مشكلة وارينغ

الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، تسأل مسألة وارينغ عما إذا كان لكل عدد طبيعي k عدد صحيح موجب s مرتبط به ، بحيث يكون كل عدد طبيعي هو مجموع s من الأعداد الطبيعية على الأكثر مرفوعة للأس k . على سبيل المثال، كل عدد طبيعي هو مجموع 4 مربعات على الأكثر، أو 9 مكعبات، أو 19 قوة رابعة على الأكثر. طُرحت مسألة وارينغ عام 1770 من قِبل إدوارد وارينغ ، الذي سُميت المسألة باسمه. وقدّم هيلبرت إجابتها الإيجابية، المعروفة باسم نظرية هيلبرت-وارينغ ، عام 1909. [ 1 ] لمسألة وارينغ تصنيفها الخاص في الرياضيات ، 11P05، بعنوان "مسألة وارينغ ومتغيراتها".

العلاقة بنظرية لاغرانج الرباعية

قبل وقت طويل من طرح وارينغ لمشكلته، تساءل ديوفانتوس عما إذا كان بالإمكان تمثيل كل عدد صحيح موجب كمجموع أربعة مربعات كاملة أكبر من أو تساوي الصفر. عُرف هذا السؤال لاحقًا باسم حدسية باشيه، نسبةً إلى ترجمة كلود غاسبار باشيه دي ميزيرياك لكتاب ديوفانتوس عام 1621 ، وقد حلّها جوزيف لويس لاغرانج في نظريته للمربعات الأربعة عام 1770، وهو العام نفسه الذي طرح فيه وارينغ حدسيته. سعى وارينغ إلى تعميم هذه المشكلة بمحاولة تمثيل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة كمجموع مكعبات، وأعداد صحيحة مرفوعة للقوة الرابعة ، وهكذا، لإثبات أنه يمكن تمثيل أي عدد صحيح موجب كمجموع أعداد صحيحة أخرى مرفوعة إلى أس محدد، وأنه يوجد دائمًا حد أقصى لعدد الأعداد الصحيحة المرفوعة إلى أس معين اللازمة لتمثيل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة بهذه الطريقة.

العدد g ( k )

لكلك{\displaystyle k}، يتركز(ك){\displaystyle g(k)}يشير إلى الحد الأدنى للعددs{\displaystyle s}لك{\displaystyle k}القوى العشرية للأعداد الطبيعية اللازمة لتمثيل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. كل عدد صحيح موجب هو مجموع قوة أولى واحدة، وهي نفسه، لذاز(1)=1{\displaystyle g(1)=1}تُظهر بعض العمليات الحسابية البسيطة أن العدد 7 يتطلب 4 مربعات، والعدد 23 يتطلب 9 مكعبات، والعدد 79 يتطلب 19 قوة رابعة؛ تُظهر هذه الأمثلة أنز(2)≥4{\displaystyle g(2)\geq 4}،ز(3)≥9{\displaystyle g(3)\geq 9}، وز(4)≥19{\displaystyle g(4)\geq 19}افترض وارينغ أن هذه الحدود الدنيا كانت في الواقع قيماً دقيقة. [ 3 ]

تنص نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة لعام 1770 على أن كل عدد طبيعي هو مجموع أربعة مربعات على الأكثر. وبما أن ثلاثة مربعات لا تكفي، فإن هذه النظرية تثبتز(2)=4{\displaystyle g(2)=4}تم التكهن بنظرية لاغرانج الرباعية في طبعة باشيه لعام 1621 من كتاب ديوفانتوس الحسابي ؛ وادعى فيرما أنه يمتلك برهانًا، لكنه لم ينشره. [ 4 ]

على مر السنين، تم وضع حدود مختلفة باستخدام تقنيات إثبات متطورة ومعقدة بشكل متزايد. على سبيل المثال، أثبت ليوفيل أنز(4){\displaystyle g(4)}هو على الأكثر 53. أظهر هاردي وليتلوود أن جميع الأعداد الكبيرة بما فيه الكفاية هي مجموع 19 قوة رابعة على الأكثر .

