أساس النسبة الذهبية

نظام النسبة الذهبية هو نظام عددي موضعي غير صحيح يستخدم النسبة الذهبية (العدد غير النسبي). ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ يُرمز للعدد ذي الأساس φ بالحرف اليوناني φ . ويُشار إليه أحيانًا بالأساس φ ، أو أساس النسبة الذهبية ، أو أساس فاي ، أو ببساطة، فاينياري . يمكن تمثيل أي عدد حقيقي غير سالب كعدد ذي أساس φ باستخدام الرقمين 0 و1 فقط، مع تجنب تسلسل الأرقام "11" - وهذا ما يُسمى بالصيغة القياسية . يمكن دائمًا إعادة كتابة أي عدد ^$ذي$ أساس φ يتضمن تسلسل الأرقام "11" بالصيغة القياسية، باستخدام الخصائص الجبرية للأساس φ - وأبرزها أن φⁿ ^$+$ φⁿ - ^$1$^$=$ φⁿ + ^$1.$ على سبيل المثال، _11φ = _100φ .

على الرغم من استخدام أساس أعداد غير نسبي ، إلا أنه عند استخدام الصيغة القياسية، فإن جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة لها تمثيل فريد كتوسيع نهائي (محدود) للأساس φ. مجموعة الأعداد التي تمتلك تمثيلاً نهائياً للأساس φ هي الحلقة Z [ ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ] ؛ يلعب نفس الدور في هذه الأنظمة العددية كما تلعب الأعداد النسبية الثنائية في الأعداد الثنائية ، مما يوفر إمكانية الضرب .

للأعداد الأخرى تمثيلات قياسية في النظام العشري (الأساس φ)، بينما للأعداد النسبية تمثيلات دورية. هذه التمثيلات فريدة، باستثناء أن الأعداد ذات التمثيل المنتهي لها تمثيل غير منتهٍ أيضًا. على سبيل المثال، 1 = 0.1010101… في النظام العشري (الأساس φ) تمامًا كما أن 1 = 0.99999… في النظام العشري .

أمثلة

عشري	قوى φ	القاعدة φ
1	φ ⁰	1
2	φ ¹ + φ ⁻²	10.01
3	φ ² + φ ⁻²	100.01
4	φ ² + φ ⁰ + φ ⁻²	101.01
5	φ ³ + φ ⁻¹ + φ ⁻⁴	1000.1001
6	φ ³ + φ ¹ + φ ⁻⁴	1010.0001
7	φ ⁴ + φ ⁻⁴	10000.0001
8	φ ⁴ + φ ⁰ + φ ⁻⁴	10001.0001
9	φ ⁴ + φ ¹ + φ ⁻² + φ ⁻⁴	10010.0101
10	φ ⁴ + φ ² + φ ⁻² + φ ⁻⁴	10100.0101

كتابة الأعداد الأساسية للنسبة الذهبية بالصيغة القياسية

في المثال التالي للتحويل من الشكل غير القياسي إلى الشكل القياسي، يتم استخدام الرمز 1 لتمثيل الرقم الموقّع −1.

211.0 1 _φ ليس عددًا قياسيًا أساسه φ، لأنه يحتوي على "11" بالإضافة إلى "2" و " 1 " = −1، وهي ليست "0" أو "1".

لوضع رقم في صورته القياسية، يمكننا استخدام البدائل التالية: $0{\underline {1}}0_{\phi}={\underline {1}}01_{\phi }$ ، $1{\underline {1}}0_{\phi }=001_{\phi }$ ، $200_{\phi }=1001_{\phi }$ ، $011_{\phi }=100_{\phi }$ يمكن تطبيق عمليات الاستبدال بأي ترتيب نرغب فيه، لأن النتيجة ستكون واحدة. في الأسفل، تظهر عمليات الاستبدال المطبقة على الرقم في السطر السابق على اليمين، والرقم الناتج على اليسار.

