هندسة المسافة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 85 صور
الموسوعة الحرة

هندسة المسافات هي فرع من الرياضيات يهتم بتوصيف ودراسة مجموعات النقاط بناءً على قيم المسافات المعطاة بين أزواج النقاط فقط . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] وبشكل أكثر تجريدًا، هي دراسة الفضاءات شبه المترية والتحويلات المتساوية القياس بينها. من هذا المنظور، يمكن اعتبارها موضوعًا ضمن الطوبولوجيا العامة . [ 4 ]

تاريخياً، كانت أول نتيجة في هندسة المسافة هي صيغة هيرون في القرن الأول الميلادي. بدأت النظرية الحديثة في القرن التاسع عشر مع عمل آرثر كايلي ، تلتها تطورات أكثر شمولاً في القرن العشرين على يد كارل مينجر وآخرين.

تنشأ مشاكل هندسة المسافة كلما احتاج المرء إلى استنتاج شكل مجموعة من النقاط ( المواقع النسبية ) من المسافات بينها، كما هو الحال في علم الأحياء ، [ 4 ] وشبكات الاستشعار ، [ 5 ] والمسح ، والملاحة ، ورسم الخرائط ، والفيزياء .

مقدمة وتعريفات

سيتم أولاً شرح مفاهيم هندسة المسافة من خلال وصف مشكلتين محددتين.

مشكلة الملاحة الزائدية

المشكلة الأولى: الملاحة الزائدية

لنفترض وجود ثلاث محطات راديو أرضية A وB وC، مواقعها معروفة. يوجد جهاز استقبال راديو في موقع غير معروف. ما هي المدة الزمنية التي تستغرقها إشارة الراديو للانتقال من المحطات إلى جهاز الاستقبال؟تأ،تب،تج{\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}، غير معروفة، لكن الفروق الزمنية،تأ-تب{\displaystyle t_{A}-t_{B}}وتأ-تج{\displaystyle t_{A}-t_{C}}وهي معروفة. ومنها يمكن معرفة فروق المسافةج(تأ-تب){\displaystyle c(t_{A}-t_{B})}وج(تأ-تج){\displaystyle c(t_{A}-t_{C})}ومنها يمكن تحديد موقع جهاز الاستقبال.

المشكلة الثانية: تقليل الأبعاد

في تحليل البيانات ، غالبًا ما يتم إعطاء المرء قائمة من البيانات ممثلة كمتجهاتv=(x1،...،xن)∈Rن{\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}ويجب تحديد ما إذا كانت هذه البيانات تقع ضمن فضاء فرعي أفيني منخفض الأبعاد. يتميز تمثيل البيانات منخفض الأبعاد بالعديد من المزايا، مثل توفير مساحة التخزين ووقت الحساب، وإعطاء فهم أفضل للبيانات.

التعريفات

والآن نقوم بصياغة بعض التعريفات التي تنشأ بشكل طبيعي من خلال النظر في مشاكلنا.

الفضاء شبه المتري

بالنظر إلى قائمة النقاط المتعلقة بـR={P0،...،Pن}{\displaystyle R=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}،ن≥0{\displaystyle n\geq 0}يمكننا تحديد المسافات بين أزواج النقاط بشكل تعسفي من خلال قائمة من دأناج>0{\displaystyle d_{ij}>0}،0≤أنا<ج≤ن{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}وهذا يُعرّف فضاءً شبه متري : فضاء متري بدون متباينة المثلث .

بشكل صريح، نُعرّف الفضاء شبه المتري بأنه مجموعة غير فارغةR{\displaystyle R}مجهز بنصف متريد:R×R→[0،∞){\displaystyle d:R\times R\to [0,\infty )}بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميعx،y∈R{\displaystyle x,y\in R}،

  1. الإيجابية:د(x،y)=0{\displaystyle d(x,y)=0} إذا وفقط إذا x=y{\displaystyle x=y}.
  2. التناظر:د(x،y)=د(y،x){\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}.

أي فضاء متري هو من باب أولى فضاء شبه متري. على وجه الخصوص،Rك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}، الك{\displaystyle k}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n هو الفضاء المتري المتعارف عليه في هندسة المسافة.

تم حذف متباينة المثلث من التعريف، لأننا لا نريد فرض المزيد من القيود على المسافات.دأناج{\displaystyle d_{ij}}أكثر من مجرد اشتراط أن تكون إيجابية.

