المسافة الجغرافية

• التقريبات قصيرة المدى: سطح مستوٍ، غاوس - خط العرض المتوسط؛${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{خطأ}}|\propto D^{3}}$
  • طريقة بورينغ (1981) للخطوط القصيرة التي حسّنها كارني باستخدام خطوط العرض والخطوط المتوسطة المخفضة؛${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{خطأ}}|\propto D^{4}}$
• تقريبات طويلة المدى؛${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{خطأ}}|\propto D}$في نصف الكرة المغلق
  • ${\displaystyle f^{0}}$طريقة التقريب من الرتبة -: الأرض الكروية
  • تقريبات من الرتبة العليا تعتمد على القطع الناقص:${\displaystyle f^{1}}$: أندوييه (1932)؛ أندوييه-لامبير (1942)،${\displaystyle f^{2}}$: أندويير-لامبير-توماس (1970)،${\displaystyle f^{3}}$فينسنتي (1975)،${\displaystyle f^{6}}$كارني (2011)

تمت إضافة التقديرات النظرية للخطأ أعلاه و${\displaystyle f}$هو تسطح الأرض.

مسافة القوس،${\displaystyle D,\,\!}$هي أقصر مسافة على طول سطح الكرة/القطع الناقص المحسوبة بين نقطتين،${\displaystyle P_{1}\,\!}$و${\displaystyle P_{2}\,\!}$أما مسافة النفق، أو طول الوتر،${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$يتم قياسها على طول خط مستقيم ديكارتي. الإحداثيات الجغرافية للنقطتين، كأزواج (خط العرض، خط الطول)، هي${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$و${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$على التوالي. أي من النقطتين تُعتبر${\displaystyle P_{1}\,\!}$لا يُعدّ ذلك مهماً لحساب المسافة.

خط العرض${\displaystyle \phi \,\!}$وخط الطول${\displaystyle \lambda \,\!}$تُعبّر الإحداثيات على الخرائط عادةً بالدرجات . في الصيغ الموضحة أدناه، يجب التعبير عن قيمة واحدة أو أكثر بالوحدات المحددة للحصول على النتيجة الصحيحة. عند استخدام الإحداثيات الجغرافية كمعامل لدالة مثلثية، يمكن التعبير عن القيم بأي وحدات زاوية متوافقة مع طريقة حساب قيمة الدالة المثلثية. تتيح العديد من الآلات الحاسبة الإلكترونية حساب الدوال المثلثية بالدرجات أو الراديان . يجب أن يكون وضع الآلة الحاسبة متوافقًا مع الوحدات المستخدمة للإحداثيات الهندسية.

يتم تحديد الفروقات في خطوط العرض والطول وحسابها على النحو التالي:

$\displaystyle \begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

لا يهم ما إذا كانت النتيجة إيجابية أم سلبية عند استخدامها في الصيغ أدناه.

يتم تصنيف "خط العرض المتوسط" وحسابه على النحو التالي:

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

ما لم يُنص على خلاف ذلك، فإن نصف قطر الأرض المستخدم في الحسابات أدناه هو:

${\displaystyle R\,\!}$= 6,371.009 كيلومتر = 3,958.761 ميلًا بريًا = 3,440.069 ميلًا بحريًا .

${\displaystyle D_{\,}\!}$= المسافة بين النقطتين، كما تم قياسها على طول سطح الأرض وبنفس وحدات القيمة المستخدمة لنصف القطر ما لم يتم تحديد خلاف ذلك.

تقريب الدوال الجيبية لـ${\displaystyle \Delta \lambda }$قد يؤدي ظهور هذه الظاهرة في بعض صيغ الأسطح المستوية أدناه إلى حدوث حالات تفرد وانقطاع. كما قد يؤدي إلى تدهور الدقة في حالة خطوط العرض العليا.

توجد نقاط تفرد في خط الطول عند القطبين (خط الطول غير مُعرَّف) وانقطاع عند خط الزوال ± 180° . كما أن الإسقاطات المستوية لدوائر خط العرض الثابت تكون شديدة الانحناء بالقرب من القطبين. ومن ثم، فإن المعادلات المذكورة أعلاه لفرق خط العرض/خط الطول (${\displaystyle \Delta \phi \!}$،${\displaystyle \Delta \lambda \!}$) وخطوط العرض المتوسطة (${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$قد لا تُعطي هذه القيمة الإجابة المتوقعة للمواقع القريبة من القطبين أو خط الزوال ±180°. على سبيل المثال، انظر إلى قيمة${\displaystyle \Delta \lambda \!}$(إزاحة شرقية) عندما${\displaystyle \lambda _{1}\!}$و${\displaystyle \lambda _{2}\!}$تقع على جانبي خط الزوال ±180°، أو قيمة${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$(خط العرض المتوسط) للموقعين (${\displaystyle \phi _{1}\!}$=89°،${\displaystyle \lambda _{1}\!}$=45°) و (${\displaystyle \phi _{2}\!}$=89°،${\displaystyle \lambda _{2}\!}$=−135°).

إذا كان من المفترض أن تكون الحسابات القائمة على خطوط الطول والعرض صالحة لجميع مواقع الأرض، فيجب التحقق من معالجة الانقطاعات والقطبين بشكل صحيح. وثمة حل آخر يتمثل في استخدام متجه ذي n عنصر بدلاً من خطوط الطول والعرض، لأن هذا التمثيل لا يحتوي على انقطاعات أو نقاط شاذة.

