مصفوفات جاما

في الفيزياء الرياضية ، مصفوفات غاما ، $\ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,$ تُعرف أيضًا باسم مصفوفات ديراك ، وهي مجموعة من المصفوفات التقليدية ذات علاقات تبادلية مضادة محددة تضمن توليدها تمثيلًا مصفوفيًا لجبر كليفورد $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ من الممكن أيضًا تعريف مصفوفات غاما ذات أبعاد أعلى . عند تفسيرها على أنها مصفوفات تأثير مجموعة من متجهات الأساس المتعامدة للمتجهات المتغايرة في فضاء مينكوفسكي ، تصبح متجهات الأعمدة التي تؤثر عليها المصفوفات فضاءً من السبينورات ، حيث تعمل جبر كليفورد للزمكان . وهذا بدوره يُتيح تمثيل الدورانات المكانية المتناهية الصغر وتعزيزات لورنتز . تُسهّل السبينورات حسابات الزمكان عمومًا، وهي أساسية بشكل خاص لمعادلة ديراك للدوران النسبي. ${\tfrac {\ 1\ }{2}}$ الجسيمات. تم تقديم مصفوفات جاما بواسطة بول ديراك في عام 1928. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

في أساس ديراك لتمثيل ديراك ، تكون مصفوفات غاما الأربعة المتغيرة هي

\displaystyle \begin{aligned}\gamma ^{0}\ &=~~{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&=i\ {\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}

$\gamma ^{0}$ هي مصفوفة هيرميتية تشبه الزمن . أما المصفوفات الثلاث الأخرى فهي مصفوفات مضادة لهرميتية تشبه المكان . باختصار، $\ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,$ و $\ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,$ أين $\ \otimes \$ يشير إلى حاصل ضرب كرونكر و $\ \sigma ^{j}\$ (لـ $j$ = 1، 2، 3 ) تشير إلى مصفوفات باولي .

بالإضافة إلى ذلك، في مناقشات نظرية الزمر، يتم أحيانًا تضمين مصفوفة الوحدة ( $I$ ) مع مصفوفات غاما الأربع، وهناك مصفوفة مساعدة "خامسة" عديمة الأثر تستخدم بالتزامن مع مصفوفات غاما العادية.

{\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}

"المصفوفة الخامسة" $\ \gamma ^{5}\$ لا يُعد عضوًا مناسبًا في المجموعة الرئيسية المكونة من أربعة أعضاء؛ بل يُستخدم لفصل التمثيلات الكيرالية اليسرى واليمنى الاسمية .

تتمتع مصفوفات غاما ببنية زمرة، تُسمى زمرة غاما ، وهي بنية مشتركة بين جميع تمثيلات المصفوفات لهذه الزمرة، في أي بُعد، ولأي إشارة للمقياس. على سبيل المثال، تُعد مصفوفات باولي 2×2 مجموعة من مصفوفات غاما في فضاء ثلاثي الأبعاد بمقياس ذي إشارة إقليدية (3، 0). في خمسة أبعاد مكانية-زمانية ، تُولّد مصفوفات غاما الأربع المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى مصفوفة غاما الخامسة التي سيتم عرضها لاحقًا، جبر كليفورد.

البنية الرياضية

الخاصية المميزة لمصفوفات غاما لتوليد جبر كليفورد هي علاقة التبادل المضاد

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,

حيث الأقواس المعقوفة $\ \{,\}\$ يمثل مضاد التبديل ، $\ \eta _{\mu \nu }\$ هي مقياس مينكوفسكي ذو التوقيع (+ − − −) ، و $I_{4}$ هي مصفوفة الوحدة 4 × 4 .

تُعد هذه الخاصية المميزة أكثر جوهرية من القيم العددية المستخدمة في التمثيل المحدد لمصفوفات غاما. تُعرَّف مصفوفات غاما المتغيرة بواسطة

\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,

ويُفترض استخدام ترميز أينشتاين .

لاحظ أن اصطلاح الإشارة الآخر للمقياس، (− + + +)، يستلزم إما تغييرًا في المعادلة المحددة:

\ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\

أو ضرب جميع مصفوفات جاما بـ $i$ وهذا بالطبع يُغيّر خصائصها الهرميتية الموضحة أدناه. وبموجب اصطلاح الإشارة البديل للمقياس، تُعرَّف مصفوفات غاما المتغيرة على النحو التالي:

\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}~.

البنية الفيزيائية

جبر كليفورد $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\$ $يمكن اعتبار V$ على الزمكان مجموعة المؤثرات الخطية الحقيقية من $V$ إلى نفسها، $End(V)$ ، أو بشكل أعم، عند تحويلها إلى مجموعة معقدة . $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,$ باعتبارها مجموعة المؤثرات الخطية من أي فضاء متجهي عقدي رباعي الأبعاد إلى نفسه. بعبارة أبسط، بالنظر إلى أساس لـ $V$ ، $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ هي ببساطة مجموعة جميع المصفوفات المركبة $4\times4$ ، ولكنها مزودة ببنية جبر كليفورد. يُفترض أن الزمكان مزود بمقياس مينكوفسكي $η μν$ . كما يُفترض وجود فضاء من متجهات ديراك، $U x$ ، عند كل نقطة في الزمكان، مزود بتمثيل متجه ديراك لمجموعة لورنتز . حقول متجهات ديراك $Ψ$ لمعادلات ديراك، المحسوبة عند أي نقطة $x$ في الزمكان، هي عناصر من $U x$ (انظر أدناه). يُفترض أن جبر كليفورد يؤثر على $U x$ أيضًا (عن طريق ضرب المصفوفات بمتجهات الأعمدة $Ψ(x)$ في $U x$ لجميع $قيم x$ ). ستكون هذه هي النظرة الأساسية لعناصر $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ في هذا القسم.

لكل تحويل خطي $S$ لـ $U x$ ، يوجد تحويل لـ $End(U x)$ يُعطى بواسطة $SES -1$ لـ $E$ في $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.$ إذا كان $S$ ينتمي إلى تمثيل لمجموعة لورنتز، فإن الفعل المستحث $E \mapsto SES -1$ سينتمي أيضًا إلى تمثيل لمجموعة لورنتز، انظر نظرية التمثيل لمجموعة لورنتز .

