فرضية الاستمرارية

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 50 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية المجموعات ، تُعرف فرضية الاستمرارية (المختصرة بـ CH ) بأنها فرضية تتعلق بالأحجام الممكنة للمجموعات اللانهائية . وتنص على ما يلي:

لا توجد مجموعة يكون عدد عناصرها بين عدد عناصر الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية .

يُشتق اسم هذه الفرضية من مصطلح "المتصل" الذي يُطلق على الأعداد الحقيقية. في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC)، يُكافئ هذا الفرض المعادلة التالية في أعداد أليف :2ℵ0=ℵ1{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}أو حتى أقصر باستخدام أرقام بيث :ℶ1=ℵ1{\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}.

طُرحت فرضية الاستمرارية من قِبل جورج كانتور عام 1878. [ 1 ] وأصبحت إحدى أكثر المسائل دراسةً في نظرية المجموعات، وكان إثبات صحتها أو خطئها أولى مسائل هيلبرت الثلاث والعشرين  التي عُرضت عام 1900. إن حل هذه المسألة مستقل عن نظرية ZFC. وهذا يعني أن بديهيات ZFC لا يمكنها إثبات فرضية الاستمرارية أو دحضها، ما يعني أنه يمكن إضافة فرضية الاستمرارية أو نفيها كبديهية إلى نظرية مجموعات ZFC، وتكون النظرية الناتجة متسقة إذا وفقط إذا كانت ZFC متسقة. وقد أثبت بول كوهين هذا الاستقلال عام 1963 ، مكملاً بذلك عملاً سابقاً لكورت غودل عام 1940. [ 2 ]

تنص فرضية الاستمرارية المعممة على أنℵα+1=2ℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}لكل عدد ترتيبيα{\displaystyle \alpha }.

تاريخ

طُرحت فرضية الاستمرارية لأول مرة من قِبل جورج كانتور في بحثه المنشور عام 1878 بعنوان "مساهمة في نظرية الاستمرارية"، بصيغة تُعرف الآن بفرضية الاستمرارية الضعيفة ، وهي مكافئة للصيغة القياسية في ظل بديهية الاختيار التي لم تكن قد تطورت آنذاك . قدّم كانتور في البداية فرضية الاستمرارية الضعيفة كنظرية، لكنه لم يُقدّم برهانًا عليها، ثم أصبح غير متأكد منها لاحقًا. في 25 أكتوبر 1882، كتب كانتور إلى مراسله غوستا ميتاغ-ليفلر ، وصاغ فرضية الاستمرارية (CH) بصيغتها الحديثة، وأبدى اعتقاده بإمكانية إثباتها. بحلول تسعينيات القرن التاسع عشر، كان العديد من علماء الرياضيات في ألمانيا وفرنسا على دراية بهذه المشكلة. حاول كانتور لسنوات عديدة إثبات فرضية الاستمرارية ، لكنه لم ينجح قط. [ 3 ]

أصبحت هذه المسألة الأولى في قائمة ديفيد هيلبرت للمسائل المفتوحة المهمة التي عُرضت في المؤتمر الدولي للرياضيات (ICM) عام 1900 في باريس. في ذلك الوقت، لم تكن نظرية المجموعات البديهية قد صيغت بعد.

قُدِّمت العديد من البراهين الخاطئة والبراهين المضادة لفرضية الاستمرارية. ففي عام 1884، ادّعى بول تانيري إثبات فرضية الاستمرارية، لكن البرهان كان خاطئًا. وفي عام 1890، ادّعى بيبو ليفي امتلاكه برهانًا بافتراض أن كل مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية تتمتع بخاصية باير ، لكن لم يُنشر أي برهان. [ 3 ] وفي المؤتمر الدولي للرياضيات (ICM) في هايدلبرغ عام 1904 ، أعلن جيولا كونيغ أنه دحض فرضية الاستمرارية، ما لفت انتباهًا واسعًا وصل حتى إلى الدوق الأكبر لبادن، فريدريك الأول، عبر فيليكس كلاين ، لكن اكتُشف خلل في البرهان في اليوم التالي. [ 4 ] كما نشر فيليكس بيرنشتاين محاولة لإثبات فرضية الاستمرارية عام 1904، لكنها كانت خاطئة ولم تحظَ باهتمام يُذكر. وفي عام 1926، ادّعى هيلبرت أنه حلّ فرضية الاستمرارية وقدّم مسودة برهان، لكن هذا أيضًا كان خاطئًا، على الرغم من أنه أثّر على أفكار لاحقة في نظرية الاستدعاء الذاتي . [ 5 ]

