مرشح إهليلجي

المرشح الإهليلجي (المعروف أيضًا بمرشح كاوير ، نسبةً إلى ويلهلم كاوير ، أو مرشح زولوتاريف ، نسبةً إلى يغور زولوتاريف ) هو مرشح لمعالجة الإشارات يتميز بتوازن التموج في كلٍ من نطاق التمرير ونطاق الإيقاف . يمكن ضبط مقدار التموج في كل نطاق بشكل مستقل، ولا يوجد مرشح آخر من نفس الرتبة يتميز بانتقال أسرع في الكسب بين نطاق التمرير ونطاق الإيقاف ، وذلك لقيم التموج المحددة (سواءً كان التموج متوازنًا أم لا). بدلاً من ذلك، يمكن التخلي عن إمكانية ضبط تموج نطاق التمرير ونطاق الإيقاف بشكل مستقل، وتصميم مرشح يكون أقل حساسية لتغيرات المكونات.

عندما يقترب التموج في نطاق الإيقاف من الصفر، يصبح المرشح مرشح تشيبيشيف من النوع الأول . وعندما يقترب التموج في نطاق التمرير من الصفر، يصبح المرشح مرشح تشيبيشيف من النوع الثاني ، وأخيرًا، عندما تقترب قيمتا التموج من الصفر، يصبح المرشح مرشح باترورث .

يُعطى كسب مرشح القطع الناقص ذي التمرير المنخفض كدالة للتردد الزاوي ω بالصيغة التالية:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

حيث R _n هي الدالة الكسرية الإهليلجية من الرتبة n (المعروفة أحيانًا باسم دالة تشيبيشيف الكسرية) و

${\displaystyle \omega _{0}}$ تردد القطع

${\displaystyle \epsilon }$هو عامل التموج

${\displaystyle \xi }$هو عامل الانتقائية

تحدد قيمة عامل التموج تموج نطاق التمرير، بينما يحدد مزيج عامل التموج وعامل الانتقائية تموج نطاق الإيقاف.

• في نطاق التمرير، تتراوح قيمة الدالة الكسرية الإهليلجية بين الصفر والواحد. وبالتالي، يتراوح كسب نطاق التمرير بين 1 و${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$.
• في نطاق التوقف، تتغير الدالة الكسرية الإهليلجية بين اللانهاية وعامل التمييز${\displaystyle L_{n}}$والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

وبالتالي، سيتراوح كسب نطاق الإيقاف بين 0 و${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$.

• في حدود${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$تتحول الدالة الكسرية الإهليلجية إلى متعددة حدود تشيبيشيف ، وبالتالي يصبح المرشح مرشح تشيبيشيف من النوع الأول ، بمعامل تموج ε
• بما أن مرشح باترورث هو شكل محدود لمرشح تشيبيشيف، فإنه يترتب على ذلك أنه في حالة الحد${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$،${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$و${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$بحيث${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$يتحول المرشح إلى مرشح باترورث
• في حدود${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$،${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$و ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$بحيث${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$و${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$يصبح المرشح مرشحًا من نوع تشيبيشيف الثاني مع كسب

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

ستتطابق أصفار كسب المرشح الإهليلجي مع أقطاب الدالة الكسرية الإهليلجية، والتي تم اشتقاقها في المقالة المتعلقة بالدوال الكسرية الإهليلجية .

يمكن اشتقاق أقطاب كسب مرشح إهليلجي بطريقة مشابهة جدًا لاشتقاق أقطاب كسب مرشح تشيبيشيف من النوع الأول . ولتبسيط الأمر، نفترض أن تردد القطع يساوي واحدًا.${\displaystyle (\omega _{pm})}$ستكون أصفار مقام كسب المرشح الإهليلجي هي جزء من كسب المرشح. باستخدام التردد المركب${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$وهذا يعني أن:

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

تعريف${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$حيث cd() هي دالة جيب التمام الإهليلجية لجاكوبي، وباستخدام تعريف الدوال الكسرية الإهليلجية ينتج ما يلي:

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

أين${\displaystyle K=K(1/\xi )}$و${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$حل لإيجاد قيمة w

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

حيث يتم توضيح القيم المتعددة للدالة العكسية cd() باستخدام الفهرس الصحيح m .

