساوي النهاية من اليمينن→(تج+){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}رياضياً،

ن→(تج-)=ليمت→تج-ن→(ت)≠ن→(تج+)=ليمت→تج+ن→(ت){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}.
مروحة عادية لتحديد المنحنيات المتوازية حول زاوية حادة

ومع ذلك، يمكننا تعريف المروحة العادية [ 11 ]ن→و(α){\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}يوفر ذلك وسيطًا بينن→(تج-){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}ون→(تج+){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}، واستخدامن→و(α){\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}بدلاً منن→(تج){\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}عند الزاوية الحادة:

ن→و(α)=(1-α)ن→(تج-)+αن→(تج+)‖(1-α)ن→(تج-)+αن→(تج+)‖،{\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }أين0<α<1{\displaystyle 0<\alpha <1}.

التعريف الناتج للمنحنى المتوازيx→د(ت){\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}يوفر السلوك المطلوب:

x→د(ت)={x→(ت)+دن→(ت)،لو ت<تج أو ت>تجx→(تج)+دن→و(α)،لو ت=تج أين 0<α<1{\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}

الخوارزميات

بشكل عام، لا يُعد المنحنى الموازي لمنحنى بيزير منحنى بيزير آخر، وهي نتيجة أثبتها تيلر وهانسون عام 1984. [ 19 ] لذا، تُستخدم تقنيات التقريب عمليًا. يُمكن تحقيق أي مستوى دقة مطلوب بتقسيم المنحنى بشكل متكرر، مع أن التقنيات الأفضل تتطلب عددًا أقل من التقسيمات للوصول إلى نفس مستوى الدقة. وقد حظيت دراسة استقصائية أجراها إلبر ولي وكيم عام 1997 [ 20 ] باهتمام واسع، على الرغم من اقتراح تقنيات أفضل مؤخرًا. نُشرت تقنية حديثة تعتمد على مُلاءمة المنحنيات ، مع مراجع ومقارنات مع خوارزميات أخرى، بالإضافة إلى شفرة مصدرية مفتوحة المصدر بلغة جافا سكريبت، في مدونة [ 21 ] في سبتمبر 2022.

هناك خوارزمية فعالة أخرى للإزاحة وهي طريقة المستوى التي وصفها كيميل وبروكستين (1993). [ 22 ]

الأسطح المتوازية (المزاحة)

سطح منحرف ذو شكل غير منتظم معقد

تُعدّ الأسطح المُزاحة مهمة في عمليات التشغيل الآلي المُتحكَّم بها رقميًا ، حيث تصف شكل القطع الذي تُجريه قاطعة كروية الطرف في آلة طحن ثلاثية المحاور. [ 10 ] إذا كان هناك تمثيل بارامتري منتظمx→(u،v)=(x(u،v)،y(u،v)،z(u،v)){\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}بالنسبة للسطح المتاح المعطى، فإن التعريف الثاني للمنحنى المتوازي (انظر أعلاه) يعمم إلى التمثيل البارامتري التالي للسطح المتوازي مع المسافة|د|{\displaystyle |d|}:

x→د(u،v)=x→(u،v)+دن→(u،v){\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}مع الوحدة العاديةن→د(u،v)=∂x→∂u×∂x→∂v|∂x→∂u×∂x→∂v|{\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}.

معيار المسافةد{\displaystyle d}قد تكون سالبة أيضًا. في هذه الحالة، نحصل على سطح موازٍ على الجانب المقابل للسطح (انظر الرسم التوضيحي المماثل للمنحنيات المتوازية للدائرة). يمكن التحقق من ذلك بسهولة: السطح الموازي لمستوى هو مستوى موازٍ بالمعنى المتعارف عليه، والسطح الموازي للكرة هو كرة متحدة المركز.

