مصفوفة معيبة

في الجبر الخطي ، المصفوفة المعيبة هي مصفوفة مربعة لا تمتلك أساسًا كاملاً من المتجهات الذاتية ، وبالتالي لا يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية . على وجه الخصوص،${\displaystyle n\times n}$تكون المصفوفة معيبة إذا وفقط إذا لم تكن تحتوي على${\displaystyle n}$المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا . ^{[ 1 ]} يتم تشكيل أساس كامل عن طريق زيادة المتجهات الذاتية بالمتجهات الذاتية المعممة ، وهي ضرورية لحل الأنظمة المعيبة للمعادلات التفاضلية العادية وغيرها من المشكلات.

أن${\displaystyle n\times n}$تحتوي المصفوفة المعيبة دائمًا على عدد أقل من${\displaystyle n}$القيم الذاتية المتميزة ، لأن القيم الذاتية المتميزة لها دائمًا متجهات ذاتية مستقلة خطيًا. على وجه الخصوص، تحتوي المصفوفة المعيبة على قيمة ذاتية واحدة أو أكثر.${\displaystyle \lambda }$مع التعدد الجبري${\displaystyle m>1}$(أي أنها جذور متعددة لكثير الحدود المميز )، ولكن أقل من${\displaystyle m}$المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بـ${\displaystyle \lambda }$إذا كانت التعددية الجبرية لـ${\displaystyle \lambda }$يتجاوز تعددها الهندسي (أي عدد المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بـ${\displaystyle \lambda }$)، ثم${\displaystyle \lambda }$يُقال إنها قيمة ذاتية معيبة . ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فإن كل قيمة ذاتية ذات تعددية جبرية${\displaystyle m}$لطالما كان الأمر كذلك${\displaystyle m}$المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا.

المصفوفة المتناظرة الحقيقية ، وبشكل أعم المصفوفة الهرميتية ، والمصفوفة الوحدوية ، لا تكون معيبة أبدًا؛ وبشكل أعم، المصفوفة العادية (التي تشمل المصفوفات الهرميتية والوحدوية كحالات خاصة) لا تكون معيبة أبدًا.

أي كتلة أردنية غير تافهة من الحجم${\displaystyle 2\times 2}$أو أكبر (أي ليست قطرية تمامًا) تُعتبر معيبة. (المصفوفة القطرية هي حالة خاصة من الشكل الطبيعي لجوردان مع جميع كتل جوردان التافهة بحجم${\displaystyle 1\times 1}$(وليس معيبًا). على سبيل المثال،${\displaystyle n\times n}$جوردان بلوك

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

له قيمة ذاتية ،${\displaystyle \lambda }$مع التعدد الجبري${\displaystyle n}$(أو أكبر إذا كانت هناك كتل جوردان أخرى لها نفس القيمة الذاتية)، ولكن متجه ذاتي مميز واحد فقط${\displaystyle Jv_{1}=\لامدا v_{1}}$، أين${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$متجهات الأساس الكنسي الأخرى${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$تشكل سلسلة من المتجهات الذاتية المعممة بحيث${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$ل${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$.

أي مصفوفة معيبة لها شكل طبيعي غير تافه لجوردان ، وهو أقرب ما يمكن للمرء أن يصل إليه لقطرنة مثل هذه المصفوفة.

مثال بسيط على المصفوفة المعيبة هو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

والتي لها قيمة ذاتية مزدوجة تساوي 3 ولكن متجه ذاتي مميز واحد فقط

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(ومضاعفاتها الثابتة).

• الشكل الطبيعي لجوردان – شكل المصفوفة الذي يشير إلى قيمها الذاتية وتعدداتها الجبرية 

• جولوب، جين هـ.؛ فان لون، تشارلز ف. (1996)، حسابات المصفوفات (  الطبعة الثالثة)، بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز ، ISBN 978-0-8018-5414-9
• سترانغ، جيلبرت (1988). الجبر الخطي وتطبيقاته (  الطبعة الثالثة). سان دييغو: هاركورت. ISBN 978-970-686-609-7.