جبر كونتز

جبر كونتز غير متماثل ثنائياً ، أي${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}_{م}}$غير متماثلة لـ${\displaystyle n\neq m}$مجموعة K ₀ من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$يكون${\displaystyle \mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z} }$، المجموعة الدورية من الرتبة${\displaystyle n-1}$. منذ${\displaystyle K_{0}}$هو دالة ،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}_{م}}$غير متماثلة.

نظرية. الجبر الملموس C*${\displaystyle {\mathcal {A}}}$متماثل مع الجبر C* العالمي${\displaystyle {\mathcal {L}}}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle n}$مولدات${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}}$رهناً بالعلاقات${\displaystyle s_{i}^{*}s_{i}=1}$للجميع${\displaystyle i}$و${\displaystyle \textstyle \sum s_{i}s_{i}^{*}=1}$.

يعتمد برهان النظرية على الحقيقة التالية: أي جبر C* مُوَلَّد بواسطة${\displaystyle n}$التماثلات${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}}$يحتوي على نطاقات متعامدة على نسخة من جبر UHF${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يكتب${\displaystyle n^{\infty }}$أي،${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمتد عبر كلمات من الشكل

${\displaystyle s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}s_{j_{1}}^{*}\cdots s_{j_{k}}^{*},\quad k\geq 0.}$

الجبر الفرعي *${\displaystyle {\mathcal {F}}}$نظرًا لكونها ذات أبعاد محدودة تقريبًا ، فإن لها معيارًا فريدًا من نوع C*. الجبر الفرعي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يلعب دور فضاء معاملات فورييه لعناصر الجبر. ومن أهمّ المبرهنات التقنية، التي وضعها كونتز، أن عنصرًا في الجبر يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع معاملات فورييه الخاصة به معدومة. وباستخدام هذا، يمكن إثبات أن دالة القسمة من ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هي دالة أحادية ، مما يثبت النظرية.

جبر الترددات العالية جدًا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يحتوي على جبر فرعي غير وحدوي${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$وهو متماثل قانونيًا مع${\displaystyle {\mathcal {F}}}$نفسها: في${\displaystyle M_{n}}$مرحلة تحديد النظام المباشر${\displaystyle {\mathcal {F}}}$لنفترض الإسقاط من الرتبة 1 e ₁₁ ، وهي المصفوفة التي تساوي 1 في الزاوية العلوية اليسرى وصفر في باقي الزوايا. انشر هذا الإسقاط عبر النظام المباشر. عند${\displaystyle M_{n^{k}}}$في مرحلة النظام المباشر، يكون للشخص رتبة${\displaystyle n^{k-1}}$الإسقاط. في النهاية المباشرة ، ينتج عن ذلك إسقاط.${\displaystyle P}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$الزاوية

${\displaystyle P{\mathcal {F}}P={\mathcal {F'}}}$

متماثل مع${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. التشكل الداخلي *${\displaystyle \phi }$تلك الخرائط${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$يتم تنفيذه بواسطة القياس المتساوي${\displaystyle s_{1}}$، أي،${\displaystyle \phi (\cdot )=s_{1}(\cdot )s_{1}^{*}}$.${\displaystyle \;{\mathcal {O}}_{n}}$هو في الواقع ناتج ضرب تقاطع${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مع التشكل الداخلي${\displaystyle \phi }$.

تتوافق العلاقات التي تُعرّف جبر كونتز مع تعريف الضرب الثنائي للفئات ما قبل الجمعية . ويتضح هذا التشابه جليًا في فئة C* للتشاكلات الداخلية الأحادية *-على جبر C*. كائنات هذه الفئة هي التشاكلات الداخلية الأحادية *-، والتشاكلات هي العناصر.${\displaystyle a\in A}$، أين${\displaystyle a:\rho \to \sigma }$لو${\displaystyle a\rho (b)=\sigma (b)a}$لكل${\displaystyle b\in A}$. تشاكل داخلي أحادي من النوع *${\displaystyle \rho :A\to A}$هو المجموع المباشر للتشاكلات الداخلية${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}}$إذا كانت هناك تماثلات${\displaystyle \{S_{k}\}_{k=1}^{n}}$إرضاء${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$العلاقات و

${\displaystyle \rho (x)=\sum _{k=1}^{n}S_{k}\sigma _{k}(x)S_{k}^{*},\forall x\in A.}$

في هذا المجموع المباشر، تكون تشاكلات التضمين هي${\displaystyle S_{k}:\sigma _{k}\to \rho }$، ومورفيزمات الإسقاط هي${\displaystyle S_{k}^{*}:\rho \to \sigma _{k}}$.

تم تعميم جبر كونتز بطرق عديدة. ومن أبرزها جبر كونتز-كريجر ، وجبر C* للرسوم البيانية ، وجبر C* للرسوم البيانية من النوع k .