موجة S

لأغراض هذا الشرح، يُعتبر الوسط الصلب متجانس الخواص إذا كان انفعاله (تشوهه) استجابةً للإجهاد متساوياً في جميع الاتجاهات.${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ليكن متجه الإزاحة لجسيم من هذا الوسط من موضع "سكونه".${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$بسبب الاهتزازات المرنة، التي يُفهم أنها دالة لوضع السكون${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$والوقت${\displaystyle t}$يمكن وصف تشوه الوسط عند تلك النقطة بواسطة موتر الإجهاد${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$، المصفوفة 3×3 التي عناصرها هي $${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

أين${\displaystyle \partial _{i}}$يشير إلى المشتق الجزئي بالنسبة لإحداثيات الموضع${\displaystyle x_{i}}$يرتبط موتر الإجهاد بموتر الإجهاد 3×3${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$بحسب المعادلة $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

هنا${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر (1 إذا${\displaystyle i=j}$(وإلا 0) و${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$هي معلمات لاميه (${\displaystyle \mu }$(حيث يمثل معامل القص للمادة ). ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

ومن قانون نيوتن للقصور الذاتي ، يحصل المرء أيضاً $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$ أين${\displaystyle \rho }$هي كثافة (الكتلة لكل وحدة حجم) الوسط عند تلك النقطة، و${\displaystyle \partial _{t}}$يرمز إلى المشتقة الجزئية بالنسبة للزمن. بدمج المعادلتين الأخيرتين، نحصل على معادلة الموجة الزلزالية في الأوساط المتجانسة.$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

باستخدام ترميز عامل نابلا في حساب المتجهات ،${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$مع بعض التقريبات، يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

بأخذ التفاف هذه المعادلة وتطبيق متطابقات المتجهات، نحصل على $${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

هذه الصيغة هي معادلة الموجة المطبقة على الكمية المتجهة${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$وهو ما يُعرف بإجهاد القص للمادة. حلوله، وهي موجات S، عبارة عن تراكيب خطية من موجات مستوية جيبية بأطوال موجية واتجاهات انتشار مختلفة ، ولكن جميعها بنفس السرعة.${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$بافتراض أن وسط الانتشار خطي ومرن ومتجانس الخواص، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:${\displaystyle \mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}}$^{[ 8 ]} حيثωهي التردد الزاوي وkهو العدد الموجي. وبالتالي،${\displaystyle \beta =\omega /k}$.

إن أخذ تباعد معادلة الموجة الزلزالية في الأوساط المتجانسة، بدلاً من الدوران، ينتج عنه معادلة موجية تصف انتشار الكمية${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$وهو ما يمثل إجهاد الانضغاط للمادة. وتنتقل حلول هذه المعادلة، أي الموجات P، بسرعة أكبر.${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$.

يتم تعريف موجات SH في الحالة المستقرة بواسطة معادلة هيلمهولتز ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$ حيث k هو العدد الموجي.

على غرار ما يحدث في وسط مرن، فإن سرعة موجة القص في مادة لزجة مرنة تُوصف بعلاقة مماثلة.${\displaystyle c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}}$لكن هنا،${\displaystyle \mu }$هو معامل قص معقد يعتمد على التردد و${\displaystyle c(\omega )}$هي سرعة الطور المعتمدة على التردد. ^{[ 8 ]} أحد الأساليب الشائعة لوصف معامل القص في المواد اللزجة المرنة هو من خلال نموذج فويغت الذي ينص على ما يلي:${\displaystyle \mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta }$، أين${\displaystyle \mu _{0}}$هي صلابة المادة و${\displaystyle \eta }$اللزوجة. ^{[ 8 ]}

التصوير بالرنين المغناطيسي المرن (MRE) هو أسلوب لدراسة خصائص المواد البيولوجية في الكائنات الحية، وذلك عن طريق نشر موجات القص بترددات محددة عبر النسيج العضوي المطلوب. ^{[ 10 ]} يستخدم هذا الأسلوب جهاز اهتزاز لإرسال موجات القص إلى النسيج، والتصوير بالرنين المغناطيسي لمشاهدة استجابة النسيج. ^{[ 11 ]} ثم تُقاس سرعة الموجة وأطوالها لتحديد الخصائص المرنة، مثل معامل القص . وقد استُخدم التصوير بالرنين المغناطيسي المرن في دراساتٍ شملت أنسجة بشرية متنوعة، بما في ذلك أنسجة الكبد والدماغ والعظام. ^{[ 10 ]}