Compartmental neuron models

Compartmental modelling of dendrites deals with multi-compartment modelling of the dendrites, to make the understanding of the electrical behavior of complex dendrites easier. Basically, compartmental modelling of dendrites is a very helpful tool to develop new biological neuron models. Dendrites are very important because they occupy the most membrane area in many of the neurons and give the neuron an ability to connect to thousands of other cells. Originally the dendrites were thought to have constant conductance and current but now it has been understood that they may have active Voltage-gated ion channels, which influences the firing properties of the neuron and also the response of neuron to synaptic inputs.^[1] Many mathematical models have been developed to understand the electric behavior of the dendrites. Dendrites tend to be very branchy and complex, so the compartmental approach to understand the electrical behavior of the dendrites makes it very useful. ^[1][2]

Compartmental modelling is a very natural way of modelling dynamical systems that have certain inherent properties with conservation principles. The compartmental modelling is an elegant way, a state space formulation to elegantly capture the dynamical systems that are governed by the conservation laws. Whether it is the conservation of mass, energy, fluid flow or information flow. Basically, they are models whose state variables tend to be non-negative (such as mass, concentrations, energy). So the equations for mass balance, energy, concentration or fluid flow can be written. It ultimately goes down to networks in which the brain is the largest of them all, just like Avogadro number, very large amount of molecules that are interconnected. The brain has very interesting interconnections. On a microscopic level thermodynamics is virtually impossible to understand but from a macroscopic view we see that these follow some universal laws. In the same way brain has numerous interconnections, which is almost impossible to write a differential equation for.^[3]

يمكن استخلاص ملاحظات عامة حول كيفية عمل الدماغ من خلال النظر إلى القانونين الأول والثاني للديناميكا الحرارية ، وهما قانونان عالميان. الدماغ نظام مترابط واسع النطاق؛ إذ يتعين على الخلايا العصبية أن تتصرف بطريقة ما كنظام التفاعلات الكيميائية، وبالتالي، يجب أن تخضع لقوانين الديناميكا الحرارية الكيميائية. قد يؤدي هذا النهج إلى نموذج أكثر شمولية للدماغ. ^{[ 3 ]}

• يمكن اعتبار التراكيب الشجرية المعقدة بمثابة أقسام متعددة مترابطة. تنقسم التغصنات إلى أقسام صغيرة وترتبط ببعضها البعض كما هو موضح في الشكل. ^{[ 1 ]}
• يُفترض أن الحجرة متساوية الجهد ومتجانسة مكانيًا في خصائصها. ويحدث عدم تجانس في الغشاء، مثل تغيرات القطر وفروق الجهد، بين الحجرات وليس داخلها. ^{[ 1 ]}
• مثال على نموذج بسيط ذي حجرتين:

لنفترض نموذجًا ذا حجرتين، حيث تُعتبر الحجرتان أسطوانتين متساويتي الجهد بنصف قطر${\displaystyle a_{i}}$والطول${\displaystyle L_{i}}$.

${\displaystyle V_{i}}$يمثل جهد الغشاء للحجرة رقم i.

${\displaystyle c_{i}}$هي السعة النوعية للغشاء.

${\displaystyle r_{Mi}}$هي المقاومة النوعية للغشاء.

يُعطى التيار الكلي للأقطاب الكهربائية، بافتراض وجوده في الحجرة، بالصيغة التالية:${\displaystyle I_{\text{electrode}}^{i}}$.

تُعطى المقاومة الطولية بالعلاقة التالية${\displaystyle r_{L}}$.

والآن، وفقًا للتوازن الذي ينبغي أن يكون موجودًا لكل قسم، يمكننا القول

${\displaystyle i_{\text{cap}}^{i}+i_{\text{ion}}^{i}=i_{\text{long}}^{i}+i_{\text{electrode}}^{i}}$.....المعادلة (1)

أين${\displaystyle i_{\text{cap}}^{i}}$و${\displaystyle i_{\text{ion}}^{i}}$تمثل هذه القيم التيارات السعوية والأيونية لكل وحدة مساحة من غشاء الحجرة رقم i. أي يمكن التعبير عنها بالصيغة التالية:

${\displaystyle i_{\text{cap}}^{i}=c_{i}{\frac {dV_{i}}{dt}}}$و${\displaystyle i_{\text{ion}}^{i}={\frac {V_{i}}{r_{Mi}}}}$.....المعادلة (2)

إذا افترضنا أن جهد الراحة يساوي صفرًا، فسنحسب${\displaystyle i_{\text{long}}^{i}}$نحتاج إلى المقاومة المحورية الكلية. وبما أن الحجرات عبارة عن أسطوانات بسيطة، فيمكننا القول

${\displaystyle R_{\text{long}}={\frac {r_{L}L_{1}}{2\pi a_{1}^{2}}}+{\frac {r_{L}L_{2}}{2\pi a_{2}^{2}}}}$.....المعادلة (3)

باستخدام قانون أوم، يمكننا التعبير عن التيار من الحجرة رقم i إلى الحجرة رقم j على النحو التالي:

${\displaystyle i_{\text{long}}^{1}=g_{1,2}(V_{2}-V_{1})}$و${\displaystyle i_{\text{long}}^{2}=g_{2,1}(V_{1}-V_{2})}$.....المعادلة (4)

شروط الاقتران${\displaystyle g_{1,2}}$و${\displaystyle g_{2,1}}$يتم الحصول عليها عن طريق عكس المعادلة (3) والقسمة على مساحة السطح محل الاهتمام.