عمليًا، تنشأ الفضاءات شبه المترية بشكل طبيعي من القياسات غير الدقيقة. على سبيل المثال، بالنظر إلى ثلاث نقاطأ،ب،ج{\displaystyle A,B,C}على خط، معدأب=1،دبج=1،دأج=2{\displaystyle d_{AB}=1,d_{BC}=1,d_{AC}=2}قد يؤدي القياس غير الدقيق إلى نتائج غير دقيقة.دأب=0.99،دبج=0.98،دأج=2.00{\displaystyle d_{AB}=0.99,d_{BC}=0.98,d_{AC}=2.00}، مما ينتهك متباينة المثلث.

التضمين المتساوي القياس

بالنظر إلى فضاءين شبه متريين،(R،د)،(R′،د′){\displaystyle (R,d),(R',d')}، تضمين متساوي القياس منR{\displaystyle R}لR′{\displaystyle R'}هي خريطةو:R→R′{\displaystyle f:R\to R'}وهذا يحافظ على شبه المقياس، أي لجميعx،y∈R{\displaystyle x,y\in R}،د(x،y)=د′(و(x)،و(y)){\displaystyle d(x,y)=d'(f(x),f(y))}.

على سبيل المثال، بالنظر إلى الفضاء شبه المتري المحدود(R،د){\displaystyle (R,d)}كما هو موضح أعلاه، تضمين متساوي القياس منR{\displaystyle R}لRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}يتم تعريفها بواسطة النقاطأ0،أ1،...،أن∈Rك{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}بحيثد(أأنا،أج)=دأناج{\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}للجميع0≤أنا<ج≤ن{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}.

الاستقلال الوثني

بالنظر إلى النقاطأ0،أ1،...،أن∈Rك{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}تُعرَّف بأنها مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا لم يكن بالإمكان وضعها داخل عنصر واحدل{\displaystyle l}الفضاء الأفيني ذو الأبعاد n منRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}، لأيℓ<ن{\displaystyle \ell <n}، إذان{\displaystyle n}- سيمبلكس يمتدون،vن{\displaystyle v_{n}}له إيجابين{\displaystyle n}-الحجم، أيالمجلدن⁡(vن)>0{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})>0}.

بشكل عام، عندماك≥ن{\displaystyle k\geq n}هي مستقلة خطيًا، لأن أي مجسم بسيط من الرتبة n غير منحل. على سبيل المثال، ثلاث نقاط في المستوى، عمومًا، ليست على استقامة واحدة، لأن المثلث الذي تشكله لا يتحول إلى قطعة مستقيمة . وبالمثل، أربع نقاط في الفضاء، عمومًا، ليست في مستوى واحد، لأن الهرم الرباعي الذي تشكله لا يتحول إلى مثلث مسطح.

متىن>ك{\displaystyle n>k}يجب أن يكونوا معتمدين على بعضهم البعض. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة أن أين{\displaystyle n}-معقد بسيط يمكن وضعه في الداخلRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}يجب أن يكون "مسطحًا".

محددات كايلي-مينجر

محددات كايلي-مينجر، التي سميت على اسم آرثر كايلي وكارل مينجر، هي محددات لمصفوفات المسافات بين مجموعات النقاط.

يتركأ0،أ1،...،أن{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}إذا كانت n  +  1 نقطة في فضاء شبه متري، فإن محدد كايلي-مينجر الخاص بها يُعرَّف كما يلي:

سي إم⁡(أ0،⋯،أن)=|0د012د022⋯د0ن21د0120د122⋯د1ن21د022د1220⋯د2ن21⋮⋮⋮⋱⋮⋮د0ن2د1ن2د2ن2⋯01111⋯10|{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\cdots ,A_{n})={\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}}

لوأ0،أ1،...،أن∈Rك{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}ثم تشكل هذه العناصر رؤوسًا لمركبة بسيطة من الرتبة n قد تكون متدهورةvن{\displaystyle v_{n}}فيRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}يمكن إثبات أن [ 6 ] حجم المجسم البسيط ذو البعد nvن{\displaystyle v_{n}}يرضي

المجلدن⁡(vن)2=(-1)ن+1(ن!)22نسي إم⁡(أ0،...،أن).{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n}).}

لاحظ أنه في حالةن=0{\displaystyle n=0}لديناالمجلد0⁡(v0)=1{\displaystyle \operatorname {Vol} _{0}(v_{0})=1}، مما يعني أن "الحجم ذو البعد الصفري" لـ 0-simplex هو 1، أي أن هناك نقطة واحدة في 0-simplex.