مسافة النفق ،${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$يتم حسابها على أساس كروية الأرض. تأخذ هذه الصيغة في الاعتبار تغير المسافة بين خطوط الطول مع خط العرض، بافتراض${\displaystyle D\approx D_{\textrm {t}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\textrm {t}}&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\\&\approx R{\sqrt {\left(\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}}$

يمكن حذف الجذر التربيعي المذكور أعلاه في تطبيقات مثل ترتيب المواقع حسب المسافة في استعلام قاعدة البيانات. من جهة أخرى، تتطلب بعض طرق حساب أقرب الجيران، مثل شجرة نقطة المراقبة ، أن يلتزم مقياس المسافة بمتباينة المثلث ، وفي هذه الحالة يجب الاحتفاظ بالجذر التربيعي.

تم توسيع الصيغة المذكورة أعلاه لتشمل الأرض الإهليلجية:

${\displaystyle {\begin{aligned}D&\approx 2{\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}},\\&\approx {\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle M\,\!}$و${\displaystyle N\,\!}$هي أنصاف أقطار انحناء الأرض ، سواء كانت خط الزوال أو خط العمودي عليها، أو " الخط العادي " (انظر أيضًا " تحويل الإحداثيات الجغرافية " للاطلاع على صيغها).

يتم اشتقاقها من خلال تقريب${\displaystyle \left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\Delta \phi \right)^{2}\approx 0}$في الجذر التربيعي.

يمكن اعتبار هذا التقريب ببساطة بمثابة المسافة الوترية ثلاثية الأبعاد بين نقطتين على سطح القطع الناقص، أو ما يعادلها من تبسيط وتري لطريقة غاوس لخطوط العرض المتوسطة. مع أننا لم نجد هذه الصيغة الصريحة في المصادر الكلاسيكية، إلا أن طريقة غاوس لخطوط العرض المتوسطة موصوفة في كتاب راب (1991).

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

حيث تكون قيم خط العرض بالراديان:${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi .}$

بالنسبة لخط العرض المقاس بالدرجات، يمكن حساب خط العرض المقابل بالراديان على النحو التالي:${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

يُعرَّف النفق بين نقطتين على سطح الأرض بخط ديكارتي يمر عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد بين النقطتين المعنيتين. مسافة النفق${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$يمثل طول وتر الدائرة العظمى ويمكن حسابه على النحو التالي للكرة الوحدة المقابلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\\Delta {Y}&=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\\Delta {Z}&=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\D_{\textrm {t}}&=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

تاريخياً، تم اشتقاق صيغ الخطوط الطويلة في شكل متسلسلات توسيع فيما يتعلق بالتسطيح.${\displaystyle f}$[ ^{16 ] [ 17 ]​}

تستخدم صيغ أندويير-لامبرت ^{[ 18 ]} تصحيح الدرجة الأولى (أندويير، 1932) وخط العرض المختزل ،${\displaystyle \beta =\arctan \left((1-f)\tan \phi \right)}$لتحقيق دقة أفضل. فهي توفر دقة تصل إلى 10 أمتار على مدى آلاف الكيلومترات.

قم أولاً بتحويل خطوط العرض${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$،${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$من بين النقطتين إلى خطوط العرض المنخفضة${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$، ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$ثم احسب الزاوية المركزية${\displaystyle \sigma }$بالراديان بين نقطتين${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$و${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$على سطح الكرة باستخدام طريقة المسافة على الدائرة العظمى ( صيغة هافرسين )، مع خطوط الطول${\displaystyle \lambda _{1}\;}$و${\displaystyle \lambda _{2}\;}$أن تكون متماثلة على الكرة كما هي على الشكل الإهليلجي.

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle D=a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$،

أين${\displaystyle a}$يمثل نصف القطر الاستوائي للشكل الكروي المختار.

في حالة المجسم الكروي GRS 80، تكون صيغة لامبرت خاطئة بمقدار

من 0 شمالاً 0 غرباً إلى 40 شمالاً 120 غرباً، 12.6 متراً

من 0 شمالاً 0 غرباً إلى 40 شمالاً 60 غرباً، 6.6 متر

من 40 شمالاً 0 غرباً إلى 40 شمالاً 60 غرباً، 0.85 متر

له شكل مشابه لطول القوس المحول من مسافة النفق. ترد الصيغ التفصيلية في راب، ^{[ 13 ]} §6.4. ويبدو أنه يتوافق مع صيغ السطح المستوي المذكورة أعلاه.

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin \left({\frac {\Delta \phi }{2}}{\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}{N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)\right)^{2}}}.}$

يرسم بورينغ النقاط على كرة نصف قطرها R ′ ، حيث يُمثل خط العرض وخط الطول بـ φ ′ و λ ′ على التوالي . عرّف

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

حيث مربع الانحراف المركزي الثاني هو

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

نصف القطر الكروي هو

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

( انحناء غاوس للقطع الناقص عند φ ₁ هو 1/ R ′ ^2. ) تُعطى الإحداثيات الكروية بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi _{1}}{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$،${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$، ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$،${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$يمكن حل المسألة الناتجة على الكرة باستخدام تقنيات الملاحة بالدائرة العظمى لإعطاء تقريبات للمسافة والاتجاه على سطح الكرة. ترد الصيغ التفصيلية في راب ^{[ 13 ]} §6.5 وباورينغ ^{[ 14 ]} . استخدام خطوط العرض المتوسطة،${\displaystyle \phi _{\textrm {m}}}$، مما يحسن الدقة، كما أوضح كارني. ^{[ 19 ]}