الرسم البياني الوجودي

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

الرسم البياني الوجودي هو نوع من أنواع التدوين التخطيطي أو المرئي للتعبيرات المنطقية، وقد ابتكره تشارلز ساندرز بيرس ، الذي كتب عن المنطق الرسومي في وقت مبكر من عام 1882، [ 1 ] واستمر في تطوير الطريقة حتى وفاته عام 1914. وهي تتضمن كلاً من التدوين الرسومي المنفصل للعبارات المنطقية وحساب التفاضل والتكامل المنطقي، وهو نظام رسمي من قواعد الاستدلال التي يمكن استخدامها لاستنتاج النظريات.

خلفية

وجد بيرس أن الترميز الجبري (أي الترميز الرمزي) للمنطق، وخاصة منطق المحمولات، [ 2 ] الذي كان لا يزال حديثًا جدًا في حياته والذي لعب هو نفسه دورًا رئيسيًا في تطويره، غير مُرضٍ فلسفيًا، لأن الرموز كانت تحمل معناها بمجرد الاصطلاح. في المقابل، سعى إلى أسلوب كتابة تحمل فيه العلامات معناها حرفيًا في داخلها [ 3 ] - وفقًا لمصطلحات نظريته عن العلامات: نظام من العلامات الأيقونية التي تُشبه أو تُحاكي الأشياء والعلاقات المُمثلة. [ 4 ]

وهكذا، كان تطوير نظام منطقي أيقوني ورسومي، وبديهي وسهل التعلم كما أراد، مشروعًا عمل عليه بيرس طوال حياته. بعد محاولة فاشلة واحدة على الأقل - وهي "الرسوم البيانية الكيانية" - ظهر النظام المغلق لـ"الرسوم البيانية الوجودية" أخيرًا بدءًا من عام 1896. ورغم أن مبتكرها اعتبرها نظامًا متفوقًا وأكثر بديهية، كطريقة كتابة وكحساب، إلا أنها لم يكن لها تأثير كبير على تاريخ المنطق. يُعزى ذلك إلى عدة أسباب، أولها أن بيرس لم ينشر الكثير حول هذا الموضوع، وأن النصوص المنشورة لم تكن مكتوبة بأسلوب مفهوم؛ [ 5 ] وثانيها أن تدوين الصيغة الخطية في أيدي الخبراء هو في الواقع الأداة الأقل تعقيدًا. [ 6 ] ومن ثم، لم تحظَ الرسوم البيانية الوجودية باهتمام يُذكر [ 7 ] أو اعتُبرت غير عملية. [ ٨ ] منذ عام ١٩٦٣ فصاعدًا، أدت أعمال دون د. روبرتس وج. جاي زيمان، التي فحصت وعرضت أنظمة بيرس الرسومية بشكل منهجي، إلى فهم أفضل لها؛ ومع ذلك، لم تجد هذه الأنظمة اليوم استخدامًا عمليًا إلا في تطبيق حديث واحد فقط، وهو الرسوم البيانية المفاهيمية التي قدمها جون ف. سوا عام ١٩٧٦، والتي تُستخدم في علوم الحاسوب لتمثيل المعرفة. ومع ذلك، تعود الرسوم البيانية الوجودية للظهور بشكل متزايد كموضوع بحثي في ​​سياق الاهتمام المتزايد بالمنطق الرسومي، [ ٩ ] والذي يتجلى أيضًا في محاولات استبدال قواعد الاستدلال التي وضعها بيرس بقواعد أكثر بديهية. [ ١٠ ]

يتألف النظام العام للرسوم البيانية الوجودية من ثلاثة أنظمة فرعية متكاملة، هي: الرسوم البيانية ألفا، والرسوم البيانية بيتا، والرسوم البيانية غاما. تُعدّ الرسوم البيانية ألفا نظامًا منطقيًا قائمًا على القضايا. وبناءً على ذلك، تُشكّل الرسوم البيانية بيتا حسابًا منطقيًا من الدرجة الأولى. أما الرسوم البيانية غاما، التي لم تُدرس بشكل كامل ولم يُكملها بيرس، فتُعتبر امتدادًا للرسوم البيانية ألفا وبيتا. وعند تفسيرها بشكل مناسب، تُغطي الرسوم البيانية غاما منطق المسندات عالي المستوى، بالإضافة إلى المنطق الموجه. وفي عام ١٩٠٣، بدأ بيرس نهجًا جديدًا، هو "الرسوم البيانية الوجودية المُلوّنة"، والذي أراد من خلاله استبدال الأنظمة السابقة للرسوم البيانية ألفا وبيتا وغاما، ودمج قدرتها التعبيرية وأدائها في نظام واحد جديد. ومثل الرسوم البيانية غاما، ظلت "الرسوم البيانية الوجودية المُلوّنة" غير مكتملة.

