انجراف ستوكس

تنجرف موجات ستوكس في أمواج المياه العميقة ، ويبلغ طول الموجة حوالي ضعف عمق الماء.

تنجرف موجات ستوكس في أمواج المياه الضحلة، بطول موجة أطول بكثير من عمق الماء.

تمثل الدوائر الحمراء المواقع الحالية للجسيمات عديمة الكتلة، التي تتحرك بسرعة التدفق . يوضح الخط الأزرق الفاتح مسار هذه الجسيمات، بينما تمثل الدوائر الزرقاء الفاتحة موقع الجسيم بعد كل دورة موجية . أما النقاط البيضاء فتمثل جسيمات المائع، التي يتم تتبعها أيضًا بمرور الوقت. في الحالات الموضحة هنا، تكون متوسط ​​السرعة الأفقية الأويلرية أسفل قاع الموجة صفرًا. لاحظ أن الدورة الموجية التي يتعرض لها جسيم المائع بالقرب من السطح الحر تختلف عن الدورة الموجية عند موقع أفقي ثابت (كما هو موضح بالدوائر الزرقاء الفاتحة). ويعود هذا الاختلاف إلى تأثير دوبلر .

في ديناميكا الموائع ، تُعرف سرعة انجراف ستوكس بأنها متوسط ​​السرعة عند تتبع جسيم معين من المائع أثناء تحركه مع تدفق المائع . على سبيل المثال، يتعرض جسيم يطفو على سطح الماء الحر لموجات الماء لسرعة انجراف ستوكس صافية في اتجاه انتشار الموجة .

بشكل عام، تُعرف سرعة انجراف ستوكس بأنها الفرق بين متوسط ​​سرعة تدفق لاغرانج لجزيء من السائل، ومتوسط ​​سرعة تدفق أويلر للسائل عند موضع ثابت. سُميت هذه الظاهرة غير الخطية نسبةً إلى جورج غابرييل ستوكس ، الذي اشتقّ تعابير لهذا الانجراف في دراسته لأمواج الماء عام 1847 .

يُعرَّف انجراف ستوكس بأنه الفرق في المواضع النهائية بعد فترة زمنية محددة (عادةً دورة موجية واحدة )، وذلك بناءً على وصف باستخدام إحداثيات لاغرانج وأويلر . يُحسب الموضع النهائي في وصف لاغرانج بتتبع كتلة سائلة محددة خلال الفترة الزمنية. أما الموضع النهائي المقابل في وصف أويلر ، فيُحسب بتكامل سرعة التدفق عند موضع ثابت - يساوي الموضع الابتدائي في وصف لاغرانج - خلال الفترة الزمنية نفسها.

سرعة انجراف ستوكس تساوي مقدار انجراف ستوكس مقسومًا على الفترة الزمنية المحددة. ويُشار إليها غالبًا باسم انجراف ستوكس. قد يحدث انجراف ستوكس في جميع حالات التدفق التذبذبي غير المتجانس مكانيًا ، مثل أمواج الماء والمد والجزر والأمواج الجوية .

في الوصف اللاغرانجي ، قد تنجرف جزيئات المائع بعيدًا عن مواقعها الأولية. ونتيجةً لذلك، فإن التعريف الدقيق لمتوسط ​​سرعة لاغرانج وسرعة انجراف ستوكس، التي يمكن نسبتها إلى موقع ثابت معين، ليس بالأمر الهين. ومع ذلك، فقد وفرت نظرية المتوسط ​​اللاغرانجي المعمم (GLM) التي وضعها أندروز وماكنتاير عام 1978 وصفًا دقيقًا كهذا . ^{[ 2 ]}

يُعدّ انجراف ستوكس مهمًا لانتقال الكتلة لمختلف أنواع المواد والكائنات الحية بواسطة التدفقات التذبذبية. ويلعب دورًا حاسمًا في توليد دورات لانغمير . ^{[ 3 ]} بالنسبة للأمواج المائية غير الخطية والدورية ، تم حساب نتائج دقيقة لانجراف ستوكس وجدولتها. ^{[ 4 ]}

يتم إعطاء الحركة اللاغرانجية لحزمة سائلة ذات متجه موضع x = ξ ( α ,  t) في إحداثيات أويلر بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial t}}=\mathbf {u} {\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )},}$

أين

∂ ξ /∂ t هو المشتق الجزئي لـ ξ ( α , t ) بالنسبة إلى t ،

ξ ( α , t ) هو متجه موضع لاغرانج لحزمة سائلة،

u ( x , t ) هي السرعة الأويلرية ،

يمثل x متجه الموضع في نظام الإحداثيات الأويلرية .

α هو متجه الموضع في نظام الإحداثيات اللاغرانجية ،

لقد حان الوقت .

