الدالة المستطيلة

تُعرَّف الدالة المستطيلة (المعروفة أيضًا باسم دالة المستطيل ، أو دالة rect ، أو دالة Pi ، أو دالة Heaviside Pi ، أو دالة البوابة ^{[ 1 ]} ، أو نبضة الوحدة ، أو دالة الصندوق المعيارية ) على النحو التالي ^{[ 2 ]}

$$\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{إذا كان }}|t|>{\frac {T}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{إذا كان }}|t|={\frac {T}{2}}\\1,&{\text{إذا كان }}|t|<{\frac {T}{2}}.\end{array}}\right.}$$

تُعرّف التعريفات البديلة للدالة${\textstyle \operatorname {rect} \left(t=\pm {\frac {T}{2}}\right)}$أن تكون قيمتها 0، ^{[ 3 ]} 1، ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو غير مُعرَّفة. لا تتغير المساحة تحت المنحنى باختلاف تعريفات الدوال عند${\textstyle t=\pm {\frac {T}{2}}}$.

يمكن استخدام الدالة المستطيلة كأساس للموجة المستطيلة .

تم تقديم دالة rect في عام 1953 بواسطة وودوارد [ 6 ^{] في "} نظرية الاحتمالات والمعلومات، مع تطبيقات على الرادار" ^{[ 7 ]} كعامل قطع مثالي ، جنبًا إلى جنب مع دالة sinc ^{[ 8 ] [ 9 ]} كعامل استيفاء مثالي ، وعملياتها المضادة وهي أخذ العينات ( عامل comb ) والتكرار ( عامل rep )، على التوالي.

الدالة المستطيلة هي حالة خاصة من دالة الصندوق الأكثر عمومية :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {tX}{Y}}\right)=H(t-(XY/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(tXY/2)}$$

أين${\displaystyle H(x)}$هي دالة هيفسايد المتدرجة ؛ وتتمركز الدالة عند${\displaystyle X}$وله مدة${\displaystyle Y}$، من${\displaystyle XY/2}$ل${\displaystyle X+Y/2.}$

التحويلات الوحدوية لفورييه للدالة المستطيلة هي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} (\pi f)=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$ باستخدام التردد العادي f ، حيث${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$هي الصيغة المعيارية ^{[ 10 ]} لدالة sinc و $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$ باستخدام التردد الزاوي${\displaystyle \omega }$، أين${\displaystyle \operatorname {sinc} }$هي الصيغة غير المعيارية لدالة sinc .

ل${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$، تحويل فورييه الخاص به هو$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

ينتج عن الالتفاف الذاتي للدالة المستطيلة غير المتصلة دالة مثلثية ، وهي دالة تكعيبية مُعرَّفة على أجزاء متصلة، ولكنها غير قابلة للتفاضل بشكل مستمر . ينتج عن الالتفافات المتتالية للدالة المستطيلة نبضات مُعرَّفة على أجزاء ذات قيم عظمى دنيا، وهي أوسع وأكثر سلاسة، حيث تعني كلمة "أكثر سلاسة" أن المشتقات من الرتب العليا متصلة. ^{[ 11 ]}

ينتج عن عملية الالتفاف للدالة المستطيلة غير المتصلة مع نفسها الدالة المثلثية، وهي دالة متصلة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}1+t,&-T<t<0\\1-t,&\,\,\,\,\,0<t<T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

يؤدي تطبيق عملية الالتفاف الذاتي للدالة المستطيلة مرتين إلى الحصول على دالة قطع مكافئ متصلة وقابلة للتفاضل:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} ={\begin{cases}{\frac {9}{8}}+{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {3}{4}}-t^{2},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {9}{8}}-{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

ينتج عن تطبيق عملية الالتفاف الذاتي للدالة المستطيلة ثلاث مرات دالة تكعيبية متصلة، ودالة تكعيبية متصلة تفاضليًا من الدرجة الثانية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}{\frac {4}{3}}+{2}t+t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3},&-2T<t<-T\\{\frac {2}{3}}-t^{2}-{\frac {1}{2}}t^{3},&-T<t<0\\{\frac {2}{3}}-t^{2}+{\frac {1}{2}}t^{3},&\,\,\,\,\,0<t<T\\{\frac {4}{3}}-{2}t+t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3},&\,\,\,\,\,T<t<2T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

ينتج عن تطبيق عملية الالتفاف الذاتي للدالة المستطيلة أربع مرات دالة متصلة، ودالة تفاضلية متصلة من الدرجة الثالثة من الدرجة الرابعة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}4^{th}\,{\text{order spline}}={\begin{cases}{\frac {625}{384}}+{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}+{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&-{\frac {5}{2}}T<t<-{\frac {3}{2}}T\\{\frac {55}{96}}-{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {115}{192}}-{\frac {5}{8}}t^{2}+{\frac {1}{4}}t^{4},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {55}{96}}+{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}+{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\{\frac {625}{384}}-{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}-{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {3}{2}}T<t<{\frac {5}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

بما أن تحويل فورييه للدالة المستطيلة هو دالة Sinc ، فإن نظرية الالتفاف تشير إلى أن تحويل فورييه للنبضات الناتجة عن التفافات متتالية للدالة المستطيلة مع نفسها هو ببساطة دالة Sinc من رتبة عدد مرات تطبيق دالة الالتفاف + 1 (أي أن تحويل فورييه للدالة المثلثية هو Sinc ² ، وتحويل فورييه للدالة القطعية المكافئة الناتجة عن التفافين متتاليين للدالة المستطيلة مع نفسها هو Sinc ³ ، وهكذا).

إذا نظرنا إلى الدالة المستطيلة كدالة كثافة احتمالية ، فإنها تُعد حالة خاصة من التوزيع المنتظم المستمر مع${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$الدالة المميزة هي

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

ودالة توليد العزوم الخاصة بها هي

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

أين${\displaystyle \sinh(t)}$هي دالة الجيب الزائدي .

يمكن أيضًا التعبير عن دالة النبض كنهاية لدالة كسرية :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

يمكن استخدام دالة المستطيل لتمثيل دالة ديراك دلتا${\displaystyle \delta (x)}$^{[ 12 ]} على وجه التحديد ،$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$لوظيفة${\displaystyle g(x)}$، متوسطه على العرض${\displaystyle a}$يتم حساب القيمة حول الصفر في مجال الدالة على النحو التالي:

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ للحصول على${\displaystyle g(0)}$يتم تطبيق الحد التالي،

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$ ويمكن كتابة ذلك بدلالة دالة ديراك دلتا على النحو التالي: $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$تحويل فورييه لدالة ديراك دلتا${\displaystyle \delta (t)}$يكون

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$ حيث أن دالة sinc هنا هي دالة sinc المعيارية. لأن الصفر الأول لدالة sinc يقع عند${\displaystyle f=1/a}$و${\displaystyle a}$يؤول تحويل فورييه إلى ما لا نهاية${\displaystyle \delta (t)}$يكون

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$ هذا يعني أن طيف تردد دالة ديراك دلتا واسع للغاية. فكلما قصر زمن النبضة، اتسع نطاق ترددها.

• تحويل فورييه
• الموجة المربعة
• دالة الخطوة
• مرشح القبعة العلوية
• وظيفة عربة الشحن