الخصائص الهندسية

المصدر: [ 23 ]

  • ∂x→د∂u∥∂x→∂u،∂x→د∂v∥∂x→∂v،{\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }وهذا يعني: أن متجهات المماس للمعاملات الثابتة متوازية.
  • ن→د(u،v)=±ن→(u،v)،{\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }وهذا يعني: أن المتجهات العمودية للمعاملات الثابتة تتطابق في الاتجاه.
  • Sد=(1+دS)-1S،{\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }أينSد{\displaystyle S_{d}}وS{\displaystyle S}هي عوامل الشكل لـx→د{\displaystyle {\vec {x}}_{d}}وx→{\displaystyle {\vec {x}}}، على التوالى.
الانحناءات الرئيسية هي القيم الذاتية لمؤثر الشكل ، واتجاهات الانحناء الرئيسية هي متجهاته الذاتية ، وانحناء غاوس هو محدده ، ومتوسط ​​الانحناء هو نصف أثره .
  • Sد-1=S-1+دأنا،{\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }أينSد-1{\displaystyle S_{d}^{-1}}وS-1{\displaystyle S^{-1}}هي معكوسات عوامل الشكل لـx→د{\displaystyle {\vec {x}}_{d}}وx→{\displaystyle {\vec {x}}}، على التوالى.
إن أنصاف أقطار الانحناء الرئيسية هي القيم الذاتية لمعكوس عامل الشكل ، واتجاهات الانحناء الرئيسية هي متجهاته الذاتية ، ومقلوب انحناء غاوس هو محدده ، ومتوسط ​​نصف قطر الانحناء هو نصف أثره .

لاحظ التشابه مع الخصائص الهندسية للمنحنيات المتوازية .

التعميمات

يمكن تعميم هذه المشكلة بسهولة إلى أبعاد أعلى، مثل الأسطح المزاحة، وبشكل أقل وضوحًا إلى أسطح الأنابيب . [ 24 ] تجدر الإشارة إلى أن المصطلحات المستخدمة في النسخ ذات الأبعاد الأعلى تختلف على نطاق أوسع مما هي عليه في الحالة المستوية، حيث يتحدث مؤلفون آخرون عن الألياف المتوازية والأشرطة والأنابيب. [ 25 ] بالنسبة للمنحنيات المضمنة في أسطح ثلاثية الأبعاد، يمكن أخذ الإزاحة على طول خط جيوديسي . [ 26 ]

ثمة طريقة أخرى لتعميم ذلك (حتى في بُعدين) وهي اعتبار مسافة متغيرة، مثلاً مُعَلمة بمنحنى آخر. [ 23 ] يمكن، على سبيل المثال، رسم خط (مغلف) باستخدام شكل بيضاوي بدلاً من دائرة [ 23 ] كما هو ممكن في METAFONT على سبيل المثال . [ 27 ]

غلاف من القطع الناقصة يشكل منحنيين إزاحة عامين أعلى وأسفل منحنى معين

أضاف برنامج Adobe Illustrator مؤخرًا ميزة مشابهة إلى حد ما في الإصدار CS5 ، مع أن نقاط التحكم في العرض المتغير تُحدد بصريًا. [ 28 ] في الحالات التي يكون فيها التمييز بين إزاحة المسافة الثابتة والمتغيرة مهمًا، يُستخدم أحيانًا الاختصاران CDO وVDO. [ 9 ]

منحنيات الإزاحة العامة

افترض أن لديك تمثيلًا بارامتريًا منتظمًا لمنحنى،x→(ت)=(x(ت)،y(ت)){\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}ولديك منحنى ثانٍ يمكن تحديده بواسطة متجه الوحدة العمودي عليه،د→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}، حيث يكون الوضع الطبيعي لـد→(ن→)=ن→{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}(يوجد هذا التمثيل البارامتري بواسطة المتجه العمودي للمنحنيات التي يكون انحناؤها موجبًا أو سالبًا تمامًا، وبالتالي تكون محدبة، وملساء، وليست مستقيمة). التمثيل البارامتري لمنحنى الإزاحة العام لـx→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t)}تم تعويضها بواسطةد→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}يكون:

x→د(ت)=x→(ت)+د→(ن→(ت))،{\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }أينن→(ت){\displaystyle {\vec {n}}(t)}هو المعيار الطبيعي للوحدة لـx→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t)}.

لاحظ أن الإزاحة التافهة،د→(ن→)=دن→{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}، مما يمنحك منحنيات متوازية عادية (أو منحنيات إزاحة).