في كثير من الأحيان، يتم اختيار إحداثيات لاغرانج α لتتطابق مع إحداثيات أويلر x في الوقت الأولي t = t ₀ : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t_{0})={\boldsymbol {\alpha }}.}$

إذا تم الإشارة إلى متوسط ​​قيمة كمية ما بخط فوقها، فإن متوسط ​​متجه سرعة أويلر ū _E ومتوسط ​​متجه سرعة لاغرانج ū _L هما

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}&={\overline {\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}},\\{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}&={\overline {{\dot {\boldsymbol {\xi }}}({\boldsymbol {\alpha }},t)}}={\overline {\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial t}}\right)}}={\overline {{\boldsymbol {u}}{\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )}}}.\end{aligned}}}$

قد تُستخدم تعريفات مختلفة للمتوسط ، وذلك تبعاً لموضوع الدراسة (انظر نظرية الإرجودية ):

• المتوسط ​​الزمني ،
• متوسط ​​المساحة ،
• متوسط ​​المجموعة ،
• متوسط ​​الطور .

يتم تعريف سرعة الانجراف ستوكس ū _S على أنها الفرق بين متوسط ​​سرعة أويلر ومتوسط ​​سرعة لاغرانج: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{\text{S}}={\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}-{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}.}$

في كثير من الحالات، يُمثل ربط المتوسطات الكمية من موضع أويلري x إلى موضع لاغرانجي مُقابل α مشكلة. فبما أن كتلة سائلة تحمل الرمز α تسلك مسارًا يتضمن العديد من المواضع الأويلرية المختلفة x ، فإنه لا يُمكن إسناد α إلى موضع x واحد فقط . وقد وفرت نظرية المتوسط ​​اللاغرانجي المُعمم (GLM) التي وضعها أندروز وماكنتاير (1978) أساسًا رياضيًا متينًا لربطٍ واضح بين المتوسطات الكمية اللاغرانجية والأويلرية .

بالنسبة لسرعة أويلر كموجة أحادية اللون من أي نوع في وسط متصل:${\displaystyle u={\hat {u}}\sin(kx-\omega t),}$يمكن الحصول على ذلك بسهولة من خلال نظرية الاضطراب - مع ${\displaystyle k{\hat {u}}/\أوميغا }$كمعامل صغير - لموضع الجسيم ${\displaystyle x=\xi (\xi _{0},t)}$:

${\displaystyle {\dot {\xi }}=u(\xi ,t)={\hat {u}}\sin(k\xi -\omega t),}$

${\displaystyle \xi (\xi _{0},t)\approx \xi _{0}+{\frac {\hat {u}}{\omega }}\cos(k\xi _{0}-\omega t)-{\frac {1}{4}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega ^{2}}}\sin 2(k\xi _{0}-\omega t)+{\frac {1}{2}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega }}t.}$

يصف الحد الأخير هنا سرعة انجراف ستوكس${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k{\hat {u}}^{2}/\omega .}$^{[ 7 ]}

تم صياغة انجراف ستوكس لأمواج الماء بواسطة جورج غابرييل ستوكس في عام 1847. ولتبسيط الأمر، يتم اعتبار حالة المياه العميقة بلا حدود ، مع انتشار الموجة الخطية لموجة جيبية على السطح الحر لطبقة سائلة: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t),}$

أين

يمثل η ارتفاع السطح الحر في اتجاه المحور z (بالمتر)،

a هي سعة الموجة (بالمتر)،

k هو العدد الموجي : k = 2 π / λ ( راديان لكل متر)،

ω هي التردد الزاوي : ω = 2 π / T ( راديان لكل ثانية )،

يمثل x الإحداثي الأفقي واتجاه انتشار الموجة (بالمتر).

يمثل z الإحداثي الرأسي ، حيث يشير الاتجاه الموجب لـ z إلى خارج طبقة السائل (بالمتر).

λ هو الطول الموجي (بالمتر)،

T هو زمن الموجة ( بالثواني ).

كما هو موضح أدناه، فإن المكون الأفقي ū _S ( z ) لسرعة انجراف ستوكس لأمواج المياه العميقة هو تقريبًا: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\bar {u}}_{\text{S}}\approx \omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}={\frac {4\pi ^{2}a^{2}}{\lambda T}}{\text{e}}^{4\pi z/\lambda }.}$

كما هو واضح، فإن سرعة انجراف ستوكس ū _S هي كمية غير خطية بدلالة سعة الموجة a . علاوة على ذلك، تتناقص سرعة انجراف ستوكس أُسّيًا مع العمق: عند عمق ربع طول الموجة، z = − λ /4، تكون حوالي 4% من قيمتها عند السطح الحر المتوسط ، z  =  0.

• قوة كوريوليس-ستوكس
• انجراف داروين
• إحداثيات لاغرانجية وإيلرية
• مشتقات المواد