دالة أسية ممتدة

باتباع التفسير الفيزيائي المعتاد، نفسر وسيط الدالة t على أنه الزمن، و fβ ( t ) هي التوزيع التفاضلي. وبالتالي _، يمكن تفسير المساحة تحت المنحنى على أنها متوسط ​​زمن الاسترخاء . نجد $${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$ حيث Γ هي دالة غاما . بالنسبة للاضمحلال الأسي ، يتم استعادة ⟨ τ ⟩ = τ _K.

العزوم العليا للدالة الأسية الممتدة هي ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

في الفيزياء، بُذلت محاولات لتفسير السلوك الأسي الممتد على أنه تراكب خطي لانحلالات أسية بسيطة. ويتطلب هذا توزيعًا غير تافه لأزمنة الاسترخاء، ρ ( u )، والذي يُعرَّف ضمنيًا بواسطة $${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

أو بدلاً من ذلك، التوزيع$${\displaystyle G=u\rho (u)}$$يتم استخدامه.

يمكن حساب ρ من خلال توسيع السلسلة: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

بالنسبة للقيم النسبية لـ β ، يمكن حساب ρ ( u ) بدلالة الدوال الأولية. لكن التعبير بشكل عام معقد للغاية بحيث لا يكون مفيدًا إلا في حالة β = 1/2 حيث $${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

يوضح الشكل 2 النتائج نفسها مرسومةً في كلٍّ من التمثيل الخطي واللوغاريتمي . تتقارب المنحنيات إلى دالة ديراك دلتا ذات ذروة عند u = 1 عندما تقترب β من 1، وهو ما يتوافق مع الدالة الأسية البسيطة.

الشكل 2. رسوم بيانية خطية ولوغاريتمية لدالة التوزيع الأسي الممتد${\displaystyle G}$مقابل${\displaystyle t/\tau }$ بالنسبة لقيم معامل التمدد β بين 0.1 و 0.9.

يمكن التعبير عن عزوم الدالة الأصلية على النحو التالي: $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}$$

العزم اللوغاريتمي الأول لتوزيع أزمنة الاسترخاء الأسي البسيط هو $${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right)\gamma +\ln \tau _{K}}$$ حيث γ هو ثابت أويلر . ^{[ 11 ]}

إذا كان التوزيع المتكامل عبارة عن دالة أسية ممتدة، فإن دالة كثافة الاحتمال المعيارية تُعطى بواسطة$${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

تجدر الإشارة إلى أنه من المثير للالتباس أن بعض المؤلفين يستخدمون اسم "التوزيع الأسي الممتد" للإشارة إلى توزيع ويبول . ^{[ 21 ]}

دالة أسية ممتدة معدلة $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$تم استخدام الأس β الذي يعتمد ببطء على الزمن لمنحنيات البقاء البيولوجية. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

في الاتصالات اللاسلكية، تبين أن نسخة مُقاسة من الدالة الأسية الممتدة تظهر في تحويل لابلاس لقدرة التداخل${\displaystyle I}$عندما يتم نمذجة مواقع أجهزة الإرسال كعملية بواسون ثنائية الأبعاد بدون منطقة استبعاد حول جهاز الاستقبال. ^{[ 24 ]}

يمكن كتابة تحويل لابلاس لتوزيع التلاشي العشوائي على النحو التالي: $${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$ أين${\displaystyle g}$تكمن قوة التلاشي في${\displaystyle \eta }$هو معامل فقدان المسار ،${\displaystyle \lambda }$هي كثافة عملية بواسون النقطية ثنائية الأبعاد،${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$هي دالة غاما، و${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$هو القيمة المتوقعة للمتغير${\displaystyle x}$.

يوضح المرجع نفسه أيضًا كيفية الحصول على تحويل لابلاس العكسي للدالة الأسية الممتدة${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$للأعداد الصحيحة ذات الرتبة الأعلى${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$من الأعداد الصحيحة ذات الرتبة الأدنى${\displaystyle \beta _{a}}$و${\displaystyle \beta _{b}}$.

استُخدم النموذج الأسي الممتد لوصف أنماط الوصول إلى الوسائط عبر الإنترنت، مثل يوتيوب ومواقع البث المباشر الأخرى ذات البث المستقر . ^{[ 25 ]} وتعكس أنماط الوصول إلى البيانات وفقًا لقانون القوة، المتفق عليها عمومًا، أحمال عمل الويب التي تعتمد على المحتوى النصي، مثل مواقع الأخبار التي تُحدَّث يوميًا. ^{[ 26 ]}