وحدة هيلبرت سي*

يترك${\displaystyle A}$ليكن جبرًا من نوع C* (لا يُفترض أن يكون تبديليًا أو أحاديًا)، ويُرمز إلى انعكاسه بـ${\displaystyle {}^{*}}$. منتج داخلي${\displaystyle A}$-وحدة (أو ما قبل هيلبرت)${\displaystyle A}$(-module ) هو فضاء خطي معقد${\displaystyle E}$مزود بحق متوافق${\displaystyle A}$- بنية الوحدة ، بالإضافة إلى خريطة

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{A}:E\times E\rightarrow A}$

والتي تحقق الخصائص التالية:

• للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$،${\displaystyle z}$في${\displaystyle E}$، و${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$في${\displaystyle \mathbb {C} }$:

${\displaystyle \langle x,y\alpha +z\beta \rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}\alpha +\langle x,z\rangle _{A}\beta }$

( أي أن الناتج الداخلي هو${\displaystyle \mathbb {C} }$(خطي في وسيطه الثاني).

• للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$في${\displaystyle E}$، و${\displaystyle a}$في${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \langle x,ya\rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}a}$

• للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$في${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=\langle y,x\rangle _{A}^{*},}$

ومن ثم يتبين أن الضرب الداخلي هو خطي مترافق في وسيطه الأول ( أي أنه شكل خطي مزدوج ).

• للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}\geq 0}$

بمعنى كونه عنصرًا إيجابيًا في أ ، و

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0\iff x=0.}$

(عنصر من عناصر الجبر C*)${\displaystyle A}$يُقال إنها موجبة إذا كانت مترافقة ذاتيًا مع طيف غير سالب .) ^{[ 8 ] [ 9 ]}

ينطبق نظير لمتباينة كوشي-شفارتز على الضرب الداخلي${\displaystyle A}$-وحدة${\displaystyle E}$[ ^{10 ]​}

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}\langle y,x\rangle _{A}\leq \Vert \langle y,y\rangle _{A}\Vert \langle x,x\rangle _{A}}$

ل${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$في${\displaystyle E}$.

في وحدة ما قبل هيلبرت${\displaystyle E}$، تعريف المعيار من خلال

${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \langle x,x\rangle _{A}\Vert ^{\frac {1}{2}}.}$

إتمام المعيار لـ${\displaystyle E}$، ولا يزال يُشار إليه بـ${\displaystyle E}$يقال إنه هيلبرت${\displaystyle A}$وحدة نمطية أو وحدة نمطية هيلبرت C* على جبر C*${\displaystyle A}$. تشير متباينة كوشي-شفارتز إلى أن الضرب الداخلي مستمر بشكل مشترك في المعيار ويمكن بالتالي تمديده إلى الإكمال.

فعل${\displaystyle A}$على${\displaystyle E}$متصلة: لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle E}$

${\displaystyle a_{\lambda }\rightarrow a\Rightarrow xa_{\lambda }\rightarrow xa.}$

وبالمثل، إذا${\displaystyle (e_{\lambda })}$هي وحدة تقريبية لـ${\displaystyle A}$( شبكة من العناصر المترافقة ذاتيًا من${\displaystyle A}$والتي${\displaystyle ae_{\lambda }}$و${\displaystyle e_{\lambda }a}$يميل إلى${\displaystyle a}$لكل${\displaystyle a}$في${\displaystyle A}$ثم لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle E}$

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x.}$

ومن ثم يترتب على ذلك أن${\displaystyle EA}$كثيف في​${\displaystyle E}$، و${\displaystyle x1_{A}=x}$متى${\displaystyle A}$هو أحادي.

يترك

${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}=\operatorname {span} \{\langle x,y\rangle _{A}\mid x,y\in E\},}$

ثم إغلاق​${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$هو مثال ذو وجهين في${\displaystyle A}$المثاليات ثنائية الجانب هي جبر فرعي من النوع C*، وبالتالي تمتلك وحدات تقريبية. يمكن التحقق من ذلك.${\displaystyle E\langle E,E\rangle _{A}}$كثيف في${\displaystyle E}$في حالة${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$كثيف في${\displaystyle A}$،${\displaystyle E}$يقال إنها ممتلئة . وهذا لا ينطبق عموماً.