إذا كان $S(Λ)$ هو تمثيل ديراك سبينور المؤثر على $U x$ لتحويل لورنتز عشوائي $Λ$ في التمثيل القياسي ( المتجه الرباعي) المؤثر على $V$ ، فإنه يوجد مؤثر مقابل على $\ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\$ معطاة بالمعادلة التالية:

\ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,

يُبين هذا أن كمية $γ μ$ يُمكن اعتبارها أساسًا لفضاء تمثيلي للتمثيل المتجهي الرباعي لمجموعة لورنتز الموجودة داخل جبر كليفورد. ويمكن اعتبار المتطابقة الأخيرة العلاقة المُحددة للمصفوفات التي تنتمي إلى مجموعة متعامدة غير محددة ، وهي $\ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,$ مكتوبة بالترميز المفهرس. وهذا يعني أن الكميات من الشكل

a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }

يجب التعامل معها كأربعة متجهات في العمليات الحسابية. وهذا يعني أيضًا أنه يمكن رفع وخفض المؤشرات على $γ$ باستخدام المقياس $η μν$ كما هو الحال مع أي متجه رباعي. يُطلق على هذا الترميز اسم ترميز فاينمان المائل . تقوم عملية التحويل المائل بتحويل الأساس $e μ$ للفضاء $V$ ، أو أي فضاء متجهي رباعي الأبعاد، إلى متجهات أساسية $γ μ$ . قاعدة التحويل للكميات المحولة مائلة هي ببساطة

{a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.

يختلف هذا عن قاعدة التحويل الخاصة بـ $γ μ$ ، والتي تُعامل الآن كمتجهات أساسية (ثابتة). تسمية الرباعية $\left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ لذا فإنّ تسمية المتجه الرباعي، التي ترد أحيانًا في المراجع، تُعدّ تسميةً غير دقيقة. فالتحويل الأخير يُقابل تحويلًا فعّالًا لمكونات الكمية المقطوعة بدلالة الأساس $γ μ$ ، بينما يُقابل التحويل الأول تحويلًا سلبيًا للأساس $γ μ$ نفسه.

العناصر $\ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\$ تشكل هذه المصفوفات تمثيلاً لجبر لي لمجموعة لورنتز، وهو تمثيل دوراني . عند رفع هذه المصفوفات، وتراكيبها الخطية، إلى أس، فإنها تُصبح تمثيلات دورانية ديراك لمجموعة لورنتز، على سبيل المثال، $S(Λ)$ المذكورة أعلاه هي من هذا الشكل. الفضاء ذو الأبعاد الستة $σ μν$ span هو فضاء تمثيل تمثيلي موتر لمجموعة لورنتز. للاطلاع على عناصر الرتبة العليا لجبر كليفورد بشكل عام وقواعد تحويلها، يُرجى مراجعة مقالة جبر ديراك . يُشفّر التمثيل الدوراني لمجموعة لورنتز في مجموعة الدوران Spin(1, 3) (للدورانات الحقيقية غير المشحونة) وفي مجموعة الدوران المعقدة Spin(1, 3) للدورانات المشحونة (ديراك).

التعبير عن معادلة ديراك

يمكن كتابة معادلة ديراك بالوحدات الطبيعية على النحو التالي :

\ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\

أين $\ \psi \$ هو سبينور ديراك.

بالانتقال إلى ترميز فاينمان ، تصبح معادلة ديراك كما يلي:

\ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.

المصفوفة الخامسة "غاما"، `γ` ⁵

من المفيد تعريف حاصل ضرب مصفوفات غاما الأربع على النحو التالي: $\gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I$ ، لهذا السبب

\ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad

(في أساس ديراك).

بالرغم من $\ \gamma ^{5}\$ يستخدم الحرف غاما، وهو ليس أحد مصفوفات غاما الخاصة بـ $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ الرقم 5 في الفهرس هو من بقايا التدوين القديم: $\ \gamma ^{0}\$ كان يُطلق عليه سابقًا اسم " $\gamma ^{4}$ ".

$\ \gamma ^{5}\$ وله شكل بديل أيضاً:

\ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\

باستخدام الاصطلاح $\varepsilon _{0123}=1\ ,$ أو

\ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\

باستخدام الاصطلاح $\varepsilon ^{0123}=1~.$ دليل:

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال استغلال حقيقة أن جميع مصفوفات غاما الأربعة مضادة للتبادل، لذلك

\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,

أين $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ هو دلتا كرونكر المعمم من النوع (4,4) في 4 أبعاد، في حالة التناظر المضاد الكامل . إذا $\ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\$ إذا رمزنا هو رمز ليفي-تشيفيتا في $n$ بُعد، فيمكننا استخدام المتطابقة $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=-\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }$ ثم نحصل، باستخدام الاصطلاح $\ \varepsilon ^{0123}=1\ ,$

\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }

تُعدّ هذه المصفوفة مفيدة في مناقشات الكيرالية في ميكانيكا الكم . على سبيل المثال، يمكن إسقاط حقل ديراك على مكوناته اليسرى واليمنى كما يلي:

\ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.

بعض الخصائص هي:

إنه هيرميتي:
$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.$
قيمها الذاتية هي ±1، لأن:
$\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.$
وهي تتبادل عكسياً مع مصفوفات غاما الأربعة:
$\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.$

في الحقيقة، $\ \psi _{\mathrm {L} }\$ و $\ \psi _{\mathrm {R} }\$ هي متجهات ذاتية لـ $\ \gamma ^{5}\$ منذ

\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,

و

\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.

