مشكلة عيد الميلاد

احتمالية عدم تشابه تاريخ ميلاد أي شخصين هي 364/365 . في غرفة تحتوي على n شخصًا، يوجد (n²) = n ( _n - 1 ⁾ / 2 زوجًا من الأشخاص ، أي ( n² ) حدثًا ^. _يمكن تقريب احتمالية عدم تشابه تاريخ ميلاد أي شخصين بافتراض استقلالية هذه الأحداث، وبالتالي بضرب احتمالية كل حدث على حدة. الاستقلالية تعني اختيار أي زوج من الأشخاص في العالم مع الإعادة ، وليس فقط في غرفة. باختصار، يمكن ضرب 364/365 في نفسه ( n² ⁾ _مرة ، مما يعطينا

${\displaystyle {\bar {p}}(n)\approx \left({\frac {364}{365}}\right)^{\binom {n}{2}}.}$

بما أن هذا هو احتمال عدم وجود شخصين لهما نفس تاريخ الميلاد، فإن احتمال وجود شخصين لهما نفس تاريخ الميلاد هو

${\displaystyle p(n)\approx 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{\binom {n}{2}}.}$

وبالنسبة لمجموعة مكونة من 23 شخصًا، فإن احتمال المشاركة هو

${\displaystyle p(23)\approx 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{\binom {23}{2}}=1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{253}\approx 0.500477.}$

بتطبيق تقريب بواسون للتوزيع ذي الحدين على مجموعة مكونة من 23 شخصًا،

${\displaystyle \operatorname {Poi} \left({\frac {\binom {23}{2}}{365}}\right)=\operatorname {Poi} \left({\frac {253}{365}}\right)\approx \operatorname {Poi} (0.6932)}$

لذا

${\displaystyle \Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)\approx 1-e^{-0.6932}\approx 1-0.499998=0.500002.}$

النتيجة تتجاوز 50% كما في الوصف السابق. هذا التقريب هو نفسه التقريب المذكور أعلاه والمبني على متسلسلة تايلور التي تستخدم e ^x ≈ 1 + x .

تُعد العلاقة قاعدة عامة جيدة يمكن استخدامها في الحساب الذهني

${\displaystyle p(n,d)\approx {\frac {n^{2}}{2d}}}$

والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي

${\displaystyle n\approx {\sqrt {2d\times p(n)}}}$

وهذا يعمل بشكل جيد للاحتمالات الأقل من أو تساوي 1/2 . في هذه المعادلات ، يمثل d عدد أيام السنة.

على سبيل المثال، لتقدير عدد الأشخاص المطلوبين لاحتمالية 1/2 لتزامن عيد ميلادهم ، نحصل على

${\displaystyle n\approx {\sqrt {2\times 365\times {\tfrac {1}{2}}}}={\sqrt {365}}\approx 19}$

وهذا ليس بعيدًا جدًا عن الإجابة الصحيحة وهي 23.

ويمكن أيضًا تقريب ذلك باستخدام الصيغة التالية لعدد الأشخاص اللازمين للحصول على فرصة تطابق لا تقل عن 1/2 :

${\displaystyle n\geq {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+2\times \ln(2)\times 365}}=22.999943.}$

هذا نتيجة للتقريب الجيد بأن حدثًا ^{باحتمالية} 1 / k سيكون له فرصة 1/2 للوقوع مرة واحدة على ^الأقل إذا تكرر k ln 2 مرة. [ ⁸ ]

