قانون براغ

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

في العديد من مجالات العلوم، يُعد قانون براغ - المعروف أيضًا بشرط وولف -براغ أو تداخل لاوي -براغ - حالة خاصة من حيود لاوي ، حيث يُحدد زوايا التشتت المتماسك للموجات من شبكة بلورية كبيرة. ويصف هذا القانون كيف يؤدي تراكب جبهات الموجات المتشتتة بواسطة مستويات الشبكة إلى علاقة دقيقة بين الطول الموجي وزاوية التشتت. وقد صِيغ هذا القانون في البداية للأشعة السينية، ولكنه ينطبق أيضًا على جميع أنواع موجات المادة، بما في ذلك موجات النيوترونات والإلكترونات في حالة وجود عدد كبير من الذرات، بالإضافة إلى الضوء المرئي مع الشبكات الميكروية الدورية الاصطناعية.

تاريخ

تتفاعل الأشعة السينية مع الذرات الموجودة في البلورة .

طُرح حيود براغ (المعروف أيضًا باسم صيغة براغ لحيود الأشعة السينية ) لأول مرة من قبل لورانس براغ ووالده، ويليام هنري براغ ، في عام 1913 [ 1 ] بعد اكتشافهما أن المواد الصلبة البلورية تُنتج أنماطًا مُدهشة من الأشعة السينية المنعكسة (على عكس تلك التي تُنتجها المواد السائلة، على سبيل المثال). وقد وجدا أن هذه البلورات، عند أطوال موجية وزوايا سقوط مُحددة، تُنتج قممًا شديدة من الإشعاع المنعكس.

وفقًا لانحراف 2 θ ، يتسبب انزياح الطور في حدوث تداخلات بناءة (الشكل الأيسر) أو تداخلات هدامة (الشكل الأيمن).

فسّر لورانس براغ هذه النتيجة بنمذجة البلورة كمجموعة من المستويات المتوازية المنفصلة التي يفصل بينها معامل ثابت d . واقترح أن إشعاع الأشعة السينية الساقط سيُنتج ذروة براغ إذا تداخلت الانعكاسات عن المستويات المختلفة تداخلاً بناءً. يكون التداخل بناءً عندما يكون فرق الطور بين الموجة المنعكسة عن مستويات ذرية مختلفة من مضاعفات 2π ؛ وقد قدّم لورانس براغ هذا الشرط (انظر قسم شرط براغ أدناه) لأول مرة في 11 نوفمبر 1912 إلى الجمعية الفلسفية في كامبريدج . [ 2 ] وبفضل بساطته، وفّر قانون براغ أداة جديدة فعّالة لتحديد الشبكات البلورية من بيانات حيود الأشعة السينية. مُنح لورانس براغ ووالده، ويليام هنري براغ، جائزة نوبل في الفيزياء عام 1915 لعملهما في حلّ البنى البلورية بدءًا من كلوريد الصوديوم ، وكبريتيد الزنك ، والماس . [ 3 ] وهما الفريق الوحيد المكون من أب وابن الذي فاز بهذه الجائزة معًا.

ينطبق مفهوم حيود براغ بالتساوي على حيود النيوترونات [ 4 ] ، وينطبق تقريبًا على حيود الإلكترونات [ 5 ] . في كلتا الحالتين، تكون الأطوال الموجية متقاربة مع المسافات بين الذرات (حوالي  150 بيكومتر). وقد ثبت أيضًا أن  العديد من أنواع موجات المادة الأخرى تحيد [ 6 ] [ 7 ] ، وكذلك الضوء المنبعث من أجسام ذات بنية منتظمة أكبر، مثل الأوبال [ 8 ] .

حالة براغ

حيود براغ [ 9 ] : 16 يقترب شعاعان متطابقان في الطول الموجي والطور من مادة صلبة بلورية، ويتشتتان عند اصطدامهما بذرتين مختلفتين داخلها. يقطع الشعاع السفلي مسافة إضافية مقدارها 2d sin θ . يحدث التداخل البنّاء عندما تكون هذه المسافة مساوية لمضاعف صحيح للطول الموجي للإشعاع.

