الطرق العددية للمعادلات التفاضلية العادية

من أي نقطة على منحنى، يمكنك إيجاد تقريب لنقطة قريبة على المنحنى عن طريق التحرك لمسافة قصيرة على طول خط مماس للمنحنى.

انطلاقاً من المعادلة التفاضلية ( 1 )، نستبدل المشتقة y ′ بتقريب الفروق المحدودة .

$${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}},}$$

2

والتي عند إعادة ترتيبها تعطي الصيغة التالية $${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hy'(t)}$$ وباستخدام ( 1 ) نحصل على:

$${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t)).}$$

3

تُطبَّق هذه الصيغة عادةً بالطريقة التالية: نختار حجم خطوة h ، ثم نُنشئ المتتالية.${\displaystyle t_{0},t_{1}=t_{0}+h,t_{2}=t_{0}+2h,\dots }$ نرمز بـ${\displaystyle y_{n}}$تقدير عددي للحل الدقيق${\displaystyle y(t_{n})}$انطلاقاً من ( 3 )، نحسب هذه التقديرات باستخدام المخطط التكراري التالي

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

4

هذه هي طريقة أويلر (أو طريقة أويلر الأمامية ، على عكس طريقة أويلر الخلفية التي سيتم شرحها لاحقًا). سُميت هذه الطريقة نسبةً إلى ليونارد أويلر الذي وصفها عام 1768.

تُعد طريقة أويلر مثالاً على طريقة صريحة . وهذا يعني أن القيمة الجديدة y_{_{n +1}} تُعرَّف بدلالة أشياء معروفة مسبقاً، مثل y _{_n} .

إذا استخدمنا التقريب بدلاً من ( 2 )

$${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t)-y(th)}{h}},}$$

5

نحصل على طريقة أويلر العكسية :

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}$$

6

طريقة أويلر العكسية هي طريقة ضمنية ، مما يعني أنه يتعين علينا حل معادلة لإيجاد قيمة y_{_{n +1}}. ويُستخدم عادةً التكرار ذو النقطة الثابتة أو (بعض التعديلات) على طريقة نيوتن-رافسون لتحقيق ذلك.

يستغرق حل هذه المعادلة وقتًا أطول من الطرق الصريحة؛ لذا يجب مراعاة هذا الوقت عند اختيار الطريقة المناسبة. تتمثل ميزة الطرق الضمنية، مثل المعادلة ( 6 )، في أنها عادةً ما تكون أكثر استقرارًا لحل المعادلات المعقدة ، مما يسمح باستخدام خطوة أكبر (h) .

تُشير المُكاملات الأسية إلى فئة كبيرة من المُكاملات التي شهدت تطوراً كبيراً في الآونة الأخيرة. ^{[ 13 ]} ويعود تاريخها إلى ستينيات القرن الماضي على الأقل.

بدلاً من ( 1 )، نفترض أن المعادلة التفاضلية إما على الشكل التالي:

$${\displaystyle y'(t)=-A\,y+{\mathcal {N}}(y),}$$

7

أو تم تحويلها إلى خطية محلية حول حالة خلفية لإنتاج حد خطي${\displaystyle -Ay}$وحد غير خطي${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$.

يتم إنشاء التكاملات الأسية عن طريق ضرب ( 7 ) في${\textstyle e^{At}}$، وإجراء التكامل الدقيق للنتيجة على مدى فترة زمنية${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}$أين${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}{+}h}$:$${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int _{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal {N}}{\left(y\left(t_{n}+\tau \right)\right)}\,d\tau .}$$ هذه المعادلة التكاملية دقيقة، لكنها لا تحدد التكامل.

يمكن تحقيق التكامل الأسي من الدرجة الأولى عن طريق تثبيت${\displaystyle {\mathcal {N}}(y(t_{n}+\tau ))}$ثابت على كامل الفترة:

$${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+A^{-1}\left(1-e^{-Ah}\right){\mathcal {N}}{\left(y(t_{n})\right)}\ .}$$

8

غالباً ما تكون طريقة أويلر غير دقيقة بما فيه الكفاية. بتعبير أدق، فهي من الرتبة الأولى فقط (سيتم شرح مفهوم الرتبة لاحقاً). دفع هذا الأمر علماء الرياضيات إلى البحث عن طرق ذات رتب أعلى.

أحد الاحتمالات هو استخدام القيمة المحسوبة مسبقًا y _{_n} لتحديد y_{_{n +1}} ، بالإضافة إلى جعل الحل يعتمد على قيم سابقة أخرى. ينتج عن ذلك ما يُسمى بطريقة الخطوات المتعددة . ولعل أبسطها طريقة القفزة المتدرجة ، وهي من الدرجة الثانية وتعتمد (بشكل تقريبي) على قيمتين زمنيتين.