طول السلسلة السداسية	عدد البتات ( ب )	حجم مساحة التجزئة ( 2 بايت )	عدد العناصر المُجزأة بحيث يكون احتمال حدوث تصادم تجزئة واحد على الأقل  ≥ p
			p =10 −18	p =10-15​	p =10 −12	p =10 −9	p =10 −6	p = 0.001	p = 0.01	p = 0.25	p = 0.50	p = 0.75
8	32	4.3 × 10 9	2	2	2	2.9	93	2.9 × 10 3	9.3 × 10 3	5.0 × 10 4	7.7 × 10 4	1.1 × 10 5
(10)	(40)	(1.1 × 10 12 )	2	2	2	47	1.5 × 10 3	4.7 × 10 4	1.5 × 10 5	8.0 × 10 5	1.2 × 10 6	1.7 × 10 6
(12)	(48)	(2.8 × 10^ 14 )	2	2	24	7.5 × 10 2	2.4 × 10 4	7.5 × 10 5	2.4 × 10 6	1.3 × 10 7	2.0 × 10 7	2.8 × 10 7
16	64	1.8 × 10 19	6.1	1.9 × 10 2	6.1 × 10 3	1.9 × 10 5	6.1 × 10 6	1.9 × 10 8	6.1 × 10 8	3.3 × 10 9	5.1 × 10 9	7.2 × 10 9
(24)	(96)	(7.9 × 10 28 )	4.0 × 10 5	1.3 × 10 7	4.0 × 10 8	1.3 × 10 10	4.0 × 10 11	1.3 × 10 13	4.0 × 10 13	2.1 × 10 14	3.3 × 10 14	4.7 × 10 14
32	128	3.4 × 10 38	2.6 × 10 10	8.2 × 10 11	2.6 × 10 13	8.2 × 10 14	2.6 × 10 16	8.3 × 10 17	2.6 × 10 18	1.4 × 10 19	2.2 × 10 19	3.1 × 10 19
(48)	(192)	(6.3 × 10 57 )	1.1 × 10 20	3.5 × 10 21	1.1 × 10 23	3.5 × 10 24	1.1 × 10 26	3.5 × 10 27	1.1 × 10 28	6.0 × 10 28	9.3 × 10 28	1.3 × 10 29
64	256	1.2 × 10 77	4.8 × 10 29	1.5 × 10 31	4.8 × 10 32	1.5 × 10 34	4.8 × 10 35	1.5 × 10 37	4.8 × 10 37	2.6 × 10 38	4.0 × 10 38	5.7 × 10 38
(96)	(384)	(3.9 × 10^ 115 )	8.9 × 10 48	2.8 × 10 50	8.9 × 10 51	2.8 × 10 53	8.9 × 10 54	2.8 × 10 56	8.9 × 10 56	4.8 × 10 57	7.4 × 10 57	1.0 × 10 58
128	512	1.3 × 10 154	1.6 × 10 68	5.2 × 10 69	1.6 × 10 71	5.2 × 10 72	1.6 × 10 74	5.2 × 10 75	1.6 × 10 76	8.8 × 10 76	1.4 × 10 77	1.9 × 10 77

تُظهر الحقول الفاتحة في هذا الجدول عدد عمليات التجزئة اللازمة لتحقيق احتمال التصادم المُحدد (العمود) في مساحة تجزئة بحجم معين بالبتات (الصف). وباستخدام تشبيه أعياد الميلاد: يُشبه "حجم مساحة التجزئة" "الأيام المتاحة"، ويُشبه "احتمال التصادم" "احتمال تزامن أعياد الميلاد"، ويُشبه "عدد العناصر المُجزأة المطلوبة" "عدد الأشخاص المطلوب في مجموعة". ويمكن أيضًا استخدام هذا الجدول لتحديد الحد الأدنى لحجم التجزئة المطلوب (مع الأخذ في الاعتبار الحدود العليا لعمليات التجزئة واحتمال الخطأ)، أو احتمال التصادم (لعدد ثابت من عمليات التجزئة واحتمال خطأ ثابت).

للمقارنة،10 ⁻¹⁸ إلى10⁻¹⁵ هو معدل خطأ البت غير القابل للتصحيح في القرص الصلب النموذجي. ^{[ 9 ]} نظريًا، يجب أن تبقى دوال التجزئة ذات 128 بت، مثل MD5، ضمن هذا النطاق ^حتى حوالي8.2 × 10 ¹¹ وثيقة، حتى لو كانت مخرجاتها المحتملة أكثر من ذلك بكثير.