يحدث حيود براغ عندما يتشتت إشعاع ذو طول موجي λ يُقارب المسافات بين الذرات بشكل منتظم (انعكاس يشبه المرآة) بواسطة مستويات الذرات في مادة بلورية، ويحدث تداخل بناء. [ 10 ] عندما تسقط الموجات المتشتتة بزاوية محددة، فإنها تبقى متوافقة في الطور وتتداخل تداخلاً بناءً . ترتبط زاوية السقوط θ (انظر الشكل على اليمين، ولاحظ أن هذا يختلف عن الاصطلاح الوارد في قانون سنيل حيث تُقاس θ من العمودي على السطح)، والطول الموجي λ ، و"ثابت المحزز" d للبلورة بالعلاقة التالية: [ 11 ] : 1026نλ=2دالخطيئة⁡θ{\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }أينن{\displaystyle n}رتبة الحيود (ن=1{\displaystyle n=1}هذا هو الترتيب الأول، ن=2{\displaystyle n=2}هي من الدرجة الثانية، [ 10 ] : 221ن=3{\displaystyle n=3}هي من الرتبة الثالثة [ 11 ] : 1028 ). تصف هذه المعادلة، قانون براغ، شرط θ للتداخل البنّاء. [ 12 ]

تُسمى خريطة شدة الموجات المتشتتة كدالة لزاويتها بنمط الحيود. وتُلاحظ شدات عالية تُعرف بقمم براغ في نمط الحيود عندما تحقق زوايا التشتت شرط براغ. هذه حالة خاصة من معادلات لاوي الأكثر عمومية ، ويمكن إثبات أن معادلات لاوي تختزل إلى شرط براغ بافتراضات إضافية. [ 13 ]

الاشتقاق

في ورقة براغ الأصلية، يصف نهجه بأنه بناء هيغنز للموجة المنعكسة. [ 14 ] : 46 لنفترض أن موجة مستوية (من أي نوع) تسقط على مستويات من نقاط الشبكة ، بمسافة فاصلةد{\displaystyle d}بزاويةθ{\displaystyle \theta }كما هو موضح في الشكل. تقع النقطتان A و C على مستوى واحد، وتقع النقطة B على المستوى الذي يليه. تشكل النقاط ABCC شكلاً رباعياً . [ 15 ] : 69

سيكون هناك فرق في المسار بين الشعاع المنعكس على طول AC' والشعاع المنتقل على طول AB ، ثم المنعكس على طول BC . هذا الفرق في المسار هو (أب+بج)-(أج′).{\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}

ستصل الموجتان المنفصلتان إلى نقطة (بعيدة جدًا عن مستويات الشبكة هذه) بنفس الطور ، وبالتالي ستخضعان لتداخل بناء ، إذا وفقط إذا كان فرق المسار هذا مساويًا لأي قيمة صحيحة للطول الموجي ، أي نλ=(أب+بج)-(أج′){\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}

أينن{\displaystyle n}وλ{\displaystyle \lambda }يمثل كل من و عدد صحيح وطول موجة الموجة الساقطة على التوالي.

لذلك، من الهندسة أب=بج=دالخطيئة⁡θ و أج=2دلون برونزي⁡θ،{\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ و }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}

ومن ثم يترتب على ذلك أن أج′=أج⋅كوس⁡θ=2دلون برونزي⁡θكوس⁡θ=(2دالخطيئة⁡θكوس⁡θ)كوس⁡θ=2دالخطيئة⁡θكوس2⁡θ.{\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}

بعد تجميع كل شيء، نλ=2دالخطيئة⁡θ-2دالخطيئة⁡θكوس2⁡θ=2دالخطيئة⁡θ(1-كوس2⁡θ)=2دالخطيئة⁡θالخطيئة2⁡θ{\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }

والذي يتبسط إلىنλ=2دالخطيئة⁡θ،{\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}وهو قانون براغ الموضح أعلاه.