الخصائص الهندسية

المصدر: [ 23 ]

  • x→د′(ت)∥x→′(ت)،{\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }وهذا يعني: أن متجهات المماس لمعامل ثابت تكون متوازية.
  • أما بالنسبة للخطوط المتوازية ، فإن العمودي على المنحنى يكون أيضاً عمودياً على إزاحاته العامة.
  • كد(ت)=ك(ت)1+ك(ت)كن(ت)،{\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }معكد(ت){\displaystyle k_{d}(t)}انحناء منحنى الإزاحة العام ،ك(ت){\displaystyle k(t)}انحناءx→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t)}، وكن(ت){\displaystyle k_{n}(t)}انحناءد→(ن→(ت)){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}للمعاملت{\displaystyle t}.
  • Rد(ت)=R(ت)+Rن(ت)،{\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }معRد(ت){\displaystyle R_{d}(t)}نصف قطر انحناء منحنى الإزاحة العام،R(ت){\displaystyle R(t)}نصف قطر انحناءx→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t)}، وRن(ت){\displaystyle R_{n}(t)}نصف قطر انحناءد→(ن→(ت)){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}للمعاملت{\displaystyle t}.
  • عند إنشاء منحنيات الإزاحة العامة، ستظهر فيها نقاط انعطاف حادة عندما يتطابق انحناء المنحنى مع انحناء الإزاحة. هذه هي النقاط التي يلامس فيها المنحنى منحنى التطور .

أسطح الإزاحة العامة

تصف الأسطح ذات الإزاحة العامة شكل القطع التي تُجرى بواسطة مجموعة متنوعة من رؤوس القطع المستخدمة في قواطع الطحن ثلاثية المحاور في عمليات التشغيل الآلي التي يتم التحكم فيها رقميًا . [ 11 ] افترض أن لديك تمثيلًا بارامتريًا منتظمًا لسطح ما،x→(u،v)=(x(u،v)،y(u،v)،z(u،v)){\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}ويكون لديك سطح ثانٍ يمكن تحديده بواسطة متجه الوحدة العمودي عليه،د→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}، حيث يكون الوضع الطبيعي لـد→(ن→)=ن→{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}(يوجد هذا التمثيل البارامتري بواسطة المتجه العمودي للأسطح التي يكون انحناؤها الغاوسي موجبًا تمامًا، وبالتالي فهي محدبة، وملساء، وليست مسطحة). التمثيل البارامتري لسطح الإزاحة العام لـx→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t)}تم تعويضها بواسطةد→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}يكون:

x→د(u،v)=x→(u،v)+د→(ن→(u،v))،{\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }أينن→(u،v){\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}هو المعيار الطبيعي للوحدة لـx→(u،v){\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}.

لاحظ أن الإزاحة التافهة،د→(ن→)=دن→{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}، مما يمنحك أسطحًا متوازية عادية (أو أسطحًا متداخلة).

الخصائص الهندسية

المصدر: [ 23 ]

  • أما بالنسبة للخطوط المتوازية ، فإن المستوى المماس للسطح يكون موازياً للمستوى المماس لإزاحاته العامة.
  • أما بالنسبة للخطوط المتوازية ، فإن العمودي على سطح ما يكون عموديًا أيضًا على إزاحاته العامة.
  • Sد=(1+SSن-1)-1S،{\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }أينSد،S،{\displaystyle S_{d},S,}وSن{\displaystyle S_{n}}هي عوامل الشكل لـx→د،x→،{\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}ود→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}، على التوالى.
الانحناءات الرئيسية هي القيم الذاتية لمؤثر الشكل ، واتجاهات الانحناء الرئيسية هي متجهاته الذاتية ، وانحناء غاوس هو محدده ، ومتوسط ​​الانحناء هو نصف أثره .
  • Sد-1=S-1+Sن-1،{\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }أينSد-1،S-1{\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}وSن-1{\displaystyle S_{n}^{-1}}هي معكوسات عوامل الشكل لـx→د،x→،{\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}ود→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}، على التوالى.
إن أنصاف أقطار الانحناء الرئيسية هي القيم الذاتية لمعكوس عامل الشكل ، واتجاهات الانحناء الرئيسية هي متجهاته الذاتية ، ومقلوب انحناء غاوس هو محدده ، ومتوسط ​​نصف قطر الانحناء هو نصف أثره .

لاحظ التشابه مع الخصائص الهندسية لمنحنيات الإزاحة العامة .

