إطار مرجعي دوار

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُعرَّف قوة الطرد المركزي بأنها قوة خارجية مرتبطة بالدوران . وتُعدّ قوة الطرد المركزي إحدى القوى التي تُسمى بالقوى الزائفة (أو القوى القصور الذاتي )، وقد سُميت كذلك لأنها، على عكس القوى الحقيقية ، لا تنشأ من التفاعلات مع الأجسام الأخرى الموجودة في بيئة الجسيم الذي تؤثر عليه. بل تنشأ قوة الطرد المركزي من دوران الإطار المرجعي الذي تُجرى فيه الملاحظات. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ظهر التعبير الرياضي لقوة كوريوليس في ورقة بحثية عام 1835 للعالم الفرنسي غاسبار غوستاف كوريوليس فيما يتعلق بالديناميكا المائية ، وكذلك في معادلات المد والجزر لبيير سيمون لابلاس في عام 1778. في أوائل القرن العشرين، بدأ استخدام مصطلح قوة كوريوليس فيما يتعلق بالأرصاد الجوية .

لعلّ أكثر الأطر المرجعية الدوارة شيوعًا هي الأرض . تخضع الأجسام المتحركة على سطح الأرض لقوة كوريوليس، فتبدو وكأنها تنحرف إلى اليمين في نصف الكرة الشمالي ، وإلى اليسار في نصف الكرة الجنوبي . تُعدّ حركات الهواء في الغلاف الجوي والمياه في المحيطات أمثلة بارزة على هذا السلوك: فبدلًا من أن تتدفق الرياح والتيارات مباشرةً من مناطق الضغط المرتفع إلى مناطق الضغط المنخفض، كما هو الحال على كوكب غير دوّار، فإنها تميل إلى التدفق إلى يمين هذا الاتجاه شمال خط الاستواء ، وإلى يساره جنوب خط الاستواء. هذا التأثير مسؤول عن دوران الأعاصير الكبيرة (انظر تأثيرات كوريوليس في علم الأرصاد الجوية ).

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يُعرف تسارع أويلر (نسبةً إلى ليونارد أويلر )، أو التسارع السمتي ^{[ 8 ]} أو التسارع العرضي ^{[ 9 ]،} بأنه تسارع يظهر عند استخدام إطار مرجعي يدور بشكل غير منتظم لتحليل الحركة، مع وجود تغير في السرعة الزاوية لمحور هذا الإطار . يقتصر هذا المقال على إطار مرجعي يدور حول محور ثابت.

قوة أويلر هي قوة وهمية تؤثر على جسم ما، وترتبط بتسارع أويلر بالعلاقة F = ma ، حيث a هو تسارع أويلر و m هي كتلة الجسم. ^{[ 10 ] [ 11 ]}  

لاستخلاص هذه القوى الوهمية، من المفيد أن تكون قادراً على التحويل بين الإحداثيات.${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$الإطار المرجعي الدوار والإحداثيات${\displaystyle (x,y,z)}$لإطار مرجعي قصوري له نفس الأصل. ^{[ ملاحظة 1 ]} إذا كان الدوران حول${\displaystyle z}$محور ذو سرعة زاوية ثابتة$أوميغا$(لذا${\displaystyle z'=z}$و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$وهذا يعني${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$لبعض الثوابت${\displaystyle \theta _{0}}$أين${\displaystyle \theta (t)}$يشير إلى الزاوية في${\displaystyle xy}$- تم تشكيل المستوى في وقت${\displaystyle t}$بواسطة${\displaystyle \left(x',y'\right)}$و${\displaystyle x}$(المحور -)، وإذا تطابق إطارا الإسناد في الوقت${\displaystyle t=0}$(معنى${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$متى${\displaystyle t=0,}$لذا خذ${\displaystyle \theta _{0}=0}$أو أي مضاعف صحيح آخر لـ${\displaystyle 2\pi }$يمكن كتابة التحويل من الإحداثيات الدوارة إلى الإحداثيات العطالية على النحو التالي $${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$$${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$ أما التحويل العكسي فهو $${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$$${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

يمكن الحصول على هذه النتيجة من مصفوفة الدوران .

أدخل متجهات الوحدة${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$تمثل هذه المتجهات متجهات أساسية قياسية في الإطار الدوار. سيتم إيجاد المشتقات الزمنية لهذه المتجهات لاحقًا. لنفترض أن الإطارين متوازيان عند${\displaystyle t=0}$و${\displaystyle z}$المحور - هو محور الدوران. ثم بالنسبة للدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية${\displaystyle \Omega t}$: $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$ حيث${\displaystyle (x,y)}$تُعبّر المكونات في الإطار الثابت. وبالمثل، $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

وبالتالي فإن المشتق الزمني لهذه المتجهات، التي تدور دون تغيير في مقدارها، هو $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\$$ ;} $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$ أين${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$ هذه النتيجة هي نفسها التي تم الحصول عليها باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجه مع متجه الدوران${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$موجه على طول محور الدوران z${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$أي، $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$ أين${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$إما${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$أو${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

تعريف متجهات الوحدة${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$، والتي تمثل الآن متجهات أساس الوحدة القياسية في الإطار الدوار العام. أثناء دورانها، ستبقى هذه المتجهات موحدة ومتعامدة مع بعضها البعض. إذا دارت بسرعة${\displaystyle \Omega (t)}$حول محور على طول متجه الدوران${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$ثم كل متجه وحدة${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$لنظام الإحداثيات الدوار (مثل${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$أو${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$) يلتزم بالمعادلة التالية: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$ لذلك إذا${\displaystyle R(t)}$يشير إلى التحويل الذي يأخذ متجهات الأساس للإطار المرجعي العطالي إلى الإطار المرجعي الدوار، مع أعمدة المصفوفة التي تساوي متجهات الأساس للإطار المرجعي الدوار، ثم يُعطى الضرب الاتجاهي في متجه الدوران بواسطة${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$.