إذا كان هناك مستويان ذريان فقط ينحرفان، كما هو موضح في الشكل، فإن الانتقال من التداخل البنّاء إلى التداخل الهدّام سيكون تدريجيًا كدالة للزاوية، مع وجود قمم طفيفة عند زوايا براغ. ومع ذلك، نظرًا لأن العديد من المستويات الذرية تشارك في معظم المواد الحقيقية، فإن القمم الحادة هي السمة المميزة. [ 5 ] [ 13 ]

يتوفر اشتقاق دقيق من معادلات لاوي الأكثر عمومية (انظر الصفحة: معادلات لاوي ).

ما وراء قانون براغ

نمط حيود الإلكترون النموذجي لمنطقة مختارة. كل بقعة تتوافق مع اتجاه حيود مختلف.

ينطبق شرط براغ على البلورات الكبيرة جدًا. ولأن تشتت الأشعة السينية والنيوترونات ضعيف نسبيًا،  تُستخدم في كثير من الحالات بلورات كبيرة الحجم، يصل حجمها إلى 100 نانومتر أو أكثر. ورغم وجود تأثيرات إضافية ناتجة عن عيوب البلورة ، إلا أنها غالبًا ما تكون ضئيلة. في المقابل، تتفاعل الإلكترونات مع المواد الصلبة بقوة تفوق قوة تفاعل الأشعة السينية بآلاف المرات [ 5 ] ، كما أنها تفقد طاقتها ( التشتت غير المرن ) [ 16 ] . لذلك، تكون العينات المستخدمة في حيود الإلكترونات النافذة أرق بكثير. تُظهر أنماط الحيود النموذجية، كما في الشكل، بقعًا لاتجاهات مختلفة ( موجات مستوية ) للإلكترونات الخارجة من البلورة. لا تزال الزوايا التي يتنبأ بها قانون براغ صحيحة تقريبًا، ولكن بشكل عام، توجد شبكة من البقع قريبة من إسقاطات الشبكة المقلوبة المتعامدة مع اتجاه حزمة الإلكترونات. (على النقيض من ذلك، يتنبأ قانون براغ بوجود إلكترون واحد أو اثنين فقط، وليس عشرات أو مئات في آن واحد). في حيود الإلكترونات منخفضة الطاقة، حيث تتراوح طاقات الإلكترونات عادةً بين 30 و1000 إلكترون فولت ، تكون النتيجة مشابهة مع الإلكترونات المنعكسة من السطح. [ 17 ] وينطبق الأمر نفسه على حيود الإلكترونات عالية الطاقة الانعكاسي، والذي يؤدي عادةً إلى ظهور حلقات من بقع الحيود. [ 18 ]

باستخدام الأشعة السينية، يتم وصف تأثير وجود بلورات صغيرة بواسطة معادلة شيرر . [ 13 ] [ 19 ] [ 20 ] وهذا يؤدي إلى اتساع قمم براغ التي يمكن استخدامها لتقدير حجم البلورات.

تشتت براغ للضوء المرئي بواسطة الغرويات

البلورة الغروانية عبارة عن مصفوفة عالية التنظيم من الجسيمات تتشكل على مدى طويل (من بضعة ملليمترات إلى سنتيمتر واحد في الطول)؛ وتتشابه البلورات الغروانية في مظهرها وخصائصها تقريبًا مع نظيراتها الذرية أو الجزيئية. [ 8 ] من المعروف منذ سنوات عديدة أنه نتيجةً لتفاعلات كولوم التنافرية ، يمكن للجزيئات الكبيرة المشحونة كهربائيًا في بيئة مائية أن تُظهر ارتباطات طويلة المدى شبيهة بالبلورات ، حيث تكون المسافات الفاصلة بين الجسيمات غالبًا أكبر بكثير من قطر الجسيم الواحد. تُؤدي المصفوفات الدورية من الجسيمات الكروية إلى ظهور فراغات بينية (المسافات بين الجسيمات)، والتي تعمل كشبكة حيود طبيعية لموجات الضوء المرئي ، عندما يكون التباعد البيني من نفس رتبة مقدار موجة الضوء الساقطة . [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] في هذه الحالات، يُعزى التلألؤ الباهر (أو تلاعب الألوان) إلى حيود وتداخل الموجات الضوئية المرئية وفقًا لقانون براغ، بطريقة مماثلة لتشتت الأشعة السينية في المواد الصلبة البلورية. تحدث هذه التأثيرات عند أطوال موجية مرئية لأن المسافة بين المستويات البلورية (d) أكبر بكثير مما هي عليه في البلورات الحقيقية. يُعد الأوبال الثمين مثالًا على البلورات الغروية ذات التأثيرات البصرية.