الأبعاد الخمسة

يتصرف جبر كليفورد في الأبعاد الفردية كنسختين من جبر كليفورد ذي بُعد أقل، نسخة يسرى ونسخة يمنى. ^{[ 3 ]}^{: 68.} $بالتالي ،$ يمكن استخدام حيلة لإعادة توظيف $iγ₅$ كأحد مولدات جبر كليفورد في خمسة أبعاد. في هذه الحالة، تُشكل المجموعة ${γ₀$ $,$ $γ₁$ $,$ $γ₂$ $,$ $γ₃$ $,$ $iγ₅$ $}$ $،$ $وفقًا$ $للخاصيتين$ الأخيرتين (مع الأخذ في الاعتبار أن $i₂ \equiv -1 ) وخصائص غاما$ $" القديمة$ ^" ، أساس جبر كليفورد في $5 أبعاد مكانية$ $-$ زمانية للتوقيع المتري $($ $1,4)$ . ^[ $أ$ $]$ ^.^[⁴^]^:⁹⁷ في التوقيع المتري $(4,1)$ $،$ تُستخدم المجموعة ${$ $γ₀$ $,$ $γ₁$ $,$ $γ₂$ $,$ $γ₃$ $,$ $γ₅$ $}$ $، حيث تمثل$ $γ$ $و$ $μ$ القيم المناسبة للتوقيع $(3,1)$ . ^[⁵^] يتكرر هذا النمط في بُعد الزمكان الزوجي $2n$ $،$ وفي البُعد الفردي التالي $2n$ $+ 1$ $لجميع$ قيم $n$ $\geq$ $1.$ [ ⁶^]^:⁴⁵⁷^لمزيد من التفاصيل، انظر $مصفوفات$ غاما ذات الأبعاد الأعلى .

الهويات

تنتج الهويات التالية من علاقة التبادل المضاد الأساسية، لذا فهي صحيحة في أي أساس (على الرغم من أن الأخيرة تعتمد على اختيار الإشارة لـ $\gamma ^{5}$ ).

هويات متنوعة

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$

دليل

لنأخذ علاقة التبادل العكسي القياسية:

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.

يمكن جعل هذا الوضع يبدو مشابهاً باستخدام المقياس $\eta$ :

$\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }$	$=\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$
	$={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$	( $\eta$ متماثل)
	$={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)$	(يتوسع)
	$={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)$	(إعادة تسمية المصطلح على اليمين)
	$={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}$
	$={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.$

2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$

دليل
على غرار برهان النقطة 1، نبدأ مرة أخرى بعلاقة التبادل المضاد القياسية: ${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}$

3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$

دليل

لإظهار

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.

استخدم مضاد التبديل للتحويل $\gamma ^{\mu }$ إلى اليمين

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$
	$=2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.$

باستخدام العلاقة $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$ يمكننا تقليص آخر شعاعين من أشعة جاما، والحصول على

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
	$=2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.$

وأخيرًا، باستخدام متطابقة مضاد التبديل، نحصل على

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.

4. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

دليل

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }$	$=(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (متطابقة مضاد التبديل)
	$=2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,$ (باستخدام المتطابقة 3)
	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (رفع المؤشر)
	$=2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (متطابقة مضاد التبديل)
	$=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$ (يتم إلغاء الفصلين)

5. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$

دليل
لو $\mu =\nu =\rho$ ثم $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ ويسهل التحقق من الهوية. وينطبق هذا أيضاً عندما $\mu =\nu \neq \rho$ ، $\mu =\rho \neq \nu$ أو $\nu =\rho \neq \mu$ . من ناحية أخرى، إذا كانت المؤشرات الثلاثة مختلفة، $\eta ^{\mu \nu }=0$ ، $\eta ^{\mu \rho }=0$ و $\eta ^{\nu \rho }=0$ وكلا الجانبين متناظران تمامًا؛ الجانب الأيسر بسبب خاصية عدم التبادلية لـ $\gamma$ المصفوفات، وعلى الجانب الأيمن بسبب التناظر العكسي لـ $\epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }$ وبالتالي، يكفي التحقق من الهويات في حالات $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}$ ، $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ ، $\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ و $\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ . ${\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}$

6. $\gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,$ أين $\ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\$

دليل

ل $\ \nu =\rho \ ,$ $\ \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0\$ ويختفي كلا الطرفين. وإلا، بضرب العنصر المحايد 5 في $\ \gamma _{\mu }\$ من اليمين يعطي ذلك

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$
	$=\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+4\eta ^{\nu \rho }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ (رفع الأسس واستخدام الهوية 1)

أين $4\eta ^{\nu \rho }I_{4}=0$ منذ $\nu \neq \rho$ . يتلاشى الطرف الأيسر من هذه المعادلة أيضًا لأن $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$ بحسب الخاصية 3. إعادة الترتيب تعطي ذلك

$\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$	$=i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$
	$=-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (منذ $\gamma ^{5}$ (مضادات التبادل مع مصفوفات جاما)

لاحظ أن $2\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }=\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }=[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]$ ل $\sigma \neq \mu$ (ل $\sigma =\mu$ ، $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }$ يتلاشى) وفقًا لعلاقة التبادل المضاد القياسية. ويترتب على ذلك أن

-[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }]

=-{\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]\,

الضرب من اليسار في $\ -{\tfrac {i}{2}}\gamma ^{5}\$ واستخدام ذلك $\ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}\$ ويؤدي إلى النتيجة المرجوة.

تتبع الهويات

تخضع مصفوفات جاما لمتطابقات الأثر التالية :

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
أثر أي ناتج لعدد فردي من $\gamma ^{\mu }$ يساوي صفرًا
أثر من $\gamma ^{5}$ مضروبًا في حاصل ضرب عدد فردي من $\gamma ^{\mu }$ لا يزال الصفر
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

يتطلب إثبات ما سبق استخدام ثلاث خصائص رئيسية لعامل التتبع :

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$
$\operatorname {tr} (rA)=r\cdot \operatorname {tr} (A)$
$\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BCA)=\operatorname {tr} (CAB)$

إثبات 1

انطلاقاً من تعريف مصفوفات غاما،

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I

نحصل

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I

أو ما يعادل ذلك،

{\frac {\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\ }{\ \eta ^{\mu \mu }\ }}=I\

أين $\ \eta ^{\mu \mu }\$ هو رقم، و $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\$ هي مصفوفة.

\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })

(بإدخال المتطابقة واستخدام

tr(r A) = r tr(A)

.)

=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })

(من علاقة التبادل المضاد، ونظرًا لأننا أحرار في الاختيار)

\mu \neq \nu

)

=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })

(باستخدام tr(ABC) = tr(BCA))

=-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })

(إزالة الهوية)

وهذا يعني $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0$

إثبات 2

لإظهار

\operatorname {tr} ({\text{odd num of }}\gamma )=0

لاحظ أولاً أن

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0.