بافتراض سنة تتكون من d يومًا، فإن مسألة عيد الميلاد المعممة تطلب إيجاد أصغر عدد n ( d ) بحيث يكون احتمال تزامن عيد ميلاد شخص ما في مجموعة من n شخصًا تم اختيارهم عشوائيًا 50% على الأقل. بعبارة أخرى، n ( d ) هو أصغر عدد صحيح n بحيث

${\displaystyle 1-\left(1-{\frac {1}{d}}\right)\left(1-{\frac {2}{d}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{d}}\right)\geq {\frac {1}{2}}.}$

وبالتالي، فإن مسألة عيد الميلاد الكلاسيكية تُقابل تحديد n (365) . وتُعطى هنا أول 99 قيمة لـ n ( d ) (المتتالية A033810 في OEIS ) :

د	1-2	3-5	6-9	10-16	17-23	24-32	33-42	43–54	55–68	69–82	83–99
اختصار الثاني )​	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

تُظهر عملية حسابية مماثلة أن n ( d ) = 23 عندما يكون d في النطاق 341–372.

نُشر عدد من الحدود والصيغ لـ n ( d ) . ^{[ 10 ]} لأي قيمة d ≥ 1 ، فإن العدد n ( d ) يحقق ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\frac {3-2\ln 2}{6}}<n(d)-{\sqrt {2d\ln 2}}\leq 9-{\sqrt {86\ln 2}}.}$

تُعتبر هذه الحدود مثالية بمعنى أن المتتالية n ( d ) − √2d ln 2 تقترب بشكل تعسفي من

${\displaystyle {\frac {3-2\ln 2}{6}}\approx 0.27,}$

بينما لديها

${\displaystyle 9-{\sqrt {86\ln 2}}\approx 1.28}$

باعتبارها قيمتها القصوى، مأخوذة عند d = 43 .

تُعدّ الحدود دقيقة بما يكفي لإعطاء القيمة الدقيقة لـ n ( d ) في معظم الحالات. على سبيل المثال، بالنسبة لـ d = 365، تُشير هذه الحدود إلى أن 22.7633 < n (365) < 23.7736، و23 هو العدد الصحيح الوحيد في هذا النطاق. بشكل عام، يُستنتج من هذه الحدود أن n ( d ) يساوي دائمًا إما

${\displaystyle \left\lceil {\sqrt {2d\ln 2}}\,\right\rceil \quad {\text{or}}\quad \left\lceil {\sqrt {2d\ln 2}}\,\right\rceil +1}$

حيث يرمز ⌈ · ⌉ إلى دالة السقف . الصيغة

${\displaystyle n(d)=\left\lceil {\sqrt {2d\ln 2}}\,\right\rceil }$

ينطبق هذا على 73% من جميع الأعداد الصحيحة d . ^{[ 12 ]} الصيغة

${\displaystyle n(d)=\left\lceil {\sqrt {2d\ln 2}}+{\frac {3-2\ln 2}{6}}\right\rceil }$

ينطبق هذا على جميع قيم d تقريبًا ، أي لمجموعة من الأعداد الصحيحة d ذات الكثافة التقاربية 1. ^{[ 12 ]}

الصيغة

${\displaystyle n(d)=\left\lceil {\sqrt {2d\ln 2}}+{\frac {3-2\ln 2}{6}}+{\frac {9-4(\ln 2)^{2}}{72{\sqrt {2d\ln 2}}}}\right\rceil }$

ينطبق هذا على جميع قيم d ≤10 ¹⁸ ، ولكن يُعتقد أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأمثلة المضادة لهذه الصيغة. ^{[ 13 ]}