شبكات براغ الحجمية

تتكون محززات براغ الحجمية (VBG) أو محززات الهولوغرام الحجمية (VHG) من حجم يتغير فيه معامل الانكسار دوريًا . وبحسب اتجاه تعديل معامل الانكسار، يمكن استخدام محززات براغ الحجمية إما لنقل أو عكس نطاق ضيق من الأطوال الموجية . [ 24 ] ويحدد قانون براغ (المُكيَّف للهولوغرام الحجمي) الطول الموجي الذي سينحرف: [ 25 ]

2Λالخطيئة⁡(θ+φ)=مλب،{\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}

حيث m هو رتبة براغ (عدد صحيح موجب)، و λB هو الطول الموجي المنعكس ، وΛ هي المسافة بين أهداب المحزز، و θ هي الزاوية بين الشعاع الساقط والعمودي ( N ) على سطح الدخول، و φ هي الزاوية بين العمودي ومتجه المحزز ( KG ) . الإشعاع الذي لا يتوافق مع قانون براغ يمر عبر محزز براغ الحجمي (VBG) دون انعكاس. يمكن ضبط الطول الموجي الناتج على مدى بضع مئات من النانومترات بتغيير زاوية السقوط ( θ ). تُستخدم محززات براغ الحجمية (VBG) لإنتاج مصدر ليزر قابل للضبط على نطاق واسع أو لإجراء تصوير طيفي فائق عالمي (انظر مجلة فوتون، إلخ ). [ 25 ]

قواعد الاختيار وعلم البلورات العملي

يمكن استخدام قياس الزوايا لتحديد البنية البلورية، انظر علم البلورات بالأشعة السينية لمزيد من التفاصيل. [ 5 ] [ 13 ] كمثال بسيط، يمكن استخدام قانون براغ، كما ذُكر أعلاه، للحصول على تباعد الشبكة لنظام مكعب معين من خلال العلاقة التالية:

د=أح2+ك2+ℓ2،{\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}

أينأ{\displaystyle a}يمثل تباعد الشبكة للبلورة المكعبة ، و h و k و ℓ هي مؤشرات ميلر لمستوى براغ. بدمج هذه العلاقة مع قانون براغ نحصل على:

(λ2أ)2=(λ2د)21ح2+ك2+ℓ2{\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

يمكن للمرء أن يستخلص قواعد الاختيار لمؤشرات ميلر لشبكات برافي المكعبة المختلفة بالإضافة إلى العديد من الشبكات الأخرى، وقد وردت بعض قواعد الاختيار في الجدول أدناه.

قواعد اختيار مؤشرات ميلر
شبكات برافيأمثلة على المركباتالانعكاسات المسموح بهاتأملات محظورة
مكعب بسيطبوأي h ، k ، ℓلا أحد
مكعب مركزي الجسمFe، W، Ta، Crh + k + ℓ = زوجيh + k + ℓ = فردي
مكعب مركزي الوجه (FCC)النحاس، الألومنيوم، النيكل، كلوريد الصوديوم، هيدريد الليثيوم، كبريتيد الرصاصh و k و ℓ جميعها فردية أو جميعها زوجيةh و k و ℓ أعداد فردية وزوجية مختلطة
دايموند إف سي سيسي، جيجميعها فردية، أو جميعها زوجية حيث h + k + ℓ = 4 nh و k و ℓ أعداد فردية وزوجية مختلطة، أو جميعها زوجية مع h + k + ℓ ≠ 4n
شبكة سداسيةTi، Zr، Cd، Beℓ زوجي، h + 2 k ≠ 3 nh + 2 k = 3 n للأعداد الفردية ℓ