تكون أقطاب دالة الكسب الإهليلجية كما يلي:

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

كما هو الحال بالنسبة لكثيرات حدود تشيبيشيف، يمكن التعبير عن ذلك بشكل معقد صريح ( Lutovac & et al. 2001 ، § 12.8).

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

أين${\displaystyle \zeta _{n}}$هي وظيفة من${\displaystyle n,\,\epsilon }$و${\displaystyle \xi }$و${\displaystyle x_{m}}$هي أصفار الدالة الكسرية الإهليلجية.${\displaystyle \zeta _{n}}$يمكن التعبير عنها لجميع قيم n بدلالة دوال جاكوبي الإهليلجية، أو جبريًا لبعض الرتب، وخاصة الرتب 1 و2 و3. بالنسبة للرتبتين 1 و2 لدينا

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

أين

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

التعبير الجبري لـ${\displaystyle \zeta _{3}}$الأمر معقد إلى حد ما (انظر Lutovac & et al. (2001 ، § 12.8.1) ).

يمكن استخدام خاصية التداخل للدوال الكسرية الإهليلجية لبناء تعبيرات من رتبة أعلى لـ${\displaystyle \zeta _{n}}$:

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

أين${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$.

انظر لوتوفاك وآخرون . (2001 ، § 12.11، 13.14) .

تُحدد المرشحات الإهليلجية عمومًا باشتراط قيمة معينة لتموج نطاق التمرير، αp _، وتموج نطاق الإيقاف، αs _، وحدّة القطع. تُحدد هذه القيم الحد الأدنى للرتبة n للدالة الإهليلجية الكسرية التي تصف سلوك المرشح. على وجه التحديد، لنفترض مرشحًا يمرر الترددات الأقل من ωp ويوقف الترددات الأعلى من _ωs ، ونُعرّف الدالة المساعدة _.$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}}}$$لتقييد كسب نطاق التمرير في [1- G _p , 1] وكسب نطاق الإيقاف في [0, 1- G _s ] ، يجب أن يحقق الترتيب n ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&n\geq {\frac {\log {\left(16{\frac {G_{s}}{G_{p}}}\right)}}{-\log(u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13})}}\\&{\text{Where:}}\\&Gs=10^{\alpha _{s/10}}-1\\&Gp=10^{\alpha _{p/10}}-1\\\end{aligned}}}$$تنشأ هذه المعادلة من تقريب لدالة التكامل الإهليلجي الكاملة K؛ الصيغة الدقيقة هي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle n\geq {\frac {K\left({\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\right)K(\tau _{2})}{K(\tau _{1})K\left({\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\right)}}}$$أين$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {G_{p}}{G_{s}}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\end{aligned}}}$$من الاعتبارات التصميمية الأخرى حساسية دالة الكسب لقيم المكونات الإلكترونية المستخدمة في بناء المرشح. تتناسب هذه الحساسية عكسيًا مع عامل الجودة ( Q ) لأقطاب دالة نقل المرشح . يُعرَّف عامل الجودة للقطب كما يلي:

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

وهو مقياس لتأثير القطب على دالة الكسب. بالنسبة للمرشح الإهليلجي، يحدث أنه بالنسبة لرتبة معينة، توجد علاقة بين عامل التموج وعامل الانتقائية تعمل على تقليل عامل الجودة لجميع الأقطاب في دالة النقل في آن واحد:

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

ينتج عن ذلك مرشحٌ ذو حساسيةٍ ضئيلةٍ للغاية لتغيرات المكونات، ولكن ستُفقد القدرة على تحديد تموجات نطاقي التمرير والإيقاف بشكلٍ مستقل. بالنسبة لهذه المرشحات، مع ازدياد الرتبة، يقل التموج في كلا النطاقين ويزداد معدل القطع. إذا قررنا استخدام مرشح إهليلجي ذي عامل جودة منخفض (Q) لتحقيق حد أدنى معين من التموج في نطاقات المرشح مع معدل قطع معين، فإن الرتبة المطلوبة ستكون عمومًا أكبر من الرتبة المطلوبة في حال عدم وجود قيد عامل الجودة المنخفض. ستبدو صورة القيمة المطلقة للكسب مشابهةً جدًا للصورة في القسم السابق، باستثناء أن الأقطاب مُرتبة في دائرة بدلًا من قطع ناقص. لن تكون الأقطاب متباعدةً بانتظام، وستكون هناك أصفار على محور ω، على عكس مرشح باترورث ، الذي تُرتّب أقطابه في دائرة متباعدة بانتظام دون أصفار.

إليكم صورة توضح المرشح الإهليلجي بجانب أنواع أخرى شائعة من المرشحات التي تم الحصول عليها بنفس عدد المعاملات:

كما هو واضح من الصورة، فإن المرشحات الإهليلجية أكثر حدة من جميع المرشحات الأخرى، لكنها تظهر تموجات على كامل عرض النطاق الترددي.

تُعتبر نطاقات التوقف في المرشحات الإهليلجية في جوهرها مرشحات تشيبيشيف ذات أصفار نقل، حيث تُرتّب أصفار النقل بطريقة تُنتج نطاق توقف متساوي التموج. وبناءً على ذلك، يُمكن تحويل معادلة خصائص مرشح تشيبيشيف،${\displaystyle K(s)}$يحتوي على أصفار انعكاس تشيبيشيف في البسط ولا يحتوي على أصفار انتقال في المقام، إلى مرشح إهليلجي${\displaystyle K(s)}$يحتوي البسط على أصفار انعكاس القطع الناقص وأصفار انتقال القطع الناقص في المقام، وذلك عن طريق إنشاء أصفار انتقال بشكل متكرر من المعكوس المُقاس لأصفار انعكاس تشيبيشيف، ثم إعادة إنشاء نطاق تمرير تشيبيشيف متساوي التموج من أصفار الانتقال، وتكرار ذلك حتى لا تُحدث التكرارات أي تغييرات أخرى ذات دلالة.${\displaystyle K(s)}$[ ^{3 ]} عامل القياس المستخدم ^،${\displaystyle \Omega _{c}}$، هي نسبة تردد القطع بين نطاق الإيقاف ونطاق المرور، وتُعرف أيضًا باسم معكوس "عامل الانتقائية". ^{[ 1 ]} وبما أن تصميمات الدوائر الإهليلجية تُحدد عادةً بناءً على متطلبات توهين نطاق الإيقاف،${\displaystyle \Omega _{c}}$، ويمكن اشتقاقها من المعادلات التي تحدد الحد الأدنى للرتبة، n، أعلاه.

ال${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$نسبة،${\displaystyle \Omega _{c}}$يمكن اشتقاق ذلك من خلال حل مسألة الحد الأدنى للترتيب، n ، المذكورة أعلاه بشكل عكسي من n لإيجاد${\displaystyle \Omega _{c}}$[ ^{1 ]​}

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\\alpha _{p}{\text{ and }}\alpha _{s}&={\text{pass band and stop band attenuation, respectively}}\\\omega _{p}{\text{ and }}\omega _{s}&={\text{pass band and stop band frequencies, respectively}}\\D&={\frac {G_{s}}{G_{p}}}={\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

كثيرات الحدود المميزة،${\displaystyle K(s)}$محسوب من${\displaystyle \Omega _{c}}$ويمكن بعد ذلك ترجمة متطلبات التوهين إلى كثيرات حدود دالة النقل،${\displaystyle G(s)}$مع الترجمة الكلاسيكية،${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$أين${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$و${\displaystyle A_{p}}$ هو تموج نطاق التمرير. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

مثال بسيط

صمم مرشحًا إهليلجيًا بنطاق تمرير ذي تموج قدره 1  ديسيبل من 0 إلى 1 راديان/ثانية، ونطاق إيقاف ذي تموج قدره 40  ديسيبل من 1.25 راديان/ثانية على الأقل إلى${\displaystyle \infty }$.