سنستخدم أيضًا حقيقتين حول مصفوفة جاما الخامسة $\gamma ^{5}$ التي تقول:

\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }

لنستخدم هاتين الحقيقتين لإثبات هذه المتطابقة في الحالة الأولى غير التافهة: أثر ثلاث مصفوفات غاما. الخطوة الأولى هي وضع زوج واحد من $\gamma ^{5}$ 's أمام الثلاثة الأصليين $\gamma$ الخطوة الثانية هي تبديل $\gamma ^{5}$ إعادة المصفوفة إلى موضعها الأصلي، بعد الاستفادة من دورية الأثر.

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)$ (باستخدام tr(ABC) = tr(BCA))
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ (مناهضة التنقل) $\gamma ^{5}$ ثلاث مرات)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$

لا يمكن تحقيق ذلك إلا إذا

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0

يُمكن إيجاد امتداد لمصفوفات غاما من الرتبة 2n + 1 (حيث n عدد صحيح) بوضع مصفوفتين من نوع غاما-5 بعد مصفوفة غاما رقم 2n (على سبيل المثال) في الأثر، ثم تبديل إحداهما إلى اليمين (مما يُعطي إشارة سالبة) وتبديل الأخرى 2n خطوة إلى اليسار [مع تغيير الإشارة (-1)^2n = 1]. بعد ذلك، نستخدم خاصية العنصر المحايد الدوري لدمج المصفوفتين، وبالتالي يصبح مربعهما هو العنصر المحايد، مما يجعل الأثر يساوي سالب نفسه، أي 0.

إثبات 3
إذا ظهر عدد فردي من مصفوفات جاما في أثر متبوعًا بـ $\gamma ^{5}$ هدفنا هو الانتقال $\gamma ^{5}$ من اليمين إلى اليسار. سيحافظ هذا على الأثر ثابتًا بفضل الخاصية الدورية. ولإجراء هذه العملية، يجب إجراء عملية عكسية بينها وبين جميع مصفوفات غاما الأخرى. وهذا يعني إجراء عملية عكسية عددًا فرديًا من المرات والحصول على إشارة سالبة. الأثر الذي يساوي معكوس نفسه يساوي صفرًا.

إثبات 4

لإظهار

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }

ابدأ بـ

$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })$	$={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)+\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\right)$
	$={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)$
	$={\tfrac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }$

إثبات 5

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\right)$
	$=2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)$

بالنسبة للمصطلح الموجود على اليمين، سنواصل نمط التبديل. $\gamma ^{\sigma }$ مع جارتها على اليسار،

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\left(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\right)\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)$

مرة أخرى، بالنسبة للمصطلح الموجود في عملية التبادل الصحيحة $\gamma ^{\sigma }$ مع جارتها على اليسار،

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\left(2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)$

المعادلة (3) هي الحد الموجود على يمين المعادلة (2)، والمعادلة (2) هي الحد الموجود على يمين المعادلة (1). سنستخدم أيضًا الرقم 3 كعنصر متطابق لتبسيط الحدود كما يلي:

2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.

إذن، في النهاية، المعادلة (1)، عند إدخال كل هذه المعلومات تعطي

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }

-\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)

يمكن تكرار المصطلحات الموجودة داخل التتبع، لذلك

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right).

إذن في الحقيقة (4) هو

2\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }

أو

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)

إثبات 6

لإظهار

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0

،

ابدأ بـ

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(لأن $\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}$ )
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)$	(مضاد التنقل) $\gamma ^{5}$ مع $\gamma ^{0}$ )
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(تدوير المصطلحات داخل التتبع)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	(يزيل $\gamma ^{0}$ 's)

يضيف $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ إلى كلا جانبي ما سبق للنظر

2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0

.

ويمكن استخدام هذا النمط أيضًا لإظهار

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0

.

ببساطة أضف عاملين من $\gamma ^{\alpha }$ ، مع $\alpha$ مختلف عن $\mu$ و $\nu$ . قم بالتبديل العكسي ثلاث مرات بدلاً من مرة واحدة، والتقط ثلاث علامات ناقصة، وقم بالتكرار باستخدام الخاصية الدورية للأثر.

لذا،

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0

.

إثبات 7
لإثبات الهوية 7، لا تزال نفس الحيلة فعالة إلا إذا $\left(\mu \nu \rho \sigma \right)$ هي تبديل ما للعدد (0123)، بحيث تظهر جميع قيم غاما الأربع. تشير قواعد التبديل العكسي إلى أن تبديل اثنين من المؤشرات يغير إشارة الأثر، لذا $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)$ يجب أن يكون متناسبًا مع $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ $\left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)$ ثابت التناسب هو $4i$ ويمكن التحقق من ذلك عن طريق توصيله $(\mu \nu \rho \sigma )=(0123)$ ، كتابة $\gamma ^{5}$ مع الأخذ في الاعتبار أن أثر الهوية هو 4.

إثبات 8

لنرمز إلى ناتج $n$ مصفوفات جاما بواسطة $\Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.$ لننظر إلى المرافق الهرميتي لـ $\Gamma$ :

$\Gamma ^{\dagger }$	$=\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }$
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(بما أن اقتران مصفوفة جاما مع $\gamma ^{0}$ ينتج مرافقه الهرميتي كما هو موضح أدناه)
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(الجميع $\gamma ^{0}$ (باستثناء أول وآخر من ينسحب)

التصريف مع $\gamma ^{0}$ مرة أخرى للتخلص من الاثنين $\gamma ^{0}$ كما هو موجود هناك، نرى ذلك $\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}$ هو عكس $\Gamma$ . الآن،

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)$	(بما أن الأثر ثابت تحت تحويلات التشابه)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)$	(لأن الأثر ثابت تحت التبديل)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)$	(بما أن أثر حاصل ضرب مصفوفات غاما هو عدد حقيقي)

تطبيع

يمكن اختيار مصفوفات غاما بشروط هيرميتية إضافية، إلا أنها مقيدة بعلاقات التبادل المضاد المذكورة أعلاه. يمكننا فرض

\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}

متوافق مع

\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}

وبالنسبة لمصفوفات جاما الأخرى (لـ k = 1، 2، 3 )

\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}

متوافق مع

\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.

