النطاق المرجعي

غالبًا ما تُقدَّر فترة الثقة 95% بافتراض التوزيع الطبيعي للمعلمة المقاسة، وفي هذه الحالة يمكن تعريفها بأنها الفترة المحددة بـ 1.96 ^{[ 4 ]} (غالبًا ما تُقرَّب إلى 2) انحرافًا معياريًا للمجتمع من جانبي متوسط ​​المجتمع (المعروف أيضًا بالقيمة المتوقعة ). مع ذلك، في الواقع العملي، لا يُعرف متوسط ​​المجتمع ولا انحرافه المعياري. يجب تقدير كليهما من عينة، يُرمز لحجمها بـ n . يُقدَّر الانحراف المعياري للمجتمع من خلال الانحراف المعياري للعينة، ويُقدَّر متوسط ​​المجتمع من خلال متوسط ​​العينة (المعروف أيضًا بالمتوسط ​​الحسابي ). لمراعاة هذه التقديرات، تُحسب فترة التنبؤ 95% (95% PI) كما يلي:

95% PI = المتوسط ​​± t _{0.975، n − 1} · √ ( n +1)/ n ·sd ،

أين${\displaystyle t_{0.975,n-1}}$يمثل النسبة المئوية 97.5% من توزيع t للطالب مع n − 1 درجة حرية .

عندما يكون حجم العينة كبيرًا ( n ≥ 30)${\displaystyle t_{0.975,n-1}\simeq 2.}$

تكون هذه الطريقة دقيقة بشكل مقبول في أغلب الأحيان إذا لم يكن الانحراف المعياري، مقارنةً بالمتوسط، كبيرًا جدًا. أما الطريقة الأكثر دقة فهي إجراء الحسابات على القيم اللوغاريتمية، كما هو موضح في قسم منفصل لاحقًا.

يعتمد المثال التالي لهذه الطريقة ( غير اللوغاريتمية) على قيم جلوكوز البلازما الصائم المأخوذة من مجموعة مرجعية مكونة من 12 شخصًا: ^{[ 5 ]}

	جلوكوز البلازما الصائم (FPG) بوحدة مليمول/لتر	الانحراف عن المتوسط ​​م	الانحراف التربيعي عن المتوسط ​​م
الموضوع 1	5.5	0.17	0.029
الموضوع 2	5.2	-0.13	0.017
الموضوع 3	5.2	-0.13	0.017
الموضوع 4	5.8	0.47	0.221
الموضوع 5	5.6	0.27	0.073
الموضوع 6	4.6	-0.73	0.533
الموضوع 7	5.6	0.27	0.073
الموضوع 8	5.9	0.57	0.325
الموضوع 9	4.7	-0.63	0.397
الموضوع 10	5	-0.33	0.109
الموضوع 11	5.7	0.37	0.137
الموضوع 12	5.2	-0.13	0.017
	المتوسط ​​= 5.33 ( م ) ن = 12	المتوسط ​​= 0.00	المجموع / ( ن - 1) = 1.95 / 11 = 0.18 ${\displaystyle {\sqrt {0.18}}=0.42}$= الانحراف المعياري (sd)

كما يتضح من جدول القيم المختارة لتوزيع t للطالب ، على سبيل المثال، فإن النسبة المئوية 97.5% مع درجات حرية (12-1) تتوافق مع ${\displaystyle t_{0.975,11}=2.20}$

بعد ذلك، يتم حساب الحدين الأدنى والأعلى لنطاق المرجع القياسي على النحو التالي:

${\displaystyle Lower~limit=m-t_{0.975,11}\times {\sqrt {\frac {n+1}{n}}}\times sd=5.33-2.20\times {\sqrt {\frac {13}{12}}}\times 0.42=4.4}$

${\displaystyle Upper~limit=m+t_{0.975,11}\times {\sqrt {\frac {n+1}{n}}}\times sd=5.33+2.20\times {\sqrt {\frac {13}{12}}}\times 0.42=6.3.}$

وبالتالي، يُقدر النطاق المرجعي القياسي لهذا المثال بأنه من 4.4 إلى 6.3  مليمول/لتر.

في الواقع، تميل المعلمات البيولوجية إلى أن يكون لها توزيع لوغاريتمي طبيعي ، ^{[ 10 ]} بدلاً من التوزيع الطبيعي أو التوزيع الغاوسي.