يمكن تطبيق قواعد الاختيار هذه على أي بلورة ذات بنية بلورية محددة. يمتلك كلوريد البوتاسيوم (KCl) شبكة برافي مكعبة مركزية الوجوه . ومع ذلك، فإن أيوني البوتاسيوم (K +) والكلوريد (Cl- ) لهما نفس عدد الإلكترونات، وهما متقاربان في الحجم، لذا يصبح نمط الحيود مماثلاً تقريبًا لنمط حيود بنية مكعبة بسيطة بنصف معامل الشبكة. يمكن الرجوع إلى قواعد الاختيار للبنى الأخرى في مصادر أخرى، أو اشتقاقها . يمكن الاطلاع على تباعد الشبكة لأنظمة البلورات الأخرى هنا .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ براغ، دبليو إتش ؛ براغ، دبليو إل (1913). "انعكاس الأشعة السينية بواسطة البلورات" . وقائع الجمعية الملكية بلندن، السلسلة أ . 88 (605): 428-438 . رمز Bibcode : 1913RSPSA..88..428B . doi : 10.1098/rspa.1913.0040 . S2CID 13112732 . 
  2. ↑ هناك بعض المصادر، مثل الموسوعة الأمريكية الأكاديمية ، التي تنسب اكتشاف القانون إلى كل من دبليو إل براغ ووالده دبليو إتش براغ، لكن الموقع الرسمي لجائزة نوبل والسير الذاتية المكتوبة عنه ("الضوء رسول: حياة وعلم ويليام لورانس براغ"، غرايم ك. هنتر، 2004 و"عظماء فيزياء الحالة الصلبة في القرن العشرين"، خوليو أنطونيو غونزالو، كارمن أراغون لوبيز) تقدم بيانًا واضحًا بأن لورانس براغ وحده هو من استنتج القانون.
  3. ↑ "جائزة نوبل في الفيزياء 1915" .
  4. ↑ شول، كليفورد ج. (1995). "التطور المبكر لتشتت النيوترونات". مراجعات الفيزياء الحديثة . 67 (4): 753-757 . Bibcode : 1995RvMP...67..753S . doi : 10.1103/revmodphys.67.753 . ISSN 0034-6861 . 
  5. 1 2 3 4 جون إم. كولي (1975) فيزياء الحيود (نورث هولاند، أمستردام) ISBN 0-444-10791-6.
  6. ^ إسترمان، آي. ستيرن، أو. (1930). "Beugung von Molekularstrahlen" . Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 61 ( 1– 2): 95– 125. بيب كود : 1930ZPhy...61...95E . دوى : 10.1007/BF01340293 . ردمك 1434-6001 . S2CID 121757478 .  
  7. ^ أرندت، ماركوس. نيرز، أولاف. فوس أندريا، جوليان؛ كيلر، كلوديا. فان دير زو، جيربراند؛ زيلينجر، أنطون (1999). "ازدواجية الموجة والجسيم لجزيئات C60" . طبيعة . 401 (6754): 680-682 . دوى : 10.1038/44348 . ISSN 0028-0836 . بميد 18494170 . S2CID 4424892 .   
  8. 1 2 بييرانسكي، ب (1983). "البلورات الغروية". الفيزياء المعاصرة . 24 : 25-73 . Bibcode : 1983ConPh..24...25P . doi : 10.1080/00107518308227471 .
  9. ↑ براغ، دبليو إتش؛ براغ، دبليو إل (1915). الأشعة السينية وبنية البلورات . جي. بيل وأولاده المحدودة.
  10. 1 2 موسلي، هنري إتش جي جي؛ داروين، تشارلز جي. (يوليو 1913). "حول انعكاس الأشعة السينية" (ملف PDF) . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 26 (151): 210-232 . doi : 10.1080/14786441308634968 . تاريخ الاسترجاع: 27 أبريل 2021 .
  11. 1 2 موسلي، هنري جي جي (1913). "أطياف الترددات العالية للعناصر" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 6. 26. مكتبات سميثسونيان. لندن-إدنبرة: لندن : تايلور وفرانسيس: 1024-1034 . doi : 10.1080/14786441308635052 . 
  12. ↑ إتش بي مايرز (2002). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة . تايلور وفرانسيس. رقم ISBN 0-7484-0660-3.