بما أن الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$هي جبر C* مع عملية انعكاسية معطاة بواسطة الاقتران المركب ، وفضاء هيلبرت مركب${\displaystyle {\mathcal {H}}}$هيلبرت${\displaystyle \mathbb {C} }$-وحدة تحت الضرب القياسي بالأعداد المركبة وضربها الداخلي.

لو${\displaystyle X}$هو مساحة هاوسدورف محلية صغيرة الحجم و${\displaystyle E}$حزمة متجهات فوق${\displaystyle X}$مع العرض${\displaystyle \pi \colon E\to X}$مقياس هيرميتي${\displaystyle g}$ثم فضاء المقاطع المتصلة من${\displaystyle E}$هيلبرت${\displaystyle C(X)}$-وحدة. أقسام معينة${\displaystyle \sigma ,\rho }$ل${\displaystyle E}$ و${\displaystyle f\in C(X)}$يُحدد الفعل الصحيح من خلال

${\displaystyle \sigma f(x)=\sigma (x)f(\pi (x)),}$

والضرب الداخلي يُعطى بواسطة

${\displaystyle \langle \sigma ,\rho \rangle _{C(X)}(x):=g(\sigma (x),\rho (x)).}$

وينطبق العكس أيضًا: كل وحدة هيلبرت C* مولدة بشكل قابل للعد على جبر C* تبادلي أحادي${\displaystyle A=C(X)}$متماثل مع فضاء المقاطع التي تتلاشى عند اللانهاية لحقل متصل من فضاءات هيلبرت فوق${\displaystyle X}$.

أي جبر C*${\displaystyle A}$هيلبرت${\displaystyle A}$- وحدة نمطية مع الفعل المحدد بواسطة الضرب من اليمين في${\displaystyle A}$والمنتج الداخلي${\displaystyle \langle a,b\rangle =a^{*}b}$بحسب متطابقة C*، فإن معيار وحدة هيلبرت يتطابق مع معيار C* على${\displaystyle A}$.

المجموع المباشر (الجبري) لـ${\displaystyle n}$نسخ من${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{n}=\bigoplus _{i=1}^{n}A}$

يمكن تحويله إلى هيلبرت${\displaystyle A}$-وحدة نمطية عن طريق تعريف

${\displaystyle \langle (a_{i}),(b_{i})\rangle _{A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}.}$

لو${\displaystyle p}$هو إسقاط في جبر C*${\displaystyle M_{n}(A)}$، ثم${\displaystyle pA^{n}}$وهو أيضًا هيلبرت${\displaystyle A}$- وحدة نمطية لها نفس حاصل الضرب الداخلي مثل المجموع المباشر.

يمكن أيضًا النظر في الفضاء الجزئي التالي من العناصر في حاصل الضرب المباشر القابل للعد لـ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \ell _{2}(A)={\mathcal {H}}_{A}={\Big \{}(a_{i})|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{*}a_{i}{\text{ converges in }}A{\Big \}}.}$

مزود بالناتج الداخلي الواضح (على غرار ناتج ).${\displaystyle A^{n}}$) هيلبرت الناتج${\displaystyle A}$يُطلق على الوحدة النمطية اسم وحدة هيلبرت القياسية.${\displaystyle A}$.

إن حقيقة وجود فضاء هيلبرت قابل للفصل فريد من نوعه لها تعميم على وحدات هيلبرت في شكل نظرية استقرار كاسباروف ، والتي تنص على أنه إذا${\displaystyle E}$هيلبرت قابل للعد${\displaystyle A}$-وحدة، يوجد تماثل متساوي القياس${\displaystyle E\oplus \ell _{2}(A)\cong \ell _{2}(A).}$^{[ 11 ]}

خريطة (ليست بالضرورة خطية) ${\displaystyle T\colon E\to F}$يُعرَّف بأنه قابل للتجاور إذا كانت هناك خريطة أخرى${\displaystyle T^{*}\colon F\to E}$، والمعروف باسم المرافق لـ${\displaystyle T}$بحيث يكون لكل ${\displaystyle e\in E}$و${\displaystyle f\in F}$،

${\displaystyle \langle f,Te\rangle =\langle T^{*}f,e\rangle .}$

كلاهما${\displaystyle T}$و${\displaystyle T^{*}}$ثم تصبح خطية تلقائيًا وأيضًا${\displaystyle A}$الخرائط ذات الوحدات النمطية. يمكن استخدام نظرية الرسم البياني المغلق لإثبات أنها محدودة أيضًا.