يتحقق المرء على الفور من أن علاقات الهرميتية هذه تنطبق على تمثيل ديراك.

يمكن دمج الشروط المذكورة أعلاه في العلاقة

\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.

لا تبقى شروط الهرمتية ثابتة تحت تأثير الفعل $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}$ تحويل لورنتز $\Lambda$ لأن $S(\Lambda )$ لا يُعد بالضرورة تحويلاً وحدوياً بسبب عدم تماسك مجموعة لورنتز.

اقتران الشحنة

يمكن تعريف عامل اقتران الشحنة، في أي أساس، على النحو التالي :

C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}

أين $(\cdot )^{\textsf {T}}$ يرمز إلى منقولة المصفوفة . الصيغة الصريحة التي $C$ يعتمد هذا على التمثيل المحدد المُختار لمصفوفات غاما، حتى عامل طور اختياري. وذلك لأنه على الرغم من أن اقتران الشحنة هو تشاكل ذاتي لمجموعة غاما ، إلا أنه ليس تشاكلاً ذاتياً داخلياً (للمجموعة). يمكن إيجاد مصفوفات الاقتران، لكنها تعتمد على التمثيل.

تشمل الهويات المستقلة عن التمثيل ما يلي:

{\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}

عامل اقتران الشحنة هو أيضًا عامل وحدوي $C^{-1}=C^{\dagger }$ بينما لـ $\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$ ويؤكد ذلك أيضًا أن $C^{\textsf {T}}=-C$ لأي تمثيل. بالنظر إلى تمثيل لمصفوفات غاما، لا يمكن دائمًا اختيار عامل الطور العشوائي لمؤثر اقتران الشحنة بحيث $C^{\dagger }=C^{\textsf {T}}$ ، كما هو الحال بالنسبة للتمثيلات الأربعة الشائعة المذكورة أدناه، والمعروفة باسم تمثيل ديراك، والتمثيل الكيرالي، وتمثيل ماجورانا.

تدوين فاينمان المائل

يتم تعريف تدوين فاينمان المائل بواسطة

{a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }

لأي متجه رباعي $a$ .

فيما يلي بعض المتطابقات المشابهة للمتطابقات المذكورة أعلاه، ولكنها تتضمن استخدام رمز الشرطة المائلة:

${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b\right]I_{4}-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }$
${a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}$ ^{[ 7 ]}
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}$ ^{[ 7 ]}
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$ ^{[ 7 ]}
أين $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ هو رمز ليفي-تشيفيتا و $\sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.$ في الواقع، آثار منتجات ذات عدد فردي من $\ \gamma \$ يساوي صفرًا وبالتالي
$\operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\$ لـ $n$ فردي. ^{[ 8 ]}

ينشأ الكثير منها مباشرة من توسيع تدوين الشرطة المائلة وتقليص التعبيرات من الشكل $\ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \$ مع الهوية المناسبة من حيث مصفوفات جاما.

تمثيلات أخرى

تُكتب المصفوفات أحيانًا باستخدام مصفوفة الوحدة 2×2 ، $I_{2}$ ، و

\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}

حيث k تتراوح من 1 إلى 3 و σ ^k هي مصفوفات باولي .

أساس ديراك

تُعدّ مصفوفات غاما التي كتبناها حتى الآن مناسبةً لتطبيقها على دوال ديراك المكتوبة في أساس ديراك ؛ في الواقع، يُعرَّف أساس ديراك بهذه المصفوفات. باختصار، في أساس ديراك:

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.

أو باستخدام منتج كرونيكر :

\gamma ^{0}=(\sigma ^{3}\otimes I_{2}),\quad \gamma ^{k}=(i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{k}),\quad \gamma ^{5}=(\sigma ^{1}\otimes I_{2})~.

في أساس ديراك، يكون عامل اقتران الشحنة حقيقيًا مضادًا للتناظر، ^{[ 9 ]}^{: 691-700}

C_{D}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.

أساس ويل (الكيرالي)

ومن الخيارات الشائعة الأخرى أساس فايل أو الأساس الكيرالي ، والذي $\gamma ^{k}$ يبقى كما هو ولكن $\gamma ^{0}$ الأمر مختلف، ولذا $\gamma ^{5}$ وهو مختلف أيضاً، وقطري،

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},

أو بصيغة أكثر اختصارًا:

\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).

تتميز قاعدة ويل بأن إسقاطاتها الكيرالية تأخذ شكلاً بسيطاً.

\psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.

إن خاصية التكرار للإسقاطات الكيرالية واضحة.

عن طريق إساءة استخدام الترميز قليلاً وإعادة استخدام الرموز $\psi _{\mathrm {L} /R}$ يمكننا حينها تحديد

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},

أين الآن؟ $\psi _{\mathrm {L} }$ و $\psi _{\mathrm {R} }$ هي عبارة عن سبينورات ويل ثنائية المكونات، يسارية ويمينية.

إن عامل اقتران الشحنة في هذا الأساس هو عامل حقيقي مضاد للتناظر،

C_{W}=UC_{D}U^{\text{T}}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}

يمكن الحصول على أساس ويل من أساس ديراك كما يلي

\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }

عن طريق التحويل الوحدوي

U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.

أساس ويل (الكيرالي) (الشكل البديل)

خيار آخر محتمل ^{[ 10 ]} لقاعدة فايل

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.

تتخذ الإسقاطات الكيرالية شكلاً مختلفاً قليلاً عن خيار فايل الآخر،

\psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .

بعبارة أخرى،

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},

أين $\psi _{\mathrm {L} }$ و $\psi _{\mathrm {R} }$ هي سبينورات ويل ذات المكونين اليساري واليميني، كما كان من قبل.

عامل اقتران الشحنة في هذا الأساس هو

C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.

يمكن الحصول على هذا الأساس من أساس ديراك المذكور أعلاه كما يلي $\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ عن طريق التحويل الوحدوي

U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.

أساس ماجورانا

يوجد أيضًا أساس ماجورانا ، حيث تكون جميع مصفوفات ديراك تخيلية، بينما تكون السبينورات ومعادلة ديراك حقيقية. باستخدام مصفوفات باولي ، يمكن كتابة الأساس على النحو التالي:

{\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}

أين $C$ هي مصفوفة اقتران الشحنة، والتي تتطابق مع نسخة ديراك المحددة أعلاه.