اشتقاق الخصائص الهندسية للإزاحات العامة

يمكن اشتقاق الخصائص الهندسية المذكورة أعلاه للمنحنيات والأسطح ذات الإزاحة العامة لإزاحات ذات أبعاد عشوائية. افترض أن لديك تمثيلًا بارامتريًا منتظمًا لسطح ذي أبعاد n،x→(u→){\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}، حيث يكون بُعدu→{\displaystyle {\vec {u}}}هو n-1. افترض أيضًا أن لديك سطحًا ثانيًا ذا n بُعدًا يمكن تحديده بواسطة متجه الوحدة العمودي عليه،د→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}، حيث يكون الوضع الطبيعي لـد→(ن→)=ن→{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}(يوجد هذا التمثيل البارامتري بواسطة المتجه العمودي للأسطح التي يكون انحناؤها الغاوسي موجبًا تمامًا، وبالتالي فهي محدبة، وملساء، وليست مسطحة). التمثيل البارامتري لسطح الإزاحة العام لـx→(u→){\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}تم تعويضها بواسطةد→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}يكون:

x→د(u→)=x→(u→)+د→(ن→(u→))،{\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }أينن→(u→){\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}هو المعيار الطبيعي للوحدة لـx→(u→){\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}(الإزاحة التافهة،د→(ن→)=دن→{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}(يعطيك أسطحًا متوازية عادية.)

أولاً، لاحظ أن الوضع الطبيعي لـx→(u→)={\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}الوضع الطبيعي لـد→(ن→(u→))=ن→(u→)،{\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}بحسب التعريف. الآن، سنطبق التفاضل بالنسبة إلىu→{\displaystyle {\vec {u}}}لx→د{\displaystyle {\vec {x}}_{d}}، مما يعطينا متجهات المماس التي تمتد عبر مستوى المماس الخاص بها.

∂x→د(u→)=∂x→(u→)+∂د→(ن→(u→)){\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}

لاحظ متجهات المماس لـx→د{\displaystyle {\vec {x}}_{d}}هي مجموع متجهات المماس لـx→(u→){\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}وإزاحتهاد→(ن→){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}والتي تشترك في نفس المتجه العمودي. وبالتالي، فإن سطح الإزاحة العام يشترك في نفس المستوى المماس والمتجه العمودي معx→(u→){\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}ود→(ن→(u→)){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}وهذا يتوافق مع طبيعة الأظرف.

سننظر الآن في معادلات واينجارتن لمؤثر الشكل ، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:∂ن→=-∂x→S{\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}. لوS{\displaystyle S}قابلة للعكس،∂x→=-∂ن→S-1{\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}تذكر أن الانحناءات الرئيسية للسطح هي القيم الذاتية لمؤثر الشكل، واتجاهات الانحناء الرئيسية هي متجهاته الذاتية ، وانحناء غاوس هو محدده ، ومتوسط ​​الانحناء يساوي نصف أثره . ويحتفظ معكوس مؤثر الشكل بهذه القيم نفسها لنصف قطر الانحناء.

بالتعويض في معادلة تفاضلx→د{\displaystyle {\vec {x}}_{d}}، فنحصل على:

∂x→د=∂x→-∂ن→Sن-1،{\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }أينSن{\displaystyle S_{n}}هو عامل الشكل لـد→(ن→(u→)){\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}.

بعد ذلك، نستخدم معادلات واينجارتن مرة أخرى لاستبدال∂ن→{\displaystyle \partial {\vec {n}}}:

∂x→د=∂x→+∂x→SSن-1،{\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }أينS{\displaystyle S}هو عامل الشكل لـx→(u→){\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}.

ثم نحل المعادلة لـ∂x→{\displaystyle \partial {\vec {x}}}وضرب كلا الجانبين بـ-S{\displaystyle -S}لنعود إلى معادلات واينجارتن ، هذه المرة لـ∂x→د{\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}:

∂x→د(أنا+SSن-1)-1=∂x→،{\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}
-∂x→د(أنا+SSن-1)-1S=-∂x→S=∂ن→.{\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}