${\begin{aligned}211.0{\underline {1}}0_{\phi }=211&.{\underline {1}}01_{\phi }&0{\underline {1}}0\rightarrow {\underline {1}}01\\=210&.011_{\phi }&1{\underline {1}}0\rightarrow 001\\=1011&.011_{\phi }&200\rightarrow 1001\\=1100&.100_{\phi }&011\rightarrow 100\\=10000&.1_{\phi }&011\rightarrow 100\\\end{aligned}}$

يمكن توحيد أي عدد موجب ذي تمثيل غير قياسي ذي أساس φ بهذه الطريقة . إذا وصلنا إلى نقطة تكون فيها جميع الأرقام "0" أو "1"، باستثناء الرقم الأول الذي يكون سالبًا ، فإن العدد يكون سالبًا. (الاستثناء من ذلك هو عندما يكون الرقم الأول سالب واحد والرقمين التاليين واحدًا، مثل 111.001 = 1.001). يمكن تحويل هذا العدد إلى معكوس تمثيل ذي أساس φ عن طريق عكس إشارة كل رقم، وتوحيد النتيجة، ثم وضع علامة عليها كسالب. على سبيل المثال، استخدم علامة الطرح ، أو أي دلالة أخرى للدلالة على الأعداد السالبة.

تمثيل الأعداد الصحيحة كأعداد أساسية بنسبة ذهبية

يمكننا إما اعتبار العدد الصحيح لدينا هو الرقم (الوحيد) لعدد غير قياسي ذي أساس φ، وتوحيده، أو القيام بما يلي:

1 × 1 = 1، φ × φ = 1 + φ، و 1 / φ = -1 + φ. لذلك، يمكننا حساب

( أ + ب φ) + ( ج + د φ) = (( أ + ج ) + ( ب + د )φ)،

( أ + ب φ) − ( ج + د φ) = (( أ − ج ) + ( ب − د )φ)

و

( a + b φ) × ( c + d φ) = (( ac + bd ) + ( ad + bc + bd )φ).

لذا، باستخدام القيم الصحيحة فقط، يمكننا جمع وطرح وضرب الأعداد من الشكل ( أ + ب φ)، وحتى تمثيل القوى الصحيحة الموجبة والسالبة لـ φ.

يكون ( a + bφ ) > ( c + dφ ) إذا وفقط إذا كان 2( a − c ) − ( d − b ) > ( d − b ) × √5 . إذا كان أحد الطرفين سالبًا والآخر موجبًا، فإن المقارنة بديهية. وإلا، فقم بتربيع كلا الطرفين للحصول على مقارنة عددية صحيحة، مع عكس اتجاه المقارنة إذا كان كلا الطرفين سالبين. عند تربيع كلا الطرفين، ${\textstyle {\sqrt {5}}}$ يتم استبدالها بالعدد الصحيح 5.

لذا، باستخدام القيم الصحيحة فقط، يمكننا أيضًا مقارنة الأرقام من الشكل ( أ + ب φ).

لتحويل عدد صحيح x إلى عدد أساسه φ، لاحظ أن x = ( x + 0φ).
اطرح أعلى قوة لـ φ، والتي لا تزال أصغر من الرقم الذي لدينا، للحصول على رقمنا الجديد، وسجل "1" في المكان المناسب في رقم الأساس φ الناتج.
ما لم يكن رقمنا صفرًا، انتقل إلى الخطوة 2.
انتهى.

لن تؤدي الإجراءات المذكورة أعلاه أبدًا إلى التسلسل "11"، لأن 11 _φ = 100 _φ ، لذا فإن الحصول على "11" يعني أننا أغفلنا "1" قبل التسلسل "11".

ابدأ، على سبيل المثال، بالعدد الصحيح = 5، وستكون النتيجة حتى الآن هي ...00000.00000... _φ

أعلى قوة لـ φ ≤ 5 هي φ ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236067977

بطرح هذا من 5، نحصل على 5 − (1 + 2φ) = 4 − 2φ ≈ 0.763932023...، والنتيجة حتى الآن هي 1000.00000... _φ

أعلى قوة لـ φ ≤ 4 − 2φ ≈ 0.763932023... هي φ ⁻¹ = −1 + 1φ ≈ 0.618033989...

بطرح هذا من 4 − 2φ ≈ 0.763932023...، نحصل على 4 − 2φ − (−1 + 1φ) = 5 − 3φ ≈ 0.145898034...، والنتيجة حتى الآن هي 1000.10000... _φ

أعلى قوة لـ φ ≤ 5 − 3φ ≈ 0.145898034... هي φ ⁻⁴ = 5 − 3φ ≈ 0.145898034...

بطرح هذا من 5 − 3φ ≈ 0.145898034...، نحصل على 5 − 3φ − (5 − 3φ) = 0 + 0φ = 0، والنتيجة النهائية هي 1000.1001 _φ .