إن سبب جعل جميع مصفوفات غاما تخيلية هو فقط للحصول على مقياس فيزياء الجسيمات (+, −, −, −) ، حيث تكون مربعات الكتل موجبة. ومع ذلك، فإن تمثيل ماجورانا حقيقي. يمكن استخراج العامل المشترك $\ i\$ للحصول على تمثيل مختلف باستخدام أربعة مكونات من السبينورات الحقيقية ومصفوفات غاما الحقيقية. نتيجة إزالة $\ i\$ إن المقياس الوحيد الممكن مع مصفوفات جاما الحقيقية هو (−, +, +, +) .

يمكن الحصول على أساس ماجورانا من أساس ديراك أعلاه كما يلي $\gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ عن طريق التحويل الوحدوي

U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.

Cl _1,3 (C) و Cl _1,3 (R)

يمكن اعتبار جبر ديراك بمثابة تعقيد للجبر الحقيقي Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ )، ويسمى جبر الزمكان :

\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}

Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) يختلف عن Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$ ): في Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) يُسمح فقط بالتركيبات الخطية الحقيقية لمصفوفات جاما ومنتجاتها.

هناك أمران جديران بالذكر. فيما يتعلق بجبر كليفورد ، Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$ ) و Cl ₄ ( $\mathbb {C}$ (انظر تصنيف جبر كليفورد ) متماثلة . والسبب هو أن الإشارة الأساسية لمقياس الزمكان تفقد إشارتها (1،3) عند الانتقال إلى التعقيد. ومع ذلك، فإن التحويل المطلوب لتحويل الشكل الثنائي الخطي إلى الشكل القانوني المعقد ليس تحويل لورنتز، وبالتالي فهو غير "مسموح" (أو على الأقل غير عملي) لأن جميع الفيزياء مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتناظر لورنتز، ومن الأفضل الحفاظ عليه ظاهرًا.

يسعى أنصار الجبر الهندسي إلى استخدام الجبر الحقيقي كلما أمكن ذلك. ويجادلون بأنه من الممكن عمومًا (والمفيد عادةً) تحديد وجود وحدة تخيلية في معادلة فيزيائية. تنشأ هذه الوحدات من إحدى الكميات العديدة في جبر كليفورد الحقيقي التي مربعها يساوي -1، ولها دلالة هندسية نظرًا لخصائص الجبر وتفاعل فضاءاته الفرعية المختلفة. كما يتساءل بعض هؤلاء الأنصار عما إذا كان من الضروري أو حتى المفيد إدخال وحدة تخيلية إضافية في سياق معادلة ديراك. ^{[ 11 ]}^{: x–xi}

في رياضيات الهندسة الريمانية ، من المتعارف عليه تعريف جبر كليفورد Cl _p,q ( $\mathbb {R}$ ) للأبعاد العشوائية $p و q$ . تتحول متجهات ويل الدورانية تحت تأثير مجموعة الدوران $\mathrm {Spin} (n)$ . تعقيد مجموعة الدوران، والتي تسمى مجموعة الدوران $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$ ، هو منتج $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ مجموعة الدوران مع الدائرة $S^{1}\cong U(1).$ المنتج $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ مجرد أداة تدوين لتحديد $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ مع $(-a,-u).$ تكمن النقطة الهندسية في ذلك في أنها تفصل بين السبينور الحقيقي، وهو متغير تحت تحويلات لورنتز، و $U(1)$ المكون، الذي يمكن تحديده من خلال $\mathrm {U} (1)$ ألياف التفاعل الكهرومغناطيسي. $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ يربط هذا بين التكافؤ واقتران الشحنة بطريقة مناسبة لربط حالات جسيم/مضاد جسيم ديراك (أو ما يعادلها، الحالات الكيرالية في أساس فايل). يمكن لسبينور ديراك ، نظرًا لوجود مركبات يسارية ويمينية مستقلة خطيًا، أن يتفاعل مع المجال الكهرومغناطيسي. وهذا على عكس سبينور ماجورانا وسبينور إلكو (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators)، اللذين لا يمكنهما التفاعل ( أي أنهما متعادلان كهربائيًا)، لأنهما يقيدان السبينور صراحةً بحيث لا يتفاعل مع المجال الكهرومغناطيسي. $S^{1}$ جزءٌ ناتجٌ عن التعقيد. سبينور إلكو هو سبينور من فئة لونيستو 5. ^{[ 12 ]}^{: 84}

ومع ذلك، في الممارسة المعاصرة في الفيزياء، لا يزال جبر ديراك بدلاً من جبر الزمكان هو البيئة القياسية التي "تعيش" فيها سبينورات معادلة ديراك.

خصائص أخرى خالية من التمثيل

مصفوفات غاما قابلة للتقطير باستخدام القيم الذاتية $\pm 1$ ل $\gamma ^{0}$ ، والقيم الذاتية $\pm i$ ل $\gamma ^{k}$ .

دليل
ويمكن إثبات ذلك لـ $\gamma ^{0}$ وينطبق الأمر نفسه على $\gamma ^{i}$ يمكننا إعادة الكتابة $(\gamma ^{0})^{2}=+1$ مثل $(\gamma ^{0}+1)(\gamma ^{0}-1)=0.$ وبناءً على نتيجة معروفة في الجبر الخطي ، فهذا يعني وجود أساس يكون فيه $\gamma ^{0}$ قطري بقيم ذاتية $\{\pm 1\}$ .

وهذا يعني على وجه الخصوص أن $\gamma ^{0}$ هو في الوقت نفسه هيرميتي ووحدوي، بينما $\gamma ^{i}$ هي في الوقت نفسه مناهضة للهرميتية ووحدوية.

علاوة على ذلك، فإن تعدد كل قيمة ذاتية هو اثنان.