القيم الدقيقة لـ g ( k )
قيمةعام الاكتشافمؤلف
g (2) = 41770جيه-إل. لاغرانج [ 5 ]
g (3) = 91909أ. ويفريش [ 6 ] تم سد ثغرة في البرهان بواسطة أ. ج. كيمبنر في عام 1912 [ 7 ]
g (4) = 191986R. Balasubramanian و J.-M. Deshouillers و F. Dress [ 8 ] [ 9 ]
g (5) = 371964جيه آر تشين [ 10 ] وجيه إتش كونواي [ 11 ] (بشكل مستقل)
g (6) = 731940إس إس بيلاي [ 12 ]
g (7) = 1431936إل إي ديكسون [ 13 ] وإس إس بيلاي [ 14 ] (بشكل مستقل)
g ( k )، k > 71936–1944LE Dickson [ 15 ] و SS Pillai [ 16 ] [ 17 ] (بشكل مستقل) في عام 1936، بالنسبة لجميع الحالات تقريبًا، أما الباقي فقد عالجه R. K. Rubugunday في عام 1942 [ 18 ] و IM Niven في عام 1944 [ 19 ].

يتركq{\displaystyle q}ور{\displaystyle r}يتم تعريفها بواسطة التقسيم الإقليدي3ك=2كq+ر،0≤ر<2ك،{\displaystyle 3^{k}=2^{k}q+r,\quad 0\leq r<2^{k},}أو صراحةً بواسطةq=⌊(3/2)ك⌋{\displaystyle q=\lfloor (3/2)^{k}\rfloor }ور=2ك{(3/2)ك}{\displaystyle r=2^{k}\{(3/2)^{k}\}}، أين⌊x⌋{\displaystyle \lfloor x\rfloor }و{x}{\displaystyle \{x\}}يرمزان على التوالي إلى الجزء الصحيح والكسري من عدد حقيقيx{\displaystyle x}.

بما أن الرقم2كq-1{\displaystyle 2^{k}q-1}أقل من3ك{\displaystyle 3^{k}}باعتبارها مجموع قوى أعداد صحيحة، لا يمكن التعبير عنها إلا باستخدام1ك{\displaystyle 1^{k}}و2ك{\displaystyle 2^{k}}باستخدام الحساب النمطي ، يمكن إثبات أن الصيغة تُحقق أقل عدد من الحدود2كq-1=1ك+⋯+1ك⏟2ك-1 أوقات+2ك+⋯+2ك⏟q-1 أوقات،{\displaystyle 2^{k}q-1=\underbrace {1^{k}+\dots +1^{k}} _{2^{k}-1{\text{ مرات}}}+\underbrace {2^{k}+\dots +2^{k}} _{q-1{\text{ مرات}}},}ويترتب على ذلكز(ك)≥2ك+q-2،{\displaystyle g(k)\geq 2^{k}+q-2,}وقد أشار إلى ذلك يوهان أويلر حوالي عام 1772. [ 20 ] ليكن4ك=3كد+s،0≤s<3ك{\displaystyle 4^{k}=3^{k}d+s,\,0\leq s<3^{k}}أدى العمل المشترك للمؤلفين المذكورين أعلاه إلى الصيغة [ 21 ] [ 22 ] الصالحة لجميعك{\displaystyle k}:ز(ك)={2ك+q-2لو  q+ر≤2ك2ك+q+د-2لو  q+ر>2ك  و  qد+q+د=2ك2ك+q+د-3لو  q+ر>2ك  و  qد+q+د>2ك.{\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+q-2&{\text{إذا كان }}~q+r\leq 2^{k}\\2^{k}+q+d-2&{\text{إذا كان }}~q+r>2^{k}~{\text{ و }}~qd+q+d=2^{k}\\2^{k}+q+d-3&{\text{إذا كان }}~q+r>2^{k}~{\text{ و }}~qd+q+d>2^{k}.\end{cases}}}أثبت كل من ديكسون وبيلاي بشكل مستقل الحالة الأولى، لـq+ر≤2ك-3{\displaystyle q+r\leq 2^{k}-3}والحالتين الأخريين، [ 23 ] وقد أشاروا إلى ذلكq+ر≠2ك-1{\displaystyle q+r\neq 2^{k}-1}لك>1{\displaystyle k>1}أثبت روبوجونداي ذلك q+ر≠2ك{\displaystyle q+r\neq 2^{k}}للجميعك{\displaystyle k}، تاركاً القضية النهائيةq+ر=2ك-2{\displaystyle q+r=2^{k}-2}مفتوح. في هذا السيناريو، أثبت نيفن أنز(ك)=2ك+q-2{\displaystyle g(k)=2^{k}+q-2}.