تندرج جميع الطرق العملية متعددة الخطوات تقريبًا ضمن عائلة الطرق الخطية متعددة الخطوات ، والتي تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}\\&{}\quad =h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].\end{aligned}}}$$

ثمة احتمال آخر يتمثل في استخدام المزيد من النقاط في الفترة الزمنية${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}$وهذا ما أدى إلى ظهور عائلة طرق رونج-كوتا ، التي سُميت نسبةً إلى كارل رونج ومارتن كوتا . وتحظى إحدى طرقهم من الرتبة الرابعة بشعبية خاصة.

إن التطبيق الجيد لإحدى هذه الطرق لحل معادلة تفاضلية عادية يتطلب أكثر من مجرد صيغة الخطوات الزمنية.

غالباً ما يكون استخدام نفس حجم الخطوة باستمرار غير فعال، لذا طُوّرت طرقٌ تعتمد على حجم خطوة متغير . عادةً ما يُختار حجم الخطوة بحيث يكون الخطأ (المحلي) لكل خطوة أقل من مستوى سماحية معين. هذا يعني أن هذه الطرق يجب أن تحسب أيضاً مؤشر خطأ ، وهو تقدير للخطأ المحلي.

يتمثل أحد امتدادات هذه الفكرة في الاختيار الديناميكي بين طرق مختلفة ذات رتب مختلفة (وهذا ما يُسمى طريقة الرتبة المتغيرة ). تُستخدم الطرق القائمة على استقراء ريتشاردسون ، ^{[ 14 ]} مثل خوارزمية بوليرش-ستوير ، ^{[ 15 ] [ 16 ]} بشكل متكرر لبناء طرق متنوعة ذات رتب مختلفة.

تشمل الميزات الأخرى المرغوبة ما يلي:

• مخرجات كثيفة : تقريبات عددية رخيصة لفترة التكامل بأكملها، وليس فقط عند النقاط t ₀ و t ₁ و t ₂ ...
• تحديد موقع الحدث : إيجاد الأوقات التي تختفي فيها دالة معينة، على سبيل المثال. يتطلب هذا عادةً استخدام خوارزمية البحث عن الجذور .
• دعم الحوسبة المتوازية .
• عند استخدامها للتكامل بالنسبة للزمن، قابلية عكس الزمن

لا تندرج العديد من الطرق ضمن الإطار الذي نوقش هنا. ومن بين فئات الطرق البديلة ما يلي:

• الطرق متعددة المشتقات ، التي لا تستخدم الدالة f فحسب ، بل تستخدم مشتقاتها أيضًا. تشمل هذه الفئة طرق هيرميت-أوبريشكوف وطرق فيلبرغ ، بالإضافة إلى طرق مثل طريقة باركر-سوتشاكي ^{[ 17 ]} أو طريقة بيتشكوف-شيرباكوف، التي تحسب معاملات متسلسلة تايلور للحل y بشكل تكراري.
• طرق المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الثانية . ذكرنا سابقًا أن جميع المعادلات التفاضلية العادية من الرتب العليا يمكن تحويلها إلى معادلات تفاضلية عادية من الرتبة الأولى على الصورة  (1). مع أن هذا صحيحٌ بلا شك، إلا أنه قد لا يكون الأسلوب الأمثل. على وجه الخصوص، تعمل طرق نيستروم مباشرةً مع المعادلات من الرتبة الثانية.
• صُممت طرق التكامل الهندسي ^{[ 18 ] [ 19 ]} خصيصًا لفئات معينة من المعادلات التفاضلية العادية (على سبيل المثال، طرق التكامل التبسيطي لحل معادلات هاميلتون ). وهي تحرص على أن يحترم الحل العددي البنية أو الهندسة الأساسية لهذه الفئات.
• تُعدّ طرق أنظمة الحالة المُكمّمة عائلة من طرق تكامل المعادلات التفاضلية العادية، وتعتمد على فكرة تكميم الحالة. وهي فعّالة عند محاكاة الأنظمة المتفرقة ذات الانقطاعات المتكررة.

تتطلب بعض مسائل القيمة الابتدائية (IVPs) التكامل بدقة زمنية عالية جدًا و/أو على فترات زمنية طويلة جدًا، مما يجعل طرق الخطوات الزمنية التسلسلية التقليدية غير مجدية حسابيًا للتنفيذ في الوقت الفعلي (مثل مسائل القيمة الابتدائية في التنبؤ العددي بالطقس، ونمذجة البلازما، وديناميكيات الجزيئات). وقد طُوّرت طرق المعالجة المتوازية في الزمن (PinT) استجابةً لهذه المشكلات بهدف تقليل أوقات تشغيل المحاكاة باستخدام الحوسبة المتوازية .