على غرار المرافق للمؤثرات على فضاءات هيلبرت،${\displaystyle T^{*}}$ هو فريد (إن وجد) وقابل للاقتران مع المرافق.${\displaystyle T}$. لو${\displaystyle S\colon F\to G}$ هي خريطة ثانية قابلة للربط،${\displaystyle ST}$يمكن ربطه بـ "مرافق" ${\displaystyle S^{*}T^{*}}$.

المؤثرات المرافقة${\displaystyle E\to F}$تشكيل فضاء جزئي${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$ ل${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$، وهو أمر كامل في معيار المشغل.

في هذه الحالة${\displaystyle F=E}$، المساحة${\displaystyle \mathbb {B} (E,E)}$من المؤثرات المترافقة من${\displaystyle E}$يُشار إلى نفسه بـ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$وهي جبر C*. ^{[ 12 ]}

منح${\displaystyle e\in E}$و${\displaystyle f\in F}$الخريطة ${\displaystyle |f\rangle \langle e|\colon E\to F}$يُعرَّف، على نحو مماثل لمؤثرات الرتبة الأولى في فضاءات هيلبرت، بأنه

${\displaystyle g\mapsto f\langle e,g\rangle .}$

هذا قابل للاقتران مع المرافق${\displaystyle |e\rangle \langle f|}$.

المؤثرات المرافقة المدمجة${\displaystyle \mathbb {K} (E,F)}$تُعرَّف بأنها الامتداد المغلق لـ

${\displaystyle \{|f\rangle \langle e|\mid e\in E,\;f\in F\}}$

في${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$.

كما هو الحال مع المؤثرات المحدودة،${\displaystyle \mathbb {K} (E,E)}$يُشار إليه بـ ${\displaystyle \mathbb {K} (E)}$هذا مثال (مغلق، ذو وجهين) لـ ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$[ ^{13 ]​}

لو${\displaystyle E}$هو${\displaystyle (A,B)}$و${\displaystyle F}$أ${\displaystyle (B,C)}$المراسلة، حاصل الضرب الموتر الجبري${\displaystyle E\odot F}$ل${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$ بما أن الفضاءات المتجهة ترث اليسار واليمين${\displaystyle A}$- و${\displaystyle C}$- هياكل الوحدات النمطية على التوالي.

ويمكن أيضًا تزويدها بـ${\displaystyle C}$الشكل الخطي ذو القيم n المعرف على الموترات النقية بواسطة

${\displaystyle \langle e\odot f,e'\odot f'\rangle _{C}:=\langle f,\langle e,e'\rangle _{B}f\rangle _{C}.}$

هذا شبه محدد موجب، وإكمال هاوسدورف لـ${\displaystyle E\odot F}$ يُشار إلى المعيار شبه الناتج بـ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$. تصرفات اليسار واليمين لـ ${\displaystyle A}$و${\displaystyle C}$قم بتمديد هذا لجعله${\displaystyle (A,C)}$المراسلات. ^{[ 16 ]}

يمكن بعد ذلك تزويد مجموعة جبر C* ببنية فئة ثنائية، مع اعتبار جبر C* كائنات.${\displaystyle (A,B)}$تمثيل المراسلات بالأسهم${\displaystyle B\to A}$وتماثلات التطابقات (خرائط الوحدات النمطية التقابلية التي تحافظ على الضرب الداخلي) كأسهم ثنائية. ^{[ 17 ]}

بالنظر إلى جبر C*${\displaystyle A}$و${\displaystyle (A,A)}$مراسلة${\displaystyle E}$، وجبر توبليتز الخاص به${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$يُعرَّف بأنه الجبر الشامل لتمثيلات توبليتز (المُعرَّفة أدناه).

يمكن استعادة جبر توبليتز الكلاسيكي كحالة خاصة، ويتم تعريف جبر كونتز-بيمسنر على أنه قسمة خاصة من جبر توبليتز. ^{[ 18 ]}

على وجه الخصوص، جبر الرسوم البيانية ، والمنتجات المتقاطعة بواسطة${\displaystyle \mathbb {Z} }$، وجبر كونتز كلها نواتج قسمة لجبر توبليتز محدد.