لا قيمة لـك{\displaystyle k}من المعروف أن الفرضيةq+ر>2ك{\displaystyle q+r>2^{k}}ينطبق هذا في الحالتين الأخيرتين. وقد أثبت ماهلر [ 24 ] أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى عدد محدود من هذه الحالات.ك{\displaystyle k}أظهر كوبينا ووندرليش [ 25 ] ، اللذان وسعا نطاق عمل ستملر [ 26 ] ، أن أيًا من هذا القبيلك{\displaystyle k}يجب أن يفيك>471600٠٠٠{\displaystyle k>471\,600\,000}يُعتقد أنه لا يوجد مثل هذاك{\displaystyle k}في هذه الحالة،ز(ك)=2ك+q-2{\displaystyle g(k)=2^{k}+q-2}لكل عدد صحيح موجبك{\displaystyle k}.

القيم القليلة الأولى منز(ك){\displaystyle g(k)}نكون

1، 4، 9، 19، 37، 73، 143، 279، 548، 1079، 2132، 4223، 8384، 16673، 33203، 66190، 132055، 263619، 526502، 1051899، ... (التسلسل A002804 في OEIS ) .

العدد G ( k )

استنادًا إلى عمل هاردي وليتلوود [ 27 ] ، دُرست الكمية المرتبطة G ( k ) مع g ( k ). تُعرَّف G ( k ) بأنها أصغر عدد صحيح موجب s بحيث يمكن تمثيل أي عدد صحيح كبير بما فيه الكفاية ( أي أي عدد صحيح أكبر من ثابت ما) كمجموع s أعداد صحيحة موجبة على الأكثر مرفوعة للأس k . من الواضح أن G (1) = 1. بما أن المربعات متطابقة مع 0 أو 1 أو 4 (mod 8) (وكذلك مع 0 أو 1 أو 4 (mod 5) [ 28 ] )، فلا يمكن تمثيل أي عدد صحيح متطابق مع 7 (mod 8) كمجموع ثلاثة مربعات، مما يعني أن G (2) ≥ 4. بما أن G ( k ) ≤ g ( k ) لجميع قيم k ، فإن هذا يُظهر أن G (2) = 4 . أظهر دافنبورت [ 29 ] أن G (4) = 16 في عام 1939، وذلك بإثبات أن أي عدد كبير بما فيه الكفاية، متطابق مع الأعداد من 1 إلى 14 بتردد 16، يمكن كتابته كمجموع 14 قوة رابعة (قام فوغان في عامي 1986 [ 30 ] و1989 [ 31 ] باختزال هذه القوى الأربع عشرة تباعًا إلى 13 و12). القيمة الدقيقة لـ G ( k ) غير معروفة لأي قيمة أخرى لـ k ، ولكن توجد حدود لها.

الحدود الدنيا لـ G ( k )

الحدود
1 = G (1) = 1
4 = G (2) = 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 = G (4) = 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

العدد G ( k ) أكبر من أو يساوي

2 r +2إذا كان k = 2 r حيث r ≥ 2، أو k = 3 × 2 r ؛
ص ر +1إذا كان p عددًا أوليًا أكبر من 2 و k = p r ( p − 1)؛
( p r +1 − 1)/2 إذا كان p عددًا أوليًا أكبر من 2 و k = p r (p − 1)/2؛
ك + 1لجميع الأعداد الصحيحة k الأكبر من 1.

في غياب قيود التطابق، تشير حجة الكثافة إلى أن G ( k ) يجب أن يساوي k + 1 .