بتطبيق الحسابات المذكورة أعلاه لقيمة n قبل تطبيق دالة ceil() ، نجد أن n تساوي 4.83721900، ويتم تقريبها إلى أقرب عدد صحيح، وهو 5، بتطبيق دالة ceil() ، مما يعني أن مرشحًا إهليلجيًا بخمسة أقطاب مطلوب لتلبية متطلبات التصميم المحددة. بتطبيق الحسابات المذكورة أعلاه لـ${\displaystyle \Omega _{c}}$يلزم تصميم نطاق إيقاف بمقدار 40  ديسيبل بالضبط من التوهين،${\displaystyle \Omega _{c}}$وقد تبين أن قيمته هي 1.2186824.

يمكن تنفيذ دالة الانعكاس المقياسي متعدد الحدود عن طريق نقل كل جذر، s ، إلى${\displaystyle \Omega _{c}/s}$ويمكن تحقيق ذلك بسهولة عن طريق عكس متعددة الحدود وقياسها بـ${\displaystyle \Omega _{c}}$كما هو موضح.

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

تكون خطوات تصميم القطع الناقص كما يلي: ^{[ 3 ]}

1. صمم مرشحات تشيبيشيف ذات  تموج نطاق تمرير 1 ديسيبل.
2. اعكس جميع الانعكاسات الصفرية حول${\displaystyle \Omega _{c}}$لإنشاء أصفار الإرسال
3. قم بإنشاء نطاق تمرير متساوي التموج من أصفار الإرسال باستخدام العملية الموضحة في أصفار إرسال تشيبيشيف.
4. كرر الخطوتين ٢ و٣ حتى لا يتغير نطاق التمرير ونطاق الإيقاف بشكل ملحوظ. عادةً، ينتج عن ١٥ إلى ٢٥ تكرارًا اختلافات في المعاملات في حدود ١ × ١٠⁻¹⁵.

لتوضيح الخطوات، تبدأ معادلات K(s) أدناه بمعادلة تشيبيشيف K(s) القياسية، ثم تُكرر العملية. تظهر اختلافات واضحة في التكرارات الثلاثة الأولى. عند الوصول إلى 18 تكرارًا، تصبح الاختلافات في K(s) ضئيلة. يمكن إيقاف التكرارات عندما يصبح التغير في معاملات K(s) صغيرًا بما يكفي لتلبية متطلبات دقة التصميم. تم توحيد جميع تكرارات K(s) أدناه بحيث${\displaystyle |K(j)|=1}$ومع ذلك، يمكن تأجيل هذه الخطوة حتى التكرار الأخير، إذا رغب في ذلك.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

للعثور على${\displaystyle G(s)}$دالة التحويل، قم بما يلي. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

للحصول على${\displaystyle G(s)}$من النصف الأيسر من المستوى المركب، حلل البسط والمقام للحصول على الجذور باستخدام خوارزمية إيجاد الجذور . تخلص من جميع الجذور الموجودة في النصف الأيمن من المستوى المركب للمقام، واقسم الجذور المتكررة في البسط على اثنين، ثم أعد بناء المعادلة.${\displaystyle G(s)}$مع الجذور المتبقية. ^{[ 3 ] [ 4 ]} عمومًا، قم بالتطبيع${\displaystyle |G(s)|}$إلى 1 في${\displaystyle s=0}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

للتأكد من أن المثال${\displaystyle G(s)}$صحيح، مخطط${\displaystyle G(s)}$على امتداد${\displaystyle j\omega }$يظهر أدناه تموج نطاق تمرير يبلغ 1  ديسيبل، وتردد قطع يبلغ 1 راديان/ثانية، وتوهين نطاق إيقاف يبلغ 40  ديسيبل يبدأ من 1.21868 راديان/ثانية