أ0،أ1،...،أن{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}مستقلة بشكل أفي إذا وفقط إذاالمجلدن⁡(vن)>0{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})>0}، إنه،(-1)ن+1سي إم⁡(أ0،...،أن)>0{\displaystyle (-1)^{n+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n})>0}وبالتالي فإن محددات كايلي-مينجر توفر طريقة حسابية لإثبات الاستقلال الأفيني.

لوك<ن{\displaystyle k<n}إذاً، يجب أن تكون النقاط تابعة خطياً، وبالتاليسي إم⁡(أ0،...،أن)=0{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n})=0}تناولت ورقة كايلي البحثية لعام 1841 الحالة الخاصة لـك=3،ن=4{\displaystyle k=3,n=4}أي خمس نقاطأ0،...،أ4{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{4}}يجب أن يكون في الفضاء ثلاثي الأبعادسي إم⁡(أ0،...،أ4)=0{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{4})=0}.

تاريخ

أولى نتائج هندسة المسافات هي صيغة هيرون ، التي تعود إلى القرن الأول الميلادي، والتي تُعطي مساحة المثلث من المسافات بين رؤوسه الثلاثة. أما صيغة براهمغوبتا ، التي تعود إلى القرن السابع الميلادي، فقد عممتها لتشمل الأشكال الرباعية الدائرية . وفي القرن السادس عشر الميلادي، عممها تارتاليا ليعطي حجم رباعي الأوجه من المسافات بين رؤوسه الأربعة.

بدأت النظرية الحديثة لهندسة المسافة مع آرثر كايلي وكارل مينجر . [ 7 ] نشر كايلي محدد كايلي عام 1841، [ 8 ] وهو حالة خاصة من محدد كايلي-مينجر العام. أثبت مينجر عام 1928 نظرية توصيف لجميع الفضاءات شبه المترية القابلة للتضمين المتساوي القياس في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}[ 9 ] [ 10 ] في عام 1931 ، استخدم مينجر علاقات المسافة لتقديم معالجة بديهية للهندسة الإقليدية. [ 11 ]

يقدم كتاب ليونارد بلومنتال [ 12 ] نظرة عامة على هندسة المسافة على مستوى الدراسات العليا، وقد تم تناول جزء كبير منها باللغة الإنجليزية لأول مرة عند نشره.

نظرية مينجر للتوصيف

أثبت مينجر نظرية التوصيف التالية للفضاءات شبه المترية: [ 2 ]

فضاء شبه متري(R،د){\displaystyle (R,d)}يمكن تضمينها بشكل متساوي القياس فين{\displaystyle n}فضاء إقليدي ذو أبعادRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لكن ليس فيRم{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}لأي0≤م<ن{\displaystyle 0\leq m<n}، إذا وفقط إذا:

  1. R{\displaystyle R}يحتوي على(ن+1){\displaystyle (n+1)}مجموعة فرعية من النقاطS{\displaystyle S}أي متساوي القياس مع مستقل خطيًا(ن+1){\displaystyle (n+1)}مجموعة فرعية من النقاطRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}؛
  2. أي(ن+3){\displaystyle (n+3)}مجموعة فرعية من النقاطS′{\displaystyle S'}، والتي يتم الحصول عليها بإضافة أي نقطتين إضافيتين منR{\displaystyle R}لS{\displaystyle S}، متطابق مع(ن+3){\displaystyle (n+3)}مجموعة فرعية من النقاطRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

يوجد برهان لهذه النظرية في شكل مخفف قليلاً (للفضاءات المترية بدلاً من الفضاءات شبه المترية) في [ 13 ] .

التوصيف عبر محددات كايلي-مينجر

تم إثبات النتائج التالية في كتاب بلوميثال. [ 12 ]

تضمين n + 1 نقطة في الأعداد الحقيقية

بالنظر إلى فضاء شبه متري(S،د){\displaystyle (S,d)}، معS={P0،...،Pن}{\displaystyle S=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}، و د(Pأنا،Pج)=دأناج≥0{\displaystyle d(P_{i},P_{j})=d_{ij}\geq 0}،0≤أنا<ج≤ن{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}، تضمين متساوي القياس لـ(S،د){\displaystyle (S,d)}داخلRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يتم تعريفها بواسطةأ0،أ1،...،أن∈Rن{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}بحيثد(أأنا،أج)=دأناج{\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}للجميع0≤أنا<ج≤ن{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}.