تُعتبر الرسوم البيانية ألفا وبيتا وجاما، كحسابات، سليمة (أي أن جميع التعبيرات المشتقة كرسوم بيانية صحيحة دلاليًا). كما أن الرسوم البيانية ألفا وبيتا كاملة (أي أنه يمكن اشتقاق جميع التعبيرات المنطقية أو المنطقية الصحيحة دلاليًا كرسوم بيانية ألفا أو بيتا). [ 11 ]

الرسوم البيانية

اقترح بيرس ثلاثة أنظمة من الرسوم البيانية الوجودية:

تندرج ألفا ضمن بيتا وجاما . أما بيتا فلا تندرج ضمن جاما ، حيث أن المنطق الموجه الكمي أكثر عمومية مما طرحه بيرس.

ألفا

الرسوم البيانية ألفا

الصيغة هي :

  • الصفحة الفارغة؛
  • حروف مفردة أو عبارات مكتوبة في أي مكان على الصفحة؛
  • يمكن إحاطة أي رسم بياني بمنحنى مغلق بسيط يُسمى قطعًا أو فاصلًا . يمكن أن يكون القطع فارغًا. يمكن أن تتداخل القطع وتتصل ببعضها حسب الرغبة، ولكن يجب ألا تتقاطع أبدًا.

أي جزء سليم التكوين من الرسم البياني هو رسم بياني فرعي .

أما الدلالات فهي :

  • الصفحة الفارغة تدل على الحقيقة ؛
  • قد تكون الحروف والعبارات والرسوم البيانية الفرعية والرسوم البيانية الكاملة صحيحة أو خاطئة ؛
  • إن تضمين رسم بياني فرعي بقطع يكافئ النفي المنطقي أو المكمل البولياني . وبالتالي فإن القطع الفارغ يدل على خطأ ؛
  • جميع الرسوم البيانية الفرعية داخل قطع معين متصلة ضمنيًا .

لذا، تُعدّ الرسوم البيانية ألفا تدوينًا مبسطًا للمنطق الجملي ، قائمًا على كفاية التعبير عن "و" و "ليس" . وتُمثّل الرسوم البيانية ألفا تبسيطًا جذريًا للجبر البولياني ثنائي العناصر ودوال الصدق .

عمق الجسم هو عدد القطع التي تحيط به .

قواعد الاستدلال :

  • الإدراج - يمكن إدراج أي رسم بياني فرعي في عمق فردي. تمثل الصفحة البيضاء المحيطة العمق 1. أما العمق 2 فيمثل الأحرف والخطوط السوداء التي تحيط بالعناصر. بينما يمثل العمق 3 الدخول إلى المنطقة البيضاء التالية في عنصر مغلق.
  • المحو - يمكن محو أي رسم بياني فرعي في عمق ذي رقم زوجي.

قواعد التكافؤ :

  • القطع المزدوج - يمكن رسم قطعين متجاورين حول أي رسم بياني فرعي. وبالمثل، يمكن حذف قطعين متداخلين متجاورين. هذه القاعدة مكافئة لعملية الانعكاس المنطقي وحذف النفي المزدوج .
  • التكرار/إلغاء التكرار – لفهم هذه القاعدة، من الأفضل النظر إلى الرسم البياني كهيكل شجري يتكون من عقد وأسلاف . يمكن نسخ أي رسم بياني فرعي P في العقدة n إلى أي عقدة تعتمد على n . وبالمثل ، يمكن حذف أي رسم بياني فرعي P في العقدة n إذا وُجدت نسخة من P في عقدة سلفية لـ n (أي عقدة تعتمد عليها n ). للاطلاع على قاعدة مكافئة في سياق جبري، انظر C2 في قوانين الشكل .