الصيغة

${\displaystyle n(d)=\left\lceil {\sqrt {2d\ln 2}}+{\frac {3-2\ln 2}{6}}+{\frac {9-4(\ln 2)^{2}}{72{\sqrt {2d\ln 2}}}}-{\frac {2(\ln 2)^{2}}{135d}}\right\rceil }$

ينطبق هذا على جميع قيم d ≤10 ¹⁸ ، ويُفترض أن هذه الصيغة تنطبق على جميع قيم d . ^{[ 13 ]}

من الممكن توسيع نطاق المشكلة لتسأل كم عدد الأشخاص في مجموعة ما اللازم ليكون هناك احتمال أكبر من 50٪ أن يشترك 3 أو 4 أو 5 أو ما إلى ذلك من أفراد المجموعة في نفس تاريخ الميلاد.

القيم القليلة الأولى هي كما يلي:

• احتمالية تزيد عن 50% أن يتشارك 3 أشخاص نفس تاريخ الميلاد - 88 شخصًا
• احتمالية تزيد عن 50% أن يتشارك 4 أشخاص نفس تاريخ الميلاد - 187 شخصًا (التسلسل A014088 في OEIS ) . ^{[ 14 ]}

تُطرح مسألة عيد الميلاد القويّ لتحديد عدد الأشخاص الذين يجب جمعهم معًا حتى يكون هناك احتمال بنسبة 50% أن يتشارك كل فرد في هذا التجمع عيد ميلاده مع شخص آخر على الأقل. بالنسبة لـ d=365 يومًا، يكون الجواب 3064 شخصًا. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

يتم تحديد عدد الأشخاص المطلوبين لعدد معين من الأيام بواسطة (التسلسل A380129 في OEIS )

يمكن تعميم مسألة عيد الميلاد على النحو التالي:

بفرض وجود n عددًا صحيحًا عشوائيًا مسحوبًا من توزيع منتظم منفصل بمدى [1، d ] ، ما هو احتمال p ( n ; d ) أن يكون عددان على الأقل متطابقين؟ ( d = 365 يعطي مسألة عيد الميلاد المعتادة.) ^{[ 17 ]}

يمكن استخلاص النتائج العامة باستخدام نفس الحجج المذكورة أعلاه.

${\displaystyle {\begin{aligned}p(n;d)&={\begin{cases}1-\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{d}}\right)&n\leq d\\1&n>d\end{cases}}\\[8px]&\approx 1-e^{-{\frac {n(n-1)}{2d}}}\\&\approx 1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}}$

وعلى العكس من ذلك، إذا كان n ( p ; d ) يمثل عدد الأعداد الصحيحة العشوائية المسحوبة من [1، d ] للحصول على احتمال p بأن يكون عددان على الأقل متطابقين، فإن

${\displaystyle n(p;d)\approx {\sqrt {2d\cdot \ln \left({\frac {1}{1-p}}\right)}}.}$

تنطبق مشكلة عيد الميلاد ، بهذا المعنى الأكثر عمومية، على دوال التجزئة : فالعدد المتوقع لتجزئات N بت التي يمكن توليدها قبل حدوث تصادم ليس 2^ ^N ، بل هو 2 ^ ^{N / 2} فقط . يستغل هذا الأمر هجمات عيد الميلاد على دوال التجزئة المشفرة ، وهو السبب في أن عددًا قليلًا من التصادمات في جدول التجزئة أمر لا مفر منه عمليًا.

استخدمت زوي شنابل ^{[ 18 ]} النظرية الكامنة وراء مسألة عيد الميلاد تحت مسمى إحصاءات إعادة الالتقاط لتقدير حجم تجمعات الأسماك في البحيرات. كما تُعدّ مسألة عيد الميلاد وتعميماتها أدوات مفيدة لنمذجة التزامن. ^{[ 19 ]}