هكذا،Sد=(أنا+SSن-1)-1S{\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}وبقلب كلا الطرفين نحصل على،Sد-1=S-1+Sن-1{\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ويلسون ، فريدريك نيوتن (1898). الرسومات النظرية والعملية . ماكميلان. ص 66. ISBN  978-1-113-74312-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  2. 1 2 3 ديفادوس، ساتيان ل .؛ أورورك، جوزيف (2011). الهندسة المنفصلة والحسابية . مطبعة جامعة برينستون. ص 128-129 . ISBN  978-1-4008-3898-1.
  3. 1 2 سيندرا، ج. رافائيل؛ وينكلر، فرانز؛ بيريز دياز، سونيا (2007). المنحنيات الجبرية النسبية: مدخل إلى الجبر الحاسوبي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 10. ISBN  978-3-540-73724-7.
  4. ↑ أغوستون، ماكس ك. (2005). رسومات الحاسوب والنمذجة الهندسية: الرياضيات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 586. ISBN  978-1-85233-817-6.
  5. ↑ فينس، جون (2006). الهندسة لرسومات الحاسوب: الصيغ والأمثلة والبراهين . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 293. ISBN  978-1-84628-116-7.
  6. ↑ مارش، دنكان (2006). الهندسة التطبيقية لرسومات الحاسوب والتصميم بمساعدة الحاسوب ( الطبعة الثانية). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 107. ISBN   978-1-84628-109-9.
  7. ↑ مارك كيلغارد (10 أبريل 2012). "CS 354 رسومات متجهة وعرض المسار" . www.slideshare.net . ص 28. 
  8. 1 2 أغوستون، ماكس ك. (2005). رسومات الحاسوب والنمذجة الهندسية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 638-645 . ISBN  978-1-85233-818-3.
  9. 1 2 http://www.cc.gatech.edu/~jarek/papers/localVolume.pdf ، ص. 3
  10. 1 2 فو، أيداهو؛ برات، مايكل جيه. (1979). الهندسة الحسابية للتصميم والتصنيع . مطبعة هالستيد. ISBN 978-0-47026-473-7. OCLC 4859052 . 
  11. 1 2 3 بريشنر، إريك (1990). الأظرف ومسارات الأدوات للطحن النهائي ثلاثي المحاور (دكتوراه). معهد رينسيلار للفنون التطبيقية.
  12. 1 2 إي. هارتمان: الهندسة والخوارزميات للتصميم بمساعدة الحاسوب. ص 30.
  13. ↑ فيونا أونيل: منحنيات برتراند المستوية (مع صور!). مؤرشف بتاريخ 11 أكتوبر 2022 في أرشيف الإنترنت
  14. ↑ رضا ت. فاروقي: منحنيات فيثاغورس-هودوغراف: الجبر والهندسة لا ينفصلان (الهندسة والحوسبة). سبرينغر، 2008، ISBN 978-3-540-73397-3.
  15. ↑ فاروقي 2008 ، ص 216-217، 448.
  16. ↑ إي. هارتمان: الهندسة والخوارزميات للتصميم بمساعدة الحاسوب. ص 81، ص 30، 41، 44.
  17. ↑ ثورب، جون أ. (27-10-1994). مواضيع أساسية في الهندسة التفاضلية . نيويورك هايدلبرغ: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 0-387-90357-7.
  18. ↑ http://faculty.engineering.ucdavis.edu/farouki/wp-content/uploads/sites/41/2013/02/Introduction-to-PH-curves.pdf مؤرشف بتاريخ 2015-06-05 في أرشيف الإنترنت ، صفحة 16 "تصنيف منحنيات الإزاحة"
  19. ↑ تيلر، واين؛ هانسون، إريك (1984). "إزاحات الملامح ثنائية الأبعاد". مجلة IEEE لرسومات الحاسوب وتطبيقاتها . 4 (9): 36-46 . doi : 10.1109/mcg.1984.275995 . S2CID 9046817 . 
  20. ↑ إلبر، غيرشون؛ لي، إن-كوون؛ كيم، ميونغ-سو (مايو-يونيو 1997). "مقارنة طرق تقريب منحنى الإزاحة". مجلة IEEE لرسومات الحاسوب وتطبيقاتها . 17 (3): 62-71 . doi : 10.1109/38.586019 .
  21. ↑ ليفين، راف (9 سبتمبر 2022). "المنحنيات المتوازية لمنحنيات بيزير المكعبة" . تم الاسترجاع في 9 سبتمبر 2022 .
  22. ↑ كيميل، ر.؛ بروكشتاين، أ.م. (1993). "إزاحات الشكل عبر مجموعات المستوى" (ملف PDF) . التصميم بمساعدة الحاسوب . 25 (3). إلسيفير بي في: 154-162 . doi : 10.1016/0010-4485(93)90040-u . ISSN 0010-4485 . S2CID 8434463 .  
  23. 1 2 3 4 5 بريشنر، إريك ل. (1992). "5. المنحنيات والأسطح ذات الإزاحة العامة". في بارنهيل، روبرت إي. (محرر). معالجة الهندسة للتصميم والتصنيع . SIAM. ص 101–. ISBN  978-0-89871-280-3.
  24. ↑ بوتيمان، هيلموت؛ وولنر، يوهانس (2001). هندسة الخطوط الحاسوبية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 303-304 . ISBN  978-3-540-42058-3.
  25. ↑ تشيريكجيان، غريغوري س. (2009). النماذج العشوائية، ونظرية المعلومات، ومجموعات لي، المجلد 1: النتائج الكلاسيكية والأساليب الهندسية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 171-175 . ISBN  978-0-8176-4803-9.
  26. ↑ سرفراز، محمد، محرر. (2003). التطورات في النمذجة الهندسية . وايلي. ص 72. ISBN  978-0-470-85937-7.
  27. ↑ كينش، ريتشارد ج. (1995). "ميتافوغ: تحويل أشكال ميتافونت إلى خطوط محيطية" (ملف PDF) . مجلة TUGboat . 16 (3): 233-243 .
  28. ↑ http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 تطبيق النسخة العامة في Adobe Illustrator CS5 ( فيديو أيضًا )
  • جوزيف هوشيك: منحنيات الإزاحة في المستوى. في: CAD. 17 (1985)، ص 77-81.
  • تاكاشي مايكاوا: نظرة عامة على المنحنيات والأسطح المزاحة. في: CAD. 31 (1999)، ص. 165-173.