لا يمكن تنفيذ مرشحات القطع الناقص ذات الرتبة الزوجية، والمُنفذة باستخدام عناصر سلبية، كالمحاثات والمكثفات وخطوط النقل، ذات نهايات متساوية القيمة على كلا الجانبين، باستخدام دالة النقل الإهليلجية التقليدية دون استخدام ملفات مقترنة، وهو أمر قد لا يكون مرغوبًا فيه أو عمليًا. ويعود ذلك إلى عدم القدرة الفيزيائية على استيعاب أصفار انعكاس تشيبيشيف وأصفار النقل ذات الرتبة الزوجية ، والتي ينتج عنها قيم مصفوفة التشتت S12 التي تتجاوز قيمة S12 عند${\displaystyle \omega =0}$، وقيم S12 المحدودة الموجودة عند${\displaystyle \omega =\infty }$إذا لم يكن من الممكن تصميم المرشح بزيادة أو تقليل أحد النهايات لاستيعاب نطاق التمرير S12، فيجب تعديل دالة النقل الإهليلجية بحيث يتم نقل صفر الانعكاس ذي الرتبة الزوجية الأدنى إلى${\displaystyle \omega =0}$وأعلى رتبة زوجية لنقل البيانات من الصفر إلى${\displaystyle \omega =\infty }$مع الحفاظ على استجابة التموج المتساوي لنطاق التمرير ونطاق الإيقاف. ^{[ 5 ]}

يتضمن التعديل المطلوب تعيين كل قطب وصفر لدالة النقل الإهليلجية بطريقة تُعيّن أدنى تردد انعكاس صفر إلى صفر، وأعلى تردد نقل صفر إلى${\displaystyle \infty }$والأقطاب والأصفار المتبقية حسب الحاجة للحفاظ على نطاق تمرير ونطاق إيقاف متساوي التموج. ويمكن إيجاد صفر الانعكاس ذي التردد الأدنى عن طريق تحليل${\displaystyle K(s)}$يمكن إيجاد البسط، وأعلى تردد إرسال صفري، عن طريق تحليل${\displaystyle K(s)}$المقام.

لتحويل أصفار الانعكاس، يتم تطبيق المعادلة التالية على جميع أقطاب وأصفار${\displaystyle K(s)}$[ ^{5 ] بينما من الناحية النظرية ،} يمكن إجراء عمليات الترجمة على أي من${\displaystyle K(s)}$أو${\displaystyle G(s)}$يجب استخراج أصفار الانعكاس من${\displaystyle K(s)}$لذا، من الأفضل عمومًا إجراء عمليات الترجمة على${\displaystyle K(s)}$.

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

أين:

${\displaystyle R_{i}}$هل الدالة الإهليلجية الأصلية صفر أم قطب؟

${\displaystyle R_{i}'}$يمثل الصفر أو القطب المُعين لدالة التحويل المعدلة ذات الرتبة الزوجية.

${\displaystyle \omega _{LO}}$هو أدنى تردد انعكاس صفري في نطاق المرور.

علامة المكون التخيلي لـ${\displaystyle R_{i}'}$يتم تحديده من خلال إشارة الأصل${\displaystyle R_{i}}$.

لتحويل أصفار الإرسال، يتم تطبيق المعادلة التالية على جميع أقطاب وأصفار${\displaystyle K(s)}$[ ^{5 ] بينما من الناحية النظرية ،} يمكن إجراء عمليات الترجمة على أي من${\displaystyle K(s)}$أو${\displaystyle G(s)}$إذا كان يجب استخراج أصفار الانعكاس من${\displaystyle K(s)}$قد يكون من الأجدى إجراء عمليات الترجمة على${\displaystyle K(s)}$.

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

أين:

${\displaystyle R_{i}}$هل الدالة الإهليلجية الأصلية صفر أم قطب؟

${\displaystyle R_{i}'}$يمثل الصفر أو القطب المُعين لدالة التحويل المعدلة ذات الرتبة الزوجية.

${\displaystyle \omega _{HI}}$هو أعلى تردد إرسال صفري في نطاق المرور.