التعميم على أنواع متعددة من الناس

تعتبر المسألة الأساسية جميع المحاولات من "نوع" واحد. وقد عُممت مسألة أعياد الميلاد لتشمل عددًا غير محدود من الأنواع. ^{[ 20 ]} في أبسط امتداد، يوجد نوعان من الأشخاص، ولنقل m من الرجال و n من النساء، وتصبح المسألة هي تحديد احتمال وجود عيد ميلاد مشترك بين رجل واحد على الأقل وامرأة واحدة على الأقل. (لا تُحتسب أعياد الميلاد المشتركة بين رجلين أو امرأتين). احتمال عدم وجود أعياد ميلاد مشتركة هنا هو

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{d^{m+n}}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}S_{2}(m,i)S_{2}(n,j)\prod _{k=0}^{i+j-1}d-k}$

حيث d = 365 و S ₂ هما عددان من أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني . وبالتالي، فإن الاحتمال المطلوب هو 1 − p ₀ .

يُعدّ هذا النوع من مسائل أعياد الميلاد مثيرًا للاهتمام لأنه لا يوجد حلٌّ وحيدٌ للعدد الإجمالي للأشخاص (م + ن) . على سبيل المثال، تتحقق قيمة الاحتمالية المعتادة البالغة 50% لكلٍّ من مجموعةٍ مكوّنةٍ من 32 فردًا (16 رجلًا و16 امرأة) ومجموعةٍ مكوّنةٍ من 49 فردًا (43 امرأة و6 رجال).

سؤال ذو صلة هو: عندما يدخل الناس غرفةً واحدًا تلو الآخر، من هو الشخص الأرجح أن يكون أول من يصادف عيد ميلاده مع شخص موجود بالفعل في الغرفة؟ أي، ما هو عدد الأشخاص الذين يكون عندهم الفرق بين p ( n ) و p ( n -  1  ) أكبر ما يمكن؟ الإجابة هي 20 - إذا كانت هناك جائزة لأول تطابق، فإن أفضل مركز في الصف هو المركز العشرون.

في مسألة تحديد تاريخ الميلاد، لا يتم اختيار أي من الشخصين مسبقًا. في المقابل، فإن احتمال q ( n ) أن يكون لشخص واحد على الأقل في غرفة بها n شخص آخر نفس تاريخ ميلاد شخص معين (على سبيل المثال، أنت) يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle q(n)=1-\left({\frac {365-1}{365}}\right)^{n}}$

وللعامة د بواسطة

${\displaystyle q(n;d)=1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}.}$

في الحالة القياسية حيث d = 365 ، فإن استبدال n = 23 يعطي حوالي 6.1%، وهو أقل من احتمال واحد من 16. لكي يكون احتمال وجود شخص واحد على الأقل في غرفة مليئة بـ n شخصًا يشاركك نفس تاريخ الميلاد أكبر من 50% ، يجب أن يكون n على الأقل 253. هذا الرقم أعلى بكثير من 365 / 2 = 182.5 ، والسبب هو أنه من المحتمل وجود بعض التطابقات في تاريخ الميلاد بين الأشخاص الآخرين في الغرفة .

بالنسبة لأي شخص في مجموعة مكونة من n شخصًا، فإن احتمال أن يتشارك عيد ميلاده مع شخص آخر هو${\displaystyle q(n-1;d)}$كما هو موضح أعلاه. يمكن الآن حساب العدد المتوقع للأشخاص الذين لديهم تاريخ ميلاد مشترك (غير فريد) بسهولة عن طريق ضرب هذا الاحتمال في عدد الأشخاص ( ن )، وبالتالي فهو كالتالي:

${\displaystyle n\left(1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n-1}\right)}$

(يمكن إجراء هذا الضرب بهذه الطريقة نظرًا لخطية القيمة المتوقعة للمتغيرات المؤشرة). وهذا يعني أن العدد المتوقع للأشخاص الذين لديهم تاريخ ميلاد فريد (غير مشترك) هو:

${\displaystyle n\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n-1}}$

يمكن اشتقاق صيغ مماثلة للعدد المتوقع للأشخاص الذين يتشاركون مع ثلاثة أو أربعة أشخاص آخرين، إلخ.