للمزيد من القراءة

  • فاروقي، ر. ت.؛ نيف، س. أ. (1990). "الخواص التحليلية لمنحنيات الإزاحة المستوية". التصميم الهندسي بمساعدة الحاسوب . 7 ( 1-4 ): 83-99 . doi : 10.1016/0167-8396(90)90023-K .
  • بيغل، ليس أ. (1999). "حساب إزاحات منحنيات وأسطح NURBS". التصميم بمساعدة الحاسوب . 31 (2): 147-156 . CiteSeerX 10.1.1.360.2793 . doi : 10.1016/S0010-4485(98)00066-9 . 
  • بورتيوس، إيان ر. (2001). التفاضل الهندسي: لفهم المنحنيات والأسطح (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 1-25 . ISBN  978-0-521-00264-6.
  • باتريكالاكيس، نيكولاس م.؛ مايكاوا، تاكاشي (2010) [2002]. استجواب الشكل للتصميم والتصنيع بمساعدة الحاسوب . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الفصل 11. المنحنيات والأسطح المنزاحة. ISBN 978-3-642-04074-0.نسخة مجانية عبر الإنترنت .
  • أنطون، فرانسوا؛ إميريس، يوانيس ز.؛ مورين، برنارد؛ تيلو، مونيك (مايو 2005). "مجموعة O لمنحنى جبري وتطبيقها على القطوع المخروطية". المؤتمر الدولي للعلوم الحاسوبية وتطبيقاتها . سنغافورة: سبرينغر فيرلاغ. ص 683-696 . 
  • فاروقي، رضا ت. (2008). منحنيات فيثاغورس-هودوغراف: الجبر والهندسة لا ينفصلان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 141-178 . ISBN  978-3-540-73397-3.الصفحات المدرجة هي المواد العامة والتمهيدية.
  • أو، سي كيه؛ ما، واي-إس. (2013). "حساب منحنيات الإزاحة باستخدام دالة المسافة: معالجة تحدٍ رئيسي في توليد مسار أداة القطع". في ما، واي-إس. (محرر). النمذجة الدلالية وقابلية التشغيل البيني في هندسة المنتجات والعمليات: تقنية لهندسة المعلوماتية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 259-273 . ISBN  978-1-4471-5073-2.