عدم التفرد

كما هو الحال في أي نظام عد ذي أساس n، فإن للأعداد ذات التمثيل المنتهي تمثيلاً دورياً بديلاً. في النظام ذي الأساس 10، يعتمد هذا على ملاحظة أن 0.999... = 1. في النظام ذي الأساس φ، يمكن إثبات أن العدد 0.1010101... يساوي 1 بعدة طرق:

التحويل إلى النموذج غير القياسي: 1 = 0.11 _φ = 0.1011 _φ = 0.101011 _φ = ... = 0.10101010... _φ
المتسلسلة الهندسية : 1.0101010... _φ تساوي

\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{-2k}={\frac {1}{1-\varphi ^{-2}}}=\varphi

الفرق بين "التحولات": φ ²x − x = 10.101010... _φ − 0.101010... _φ = 10 _φ = φ بحيث x = ⁠ φ / φ ² − 1 ⁠ = 1

إن عدم التفرد هذا هو سمة من سمات نظام الترقيم، حيث أن كلاً من 1.0000 و 0.101010... موجودان في الشكل القياسي.

بشكل عام، يمكن استبدال الرقم 1 الأخير من أي عدد في النظام ذي الأساس φ برقم 01 متكرر دون تغيير قيمة ذلك العدد.

تمثيل الأعداد النسبية كأعداد أساسية بنسبة ذهبية

يمكن تمثيل كل عدد نسبي غير سالب بتوسيع دوري أساسه φ، وكذلك أي عنصر غير سالب من الحقل Q [ √5 ] = Q + √5Q ، وهو الحقل الناتج عن الأعداد النسبية و ${\textstyle {\sqrt {5}}}$ وعلى العكس، فإن أي توسيع دوري (أو منتهٍ) ذي أساس φ هو عنصر غير سالب من Q [ √5 ]. بالنسبة للأعداد العشرية الدورية، تم وضع خط فوق الجزء الدوري.

١ / ٢ = ٠ ٫ ٠١٠ _φ
⁠ 1 / 3 ⁠ = 0. 00101000 _φ
١/٤ = ٠ ٫ ٠٠١٠٠٠ _φ
⁠ 1 / 5 ⁠ = 0. 001001010100100100 _φ
⁠ 1 / 10 ⁠ = 0. 000010000100010100001010101000100101000001001000100000 _φ

إنّ تبرير كون العدد النسبي يُعطي مفكوكًا دوريًا يُشابه البرهان المكافئ لنظام العد ذي الأساس n ( حيث n = 2، 3، 4، ...). في الأساس، في القسمة المطولة ذات الأساس φ، يوجد عدد محدود فقط من البواقي الممكنة، وبالتالي لا بدّ من وجود نمط دوري. على سبيل المثال، مع 1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ _، تبدو _القسمة المطولة كما يلي ( لاحظ أن الطرح ذي الأساس φ _قد يكون صعب الفهم في البداية):

 0 1 0 0 1 ________________________ 1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 عملية تداول واحدة: 10000 = 1100 = 1011 إذن، 10000 - 1001 = 1011 - 1001 = 10 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ------- إلخ.

والعكس صحيح أيضاً، إذ أن العدد ذو التمثيل الدوري ذي الأساس φ هو عنصر من الحقل Q [ √5 ]. وينتج هذا من ملاحظة أن التمثيل الدوري ذي الدورة k يتضمن متسلسلة هندسية بنسبة φ -^k ، والتي مجموعها يساوي عنصراً من Q [ √5 ].

تمثيل الأعداد غير النسبية ذات الأهمية كأعداد أساسية بنسبة ذهبية

تمثيلات الأساس φ لبعض الأعداد المهمة:

$π$ ≈ 100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ..._φ(التسلسل A102243 في OEIS )
$e$ ≈ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100 ..._φ(المتتالية A105165 في OEIS )
${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ... _φ
${\textstyle {\sqrt {5}}}$ = 10.1 _φ

الجمع والطرح والضرب

من الممكن تكييف جميع الخوارزميات القياسية للحساب ذي الأساس 10 مع الحساب ذي الأساس φ. وهناك طريقتان لتحقيق ذلك:

احسب، ثم حوّل إلى الصيغة القياسية

لجمع عددين بنظام العد العشري (الأساس φ)، اجمع كل زوج من الأرقام دون ترحيل، ثم حوّل الناتج إلى الصيغة القياسية. ولعملية الطرح ، اطرح كل زوج من الأرقام دون استلاف (الاستلاف هو قيمة سالبة للترحيل)، ثم حوّل الناتج إلى الصيغة القياسية. ولعملية الضرب ، اضرب بالطريقة المعتادة في النظام العشري (الأساس 10) دون ترحيل، ثم حوّل الناتج إلى الصيغة القياسية.