_{يُطلق على} العدد المتوقع للأشخاص اللازمين لتحقيق كل عيد ميلاد اسم مسألة جامع القسائم . ويمكن حسابها باستخدام _{الصيغة nHₙ} ، حيث Hₙ هو العدد التوافقي النوني . بالنسبة لـ 365 تاريخًا محتملاً (مسألة أعياد الميلاد)، يكون الجواب 2365.

تعميم آخر هو السؤال عن احتمال وجود زوج واحد على الأقل في مجموعة من n شخصاً ممن يصادف عيد ميلادهم خلال k يومًا تقويميًا من بعضهم البعض، إذا كان هناك d من أعياد الميلاد متساوية الاحتمال. ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}p(n,k,d)&=1-{\frac {(d-nk-1)!}{d^{n-1}{\bigl (}d-n(k+1){\bigr )}!}}\end{aligned}}}$

يوضح الجدول التالي عدد الأشخاص المطلوبين بحيث يكون احتمال أن يكون عيد ميلاد أي زوج من الأشخاص متباعدًا بفارق k يومًا أو أقل أعلى من 50%:

ك	ن لـ د = 365
0	23
1	14
2	11
3	9
4	8
5	8
6	7
7	7

وبالتالي، ففي مجموعة مكونة من سبعة أشخاص تم اختيارهم عشوائياً، من المرجح أن يكون عيد ميلاد اثنين منهم في غضون أسبوع واحد من بعضهما البعض. ^{[ 21 ]}

احتمال تكرار العدد الصحيح k المختار عشوائيًا من [1، d ] مرة واحدة على الأقل من الاختيارات السابقة يساوي q ( k - 1; d ) المذكور أعلاه. ويُتوقع أن يكون إجمالي عدد مرات تكرار اختيار ما لاختيار سابق عند اختيار n عددًا صحيحًا من هذا النوع مساويًا لـ ^{[ 22 ].}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}q(k-1;d)=n-d+d\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}}$

ويمكن ملاحظة أن هذا يساوي عدد الأشخاص مطروحًا منه العدد المتوقع لأعياد الميلاد المختلفة.

يتقارب توزيع المتغير العشوائي الذي يُشير إلى عدد الأعداد الصحيحة k التي يجب اختيارها للحصول على c تكرارًا بالضبط (لـ c ثابت ) إلى متغير عشوائي مُوزَّع وفقًا لتوزيع كاي عندما${\displaystyle d\to \infty }$[ ^{23 ]​}

في صياغة بديلة لمسألة أعياد الميلاد، يُطلب حساب متوسط ​​عدد الأشخاص اللازمين لإيجاد زوج من الأشخاص يتشاركون نفس تاريخ الميلاد. إذا نظرنا إلى دالة الاحتمال Pr[ n شخص يتشاركون تاريخ ميلاد واحد على الأقل]، فإن هذا المتوسط ​​يُحدد متوسط ​​التوزيع، على عكس الصياغة المعتادة التي تطلب الوسيط . تُعدّ هذه المسألة ذات صلة بالعديد من خوارزميات التجزئة التي حللها دونالد كنوث في كتابه "فن برمجة الحاسوب" . يمكن إثبات ^{[ 24 ] [ 25 ]} أنه إذا تم أخذ عينة عشوائية منتظمة، مع الإحلال، من مجتمع حجمه M ، فإن عدد المحاولات اللازمة لأول عملية إعادة أخذ عينة من فرد ما له قيمة متوقعة n = 1 + Q ( M ) ، حيث

${\displaystyle Q(M)=\sum _{k=1}^{M}{\frac {M!}{(M-k)!M^{k}}}.}$

الوظيفة

${\displaystyle Q(M)=1+{\frac {M-1}{M}}+{\frac {(M-1)(M-2)}{M^{2}}}+\cdots +{\frac {(M-1)(M-2)\cdots 1}{M^{M-1}}}}$