الحدود العليا لـ G ( k )

G (3) يساوي 4 على الأقل (لأن المكعبات متطابقة مع 0 أو 1 أو -1 بتردد 9)؛ للأعداد الأقل من 1.3 × 109 ،العدد 1,290,740 هو آخر عدد يتطلب 6 مكعبات، ويتناقص عدد الأعداد بين N و2 N التي تتطلب 5 مكعبات مع ازدياد N بسرعة كافية تجعل الناس يعتقدون أن G (3) = 4 ؛ [ 32 ] أكبر عدد معروف الآن أنه ليس مجموع 4 مكعبات هو7 373 170 279 850 ، [ 33 ] ويقدم المؤلفون هناك حججًا معقولة تشير إلى أن هذا قد يكون أكبر قيمة ممكنة. يعود الحد الأعلى G (3) ≤ 7 إلى لينيك في عام 1943. [ 34 ] (جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة تتطلب على الأكثر 9 مكعبات، ويُعتقد أن أكبر الأعداد الصحيحة التي تتطلب 9 و8 و7 و6 و5 مكعبات هي 239 و454 و8042،1 290 740 و7 373 170 279 850 على التوالي.)

يُعدّ العدد 13792 أكبر عدد يتطلب 17 قوة رابعة (أظهر ديشوييه وهينيكارت ولاندرو في عام 2000 [ 35 ] أن كل عدد بينيتطلب العددان 13793 و 10245 على الأكثر 16، وقد وسّع كل من كاودا وولي وديشوييه [ 36 ] نتيجة دافنبورت لعام 1939 لإظهار أن كل عدد أكبر من 10220 يتطلب على الأكثر 16. الأعداد من الشكل 31 × 16 ن تتطلب دائمًا 16 قوة رابعة.

68 578 904 422 هو آخر رقم معروف يتطلب 9 قوى خامسة ( متسلسلة الأعداد الصحيحة S001057، توني د. نو، 4 يوليو 2017).617597724 هو آخر رقم أقل من 1.3 × 109 التي تتطلب 10 قوى خامسة، و51033617 هو آخر رقم أقل من 1.3 × 109 يتطلب 11.

الحدود العليا على اليمين لـ 5 ≤ k ≤ 20 تعود إلى فوغان وولي . [ 37 ]

باستخدام طريقته المحسّنة هاردي-رامانوجان-ليتلوود ، نشر آي  . إم. فينوغرادوف العديد من التحسينات التي أدت إلى

جي(ك)≤ك(3سجل⁡ك+11){\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}

في عام 1947 [ 38 ] ، وفي نهاية المطاف،

جي(ك)≤ك(2سجل⁡ك+2سجل⁡سجل⁡ك+جسجل⁡سجل⁡سجل⁡ك){\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}

لثابت غير محدد C و k كبير بما فيه الكفاية في عام 1959. [ 39 ]

بتطبيق صيغته p -adic لطريقة هاردي-رامانوجان-ليتلوود-فينوغرادوف لتقدير المجاميع المثلثية، حيث يتم الجمع على أعداد ذات قواسم أولية صغيرة، حصل أناتولي أليكسيفيتش كاراتسوبا في عام 1985 على تقدير جديد، [ 40 ] لـك≥400{\displaystyle k\geq 400}:

جي(ك)≤ك(2سجل⁡ك+2سجل⁡سجل⁡ك+12).{\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+12).}

وقد تم الحصول على مزيد من التحسينات من قبل فوغان في عام 1989. [ 31 ]

ثم أثبت وولي أنه بالنسبة لبعض الثوابت C ، [ 41 ]

جي(ك)≤ك(سجل⁡ك+سجل⁡سجل⁡ك+ج).{\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}

