الخيار الآسيوي

الخيار الآسيوي (أو خيار القيمة المتوسطة ) هو نوع خاص من عقود الخيارات . في الخيارات الآسيوية، يُحدد العائد بناءً على متوسط ​​سعر الأصل الأساسي خلال فترة زمنية محددة مسبقًا. وهذا يختلف عن الخيار الأوروبي والخيار الأمريكي المعتادين ، حيث يعتمد عائد عقد الخيار على سعر الأصل الأساسي عند ممارسة الخيار؛ ولذلك تُعد الخيارات الآسيوية أحد الأشكال الأساسية للخيارات غير التقليدية .

هناك نوعان من الخيارات الآسيوية: خيار متوسط ​​السعر (سعر تنفيذ ثابت)، حيث يتم تحديد سعر التنفيذ مسبقًا ويتم استخدام متوسط ​​سعر الأصل الأساسي لحساب العائد؛ وخيار متوسط ​​سعر التنفيذ (سعر تنفيذ متغير)، حيث يصبح متوسط ​​سعر الأصل الأساسي على مدار المدة هو سعر التنفيذ.

تتمثل إحدى مزايا الخيارات الآسيوية في تقليل مخاطر التلاعب بالسوق للأصل الأساسي عند تاريخ الاستحقاق. ^{[ 1 ]} وتتمثل ميزة أخرى للخيارات الآسيوية في تكلفتها النسبية مقارنةً بالخيارات الأوروبية أو الأمريكية. فبفضل خاصية المتوسط، تُقلل الخيارات الآسيوية من التقلبات الكامنة فيها؛ ولذلك، عادةً ما تكون أرخص من الخيارات الأوروبية أو الأمريكية. وقد يُشكل هذا ميزة للشركات الخاضعة لبيان مجلس معايير المحاسبة المالية رقم 123 المُعدَّل، والذي يُلزم الشركات بتسجيل خيارات أسهم الموظفين كمصروفات. ^{[ 2 ]}

في ثمانينيات القرن الماضي، عمل مارك ستانديش لدى بنك "بانكرز ترست" في لندن، متخصصًا في مشتقات الدخل الثابت وتداول المراجحة لحسابه الخاص. أما ديفيد سباوتون، فقد عمل محللًا للأنظمة في الأسواق المالية لدى "بانكرز ترست" منذ عام ١٩٨٤، وهو العام الذي منح فيه بنك إنجلترا تراخيص للبنوك لأول مرة لتداول خيارات صرف العملات الأجنبية في سوق لندن. وفي عام ١٩٨٧، كان ستانديش وسباوتون في طوكيو في مهمة عمل، حيث طورا أول صيغة تسعير تجارية للخيارات المرتبطة بمتوسط ​​سعر النفط الخام. وأطلقا على هذا الخيار المبتكر اسم "الخيار الآسيوي" نظرًا لوجودهما في آسيا. ^{[ ٣ ] [ ٤ ] [ ٥ ] [ ٦ ]}

توجد العديد من الاحتمالات للخيارات الآسيوية؛ وفيما يلي أبسطها:

• مدفوعات خيارات الشراء الآسيوية ذات السعر الثابت (أو السعر المتوسط)

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

حيث يرمز A إلى متوسط ​​السعر للفترة [0، T]، وK إلى سعر التنفيذ. ويُعطى خيار البيع المكافئ بالصيغة التالية:

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(KA(0,T),0\right).}$

• عائد خيار الشراء الآسيوي ذي السعر المتغير (أو السعر المتغير)

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

حيث S(T) هو السعر عند الاستحقاق، و k هو عامل ترجيح، وعادةً ما يكون 1، لذا غالبًا ما يتم حذفه من الأوصاف. ويُعطى العائد المكافئ لخيار البيع بالصيغة التالية:

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

المتوسط${\displaystyle A}$يمكن الحصول على المتوسط ​​الحسابي بعدة طرق. تقليديًا، يعني هذا المتوسط ​​الحسابي . في الحالة المستمرة ، يتم الحصول عليه عن طريق

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

في حالة المراقبة المنفصلة (مع المراقبة في الأوقات)${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T}$و${\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}$لدينا المتوسط ​​المعطى بواسطة

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}$

توجد أيضًا خيارات آسيوية ذات متوسط ​​هندسي ؛ في الحالة المستمرة، يُعطى هذا بواسطة

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

يعتمد تسعير الخيارات الآسيوية على النموذج المستخدم. وقد أُجريت معظم الدراسات في هذا المجال على حالة اتباع الأصل الأساسي لنموذج بلاك-شولز.${\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}dW_{t}+(rq)S_{t}dt}$لا توجد نتيجة دقيقة لخيارات الأسهم الآسيوية مع المتوسط ​​الحسابي في هذا النموذج. مع ذلك، يمكن الحصول بسهولة على نتيجة دقيقة لخيارات الأسهم الآسيوية مع المتوسط ​​الهندسي، انظر على سبيل المثال ^{[ 7 ] .}