يُعزى هذا التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي للمعايير البيولوجية إلى أن احتمالية وقوع حدث تكون فيه قيمة العينة نصف قيمة المتوسط ​​أو الوسيط تكاد تكون مساوية لاحتمالية وقوع حدث تكون فيه قيمة العينة ضعف قيمة المتوسط ​​أو الوسيط. كما أن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي وحده قادر على تعويض عدم قدرة معظم المعايير البيولوجية على أن تكون قيمًا سالبة (على الأقل عند قياسها بمقاييس مطلقة )، مما يعني عدم وجود حد أقصى لحجم القيم المتطرفة (القيم الشاذة) في الجانب الأعلى، ولكن في المقابل، لا يمكن أن تكون هذه القيم أقل من الصفر، مما ينتج عنه التواء موجب .

كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين، يكون تأثير هذه الظاهرة ضئيلاً نسبيًا إذا كان الانحراف المعياري (مقارنةً بالمتوسط) صغيرًا نسبيًا، إذ يجعل التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يبدو مشابهًا للتوزيع الطبيعي. لذا، قد يكون التوزيع الطبيعي أكثر ملاءمةً للاستخدام مع الانحرافات المعيارية الصغيرة لسهولة الاستخدام، بينما يكون التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أكثر ملاءمةً مع الانحرافات المعيارية الكبيرة.

في التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، فإن الانحرافات المعيارية الهندسية والمتوسط ​​الهندسي يقدران بدقة أكبر فترة التنبؤ بنسبة 95٪ مقارنة بنظائرها الحسابية.

ضرورة

يمكن تقدير النطاقات المرجعية للمواد التي عادة ما تكون ضمن حدود ضيقة نسبيًا (معامل التباين أقل من 0.213، كما هو مفصل أدناه) مثل الإلكتروليتات عن طريق افتراض التوزيع الطبيعي، في حين أن النطاقات المرجعية لتلك التي تختلف بشكل كبير (معامل التباين بشكل عام أكثر من 0.213) مثل معظم الهرمونات ^{[ 11 ]} يتم تحديدها بدقة أكبر عن طريق التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.

يمكن اعتبار ضرورة تحديد نطاق مرجعي باستخدام التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي بدلاً من التوزيع الطبيعي أمرًا يعتمد على مقدار الفرق الذي سيحدث في حال عدم القيام بذلك، والذي يمكن وصفه بأنه النسبة:

نسبة الفرق = | الحد اللوغاريتمي _{الطبيعي} - الحد _{الطبيعي} | / الحد _{اللوغاريتمي} الطبيعي

أين:

• الحد _{اللوغاريتمي الطبيعي} هو الحد (الأدنى أو الأعلى) الذي يتم تقديره بافتراض التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.
• الحد _{الطبيعي} هو الحد (الأدنى أو الأعلى) كما تم تقديره بافتراض التوزيع الطبيعي.

يمكن ربط هذا الاختلاف فقط بمعامل التباين ، كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين، حيث:

معامل التباين = الانحراف المعياري / المتوسط

أين:

• sd هو الانحراف المعياري
• م هو المتوسط ​​الحسابي

عمليًا، يُعتبر استخدام أساليب تحديد التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ضروريًا إذا تجاوزت نسبة الفرق 0.1، أي أن الحد (الأدنى أو الأعلى) المُقدَّر من توزيع طبيعي مفترض سيختلف بأكثر من 10% عن الحد المقابل المُقدَّر من توزيع لوغاريتمي طبيعي (أكثر دقة). كما هو موضح في الرسم البياني، تصل نسبة الفرق إلى 0.1 للحد الأدنى عند معامل تباين 0.213 (أو 21.3%)، وللحد الأعلى عند معامل تباين 0.413 (41.3%). يتأثر الحد الأدنى بشكل أكبر بزيادة معامل التباين، ويُقابل معامل التباين "الحرج" له، وهو 0.213، نسبة (الحد الأعلى)/(الحد الأدنى) تساوي 2.43. لذا، كقاعدة عامة، إذا كان الحد الأعلى أكبر من 2.4 ضعف الحد الأدنى عند تقديره بافتراض التوزيع الطبيعي، فينبغي إعادة إجراء الحسابات باستخدام التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.