تمت دراستها بواسطة سرينيفاسا رامانوجان ولها توسع تقاربي :

${\displaystyle Q(M)\sim {\sqrt {\frac {\pi M}{2}}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{12}}{\sqrt {\frac {\pi }{2M}}}-{\frac {4}{135M}}+\cdots .}$

بافتراض أن عدد أيام السنة M = 365 يومًا، فإن متوسط ​​عدد الأشخاص المطلوبين للعثور على شخصين لهما نفس تاريخ الميلاد هو n = 1 + Q ( M ) ≈ 24.61659 ، وهو ما يزيد قليلًا عن 23، وهو العدد المطلوب لاحتمالية 50%. في أفضل الأحوال، يكفي شخصان؛ وفي أسوأ الأحوال، يلزم العدد الأقصى الممكن وهو M + 1 = 366 شخصًا؛ ولكن في المتوسط، لا يلزم سوى 25 شخصًا.

يمكن لتحليل باستخدام متغيرات عشوائية مؤشرة أن يوفر تحليلًا أبسط ولكنه تقريبي لهذه المشكلة. ^{[ 26 ]} لكل زوج ( i ، j ) لـ k شخصًا في غرفة، نُعرّف المتغير العشوائي المؤشر X_{_ij} ، لـ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq k}$، بواسطة

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X_{ij}&=I\{{\text{person }}i{\text{ and person }}j{\text{ have the same birthday}}\}\\[10pt]&={\begin{cases}1,&{\text{if person }}i{\text{ and person }}j{\text{ have the same birthday;}}\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}E[X_{ij}]&=\Pr\{{\text{person }}i{\text{ and person }}j{\text{ have the same birthday}}\}={\frac {1}{n}}.\end{alignedat}}}$$

ليكن X متغيرًا عشوائيًا يحسب أزواج الأفراد الذين لديهم نفس تاريخ الميلاد.

$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=i+1}^{k}X_{ij}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}E[X]&=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=i+1}^{k}E[X_{ij}]\\[8pt]&={\binom {k}{2}}{\frac {1}{n}}\\[8pt]&={\frac {k(k-1)}{2n}}\end{alignedat}}}$$

إذا كان n = 365 و k = 28 ، فإن العدد المتوقع لأزواج الأفراد الذين يتشاركون نفس تاريخ الميلاد هو 28 × 27 / 2 × 365 ≈ 1.0356. وبالتالي، يمكننا توقع وجود زوج متطابق واحد على الأقل يضم 28 شخصًا على الأقل .  

في كأس العالم لكرة القدم 2014 ، ضم كل فريق من الفرق الـ 32 المشاركة 23 لاعباً. وأظهر تحليل قوائم الفرق الرسمية أن 16 فريقاً ضمت لاعبين اثنين يتشاركان نفس تاريخ الميلاد، ومن بين هذه الفرق، كان لدى 5 فرق زوجين: الأرجنتين، وفرنسا، وإيران، وكوريا الجنوبية، وسويسرا، بينما كان لدى أستراليا، والبوسنة والهرسك، والبرازيل، والكاميرون، وكولومبيا، وهندوراس، وهولندا، ونيجيريا، وروسيا، وإسبانيا، والولايات المتحدة زوج واحد لكل منها. ^{[ 27 ]}

أظهر فوراسيك وتران وفورمان أن غالبية الناس يبالغون بشكل ملحوظ في تقدير عدد الأشخاص اللازم لتحقيق احتمال معين لتشابه أعياد ميلادهم، ويقللون بشكل ملحوظ من تقدير هذا الاحتمال عند تحديد حجم عينة معين. ^{[ 28 ]} كما أظهرت نتائج أخرى أن طلاب علم النفس والنساء تفوقوا في هذه المهمة على زوار/موظفي الكازينو أو الرجال، لكنهم كانوا أقل ثقة في تقديراتهم.