كانت المقالة الاستقصائية التي نشرها فوغان وولي عام 2002 شاملة في ذلك الوقت. [ 37 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ هيلبرت ، ديفيد (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (مشكلة Waringsches)" . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 67 (3): 281-300 . دوى : 10.1007 / bf01450405 . السيد 1511530 . S2CID 179177986 .  
  2. تذكر أننا نقتصر على الأعداد الطبيعية الموجبة . مع الأعداد الصحيحة العامة، ليس من الصعب كتابة 23 كمجموع 4 مكعبات، على سبيل المثال23+23+23+(-1)3{\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}أو293+173+83+(-31)3{\displaystyle 29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}}.
  3. ↑ إليسون، دبليو جيه (1971). "مسألة وارينغ" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 78 (1): 10. doi : 10.2307/2317482 .
  4. ↑ ديكسون، ليونارد يوجين (1920). "الفصل الثامن". تاريخ نظرية الأعداد . المجلد الثاني: التحليل الديوفانتي. معهد كارنيجي في واشنطن . 
  5. ^ لاغرانج، جوزيف لويس (1770). "عرض لنظرية الحساب" . مذكرات جديدة من الأكاديمية الملكية للعلوم والآداب الجميلة في برلين : 123- 133.
  6. ^ ويفيريش، آرثر (1909). "Beweis des Satzes، daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun إيجابي Kuben darstellen läßt" . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 66 (1): 95-101 . دوى : 10.1007 / BF01450913 . S2CID 121386035 . 
  7. ^ كيمبنر ، أوبري (1912). "مشكلة Bemerkungen zum Waringschen" . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 72 (3): 387-399 . دوى : 10.1007 / BF01456723 . S2CID 120101223 . 
  8. ^ بالاسوبرامانيان، راماشاندران؛ ديشويليرس، جان مارك؛ فستان فرانسوا (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. مخطط الحل" [ مشكلة Waring في biquadrates. I. رسم للحل ] . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I (باللغة الفرنسية). 303 (4) : 85- 88.ر.م 0853592 . 
  9. ^ بالاسوبرامانيان، راماشاندران؛ ديشويليرس، جان مارك؛ فستان فرانسوا (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. النتائج المساعدة للنظرية المقاربة" [ مشكلة Waring في الثنائيات المربعة. ثانيا. النتائج المساعدة للنظرية المقاربة ] . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I (باللغة الفرنسية). 303 (5) : 161- 163.ر.م 0854724 . 
  10. ↑ تشين، جينغ-رون (1964). "مسألة وارينغ لـ g(5)=37" . ساينتيا سينيكا . 13 (10): 1547– 1568.
  11. ↑ كان كونواي ينوي في الأصل نشر هذه النتيجة كجزء من أطروحته للدكتوراه. إلا أن تشين نشر النتيجة نفسها في وقت لاحق من ذلك العام، مما دفع كونواي إلى التخلي عن النشر وتغيير موضوع أطروحته. انظر: خورخي نونو سيلفا (سبتمبر 2005). "إفطار مع جون هورتون كونواي" (ملف PDF) . نشرة EMS . 57 : 32-34 ."جون هورتون كونواي (26 ديسمبر 1937 - 11 أبريل 2020)" (ملف PDF) . ماك تيوتور . 2022. تاريخ الاسترجاع: 13 فبراير 2026 .
  12. ↑ بيلاي، إس إس (1940). " حول مسألة وارينغ g (6) = 73". وقائع الأكاديمية الهندية للعلوم . 12 : 30-40 . doi : 10.1007/BF03170721 . MR 0002993. S2CID 185097940 .    
  13. ↑ ديكسون، ل. إي. (1936). "برهان نظرية وارينغ المثالية للأسس من 7 إلى 180" . المجلة الأمريكية للرياضيات . 58 (3): 521-529 . doi : 10.2307/2370969 . ISSN 0002-9327 . 
  14. ↑ بيلاي، إس إس (1936). "حول مشكلة وارينغ الرابعة" . مجلة جامعة أنامالاي . المجلد السادس : 54-64 .
  15. ↑ ديكسون، ل. إي. (1936). "حل مسألة وارينغ". المجلة الأمريكية للرياضيات . 58 (3): 530-535 . doi : 10.2307/2370970 . JSTOR 2370970 . 
  16. ↑ بيلاي، إس إس (1936). "حول مسألة وارينغ" . مجلة الجمعية الرياضية الهندية . 2 : 16-44 .
  17. ↑ بيلاي، إس إس (1936). "حول مشكلة وارينغ الثالثة" . مجلة جامعة أنامالاي . المجلد السادس : 50-53 .
  18. ↑ روبوغونداي، آر كيه (1942). "حول g(k) في مسألة وارينغ" . مجلة الجمعية الرياضية الهندية . 6 : 192-198 .
  19. ↑ نيفن، إيفان م. (1944). "حالة غير محلولة من مسألة وارينغ". المجلة الأمريكية للرياضيات . 66 (1). مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 137-143 . doi : 10.2307/2371901 . JSTOR 2371901. MR 0009386 .  
  20. ^ أويلر ، ليونارد (1862). ليوناردي أوليري أوبرا ما بعد الرياضيات والفيزياء : كشف MDCCCXLIV السنوي . جامعة هارفارد. بتروبولي : إيجرز. ص 203 – 204.   {{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )
  21. ↑ هاردي، جودفري هـ.؛ رايت، إدوارد م.؛ هيث-براون، د. ر. (2008). مقدمة في نظرية الأعداد . رياضيات أكسفورد (الطبعة السادسة، [مراجعة د. ر. هيث-براون ...] محرر). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN  978-0-19-921986-5.
  22. ↑ سمول، تشارلز (1977-01-01). "مسألة وارينغ" . مجلة الرياضيات . 50 (1): 12. doi : 10.2307/2689743 .
  23. ↑ بالنسبة للشرط الثانوي، يعطي بيلاير+s≥3ك{\displaystyle r+s\geq 3^{k}}ور+s<3ك{\displaystyle r+s<3^{k}}بدلاً من ديكسونqد+q+د=2ك{\displaystyle qd+q+d=2^{k}}وqد+q+د>2ك{\displaystyle qd+q+d>2^{k}}والتي تُعتبر متكافئة بموجبq+ر>2ك{\displaystyle q+r>2^{k}}.
  24. ↑ ماهلر، كورت (1957). "حول الأجزاء الكسرية لقوى العدد النسبي II". مجلة الرياضيات . 4 (2): 122-124 . doi : 10.1112/s0025579300001170 . MR 0093509 . 
  25. ↑ كوبينا، جيفري م.؛ ونديرليش، مارفن س. (1990). " توسيع حدسية وارينغ إلى 471,600,000". مجلة الرياضيات الحاسوبية 55 (192): 815-820 . رمز Bibcode : 1990MaCom..55..815K . doi : 10.2307/2008448 . JSTOR 2008448. MR 1035936 .  
  26. ↑ ستملر، روزماري م. (1964). "نظرية وارينغ المثالية للأسس من 401 إلى 200000" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 18 (85): 144-146 . doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0159803-X . ISSN 0025-5718 . تاريخ الاسترجاع: 4 فبراير 2025 . 
  27. ^ هاردي، غ. ليتلوود، جي إي (1922). “بعض مشاكل Partitio Numerorum : IV. السلسلة المفردة في مشكلة Waring وقيمة الرقم G(k)”. الرياضيات Zeitschrift . 12 (1): 161-188 . دوى : 10.1007 / BF01482074 . ISSN 0025-5874 . 
  28. ↑ "المربع بتردد 5" .
  29. ↑ دافنبورت، هـ. (1939). "حول مسألة وارينغ للقوى الرابعة". حوليات الرياضيات . 40 (4): 731-747 . Bibcode : 1939AnMat..40..731D . doi : 10.2307/1968889 . JSTOR 1968889 . 
  30. ↑ فوغان، آر سي (1986). "حول مسألة وارينغ للأسس الأصغر". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . s3-52 (3): 445– 463. doi : 10.1112/plms/s3-52.3.445 .
  31. 1 2 فوغان، آر سي (1989). "طريقة تكرارية جديدة في مسألة وارينغ". أكتا ماثيماتيكا . 162 : 1-71 . doi : 10.1007/BF02392834 . ISSN 0001-5962 . 
  32. ↑ ناثانسون (1996 ، ص 71) . 
  33. ^ ديشويليرس، جان مارك؛ هينكارت، فرانسوا؛ لاندرو، برنارد. I. غوستي بوتو بورنابا، الملحق بواسطة (2000). "7373170279850" . الرياضيات الحسابية . 69 (229): 421-439 . دوى : 10.1090 / S0025-5718-99-01116-3 .
  34. ↑ يو في لينيك. "حول تمثيل الأعداد الكبيرة كمجموع سبعة مكعبات". مات. سب. إن إس 12(54)، 218-224 (1943).
  35. ^ ديشويليرس، جان مارك؛ هينكارت، فرانسوا؛ لاندرو، برنارد (2000). "مسألة وارنج لستة عشر مربعًا - نتائج عددية" . مجلة نظرية الأسماء في بوردو . 12 (2): 411-422 . دوى : 10.5802/jtnb.287 .
  36. ^ ديشويليرس، جان مارك؛ كاوادا، كويتشي؛ وولي، تريفور د. (2005). “على مبالغ ستة عشر بيكوادراتس”. مذكرات شركة الرياضيات في فرنسا . 1 : 1 – 120. دوى : 10.24033/msmf.413 . ISSN 0249-633X . 
  37. 1 2 فوغان، آر سي؛ وولي، تريفور (2002). "مشكلة وارينغ: دراسة استقصائية". في بينيت، مايكل أ.؛ بيرندت، بروس سي.؛ بوسطن، نايجل؛ دايموند، هارولد جي.؛ هيلدبراند، أدولف جيه.؛ فيليب، والتر (محررون). نظرية الأعداد للألفية . المجلد الثالث. ناتيك، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. الصفحات 301-340 . ISBN   978-1-56881-152-9MR 1956283 .​ 
  38. ↑ فينوغرادوف، إيفان ماتفييفيتش (1 سبتمبر 2004) [1947]. طريقة المجاميع المثلثية في نظرية الأعداد . ترجمة روث، ك. ف.؛ دافنبورت، آن. مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-43878-8.
  39. ↑ فينوغرادوف، آي إم (1959). "حول حد أعلى لـ $G(n)$" . إزف. أكاد. ناوك إس إس إس آر سير. مات. (باللغة الروسية). 23 (5): 637– 642.
  40. ↑ كاراتسوبا، أ.أ. (1985). "حول الدالة G ( n ) في مسألة وارينغ". إزف. أكاد. ناوك إس إس إس آر سير. مات . 27 (4): 935–947 . Bibcode : 1986IzMat..27..239K . doi : 10.1070/IM1986v027n02ABEH001176 .
  41. ↑ فوغان، آر سي (1997). طريقة هاردي-ليتلوود . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد 125 ( الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN   0-521-57347-5. Zbl 0868.11046 . 