البرهان هو معالجة الرسم البياني عبر سلسلة من الخطوات، حيث تُبرَّر كل خطوة بإحدى القواعد المذكورة أعلاه. إذا أمكن اختزال الرسم البياني إلى صفحة بيضاء أو قطع فارغ، فإنه يُسمى الآن تحصيل حاصل (أو نقيضه، أي تناقض). أما الرسوم البيانية التي لا يمكن تبسيطها إلى ما بعد حد معين، فهي تُشابه الصيغ القابلة للإرضاء في منطق الرتبة الأولى .

بيتا

رسم بياني وجودي لعبارة "هناك شيء ليس إنسانًا"
الرسوم البيانية الوجودية بيتا

في حالة البيتاغراف، لم تعد التعبيرات الذرية حروفًا منطقية (P، Q، R، ...) أو عبارات ("إنها تمطر"، "مات بيرس في فقر")، بل أصبحت محمولات بالمعنى المنطقي للمحمولات (انظر هناك لمزيد من التفاصيل)، ويمكن اختصارها إلى حروف محمولة (F، G، H، ...). المحمول بالمعنى المنطقي للمحمولات هو سلسلة من الكلمات ذات مسافات محددة بوضوح، تُصبح جملة منطقية إذا أُدخل اسم علم في كل مسافة. على سبيل المثال، سلسلة الكلمات "_ هو إنسان" محمولة لأنها تُنتج الجملة الخبرية "بيرس إنسان" إذا أُدخل اسم العلم "بيرس" في المسافة الفارغة. وبالمثل، سلسلة الكلمات "_ 1 أغنى من _ 2 " محمولة، لأنها تُنتج العبارة "سقراط أغنى من أفلاطون" إذا أُدخل اسما العلم "سقراط" أو "أفلاطون" في المسافات.

ترميز بيتاغراف

الأداة اللغوية الأساسية هي خط الهوية، وهو خط سميك مرسوم بأي شكل. يُلصق خط الهوية بالفراغ الموجود في المسند للدلالة على أن المسند ينطبق على فرد واحد على الأقل. وللتعبير عن أن المسند "هو إنسان" ينطبق على فرد واحد على الأقل - أي للقول بوجود إنسان واحد (على الأقل) - يُكتب خط هوية في الفراغ الموجود في المسند "هو إنسان".

رسم بياني وجودي لعبارة "يأكل رجلٌ رجلاً"

يمكن قراءة مخططات بيتا كنظام تُعتبر فيه جميع الصيغ مغلقة، لأن جميع المتغيرات مُكمّمة ضمنيًا. إذا كان الجزء "الأضحل" من خط الهوية ذا عمق متساوٍ، فإن المتغير المرتبط به يكون مُكمّمًا وجوديًا ( عالميًا ) ضمنيًا.

كان زيمان (1964) أول من لاحظ أن مخططات بيتا متماثلة مع منطق الرتبة الأولى مع المساواة (انظر أيضًا زيمان 1967). ومع ذلك، فإن المراجع الثانوية، وخاصة روبرتس (1973) وشين (2002)، لا تتفق على كيفية حدوث ذلك. لم تتناول كتابات بيرس هذه المسألة، لأن منطق الرتبة الأولى لم يُصاغ بوضوح إلا بعد وفاته، في الطبعة الأولى من كتاب " مبادئ المنطق الرياضي" لديفيد هيلبرت وويلهلم أكرمان عام 1928 .

جاما

أضف إلى صيغة ألفا نوعًا ثانيًا من المنحنيات المغلقة البسيطة ، مكتوبة باستخدام خط متقطع بدلًا من خط متصل. اقترح بيرس قواعد لهذا النمط الثاني من القطع، والذي يمكن قراءته على أنه العامل الأحادي الأولي للمنطق الموجه .

كان زيمان (1964) أول من لاحظ أن مخططات غاما تُكافئ منطقَي S4 و S5 المعروفين . لذا، يُمكن اعتبار مخططات غاما شكلاً خاصاً من المنطق الموجه العادي . لم يحظَ هذا الاكتشاف لزيمان باهتمام كبير حتى يومنا هذا، ولكنه مع ذلك مُدرج هنا كنقطة جديرة بالاهتمام.