على سبيل المثال،

٢ + ٣ = ١٠٫٠١ + ١٠٠٫٠١ = ١١٠٫٠٢ = ١١٠٫١٠٠١ = ١٠٠٠٫١٠٠١
2 × 3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
7 - 2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001

تجنب استخدام أرقام أخرى غير 0 و 1

يتمثل النهج الأكثر "أصالة" في تجنب جمع الأرقام 1 + 1 أو طرح 0 - 1. ويتم ذلك عن طريق إعادة تنظيم المعاملات إلى شكل غير قياسي بحيث لا تحدث هذه التركيبات. على سبيل المثال،

٢ + ٣ = ١٠٫٠١ + ١٠٠٫٠١ = ١٠٫٠١ + ١٠٠٫٠٠١١ = ١١٠٫٠١١١ = ١٠٠٠٫١٠٠١
٧ - ٢ = ١٠٠٠٠.٠٠٠١ - ١٠.٠١ = ١١٠٠.٠٠٠١ - ١٠.٠١ = ١٠١١.٠٠٠١ - ١٠.٠١ = ١٠١٠.١١٠١ - ١٠.٠١ = ١٠٠٠.١٠٠١

يستخدم الطرح الموضح هنا شكلاً معدلاً من خوارزمية "التداول" القياسية للطرح.

قسم

لا يمكن تمثيل أي عدد نسبي غير صحيح كعدد ذي أساس φ محدود . بعبارة أخرى، جميع الأعداد ذات الأساس φ القابلة للتمثيل المحدود هي إما أعداد صحيحة أو (على الأرجح) أعداد غير نسبية في حقل تربيعي Q [ √5 ]. ولأن القسمة المطولة لا تُنتج إلا عددًا محدودًا من البواقي الممكنة، فإن قسمة عددين صحيحين (أو أي عددين آخرين لهما تمثيل ذو أساس φ محدود) ستؤدي إلى مفكوك دوري، كما هو موضح أعلاه.

العلاقة مع ترميز فيبوناتشي

ترميز فيبوناتشي هو نظام ترقيم وثيق الصلة يُستخدم للأعداد الصحيحة. في هذا النظام، يُستخدم الرقمان 0 و1 فقط، وقيمهما المكانية هي أعداد فيبوناتشي . وكما هو الحال في النظام ذي الأساس φ، يتم تجنب تسلسل الأرقام "11" بإعادة ترتيبه إلى شكل قياسي، باستخدام علاقة فيبوناتشي التكرارية F __k +1 = F  _k + F _{k -1} . على سبيل المثال،

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010 _fib .

الاستخدام العملي

من الممكن دمج الحساب ذي الأساس φ مع متتابعات فيبوناتشي . مجموع الأعداد في متتابعة فيبوناتشي العامة التي تُقابل الأرقام غير الصفرية في العدد ذي الأساس φ، هو حاصل ضرب العدد ذي الأساس φ في العنصر الموجود في الموضع صفر في المتتابعة. على سبيل المثال:

حاصل ضرب 10 (10100.0101 أساس-φ) و25 (موضع الصفر) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250
القاعدة-φ: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1
تسلسل جزئي: ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...
حاصل ضرب 10 (10100.0101 أساس-φ) و65 (موضع الصفر) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650
القاعدة-φ: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1
تسلسل جزئي: ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...

انظر أيضاً

مشفر بيتا – كان يستخدم في الأصل أساس النسبة الذهبية
ترقيم أوستروفسكي

مراجع

بيرغمان، جورج (1957). "نظام عددي ذو أساس غير نسبي". مجلة الرياضيات . 31 (2): 98-110 . doi : 10.2307/3029218 . JSTOR 3029218 .
إيغان، إل سي؛ فاندن إيندن، سي إل (1966). "التوسعات العشرية إلى قواعد غير صحيحة". المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 73 (73): 576-582 . doi : 10.2307/2314786 . JSTOR 2314786 .
بلوجار، جوزيف (1971). "مربي الأرانب ذو الطبيعة الطيبة". مانيفولد . 11 : 26-30 .

روابط خارجية

استخدام قوى فاي لتمثيل الأعداد الصحيحة (الأساس فاي)

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