دليل
لو $v$ هو متجه ذاتي لـ $\ \gamma ^{0}\ ,$ ثم $\ \gamma ^{1}v\$ هو متجه ذاتي له قيمة ذاتية معاكسة. عندئذٍ، يمكن إقران المتجهات الذاتية إذا كانت مرتبطة بالضرب في $\ \gamma ^{1}~.$ وينطبق الأمر نفسه على النتيجة بالنسبة لـ $\ \gamma ^{i}~.$

وبشكل أعم، إذا $\ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\$ إذا لم يكن صفراً، فستكون النتيجة مماثلة. وللتوضيح، سنقتصر على حالة المعيار الموجب. $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\$ مع $\ p\cdot p=m^{2}>0~.$ وينطبق الأمر نفسه على الحالة السلبية.

دليل
يمكن إظهاره $p\!\!\!/^{2}=m^{2}\ ,$ وبناءً على نفس الحجة التي استخدمناها في النتيجة الأولى، $\ p\!\!\!/\$ قابلة للتقطير باستخدام القيم الذاتية $\ \pm m~.$ يمكننا تعديل الحجة الخاصة بالنتيجة الثانية قليلاً. نختار متجهًا غير صفري. $\ q_{\mu }\$ وهو متعامد مع $p_{\mu }~.$ ثم يمكن إقران المتجهات الذاتية بشكل مماثل إذا كانت مرتبطة بالضرب في $\ q\!\!\!/~.$

ويترتب على ذلك أن فضاء الحلول لـ $\ p\!\!\!/-m=0\$ (أي أن نواة الجانب الأيسر) لها بُعد 2. وهذا يعني أن فضاء الحلول لحلول الموجة المستوية لمعادلة ديراك له بُعد 2.

لا تزال هذه النتيجة صحيحة بالنسبة لمعادلة ديراك عديمة الكتلة. بعبارة أخرى، إذا $p_{\mu }$ لا شيء، إذن $p\!\!\!/$ له عدم صحة 2.

دليل
لو $p_{\mu }$ لا شيء، إذن $p\!\!\!/p\!\!\!/=0.$ باستخدام تحليل القيم الذاتية المعمم، يمكن كتابة ذلك في أساس ما على شكل قطري في $2\times 2$ كتل جوردان ذات القيمة الذاتية 0، إما مع 0 أو 1 أو 2 كتلة، وباقي عناصر القطر الرئيسي صفر. اتضح أن الحالة هي حالة الكتلتين. حالة الصفر غير ممكنة كما لو $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=0\ ,$ عن طريق الاستقلال الخطي لـ $\ \gamma ^{\mu }\$ يجب أن يكون لدينا $\ p_{\mu }=0~.$ لكن المتجهات الصفرية، بحكم تعريفها، لا تساوي صفرًا. لنأخذ مثالًا على ذلك. $(q_{\mu })=(\|\mathbf {p} \|,-\mathbf {p} )$ ومتجه ذاتي صفري $v$ ل $p\!\!\!/$ . ملحوظة $q_{\mu }$ وهو أيضًا فارغ ويحقق المطلوب $p\!\!\!/q\!\!\!/+q\!\!\!/p\!\!\!/=4\|\mathbf {p} \|.-()$ لو $p\!\!\!/v=0$ إذن، لا يمكن أن يكون في الوقت نفسه متجهًا ذاتيًا صفريًا لـ $q\!\!\!/$ بواسطة (). مع الأخذ في الاعتبار $q\!\!\!/v$ إذا قمنا بتطبيق $p\!\!\!/$ ثم نحصل على $p\!\!\!/q\!\!\!/v=4\|\mathbf {p} \|v$ لذلك، بعد إعادة التحجيم، $v$ و $q\!\!\!/v$ أعطِ $2\times 2$ كتلة جوردان. هذا يُعطي اقترانًا. يجب أن يكون هناك متجه ذاتي صفري آخر لـ $p\!\!\!/$ والتي يمكن استخدامها لصنع كتلة جوردان الثانية. كما أن لهذه الأزواج بنية جذابة. إذا كانت الأسهم اليسرى تشير إلى تطبيق $p\!\!\!/$ ، وأسهم يمين لتطبيق $q\!\!\!/$ ، و $v$ هو متجه ذاتي صفري لـ $p\!\!\!/$ ، حتى العوامل العددية لدينا $0\leftarrow v\leftrightarrow q\!\!\!/v\rightarrow 0$ .

مصفوفات ديراك الإقليدية

في نظرية الحقل الكمومي، يمكن تدوير محور الزمن باستخدام طريقة ويك للانتقال من فضاء مينكوفسكي إلى الفضاء الإقليدي . يُعدّ هذا مفيدًا بشكل خاص في بعض إجراءات إعادة التطبيع، وكذلك في نظرية قياس الشبكة . في الفضاء الإقليدي، توجد تمثيلان شائعان لمصفوفات ديراك:

التمثيل الكيرالي

\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}

لاحظ أن عوامل $i$ تم إدخالها في مصفوفات غاما المكانية بحيث يكون جبر كليفورد الإقليدي

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}

ستظهر. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن هناك صيغًا مختلفة من هذا تُدرج بدلاً من ذلك. $-i$ على إحدى المصفوفات، كما هو الحال في رموز QCD الشبكية التي تستخدم الأساس الكيرالي.

في الفضاء الإقليدي،

\gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.

باستخدام مضاد التبديل وملاحظة أنه في الفضاء الإقليدي $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }$ ، وهذا يدل على أن

\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}

في الأساس الكيرالي في الفضاء الإقليدي،

\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}

وهو ما لم يتغير عن نسخة مينكوفسكي.

التمثيل غير النسبي

\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}

الحواشي

↑ مجموعة المصفوفات $(Γ a) = (γ μ, i γ 5)$ مع $a = (0, 1, 2, 3, 4)$ تلبي جبر كليفورد الخماسي الأبعاد ${Γ a, Γ b}$ = 2 η ^ab

انظر أيضاً

الاقتباسات

↑ كوكين 2016 .
↑ لونغرو 2023 .
↑ جوست 2002 .
↑ تونغ 2007 ، هذه الملاحظات التمهيدية لنظرية المجال الكمومي مخصصة لطلاب الجزء الثالث (مستوى الماجستير).
↑ واينبرغ 2002 ، § 5.5.
↑ دي ويت وسميث 2012 .
1 2 3 فاينمان، ريتشارد ب. (1949). "مقاربة الزمكان للديناميكا الكهربائية الكمومية" . مجلة Physical Review . 76 (6): 769–789 . Bibcode : 1949PhRv...76..769F . doi : 10.1103/PhysRev.76.769 – عبر APS.
↑ كابلونوفسكي 2008 .
↑ إيتزيكسون وزوبر 2012 .
↑ كاكو 1993 .
↑ هيستينز 2015 .
^ رودريغز وأوليفيرا 2007 .

