متتالية فيبوناتشي عشوائية

في الرياضيات ، تُعتبر متتالية فيبوناتشي العشوائية نظيرًا احتماليًا لمتتالية فيبوناتشي المُعرَّفة بالعلاقة التكرارية.${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}\pm f_{n-2}}$حيث يتم اختيار الإشارتين + أو − عشوائياً باحتمالية متساوية${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$، بشكل مستقل لأنواع مختلفة${\displaystyle n}$بحسب نظرية هاري كيستن وهليل فورستنبرغ ، تنمو المتتاليات العشوائية المتكررة من هذا النوع بمعدل أسي معين ، ولكن يصعب حساب هذا المعدل بدقة. في عام ١٩٩٩، أثبت ديفاكار فيسواناث أن معدل نمو متتالية فيبوناتشي العشوائية يساوي ١٫١٣١٩٨٨٢٤٨٧٩٤٣... (المتتالية A٠٧٨٤١٦ في OEIS ) ، وهو ثابت رياضي سُمّي لاحقًا ثابت فيسواناث. ^{[ ١ ] [ ٢ ] [ ٣ ]}

متتالية فيبوناتشي العشوائية هي متتالية أعداد صحيحة عشوائية تتكون من الأرقام${\displaystyle f_{n}}$بالنسبة للأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle f_{1}=f_{2}=1}$ويتم اختيار الحدود اللاحقة عشوائياً وفقاً لعلاقة التكرار العشوائية $${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}f_{n-1}+f_{n-2},&{\text{ باحتمالية }}{\tfrac {1}{2}};\\f_{n-1}-f_{n-2},&{\text{ باحتمالية }}{\tfrac {1}{2}}.\end{cases}}}$$ تبدأ إحدى حالات متتالية فيبوناتشي العشوائية بالعددين 1 و1، وتُحدد قيمة كل حد لاحق برمي عملة معدنية عادلة : عند إعطاء عنصرين متتاليين من المتتالية، يكون العنصر التالي إما مجموعهما أو فرقهما باحتمالية 1/2، بغض النظر عن جميع الاختيارات السابقة. إذا تم اختيار علامة الجمع في كل خطوة من متتالية فيبوناتشي العشوائية، فإن الحالة المقابلة هي متتالية فيبوناتشي ( F _{_n} ). $${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots .}$$ إذا تناوبت الإشارات بنمط ناقص-زائد-زائد-ناقص-زائد-زائد-...، فإن النتيجة هي التسلسل $${\displaystyle 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,\ldots .}$$

مع ذلك، فإن احتمالية حدوث مثل هذه الأنماط تكاد تكون معدومة في تجربة عشوائية. في تجربة نموذجية، لن تتبع المتغيرات نمطًا يمكن التنبؤ به. $${\displaystyle 1,1,2,3,1,-2,-3,-5,-2,-3,\ldots {\text{ للإشارات }}+,+,+,-,-,+,-,-,\ldots .}$$

على غرار الحالة الحتمية، يمكن وصف متتالية فيبوناتشي العشوائية بشكل مفيد عبر المصفوفات : $${\displaystyle {f_{n-1} \choose f_{n}}={\begin{pmatrix}0&1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}{f_{n-2} \choose f_{n-1}},}$$

حيث يتم اختيار الإشارات بشكل مستقل لقيم n المختلفة باحتمالات متساوية للإشارة الموجبة أو السالبة. وبالتالي $${\displaystyle {f_{n-1} \choose f_{n}}=M_{n}M_{n-1}\ldots M_{3}{f_{1} \choose f_{2}},}$$ حيث ( M _k ) عبارة عن سلسلة من المصفوفات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع التي تأخذ القيم A أو B باحتمالية 1/2: $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$$

اكتشف يوهانس كيبلر أنه مع ازدياد قيمة n ، تقترب نسبة الحدود المتتالية لمتتالية فيبوناتشي ( Fn ) من النسبة الذهبية _.${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$وهو ما يقارب 1.61803. في عام 1765، نشر ليونارد أويلر صيغة صريحة، تُعرف اليوم باسم صيغة بينيه . $${\displaystyle F_{n}={{\varphi ^{n}-(-1/\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}$$

يوضح ذلك أن أعداد فيبوناتشي تنمو بمعدل أسي يساوي النسبة الذهبية φ .

في عام 1960، أثبت هليل فورستنبرغ وهاري كيستن أن معيار حاصل ضرب المصفوفات العشوائية ينمو كـ λⁿ ^، حيث n هو عدد العوامل. تنطبق نتائجهما على فئة واسعة من عمليات توليد المتتاليات العشوائية _، بما في ذلك متتالية فيبوناتشي العشوائية. ونتيجة لذلك، فإن الجذر النوني لـ | fⁿ | يتقارب إلى قيمة ثابتة تقريبًا بشكل مؤكد ، أو باحتمال واحد. $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\to 1.1319882487943\dots {\text{ as }}n\to \infty .}$$

توصل ديفاكار فيسواناث في عام 1999 إلى صيغة صريحة لهذا الثابت. وتعتمد هذه الصيغة على صيغة فورستنبرغ لحساب أس ليابونوف لضرب مصفوفة عشوائية، والتكامل على مقياس كسري معين على شجرة ستيرن-بروكوت . علاوة على ذلك، قام فيسواناث بحساب القيمة العددية المذكورة أعلاه باستخدام حسابات الفاصلة العائمة، وتم التحقق من صحتها من خلال تحليل خطأ التقريب .

أظهر مارك إمبري ونيك تريفثين في عام 1999 أن التسلسل $${\displaystyle f_{n}=\pm f_{n-1}\pm \beta f_{n-2}}$$

يتناقص هذا المقدار بشكل شبه مؤكد إذا كانت قيمة β أقل من قيمة حرجة β * ≈ 0.70258 ، تُعرف بثابت إمبري-تريفثن، وينمو بشكل شبه مؤكد فيما عدا ذلك. كما أظهروا أن النسبة التقاربية σ ( β ) بين الحدود المتتالية تتقارب بشكل شبه مؤكد لكل قيمة من قيم β . ويبدو أن الرسم البياني لـ σ ( β ) له بنية كسورية ، مع قيمة دنيا عالمية قريبة من _βmin ≈ 0.36747 تساوي تقريبًا σ ( βmin ₎ ≈ 0.89517 . ^{[ 4 ]}

• وايسستين، إريك دبليو. “تسلسل فيبوناتشي العشوائي” . عالم الرياضيات .
• تسلسل OEIS A078416 (التوسع العشري لثابت فيسواناث)
• أرقام فيبوناتشي العشوائية . فيديو من قناة Numberphile حول متتالية فيبوناتشي العشوائية.