يمكن الحصول على تقريبات تحليلية باستخدام طريقة مطابقة العزوم. أبسط نسخة منها تُطابق أول عزمين لمتوسط ​​الأصل مع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. يُعرف هذا التقريب بتقريب ليفي ^{[ 8 ].}

تم تقديم مناقشة لمشكلة تسعير الخيارات الآسيوية باستخدام طرق مونت كارلو في ورقة بحثية من تأليف كيمنا وفورست. ^{[ 9 ]}

في نهج التكامل المساري لتسعير الخيارات، ^{[ 10 ] يمكن} حل مشكلة المتوسط ​​الهندسي عبر الجهد الكلاسيكي ^{الفعال [ 11 ]} لفينمان وكلاينرت . [ ¹² ]

قام روجرز وشي بحل مشكلة التسعير باستخدام نهج المعادلات التفاضلية الجزئية. ^{[ 13 ]}

يمكن تطبيق نموذج جاما التبايني بكفاءة عند تسعير خيارات النمط الآسيوي. بعد ذلك، يمكن استخدام تمثيل سلسلة بوندسون لتوليد عملية جاما التباينية لزيادة الأداء الحسابي لأداة تسعير خيارات النمط الآسيوي. ^{[ 14 ]}

في نماذج الانتشار القفزي ونماذج التقلب العشوائي، لا يزال من الممكن حل مشكلة تسعير الخيارات الآسيوية الهندسية. ^{[ 15 ]} أما بالنسبة للخيارات الآسيوية الحسابية في نماذج ليفي، فيمكن الاعتماد على الطرق العددية ^{[ 15 ]} أو على الحدود التحليلية. ^{[ 16 ]}

يمكن تسعير الخيارات الآسيوية أيضًا في إطار توسع قصير الأجل، على غرار النهج المستخدم للخيارات الأوروبية في نموذج تقلبات SABR . ويمكن تحديد التقلب الضمني للخيار الآسيوي.${\displaystyle \Sigma _{A}(K,T)}$بحيث يتم الحصول على السعر الآسيوي عن طريق استبدال هذا التقلب الضمني في صيغة بلاك-شولز. ويمكن توسيع التقلب الضمني للخيار الآسيوي بدلالة قوى الاستحقاق.${\displaystyle \Sigma _{A}(K,T)=\Sigma _{A}^{(0)}(K)+\Sigma _{A}^{(1)}(K)T+O(T^{2})}$الحد الرئيسي${\displaystyle \Sigma _{A}^{(0)}(K)}$وهو معروف بصيغة مغلقة لعدة نماذج، في حالة الخيارات الآسيوية مع المتوسط ​​المستمر:

• نموذج التقلب المحلي، ^{[ 17 ] [ 18 ]} بما في ذلك نموذج بلاك-شولز كحالة حدية مع تقلب ثابت. بالنسبة لنموذج بلاك-شولز، يشمل ذلك أيضًا تصحيح التقلب الفرعي.${\displaystyle \Sigma _{A}^{(1)}(K)}$معروف ^{[ 19 ]}
• نموذج التقلب العشوائي المحلي ^{[ 20 ]}
• نموذج التقلب المحلي مع القفزات ^{[ 21 ]}

يُمكن تقريب الحد الرئيسي في نموذج بلاك-شولز بشكل جيد باستخدام توسيع في لوغاريتم سعر التنفيذ${\displaystyle x=\log(K/S_{0})}$المصطلحات الثلاثة الأولى هي

${\displaystyle \Sigma _{A}^{(0)}(K)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\sigma {\Big (}1+{\frac {1}{10}}\log {\frac {K}{S_{0}}}-{\frac {23}{2100}}\log ^{2}{\frac {K}{S_{0}}}+\cdots {\Big )}}$

لا تنطبق هذه النتائج المتعلقة بتوسع آجال الاستحقاق القصيرة بشكل مباشر على الخيارات الآسيوية ذات المتوسطات المنفصلة، ​​والتي تتطلب معالجة منفصلة.

توجد بعض الأنواع المختلفة من الخيارات التي تُباع في سوق التداول خارج البورصة. على سبيل المثال، طرح بنك بي إن بي باريبا نوعًا جديدًا يُسمى خيار البيع الآسيوي المشروط، حيث يُحتسب متوسط ​​سعر الأصل الأساسي بناءً على رصد الأسعار التي تتجاوز عتبة محددة مسبقًا. ويُحقق خيار البيع الآسيوي المشروط عائدًا قدره

${\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}$

أين${\displaystyle b>0}$هو الحد الأدنى و${\displaystyle I_{A}}$هي دالة مؤشر تساوي${\displaystyle 1}$لو${\displaystyle A}$تكون القيمة صحيحة، وتساوي صفرًا في غير ذلك. يوفر هذا الخيار بديلاً أرخص من خيار البيع الآسيوي التقليدي، حيث يقلل تقييد نطاق الملاحظات من تقلب متوسط ​​السعر. يُباع عادةً بسعر السوق، ويستمر لمدة تصل إلى خمس سنوات. ناقش فينغ وفولكمر تسعير خيار البيع الآسيوي المشروط . ^{[ 22 ]}