مراجع

دي ويت، ب.؛ سميث، ج. (2 ديسمبر 2012). نظرية المجال في فيزياء الجسيمات، المجلد 1. إلسيفير. ISBN 978-0-444-59622-2.
هالزن، فرانسيس؛ مارتن، آلان د. (17 مايو 2008). الكواركات واللبتونات: دورة تمهيدية في فيزياء الجسيمات الحديثة . وايلي إنديا برايفت ليمتد. ISBN 978-81-265-1656-8.
هيستينس، ديفيد (2015). جبر الزمكان . سبرينغر الدولية للنشر. رقم ISBN 978-3-319-18412-8.
إيتزيكسون، كلود؛ زوبر، جان برنارد (20 سبتمبر 2012). نظرية الحقل الكمومي . شركة كورير. الملحق أ. ISBN 978-0-486-13469-7.
جوست، يورغن (2002). الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي . سبرينغر. ص 68، النتيجة 1.8.1. ISBN 978-3-540-42627-1.
كاكو، ميتشيو (1993). نظرية الحقل الكمومي: مقدمة حديثة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-509158-8.
كابلونوفسكي، فاديم (2008). "علم الآثار" (ملف PDF) . نظرية الحقل الكمومي (واجبات منزلية / ملاحظات صفية). قسم الفيزياء. جامعة تكساس في أوستن . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 13 نوفمبر 2019.

كوكين، ف.د. (2016). "مصفوفات ديراك - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تاريخ الاسترجاع: 2023-11-02 .

لونغرو، دافيد (2023). "الاختزال البُعدي لمعادلة ديراك في أبعاد مكانية عشوائية". المجلة الأوروبية للفيزياء بلس . 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Bibcode : 2023EPJP..138..324L . doi : 10.1140/epjp/s13360-023-03919-0 .
باولي، دبليو (1936). "مساهمات رياضية في نظرية مصفوفات ديراك" . حوليات معهد هنري بوانكاريه . 6 : 109.

بيسكين، م.؛ شرودر، د. (1995). مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . دار ويستفيو للنشر. الفصل 3.2. ISBN 0-201-50397-2.

رودريغز، والدير أ.؛ أوليفيرا، إدموندو س. دي (2007). الأوجه المتعددة لمعادلات ماكسويل، ديراك، وأينشتاين: منهج حزمة كليفورد . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-71292-3.
تونغ، ديفيد (2007). محاضرات في نظرية الحقل الكمومي (ملاحظات محاضرات الدورة). ديفيد تونغ في جامعة كامبريدج . ص 93. تاريخ الاسترجاع: 7 مارس 2015 .

واينبرغ، س. (2002). نظرية الكم للحقول . المجلد 1. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-55001-7– عبر أرشيف الإنترنت (archive.org).

زي، أ. (2003). نظرية الحقل الكمومي باختصار . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. الفصل الثاني.1. ISBN 0-691-01019-6.

روابط خارجية

مصفوفات ديراك على موقع ماث وورلد، بما في ذلك خصائصها الجماعية
مصفوفات ديراك كمجموعة مجردة على أسماء المجموعات
"مصفوفات ديراك" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]

[4] مجموعة المصفوفات $(Γ a) = (γ μ, i γ 5)$ مع $a = (0, 1, 2, 3, 4)$ تلبي جبر كليفورد الخماسي الأبعاد ${Γ a, Γ b}$ = 2 η ^ab

[FOOTNOTEKukin2016-1] كوكين 2016 .

[FOOTNOTELonigro2023-2] لونغرو 2023 .

[FOOTNOTEJost2002-3] جوست 2002 .

[FOOTNOTETong2007These_introductory_quantum_field_theory_notes_are_for_Part&nbsp;III_(masters_level)_students.-5] تونغ 2007 ، هذه الملاحظات التمهيدية لنظرية المجال الكمومي مخصصة لطلاب الجزء الثالث (مستوى الماجستير).

[FOOTNOTEWeinberg2002§&nbsp;5.5-6] واينبرغ 2002 ، § 5.5.

[FOOTNOTEde_WitSmith2012-7] دي ويت وسميث 2012 .

[:0-8] 1 2 3 فاينمان، ريتشارد ب. (1949). "مقاربة الزمكان للديناميكا الكهربائية الكمومية" . مجلة Physical Review . 76 (6): 769–789 . Bibcode : 1949PhRv...76..769F . doi : 10.1103/PhysRev.76.769 – عبر APS.

[FOOTNOTEKaplunovsky2008-9] كابلونوفسكي 2008 .

[FOOTNOTEItzyksonZuber2012-10] إيتزيكسون وزوبر 2012 .

[FOOTNOTEKaku1993-11] كاكو 1993 .

[FOOTNOTEHestenes2015-12] هيستينز 2015 .

[FOOTNOTERodriguesOliveira2007-13] رودريغز وأوليفيرا 2007 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

"

[

[

6

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

البنية الرياضية

البنية الفيزيائية

التعبير عن معادلة ديراك

المصفوفة الخامسة "غاما"، γ 5

الأبعاد الخمسة

الهويات

هويات متنوعة

تتبع الهويات

تطبيع

اقتران الشحنة

تدوين فاينمان المائل

تمثيلات أخرى

أساس ديراك

أساس ويل (الكيرالي)

أساس ويل (الكيرالي) (الشكل البديل)

أساس ماجورانا

Cl 1,3 (C) و Cl 1,3 (R)

خصائص أخرى خالية من التمثيل

مصفوفات ديراك الإقليدية

التمثيل الكيرالي

التمثيل غير النسبي

الحواشي

انظر أيضاً

الاقتباسات

مراجع

روابط خارجية

المصفوفة الخامسة "غاما"، `γ` ⁵

Cl _1,3 (C) و Cl _1,3 (R)