ومرة أخرى، يتساءل المرء عما إذا كان مثل هذا التضمين متساوي القياس موجودًا لـ(S،د){\displaystyle (S,d)}.

الشرط الضروري واضح: للجميعك=1،...،ن{\displaystyle k=1,\ldots ,n}، يتركvك{\displaystyle v_{k}}ليكن k -simplex المتكون بواسطة أ0،أ1،...،أك{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{k}}، ثم

(-1)ك+1سي إم⁡(P0،...،Pك)=(-1)ك+1سي إم⁡(أ0،...،أك)=2ك(ك!)كالمجلدك⁡(vك)2≥0{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})=(-1)^{k+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{k})=2^{k}(k!)^{k}\operatorname {Vol} _{k}(v_{k})^{2}\geq 0}

وينطبق العكس أيضاً. أي، إذا كان لكلك=1،...،ن{\displaystyle k=1,\ldots ,n}،

(-1)ك+1سي إم⁡(P0،...،Pك)≥0،{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}

إذن، يوجد مثل هذا التضمين.

علاوة على ذلك، فإن هذا التضمين فريد من نوعه حتى التساوي في القياسRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}أي، بالنظر إلى أي تضمينين متساويي القياس معرفين بواسطةأ0،أ1،...،أن{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}، وأ0′،أ1′،...،أن′{\displaystyle A'_{0},A'_{1},\ldots ,A'_{n}}يوجد تماثل (ليس بالضرورة فريدًا)تي:Rن→Rن{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}بحيثتي(أك)=أك′{\displaystyle T(A_{k})=A'_{k}}للجميعك=0،...،ن{\displaystyle k=0,\ldots ,n}. هذهتي{\displaystyle T}يكون فريدًا إذا وفقط إذاسي إم⁡(P0،...،Pن)≠0{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n})\neq 0}، إنه،أ0،أ1،...،أن{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}مستقلون بشكل تقاربي.

تضمين النقاط n + 2 و n + 3

لون+2{\displaystyle n+2}نقاطP0،...،Pن+1{\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n+1}}يمكن تضمينها فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}مثلأ0،...،أن+1{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n+1}}إذن، بالإضافة إلى الشروط المذكورة أعلاه، هناك شرط ضروري إضافي وهو أن(ن+1){\displaystyle (n+1)}-simplex يتكون من أ0،أ1،...،أن+1{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n+1}}لا يجب أن يكون لديه(ن+1){\displaystyle (n+1)}حجم ذو أبعاد. أي،سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+1)=0{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0}.

وينطبق العكس أيضاً. أي، إذا كان لكلك=1،...،ن{\displaystyle k=1,\ldots ,n}،

(-1)ك+1سي إم⁡(P0،...،Pك)≥0،{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}

و

سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+1)=0،{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0,}

إذن، يوجد مثل هذا التضمين.

للتضمينن+3{\displaystyle n+3}النقاط فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، والشروط الضرورية والكافية متشابهة:

  1. للجميعك=1،...،ن{\displaystyle k=1,\ldots ,n}،(-1)ك+1سي إم⁡(P0،...،Pك)≥0{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}؛
  2. سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+1)=0؛{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}
  3. سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+2)=0؛{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}
  4. سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+1،Pن+2)=0.{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}

تضمين العديد من النقاط بشكل عشوائي

الن+3{\displaystyle n+3}تبين أن الحالة كافية بشكل عام.

بشكل عام، بالنظر إلى فضاء شبه متري(R،د){\displaystyle (R,d)}، ويمكن تضمينه بشكل متساوي القياس فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}إذا وفقط إذا كان هناكP0،...،Pن∈R{\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}\in R}بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميعك=1،...،ن{\displaystyle k=1,\ldots ,n}،(-1)ك+1سي إم⁡(P0،...،Pك)≥0{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}ولأيPن+1،Pن+2∈R{\displaystyle P_{n+1},P_{n+2}\in R}،

  1. سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+1)=0؛{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}
  2. سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+2)=0؛{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}
  3. سي إم⁡(P0،...،Pن،Pن+1،Pن+2)=0.{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}

وهذا التضمين فريد من نوعه حتى التماثل فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

علاوة على ذلك، إذاسي إم⁡(P0،...،Pن)≠0{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n})\neq 0}إذاً، لا يمكن تضمينه بشكل متساوي القياس في أيRم،م<ن{\displaystyle \mathbb {R} ^{m},m<n}ويكون هذا التضمين فريدًا حتى التماثل الفريد فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

وبالتالي، توفر محددات كايلي-مينجر طريقة ملموسة لحساب ما إذا كان من الممكن تضمين فضاء شبه متري فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، لبعض القيم المحدودةن{\displaystyle n}وإذا كان الأمر كذلك، فما هو الحد الأدنى؟ن{\displaystyle n}.