علامة المكون التخيلي لـ${\displaystyle R_{i}'}$يتم تحديده من خلال إشارة الأصل${\displaystyle R_{i}}$إذا كان يتم التشغيل على${\displaystyle G(s)}$إشارة المكون الحقيقي لـ${\displaystyle R_{i}'}$يجب أن تكون القيمة سالبة لتتوافق مع متطلبات النصف الأيسر من المستوى.

من المهم ملاحظة أن جميع التطبيقات تتطلب ترجمة نطاقات المرور والإيقاف. على سبيل المثال، لا تتطلب أجهزة الإرسال والاستقبال الشبكية السلبية سوى ترجمة نطاقات الإيقاف ذات الرتبة الزوجية، وتعمل بكفاءة أكبر مع نطاقات المرور ذات الرتبة الزوجية غير المترجمة. ^{[ 5 ]}

متى${\displaystyle G(s)}$عند اكتمال العملية، يتم إنشاء دالة نقل متساوية التموج بقيم مصفوفة تشتت لـ S12 تساوي 1${\displaystyle \omega =0}$و 0 عند${\displaystyle \omega =\infty }$، والتي يمكن تنفيذها باستخدام شبكات سلبية متساوية الإنهاء.

يوضح الرسم التوضيحي أدناه مرشحًا إهليلجيًا من الرتبة الثامنة تم تعديله لدعم الشبكات السلبية متساوية الإنهاء من الرتبة الزوجية عن طريق نقل صفر الانعكاس ذي التردد الأدنى من تردد محدود إلى 0 وصفر الإرسال ذي التردد الأعلى إلى${\displaystyle \infty }$مع الحفاظ على استجابة ترددية متساوية التموج لنطاق التمرير ونطاق الإيقاف .

ال${\displaystyle \Omega _{c}}$وحسابات الرتبة المذكورة في فقرة "إنشاء المرشح الإهليلجي" أعلاه خاصة بالمرشحات الإهليلجية غير المعدلة فقط. مع أن تعديلات الرتبة لا تؤثر على توهين نطاق التمرير أو نطاق الإيقاف، إلا أنه من المتوقع وجود أخطاء طفيفة في الرتبة.${\displaystyle \Omega _{c}}$الحسابات. لذلك، من المهم تطبيق تعديلات الترتيب الزوجي في النهاية.${\displaystyle K(s)}$تكتمل التكرارات إذا رغبنا في الحفاظ على توهين نطاقي المرور والإيقاف. إذا تم إنشاء دالة إهليلجية معدلة من رتبة زوجية من${\displaystyle \Omega _{c}}$المتطلب الفعلي${\displaystyle \Omega _{c}}$سيكون أكبر قليلاً من التصميم${\displaystyle \Omega _{c}}$وبالمثل، قد ينتج عن عملية حساب الطلب، ن ، قيمة أصغر من الطلب المطلوب فعليًا.

مرشح الساعة الرملية هو حالة خاصة من المرشحات حيث تكون أصفار الانعكاس هي مقلوب أصفار الإرسال  حول تردد قطع مُعَيَّر قدره 3.01 ديسيبل عند تردد قطع 1 راديان/ثانية، مما يجعل جميع أقطاب المرشح تقع على دائرة الوحدة . ^{[ 6 ]} يتميز تطبيق مرشح الساعة الرملية الإهليلجي عن مرشح تشيبيشيف العكسي بأن نطاق التمرير أكثر استواءً، كما يتميز عن المرشحات الإهليلجية التقليدية بأن تأخير المجموعة يكون أقل حدة عند تردد القطع.

• دانيلز، ريتشارد و. (1974). طرق التقريب لتصميم المرشحات الإلكترونية . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-015308-6.
• لوتوفاك، ميروسلاف د.؛ توسيتش، ديجان ف.؛ إيفانز، برايان ل. (2001). تصميم المرشحات لمعالجة الإشارات باستخدام MATLAB وMathematica . نيوجيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: برنتيس هول. ISBN 0-201-36130-2.