مراجع

  • جي آي أرخيبوف، في إن تشوباريكوف، إيه إيه كاراتسوبا ، "المجاميع المثلثية في نظرية الأعداد والتحليل". برلين - نيويورك: والتر دي جرويتر، (2004).
  • GI Arkhipov، AA Karatsuba، VN Chubarikov، "نظرية المجاميع المثلثية المتعددة". موسكو: ناوكا، (1987).
  • يو. في. لينيك ، "حل أولي لمسألة وارينغ بطريقة شنايرلمان". مات. سب.، ن. سير. 12 (54)، 225-230 (1943).
  • RC Vaughan ، "طريقة تكرارية جديدة في مسألة وارينغ". Acta Mathematica (162)، 1-71 (1989).
  • إم فينوغرادوف ، "طريقة المجاميع المثلثية في نظرية الأعداد". أعمال معهد الرياضيات ستيكلوف (23)، 109 صفحة (1947).
  • IM Vinogradov، "حول حد أعلى لـ G ( n )". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (23)، 637–642 (1959).
  • IM Vinogradov, AA Karatsuba, "The method of trigonometric sums in number theory", Proc. Steklov Inst. Math. , 168, 3–30 (1986); translation from Trudy Mat. Inst. Steklova, 168, 4–30 (1984).
  • إليسون، دبليو جيه (1971). "مسألة وارينغ" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 78 (1): 10-36 . doi : 10.2307/2317482 . JSTOR 2317482 . يحتوي هذا المسح على الصيغة الدقيقة لـ G ( k )، ونسخة مبسطة من برهان هيلبرت، بالإضافة إلى ثروة من المراجع.
  • خينشين، أ. يا. (1998). ثلاث لآلئ في نظرية الأعداد . مينولا، نيويورك: دوفر. ISBN 978-0-486-40026-6.يحتوي على برهان أولي على وجود G ( k ) باستخدام كثافة شنيرلمان .
  • ناثانسون، ميلفين ب. (1996). نظرية الأعداد الجمعية: الأسس الكلاسيكية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  164. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002 . يحتوي على براهين لنظرية لاغرانج، ونظرية العدد المضلعي ، وبرهان هيلبرت لتخمين وارينغ، وبرهان هاردي-ليتلوود للصيغة التقاربية لعدد طرق تمثيل N كمجموع قوى s k .
  • هانز رادماخر وأوتو توبليتز ، متعة الرياضيات (1933) ( ISBN 0-691-02351-4). يحتوي على برهان لنظرية لاغرانج، وهو متاح لطلاب المدارس الثانوية.