  13. 1 2 3 4 وارين، بيرترام يوجين (1990). حيود الأشعة السينية . كتب دوفر في الفيزياء والكيمياء. نيويورك: دوفر. ISBN 978-0-486-66317-3.
  14. ↑ براغ، دبليو إل (1914). "حيود الموجات الكهرومغناطيسية القصيرة". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج: العلوم الرياضية والفيزيائية . 17 .
  15. ↑ كوفاكس، ت. (1969). "حيود الأشعة السينية بواسطة المواد البلورية" . مبادئ علم المعادن بالأشعة السينية . بوسطن، ماساتشوستس: سبرينغر الولايات المتحدة. ص 68-79 . doi : 10.1007/978-1-4899-5570-8_4 . ISBN  978-1-4899-5572-2.
  16. ↑ إيغرتون، آر إف (2009). "مطيافية فقدان طاقة الإلكترون في المجهر الإلكتروني النافذ". تقارير عن التقدم في الفيزياء . 72 (1) 016502. رمز Bibcode : 2009RPPh...72a6502E . doi : 10.1088/0034-4885/72/1/016502 . S2CID 120421818 . 
  17. ↑ موريتز، وولفغانغ؛ فان هوف، ميشيل (2022). تحديد بنية السطح باستخدام حيود الإلكترونات منخفض الطاقة والأشعة السينية . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-108-28457-8. OCLC 1293917727 . 
  18. ↑ إيتشيميا، أياهيكو؛ كوهين، فيليب (2004). حيود الإلكترون عالي الطاقة الانعكاسي . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-45373-9. OCLC 54529276 . 
  19. ^ شيرير، ب. (1918). "Bestimmung der Größe und der Internalen Structur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse . 1918 : 98-100 .
  20. ↑ باترسون، أ. ل. (1939). "صيغة شيرر لتحديد حجم جسيمات الأشعة السينية" . مجلة Physical Review . 56 (10): 978-982 . Bibcode : 1939PhRv...56..978P . doi : 10.1103/PhysRev.56.978 .
  21. ↑ هيلتنر، ب.أ.؛ آي. إم. كريجر (1969). "حيود الضوء بواسطة المعلقات المرتبة". مجلة الكيمياء الفيزيائية . 73 (7): 2386-2389 . Bibcode : 1969JPhCh..73.2386H . doi : 10.1021/j100727a049 .
  22. ↑ أكساي، آي إيه (1984). "التحكم في البنية المجهرية من خلال التماسك الغرواني". وقائع الجمعية الأمريكية للخزف . 9 : 94.
  23. ^ الحظ يا فيرنر. كلير، مانفريد. ويسلاو، هيرمان (1963). "Über Bragg-Reflexe mit sichtbarem Licht an monodispersen Kunststofflatices. II". Berichte der Bunsengesellschaft für physikalische Chemie . 67 (1): 84-85 . دوى : 10.1002/bbpc.19630670114 . ISSN 0005-9021 . 
  24. ↑ باردن، إس سي؛ ويليامز، جيه بي؛ آرنز، جيه إيه؛ كولبورن، دبليو إس (2000). "الشبكات القابلة للضبط: تصوير الكون ثلاثي الأبعاد باستخدام شبكات هولوغرافية حجمية طورية (مراجعة)" . سلسلة مؤتمرات الجمعية الفلكية للمحيط الهادئ . 195 : 552. رمز Bibcode : 2000ASPC..195..552B .
  25. 1 2 سي. كريس، برنارد؛ ميرويلز، باتريك (2009). البصريات الرقمية التطبيقية: من البصريات الدقيقة إلى النانوفوتونيات (ملف PDF) . وايلي. ص. الفصل 8. ISBN  978-0-470-02263-4.

للمزيد من القراءة

  • نيل دبليو آش كروفت ون. ديفيد ميرمين، فيزياء الحالة الصلبة (هاركورت: أورلاندو، 1976).
  • براغ دبليو (1913). "حيود الموجات الكهرومغناطيسية القصيرة بواسطة بلورة". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 17 : 43-57 .