لو${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$هي دالة متجهة تُكتب على النحو التالي ^{[ ملاحظة 2 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$ ونريد أن ندرس مشتقتها الأولى إذن (باستخدام قاعدة الضرب للتفاضل): ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$يشير إلى معدل تغير${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$كما لوحظ في نظام الإحداثيات الدوار. ويمكن التعبير عن التفاضل باختصار كما يلي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

تُعرف هذه النتيجة أيضًا باسم نظرية النقل في الديناميكا التحليلية، ويشار إليها أحيانًا باسم المعادلة الحركية الأساسية . ^{[ 14 ]}

سرعة الجسم هي المشتق الزمني لموقع الجسم، لذا

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

المشتق الزمني للموضع${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$في إطار مرجعي دوار، يتكون من عنصرين، أحدهما ناتج عن التغير الزمني الصريح بسبب حركة الجسم نفسه في الإطار المرجعي الدوار، والآخر ناتج عن دوران الإطار نفسه. بتطبيق نتيجة القسم الفرعي السابق على الإزاحة${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$ترتبط السرعات في الإطارين المرجعيين بالمعادلة التالية :

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

حيث الرمز السفلي${\displaystyle \mathrm {i} }$ويعني الإطار المرجعي العطالي، و${\displaystyle \mathrm {r} }$يعني الإطار المرجعي الدوار.

التسارع هو المشتقة الثانية للموضع بالنسبة للزمن، أو المشتقة الأولى للسرعة بالنسبة للزمن.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

حيث الرمز السفلي${\displaystyle \mathrm {i} }$يعني الإطار المرجعي العطالي،${\displaystyle \mathrm {r} }$الإطار المرجعي الدوار، وحيث التعبير، مرة أخرى،${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$يجب تفسير التعبير الموجود بين قوسين على اليسار على أنه عامل يعمل على التعبير الموجود بين قوسين على اليمين.

مثل${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$، المشتقات الزمنية الأولى لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$داخل أي من الإطارين، عند التعبير عنها بالنسبة إلى أساس الإطار المرجعي، مثلاً الإطار المرجعي العطالي، تتطابق. بإجراء التفاضلات وإعادة ترتيب بعض الحدود، نحصل على التسارع بالنسبة إلى الإطار المرجعي الدوار.${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

أين${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$هو التسارع الظاهري في الإطار المرجعي الدوار، المصطلح${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$يمثل التسارع المركزي ، والمصطلح${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$يمثل تسارع كوريوليس . الحد الأخير،${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$، هو تسارع أويلر وهو يساوي صفرًا في الإطارات الدوارة بشكل منتظم.

عندما يتم ضرب تعبير التسارع بكتلة الجسيم، فإن الحدود الثلاثة الإضافية على الجانب الأيمن تؤدي إلى قوى وهمية في الإطار المرجعي الدوار، أي قوى ظاهرية ناتجة عن التواجد في إطار مرجعي غير قصوري ، بدلاً من أي تفاعل مادي بين الأجسام.

باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$نحصل على: ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• قوة كوريوليس$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• القوة الطاردة المركزية$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• وقوة أويلر$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

أين${\displaystyle m}$تمثل كتلة الجسم الذي تؤثر عليه هذه القوى الوهمية . لاحظ أن القوى الثلاث تتلاشى عندما لا يدور الإطار المرجعي، أي عندما${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

ولإتمام الصورة، التسارع بالقصور الذاتي${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$بسبب القوى الخارجية المفروضة${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$يمكن تحديدها من إجمالي القوة الفيزيائية في الإطار المرجعي العطالي (غير الدوار) (على سبيل المثال، القوة الناتجة عن التفاعلات الفيزيائية مثل القوى الكهرومغناطيسية ) باستخدام قانون نيوتن الثاني في الإطار المرجعي العطالي: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$ يصبح قانون نيوتن في الإطار الدوار

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

وبعبارة أخرى، للتعامل مع قوانين الحركة في إطار مرجعي دوار: ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

تعامل مع القوى الوهمية كما لو كانت قوى حقيقية، وتظاهر بأنك في إطار مرجعي قصوري.

من الواضح أن الإطار المرجعي الدوار هو حالة من حالات الإطار غير العطالي. وبالتالي، فإن الجسيم، بالإضافة إلى القوة الحقيقية، يتعرض لقوة وهمية... وسيتحرك الجسيم وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة إذا اعتبرنا أن القوة الكلية المؤثرة عليه هي مجموع القوتين الحقيقية والوهمية.

هذه المعادلة لها نفس شكل قانون نيوتن الثاني تمامًا، باستثناء أنه بالإضافة إلى F ، وهو مجموع جميع القوى المحددة في الإطار المرجعي العطالي، يوجد حد إضافي على اليمين... وهذا يعني أنه يمكننا الاستمرار في استخدام قانون نيوتن الثاني في الإطار غير العطالي بشرط أن نتفق على أنه في الإطار غير العطالي يجب علينا إضافة حد إضافي يشبه القوة، والذي يسمى غالبًا قوة القصور الذاتي .