دور بيرس

تُعدّ الرسوم البيانية الوجودية نتاجًا فريدًا لبيرس، عالم المنطق والرياضيات، ومؤسس فرعٍ رئيسي من علم العلامات . ولا يُمثّل منطق بيرس البياني سوى واحدٍ من إنجازاته العديدة في المنطق والرياضيات. ففي سلسلةٍ من الأبحاث التي بدأت عام ١٨٦٧، وتُوّجت ببحثه الكلاسيكي في المجلة الأمريكية للرياضيات عام ١٨٨٥ ، طوّر بيرس جزءًا كبيرًا من الجبر البولياني ثنائي العناصر ، وحساب القضايا ، والتكميم ، وحساب المسندات ، وبعض مبادئ نظرية المجموعات . ويعتبره علماء نظرية النماذج رائدًا في هذا المجال. كما وسّع بيرس جبر العلاقات لدي مورغان ، لكنه لم يصل إلى ما وراء المنطق (الذي لم يُغطَّ حتى في كتابه "مبادئ الرياضيات" ).

لكن نظرية بيرس السيميائية المتطورة دفعته إلى التشكيك في قيمة المنطق المُصاغ باستخدام الترميز الخطي التقليدي، وتفضيله أن يُرمز للمنطق والرياضيات في بُعدين (أو حتى ثلاثة أبعاد). وقد تجاوز عمله مخططات أويلر وتنقيح فين لها عام 1880. كما استخدم فريجه في كتابه "Begriffsschrift" الصادر عام 1879 ترميزًا ثنائي الأبعاد للمنطق، ولكنه يختلف اختلافًا كبيرًا عن ترميز بيرس.

اقترح بيرس في أول ورقة بحثية منشورة له حول المنطق الرسومي (أعيد طبعها في المجلد الثالث من أوراقه البحثية المجمعة ) نظامًا ثنائيًا (فعليًا) للرسوم البيانية الوجودية ألفا ، يُسمى الرسوم البيانية الكيانية . وسرعان ما تخلى عن هذا الشكل لصالح الرسوم البيانية الوجودية. في عام 1911، عرضت الملكة فيكتوريا، الليدي ويلبي، الرسوم البيانية الوجودية على سي كي أوجدن الذي رأى أنه من المفيد دمجها مع أفكار ويلبي في "شكل أقل غموضًا". [ 12 ] وبخلاف ذلك، لم تحظَ هذه الرسوم باهتمام يُذكر خلال حياته، وظلت تُحتقر أو تُتجاهل بعد وفاته، إلى أن نُشرت أطروحات الدكتوراه لكل من روبرتس (1964) وزيمان (1964).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيرس، سي إس، "[حول التقاطعات والكسر في المنطق]" (عنوان المحررين للمخطوطة 427 (نظام الترقيم الجديد)، خريف-شتاء 1882)، و"رسالة، بيرس إلى أو إتش ميتشل" (L 294، 21 ديسمبر 1882)، كتابات تشارلز إس بيرس ، المجلد 4، "التقاطعات" في الصفحات 391-393 ( معاينة جوجل ) والرسالة في الصفحات 394-399 ( معاينة جوجل ). انظر Sowa, John F. (1997), "Matching Logical Structure to Linguistic Structure", Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce , Nathan Houser, Don D. Roberts, and James Van Evra, editors, Bloomington and Indianapolis: Indiana University Press, pp. 418–444, see 420, 425, 426, 428.
  2. ↑ سموليان، ريموند م. (1968)، "Prenex Tableaux" ، منطق الرتبة الأولى ، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ، ص 117-121 ، doi : 10.1007/978-3-642-86718-7_13 ، ISBN  978-3-642-86720-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يوليو 2024
  3. ↑ "يريد بيرس علامة لن يتم فهمها بشكل تقليدي فحسب [...]، ولكنها ستحمل معناها على كمها، إذا جاز التعبير" (زيمان 1964، الصفحة 21، مقتبس من النسخة الإلكترونية)
  4. ↑ «[الصيغ الجبرية] ليست "أيقونية" - أي أنها لا تشبه الأشياء أو العلاقات التي تمثلها. اعتبر بيرس هذا عيبًا.» (روبرتس 1973، الصفحة 17)
  5. ↑ "كانت منشورات [بيرس] المصورة قليلة وغير سهلة الفهم، كما اعترف هو نفسه." (روبرتس 1973، الصفحة 12)
  6. ↑ "[إن] بناء جملة رسوم بيرس يفتقر، على الأقل بشكل عام، إلى الأناقة والبساطة التوافقية للرموز الخطية" (هامر 1998، الصفحة 502)
  7. ↑ يشير روبرتس إلى أنه حتى في العمل القياسي عن تاريخ المنطق، كنيل/كنيل: تطور المنطق. مطبعة كلارندون. أكسفورد 1962، ISBN 0-19-824773-7لم يتم ذكر المخططات المنطقية لبيرس.
  8. ↑ "يشكك المرء في فعالية مخططات بيرس [...]. إن آلياتها الأساسية معقدة للغاية [...]." (كواين: مراجعة الأوراق المجمعة لتشارلز ساندرز بيرس، المجلد 4: أبسط الرياضيات، إيزيس 22، صفحة 552، نقلاً عن روبرتس 1973، صفحة 13)
  9. ↑ «إلى جانب أهميتها التاريخية، تحظى الصيغ البيانية لبيرس باهتمام معاصر. فنظام سوا للرسوم البيانية المفاهيمية [...] مبني على أعمال بيرس. [أعمال أخرى] تشير أيضًا إلى تزايد الاهتمام بمنطق الاستدلال البياني.» (هامر 1998، صفحة 489)
  10. ↑ انظر، على سبيل المثال، Sun-Joo Shin، "إعادة تشكيل الرسوم البيانية بيتا في نظام فعال"، مجلة المنطق واللغة وأرشيف المعلومات، المجلد 8، العدد 3، يوليو 1999، 273-295.
  11. ↑ وقد قدم ج. جاي زيمان الدليل على ذلك في أطروحته عام 1964 (انظر قائمة المراجع)؛ وللاطلاع على الرسوم البيانية ألفا، انظر أيضًا عمل وايت، 1984
  12. ↑ بيتريلي، سوزان (2017). فيكتوريا ويلبي وعلم العلامات: الدلالات، وعلم العلامات، وفلسفة اللغة . روتليدج. ISBN 978-1-351-29598-7.