التطبيقات

توجد العديد من تطبيقات هندسة المسافة. [ 3 ]

في شبكات الاتصالات مثل نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ، تُعرف مواقع بعض أجهزة الاستشعار (التي تُسمى نقاط التثبيت) وبعض المسافات بينها؛ وتكمن المشكلة في تحديد مواقع جميع أجهزة الاستشعار. [ 5 ] يُعدّ الملاحة القطعية إحدى التقنيات السابقة لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) التي تستخدم هندسة المسافة لتحديد مواقع السفن بناءً على الوقت الذي تستغرقه الإشارات للوصول إلى نقاط التثبيت.

توجد العديد من التطبيقات في الكيمياء. [ 4 ] [ 12 ] يمكن لتقنيات مثل الرنين المغناطيسي النووي قياس المسافات بين أزواج الذرات في جزيء معين، وتكمن المشكلة في استنتاج الشكل ثلاثي الأبعاد للجزيء من تلك المسافات.

بعض حزم البرامج للتطبيقات هي:

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ يميني، ي. (1978). "مشكلة تحديد المواقع - مسودة ملخص وسيط". مؤتمر شبكات الاستشعار الموزعة، بيتسبرغ .
  2. 1 2 ليبرتي، ليو؛ لافور، كارليل؛ ماكولان، نيلسون؛ موتشيرينو، أنطونيو (2014). "هندسة المسافة الإقليدية وتطبيقاتها". مجلة SIAM Review . 56 : 3-69 . arXiv : 1205.0349 . doi : 10.1137/120875909 . S2CID 15472897 . 
  3. 1 2 موتشيرينو، أ.؛ لافور، س.؛ ليبرتي، ل.؛ ماكولان، ن. (2013). هندسة المسافة: النظرية والأساليب والتطبيقات .
  4. 1 2 3 كريبن، جي إم؛ هافيل، تي إف (1988). هندسة المسافة والتشكيل الجزيئي . جون وايلي وأولاده.
  5. 1 2 بيسواس، ب.؛ ليان، ت.؛ وانغ، ت.؛ يي، ي. (2006). "خوارزميات قائمة على البرمجة شبه المحددة لتحديد موقع شبكة الاستشعار". معاملات ACM في شبكات الاستشعار . 2 (2): 188-220 . doi : 10.1145/1149283.1149286 . S2CID 8002168 . 
  6. ↑ "أحجام سيمبلكس ومحدد كايلي-مينجر" . www.mathpages.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 مايو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 يونيو 2019 .
  7. ↑ ليبرتي، ليو؛ لافور، كارليل (2016). "ستة جواهر رياضية من تاريخ هندسة المسافة". المعاملات الدولية في بحوث العمليات . 23 (5): 897-920 . arXiv : 1502.02816 . doi : 10.1111/itor.12170 . ISSN 1475-3995 . S2CID 17299562 .  
  8. ↑ كايلي، آرثر (1841). "حول نظرية في هندسة الموضع". مجلة كامبريدج الرياضية . 2 : 267-271 .
  9. ^ منجر ، كارل (12/1928/01). "Unter suchungen über allgemeine Metrik". Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 100 (1): 75-163 . دوى : 10.1007 / BF01448840 . ردمك 1432-1807 . S2CID 179178149 .  
  10. ↑ بلومنتال، إل إم؛ جيلام، بي إي (1943). "توزيع النقاط في الفضاء ذي الأبعاد n " . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 50 (3): 181. doi : 10.2307/2302400 . JSTOR 2302400 . 
  11. ↑ مينجر، كارل (1931). "أساس جديد للهندسة الإقليدية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 53 (4): 721-745 . doi : 10.2307/2371222 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2371222 .  
  12. 1 2 3 بلومنتال، ليونارد م. (1953). نظرية وتطبيقات هندسة المسافة . مطبعة جامعة أكسفورد.( الطبعة الثانية ، تشيلسي: 1970)
  13. ↑ باورز، جون سي؛ باورز، فيليب إل. (13 ديسمبر 2017). "إعادة طرح مينجر: تضمين الفضاءات المترية بشكل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 124 (7): 621. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.7.621 . S2CID 50040864 .