بالاستناد إلى المثال الوارد في القسم السابق، يُقدّر الانحراف المعياري (sd) بـ 0.42، ويُقدّر المتوسط ​​الحسابي (m) بـ 5.33. وبالتالي، فإن معامل التباين هو 0.079. وهذا أقل من كلٍّ من 0.213 و0.413، ولذا يُمكن على الأرجح تقدير الحدّين الأدنى والأعلى لمستوى سكر الدم الصائم بافتراض التوزيع الطبيعي. وبشكلٍ أدق، يُقابل معامل التباين البالغ 0.079 نسبة فرق قدرها 0.01 (1%) للحدّ الأدنى، و0.007 (0.7%) للحدّ الأعلى.

من قيم العينة اللوغاريتمية

تتمثل إحدى طرق تقدير النطاق المرجعي لمعلمة ذات توزيع لوغاريتمي طبيعي في تحويل جميع القياسات إلى لوغاريتمات باستخدام أساس اختياري (على سبيل المثال e )، واستخلاص المتوسط ​​والانحراف المعياري لهذه اللوغاريتمات، وتحديد اللوغاريتمات الموجودة (لفترة تنبؤ بنسبة 95٪) على بعد 1.96 انحراف معياري أسفل وأعلى هذا المتوسط، ثم رفعها إلى الأس باستخدام هذين اللوغاريتمين كأسين وباستخدام نفس الأساس المستخدم في التحويل إلى لوغاريتمات، مع كون القيمتين الناتجتين هما الحد الأدنى والحد الأعلى لفترة التنبؤ بنسبة 95٪.

يعتمد المثال التالي لهذه الطريقة على نفس قيم جلوكوز البلازما الصائم المستخدمة في القسم السابق، باستخدام e كأساس : ^{[ 5 ]}

	جلوكوز البلازما الصائم (FPG) بوحدة مليمول/لتر	log e (FPG)	انحراف log e (FPG) عن المتوسط ​​μ log	الانحراف التربيعي عن المتوسط
الموضوع 1	5.5	1.70	0.029	0.000841
الموضوع 2	5.2	1.65	0.021	0.000441
الموضوع 3	5.2	1.65	0.021	0.000441
الموضوع 4	5.8	1.76	0.089	0.007921
الموضوع 5	5.6	1.72	0.049	0.002401
الموضوع 6	4.6	1.53	0.141	0.019881
الموضوع 7	5.6	1.72	0.049	0.002401
الموضوع 8	5.9	1.77	0.099	0.009801
الموضوع 9	4.7	1.55	0.121	0.014641
الموضوع 10	5.0	1.61	0.061	0.003721
الموضوع 11	5.7	1.74	0.069	0.004761
الموضوع 12	5.2	1.65	0.021	0.000441
	المتوسط: 5.33 ( م )	المتوسط: 1.67 ( μ log )		المجموع/(ن-1)  : 0.068/11 = 0.0062 ${\displaystyle {\sqrt {0.0062}}=0.079}$= الانحراف المعياري لـ log e (FPG) ( σ log )

بعد ذلك، يتم حساب الحد الأدنى للنطاق المرجعي، بعد تحويله إلى لوغاريتم، على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln({\text{lower limit}})&=\mu _{\log }-t_{0.975,n-1}\times {\sqrt {\frac {n+1}{n}}}\times \sigma _{\log }\\&=1.67-2.20\times {\sqrt {\frac {13}{12}}}\times 0.079=1.49,\end{aligned}}}$

والحد الأعلى للنطاق المرجعي هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln({\text{upper limit}})&=\mu _{\log }+t_{0.975,n-1}\times {\sqrt {\frac {n+1}{n}}}\times \sigma _{\log }\\&=1.67+2.20\times {\sqrt {\frac {13}{12}}}\times 0.079=1.85\end{aligned}}}$

ثم يتم تحويل القيم إلى قيم غير لوغاريتمية على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{Lower limit}}=e^{\ln({\text{lower limit}})}=e^{1.49}=4.4}$

${\displaystyle {\text{Upper limit}}=e^{\ln({\text{upper limit}})}=e^{1.85}=6.4}$

وبالتالي، يُقدر النطاق المرجعي القياسي لهذا المثال بأنه من 4.4 إلى 6.4.

يمكن أيضاً تحديد النطاقات المرجعية مباشرةً من المئين 2.5 والمئين 97.5 للقياسات في المجموعة المرجعية. على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة المرجعية تتكون من 200 شخص، وبالعد من القياس ذي القيمة الأدنى إلى الأعلى، فإن الحد الأدنى للنطاق المرجعي سيتوافق مع القياس الخامس، والحد الأعلى سيتوافق مع القياس 195.