وهكذا نحصل

${\displaystyle g_{1,2}={\frac {a_{1}a_{2}^{2}}{r_{L}L_{1}(a_{2}^{2}L_{1}+a_{1}^{2}L_{2})}}}$

و

${\displaystyle g_{2,1}={\frac {a_{2}a_{1}^{2}}{r_{L}L_{1}(a_{1}^{2}L_{2}+a_{2}^{2}L_{1})}}}$

أخيراً،${\displaystyle i_{\text{electrode}}^{I}={\frac {I_{\text{electrode}}^{i}}{A_{i}}}}$

${\displaystyle A_{i}=2\pi a_{i}L_{i}}$هي مساحة سطح الحجرة i.

إذا جمعنا كل هذه الأشياء معًا، فسنحصل على

${\displaystyle c_{1}{\frac {dV_{1}}{dt}}+{\frac {V_{1}}{r_{M1}}}=g_{1,2}(V_{2}-V_{1})+{\frac {I_{\text{electrode}}^{1}}{A_{1}}}}$

${\displaystyle c_{2}{\frac {dV_{2}}{dt}}+{\frac {V_{2}}{r_{M2}}}=g_{2,1}(V_{1}-V_{2})+{\frac {I_{\text{electrode}}^{2}}{A_{2}}}}$.....المعادلة (5)

إذا استخدمنا${\displaystyle r_{1}=1/g_{1,2}}$و${\displaystyle r_{2}=1/g_{2,1}}$عندئذٍ ستصبح المعادلة (5)

${\displaystyle c_{1}{\frac {dV_{1}}{dt}}+{\frac {V_{1}}{r_{M1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{r_{1}}}+{\frac {I_{\text{electrode}}^{1}}{A_{1}}}}$

${\displaystyle c_{2}{\frac {dV_{2}}{dt}}+{\frac {V_{2}}{r_{M2}}}={\frac {V_{1}-V_{2}}{r_{2}}}+{\frac {I_{\text{electrode}}^{2}}{A_{2}}}}$.....المعادلة (6)

الآن، إذا قمنا بحقن التيار في الخلية 1 فقط، وكانت كل أسطوانة متطابقة،${\displaystyle r_{1}=r_{2}\equiv r}$

دون فقدان للعمومية، يمكننا تعريف${\displaystyle r_{M}=r_{M1}=r_{M2}}$

بعد بعض العمليات الجبرية، يمكننا إثبات ذلك.

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{i_{1}}}={\frac {r_{M}(r+r_{M})}{r+2r_{M}}}}$

أيضًا

${\displaystyle {\frac {R_{\text{input,coupled}}}{R_{\text{input,uncoupled}}}}=1-{\frac {r_{M}}{r+2r_{M}}}}$

أي أن مقاومة الدخل تنخفض. ولزيادة الجهد، يجب أن يكون تيار النظام المترابط أكبر من التيار المطلوب للنظام غير المترابط. وذلك لأن الحجرة الثانية تسحب جزءًا من التيار.

الآن، يمكننا الحصول على نموذج عام مُقسّم إلى أجزاء لهيكل شجري، والمعادلات هي

${\displaystyle C_{j}{\frac {dV_{j}}{dt}}=-{\frac {V_{j}}{R_{j}}}+\sum _{k{\text{ connected }}j}{}{\frac {V_{k}-V_{j}}{R_{jk}}}+I_{j}}$^{[ 1 ]}

تعتبر التغصنات والمحاور العصبية متصلة (تشبه الكابلات)، وليست سلسلة من الأجزاء. ^{[ 1 ]}

• علم الأعصاب الحاسوبي
• النظام الديناميكي
• نموذج متعدد الحجرات
• الترابطية
• الشبكة العصبية
• نموذج الخلايا العصبية البيولوجية
• الترميز العصبي
• واجهة الدماغ والحاسوب
• الهندسة العصبية
• المعلوماتية العصبية
• النموذج الرياضي
• النماذج الحُصُرية في علم الأوبئة
• نمذجة حركية الدواء القائمة على الأسس الفيزيولوجية

• محاضرة تيد حول الحوسبة الفائقة
• مختبر النمذجة البيولوجية
• برنامج تعليمي حول نمذجة حركية الدواء
• : فائدة نموذج الحجرتين في علم حركية الدواء
• : الحركية الدوائية