للمزيد من القراءة

المراجع الأولية

  • 1931–1935 و1958. الأوراق المجمعة لتشارلز ساندرز بيرس . المجلد 4، الكتاب الثاني: "الرسوم البيانية الوجودية"، يتألف من الفقرات 347–584. كما تبدأ مناقشة في الفقرة 617.
    • الفقرات 347-349 (II.1.1. "المخطط المنطقي") - تعريف بيرس "المخطط المنطقي (أو الرسم البياني)" في قاموس بالدوين للفلسفة وعلم النفس (1902)، المجلد 2، صفحة 28. مطبوعات كلاسيكية في تاريخ علم النفس .
    • الفقرات 350-371 (II.1.2. "من مخططات أويلر") - من "الرسوم البيانية" (المخطوطة 479) حوالي عام 1903.
    • الفقرات 372-584 من النسخة الإلكترونية .
    • الفقرات 372-393 (II.2. "المنطق الرمزي") - جزء بيرس من "المنطق الرمزي" في قاموس بالدوين للفلسفة وعلم النفس (1902) المجلد 2، الصفحات 645-650 ، بدءًا (بالقرب من أعلى العمود الثاني) بعبارة "إذا تم تعريف المنطق الرمزي...". الفقرة 393 (بالدوين DPP2، الصفحة  650) من تأليف بيرس وكريستين لاد-فرانكلين ("CSP, CLF").
    • الفقرات 394-417 (II.3. "الرسوم البيانية الوجودية") - من كتيب بيرس " مقرر لبعض مواضيع المنطق" ، الصفحات  15-23، ألفريد مودج وأبناؤه، بوسطن (1903).
    • الفقرات 418-509 (II.4. "حول الرسوم البيانية الوجودية، ومخططات أويلر، والجبر المنطقي") - من "الرسائل المنطقية، رقم 2" (المخطوطة 492)، حوالي عام 1903.
    • الفقرات 510-529 (II.5. "جزء جاما من الرسوم البيانية الوجودية") - من "محاضرات لويل لعام 1903"، المحاضرة الرابعة (المخطوطة 467).
    • الفقرات 530-572 (II.6.)—"مقدمة للدفاع عن البراغماتية" (1906)، مجلة The Monist ، المجلد السادس عشر، العدد 4، الصفحات 492-546 . تصحيحات (1907) في مجلة The Monist ، المجلد السابع عشر، الصفحة 160 .
    • الفقرات 573-584 (II.7. "تحسين على مخططات جاما") - من "للأكاديمية الوطنية للعلوم، اجتماع أبريل 1906 في واشنطن" (المخطوطة 490).
    • الفقرات 617-623 (على الأقل) (في الكتاب الثالث، الفصل 2، §2، الفقرات 594-642) - من "بعض المتاهات المذهلة: تفسير الفضول الأول"، The Monist ، المجلد الثامن عشر، 1908، رقم 3، الصفحات 416-464 ، انظر الصفحة 440 .
  • ١٩٩٢. "المحاضرة الثالثة: منطق النسب"، الاستدلال ومنطق الأشياء ، الصفحات  ١٤٦-١٦٤. كيتنر، كينيث لاين (تحرير وتقديم)، وهيلاري بوتنام (تعليق). مطبعة جامعة هارفارد . محاضرات بيرس عام ١٨٩٨ في كامبريدج، ماساتشوستس.
  • 1977، 2001. السيميائية والدلالات : المراسلات بين سي إس بيرس وفيكتوريا ليدي ويلبي . هاردويك، سي إس، محرر. لوبوك، تكساس: مطبعة جامعة تكساس التقنية. الطبعة الثانية 2001.
  • نسخة من مخطوطة بيرس رقم 514 (1909)، تم تحريرها مع تعليق من قبل جون سوا .