يمكن استخدام هذه الطريقة حتى عندما لا تبدو قيم القياس متوافقة بشكل ملائم مع أي شكل من أشكال التوزيع الطبيعي أو أي دالة أخرى.

مع ذلك، فإن حدود النطاق المرجعي المُقدَّرة بهذه الطريقة تتسم بتباين أعلى، وبالتالي بموثوقية أقل، مقارنةً بتلك المُقدَّرة باستخدام التوزيع الحسابي أو اللوغاريتمي الطبيعي (عند الاقتضاء)، لأن الأخيرة تستمد قوتها الإحصائية من قياسات المجموعة المرجعية بأكملها، وليس فقط من القياسات عند المئين 2.5 والمئين 97.5. ومع ذلك، يتناقص هذا التباين مع ازدياد حجم المجموعة المرجعية، ولذلك، قد تكون هذه الطريقة الأمثل عندما يسهل جمع مجموعة مرجعية كبيرة، ويكون نمط توزيع القياسات غير مؤكد.

في حالة التوزيع ثنائي النمط (كما هو موضح على اليمين)، من المفيد معرفة سبب ذلك. يمكن تحديد نطاقين مرجعيين لمجموعتي الأشخاص المختلفتين، مما يسمح بافتراض توزيع طبيعي لكل مجموعة. يُلاحظ هذا النمط ثنائي النمط عادةً في الاختبارات التي تختلف بين الرجال والنساء، مثل اختبار مستضد البروستات النوعي .

تساعد النطاقات المرجعية في تقييم ما إذا كان انحراف نتيجة الاختبار عن المتوسط ​​ناتجًا عن تباين عشوائي أم عن مرض أو حالة صحية كامنة. إذا افترضنا أن المجموعة المرجعية المستخدمة لتحديد النطاق المرجعي تمثل الفرد السليم، فإن نتيجة اختبار لهذا الفرد، سواء كانت أقل أو أعلى من النطاق المرجعي، يمكن تفسيرها على أنها تشير إلى أن احتمال حدوث ذلك نتيجة تباين عشوائي في غياب المرض أو الحالة الصحية الكامنة أقل من 2.5%، وهو ما يُعد مؤشرًا قويًا على ضرورة اعتبار وجود مرض أو حالة صحية كامنة سببًا محتملاً.

يمكن إجراء مثل هذه الاعتبارات الإضافية، على سبيل المثال، من خلال إجراء تشخيص تفريقي قائم على علم الأوبئة ، حيث يتم سرد الحالات المرشحة المحتملة التي قد تفسر النتيجة، متبوعة بحسابات لمدى احتمال حدوثها في المقام الأول، متبوعة بدورها بمقارنة مع احتمال حدوث النتيجة عن طريق التباين العشوائي.

إذا كان من الممكن تحديد النطاق المرجعي بافتراض التوزيع الطبيعي، فإن احتمال أن تكون النتيجة ناتجة عن التباين العشوائي يمكن تحديده بشكل أكبر على النحو التالي:

يمكن حساب الانحراف المعياري ، إن لم يكن معطى بالفعل، بشكل عكسي من خلال حقيقة أن القيمة المطلقة للفرق بين المتوسط ​​والحد الأعلى أو الأدنى للنطاق المرجعي تساوي تقريبًا انحرافين معياريين (أو بدقة أكبر 1.96)، وبالتالي:

الانحراف المعياري (sd) ≈ | ( المتوسط ) - (الحد الأعلى) | / 2 .

يمكن حساب الدرجة المعيارية لاختبار الفرد لاحقًا على النحو التالي:

الدرجة المعيارية ( z ) = | (المتوسط) - (القياس الفردي ) | / الانحراف المعياري .

يمكن حساب احتمال أن تكون قيمة ما على مسافة معينة من المتوسط ​​من خلال العلاقة بين الدرجة المعيارية وفترات التنبؤ . على سبيل المثال، الدرجة المعيارية 2.58 تقابل فترة تنبؤ بنسبة 99%، ^{[ 12 ]} مما يعني احتمالًا بنسبة 0.5% أن تكون النتيجة على الأقل على هذه المسافة من المتوسط ​​في حالة عدم وجود المرض.