في البداية، لم تحظَ طرق PinT المبكرة (التي طُرحت أقدمها في ستينيات القرن العشرين) ^{[ 20 ]} باهتمام الباحثين نظرًا لعدم توفر بنى الحوسبة المتوازية اللازمة لها على نطاق واسع آنذاك. ومع ازدياد القدرة الحاسوبية المتاحة، تجدد الاهتمام بها في أوائل العقد الأول من الألفية الثانية مع تطوير Parareal ، وهي خوارزمية PinT مرنة وسهلة الاستخدام، ومناسبة لحل مجموعة واسعة من مسائل القيمة الابتدائية. وقد أدى ظهور الحوسبة فائقة السرعة (إكساسكيل) إلى جذب خوارزميات PinT اهتمامًا بحثيًا متزايدًا، ويجري تطويرها بطريقة تُمكّنها من الاستفادة من أقوى الحواسيب العملاقة في العالم . ومن بين أكثر الطرق شيوعًا حتى عام 2023: Parareal وPFASST وParaDiag وMGRIT. ^{[ 21 ]}

يُقال إن الطريقة العددية متقاربة إذا اقترب الحل العددي من الحل الدقيق عندما تقترب خطوة الحل h من الصفر. وبشكل أدق، نشترط أنه لكل معادلة تفاضلية عادية (1) ذات دالة ليبشيتز f ولكل t ^*  >  0،

$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\max _{n=0,1,\dots ,\lfloor t^{*}/h\rfloor }\left\|y_{n,h}-y(t_{n})\right\|=0.}$$

جميع الطرق المذكورة أعلاه متقاربة.

لنفترض أن الطريقة العددية هي

$${\displaystyle y_{n+k}=\Psi (t_{n+k};y_{n},y_{n+1},\dots ,y_{n+k-1};h).\,}$$

الخطأ المحلي (خطأ الاقتطاع) للطريقة هو الخطأ الذي يحدث في خطوة واحدة من خطواتها. أي أنه الفرق بين النتيجة التي تعطيها الطريقة، بافتراض عدم وجود أخطاء في الخطوات السابقة، والحل الدقيق.

$${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=\Psi {\left(t_{n+k};y(t_{n}),y(t_{n+1}),\dots ,y(t_{n+k-1});h\right)}-y(t_{n+k}).}$$

يُقال إن الطريقة متسقة إذا $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\delta _{n+k}^{h}}{h}}=0.}$$ الطريقة لها ترتيب${\displaystyle p}$لو $${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=O(h^{p+1})\quad {\text{عندما }}h\to 0.}$$ لذا، تكون الطريقة متسقة إذا كان ترتيبها أكبر من الصفر. طريقة أويلر (الأمامية) (4) وطريقة أويلر (الخلفية) المذكورتان أعلاه لهما ترتيب 1، لذا فهما متسقتان. معظم الطرق المستخدمة عمليًا تصل إلى ترتيب أعلى. الاتساق شرط ضروري للتقارب ، ولكنه غير كافٍ؛ لكي تكون الطريقة متقاربة، يجب أن تكون متسقة ومستقرة عند الصفر .

ومن المفاهيم ذات الصلة الخطأ الكلي (خطأ الاقتطاع) ، وهو الخطأ الذي يحدث في جميع الخطوات اللازمة للوصول إلى وقت محدد${\displaystyle t}$. بشكل صريح، الخطأ الكلي في الوقت${\displaystyle t}$يكون${\displaystyle y_{N}-y(t)}$أين${\displaystyle N=(t-t_{0})/h}$الخطأ الكلي لـ${\displaystyle p}$طريقة الخطوة الواحدة من الرتبة n هي${\displaystyle O(h^{p})}$وعلى وجه الخصوص، فإن هذه الطريقة متقاربة. لكن هذه العبارة ليست بالضرورة صحيحة بالنسبة للطرق متعددة الخطوات.

في بعض المعادلات التفاضلية، يُظهر تطبيق الطرق القياسية - مثل طريقة أويلر، وطرق رونج-كوتا الصريحة ، أو الطرق متعددة الخطوات (مثل طرق آدمز-باشفورث) - عدم استقرار في الحلول، على الرغم من أن الطرق الأخرى قد تُنتج حلولًا مستقرة. يُوصف هذا "السلوك الصعب" في المعادلة (الذي قد لا يكون معقدًا بالضرورة) بالصلابة ، وغالبًا ما ينتج عن وجود مقاييس زمنية مختلفة في المسألة الأساسية. ^{[ 23 ]} على سبيل المثال، يحدث التصادم في نظام ميكانيكي، مثل مذبذب الصدم، عادةً على مقياس زمني أصغر بكثير من زمن حركة الأجسام؛ هذا التباين يُؤدي إلى "انعطافات حادة" في منحنيات معلمات الحالة.

تُعدّ المسائل الصعبة شائعة في مجالات الحركية الكيميائية ، ونظرية التحكم ، وميكانيكا المواد الصلبة ، والتنبؤات الجوية ، وعلم الأحياء ، وفيزياء البلازما ، والإلكترونيات . إحدى طرق التغلب على هذه الصعوبة هي توسيع مفهوم المعادلة التفاضلية ليشمل مفهوم التضمين التفاضلي ، مما يسمح بنمذجة عدم السلاسة. ^{[ 24 ] [ 25 ]}