حالياً، لا تتجاوز الطبعة النقدية المرتبة زمنياً لأعمال بيرس، والمعروفة باسم " الكتابات" ، عام ١٨٩٢. ويتألف جزء كبير من أعمال بيرس حول الرسوم البيانية المنطقية من مخطوطات كُتبت بعد ذلك التاريخ ولم تُنشر بعد. لذا، من المرجح أن يتغير فهمنا لمنطق بيرس البياني مع ظهور المجلدات الـ ٢٣ المتبقية من الطبعة المرتبة زمنياً.

المراجع الثانوية

  • Hammer, Eric M. (1998), "Semantics for Existential Graphs,” Journal of Philosophical Logic 27 : 489–503.
  • كيتنر، كينيث لين
    • (1981)، "أفضل مثال على علم العلامات واستخدامه في تدريس علم العلامات"، المجلة الأمريكية لعلم العلامات ، المجلد الأول، العدد 1-2، الصفحات  47-83. المقال هو مقدمة للرسوم البيانية الوجودية.
    • (1990)، عناصر المنطق: مقدمة إلى الرسوم البيانية الوجودية لبيرس ، مطبعة جامعة تكساس التقنية، لوبوك، تكساس، 99 صفحة، مجلد حلزوني.
  • كيروز، جواو وستيرنفيلت، فريدريك
    • (2011)، "الاستدلال التخطيطي وتمثيل منطق بيرس"، مجلة سيميوطيقا ، المجلد  186 (1/4). (عدد خاص عن منطق بيرس التخطيطي).
  • روبرتس، دون د.
    • (1964)، "الرسوم البيانية الوجودية والاستنتاج الطبيعي" في مور، إي سي، وروبن، آر إس، محرران، دراسات في فلسفة سي إس بيرس، السلسلة الثانية . أمهيرست، ماساتشوستس: مطبعة جامعة ماساتشوستس . أول منشور يُظهر أي تعاطف وفهم لمنطق بيرس البياني.
    • (1973). الرسوم البيانية الوجودية لـ سي إس بيرس. جون بنجامينز. نتاج أطروحته لعام 1963.
  • شين، صن جو (2002)، المنطق الأيقوني لرسوم بيرس البيانية . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
  • زالاميا، فرناندو . منطق بيرس للاستمرارية. دار نشر دوسنت، بوسطن، ماساتشوستس. 2012. ISBN 9 780983 700494.
    • الجزء الثاني: الرسوم البيانية الوجودية لبيرس، الصفحات  76-162.
  • زيمان، جي جي