لنفترض، على سبيل المثال، أن شخصًا ما خضع لاختبار لقياس الكالسيوم المتأين في الدم، وكانت النتيجة 1.30  ملي مول/لتر، وأن مجموعة مرجعية تمثل هذا الشخص بشكل مناسب حددت نطاقًا مرجعيًا يتراوح بين 1.05 و1.25  ملي مول/لتر. قيمة هذا الشخص أعلى من الحد الأعلى للنطاق المرجعي، وبالتالي فإن احتمال كونها نتيجة تباين عشوائي أقل من 2.5%، مما يشكل مؤشرًا قويًا لإجراء تشخيص تفريقي للحالات المسببة المحتملة.

في هذه الحالة، يتم استخدام إجراء تشخيصي تفريقي قائم على علم الأوبئة ، وتتمثل خطوته الأولى في إيجاد الحالات المرشحة التي يمكن أن تفسر النتيجة.

فرط كالسيوم الدم (الذي يُعرف عادةً بأنه مستوى الكالسيوم أعلى من النطاق المرجعي) يحدث في الغالب إما بسبب فرط نشاط الغدة الدرقية الأولي أو الأورام الخبيثة، ^{[ 13 ]} وبالتالي، من المعقول تضمين هذه في التشخيص التفريقي.

باستخدام علم الأوبئة وعوامل الخطر الفردية، لنفترض أن احتمال أن يكون فرط كالسيوم الدم ناتجًا عن فرط نشاط جارات الدرقية الأولي يُقدّر بـ 0.00125 (أو 0.125%)، والاحتمال المكافئ للسرطان هو 0.0002، و0.0005 للحالات الأخرى. وبافتراض أن احتمال عدم وجود مرض أقل من 0.025، فإن هذا يُقابله احتمال حدوث فرط كالسيوم الدم أصلًا بنسبة تصل إلى 0.02695. ومع ذلك، فقد حدث فرط كالسيوم الدم باحتمال 100%، مما ينتج عنه احتمالات مُعدّلة لا تقل عن 4.6% أن يكون فرط نشاط جارات الدرقية الأولي هو سبب فرط كالسيوم الدم، ولا تقل عن 0.7% للسرطان، ولا تقل عن 1.9% للحالات الأخرى، وتصل إلى 92.8% لعدم وجود مرض وأن يكون فرط كالسيوم الدم ناتجًا عن تقلبات عشوائية.

في هذه الحالة، تستفيد المعالجة الإضافية من تحديد احتمالية التباين العشوائي:

يُفترض أن القيمة تتبع التوزيع الطبيعي بشكل مقبول، لذا يمكن افتراض أن المتوسط ​​يساوي 1.15 في المجموعة المرجعية. أما الانحراف المعياري ، إن لم يكن معلومًا مسبقًا، فيمكن حسابه عكسيًا بمعرفة أن القيمة المطلقة للفرق بين المتوسط، على سبيل المثال، والحد الأعلى للنطاق المرجعي، تساوي تقريبًا انحرافين معياريين (أو بدقة أكبر 1.96)، وبالتالي:

الانحراف المعياري (sd) ≈ | ( المتوسط ) - ( الحد الأعلى) | / 2 = | 1.15 - 1.25 | / 2 = 0.1 / 2 = 0.05 .

يتم حساب الدرجة المعيارية لاختبار الفرد لاحقًا على النحو التالي:

الدرجة المعيارية ( z ) = | ( المتوسط) - (القياس الفردي) | / الانحراف المعياري = | 1.15 - 1.30 | / 0.05 = 0.15 / 0.05 = 3 .

إن احتمال أن تكون قيمة ما أكبر بكثير من المتوسط ​​بحيث يكون لها درجة معيارية 3 يتوافق مع احتمال يبلغ حوالي 0.14٪ (معطى بواسطة (100٪ - 99.7٪) / 2 ، حيث تم إعطاء 99.7٪ هنا من قاعدة 68-95-99.7 ).

باستخدام نفس الاحتمالات التي كان من الممكن أن يحدث بها فرط كالسيوم الدم في المقام الأول بسبب الحالات المرشحة الأخرى، فإن احتمال حدوث فرط كالسيوم الدم في المقام الأول هو 0.00335، وبالنظر إلى حقيقة حدوث فرط كالسيوم الدم ، فإن الاحتمالات المعدلة هي 37.3٪ و 6.0٪ و 14.9٪ و 41.8٪ على التوالي، لفرط جارات الدرقية الأولي والسرطان والحالات الأخرى وعدم وجود مرض.