في عام 1906، قام كونيغ بمراجعة جزء من محاولته لدحض فرضية CH، وأثبت نظرية كونيغ ، التي تُظهر، باستخدام مفهوم التطابق النهائي الذي قدمه فيليكس هاوسدورف عام 1908 ، أن النتيجة التي2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}لا يمكن أن يساويℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }}لα{\displaystyle \alpha }مع النهاية المشتركةω{\displaystyle \omega }. على سبيل المثال،2ℵ0≠ℵω{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }}. طرح هاوسدورف سؤالاً حول ما إذا2ℵα=ℵα+1{\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}لجميع الأعداد الترتيبيةα{\displaystyle \alpha }، والتي أطلق عليها ألفريد تارسكي اسم فرضية الاستمرارية المعممة في عام 1925. وفي عام 1923، افترض ثورالف سكوليم أنه لا يمكن حسم فرضية الاستمرارية بواسطة بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو . [ 6 ]

أثبت كورت غودل في عام 1940 أن نفي فرضية الاستمرارية، أي وجود مجموعة ذات عدد عناصر متوسط، لا يمكن إثباته في نظرية المجموعات القياسية. [ 2 ] أما الشق الثاني من استقلالية فرضية الاستمرارية، أي عدم إمكانية إثبات عدم وجود مجموعة ذات حجم متوسط، فقد أثبته بول كوهين في عام 1963. [ 7 ]

عدد المجموعات اللانهائية

يُقال إن مجموعتين لهما نفس العدد الأصلي إذا وُجد بينهما تقابل (تناظر واحد لواحد). وبشكل بديهي، بالنسبة لمجموعتينS{\displaystyle S}وتي{\displaystyle T}أن يكون لها نفس العدد يعني أنه من الممكن "مزاوجة" عناصر منS{\displaystyle S}مع عناصر منتي{\displaystyle T}بطريقة تضمن أن كل عنصر منS{\displaystyle S}يقترن بعنصر واحد فقط منتي{\displaystyle T}والعكس صحيح. ومن ثم، فإن المجموعة{موز،تفاحة،كُمَّثرَى}{\displaystyle \{{\text{موز}},{\text{تفاح}},{\text{كمثرى}}\}}له نفس العددية مثل{أصفر،أحمر،أخضر}{\displaystyle \{{\text{أصفر}},{\text{أحمر}},{\text{أخضر}}\}}على الرغم من أن المجموعات نفسها تحتوي على عناصر مختلفة.

مع المجموعات غير المنتهية مثل مجموعة الأعداد الصحيحة أو الأعداد النسبية ، يصبح إثبات وجود تقابل بين مجموعتين أكثر صعوبة.سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يبدو أن هذه الأمثلة تُشكّل مثالًا مضادًا لفرضية الاستمرارية: فالأعداد الصحيحة تُشكّل مجموعة جزئية فعلية من الأعداد النسبية، والتي بدورها تُشكّل مجموعة جزئية فعلية من الأعداد الحقيقية، لذا، وبشكل بديهي، يوجد عدد أكبر من الأعداد النسبية مقارنةً بالأعداد الصحيحة، وعدد أكبر من الأعداد الحقيقية مقارنةً بالأعداد النسبية. مع ذلك، فإن هذا التحليل البديهي معيب لأنه لا يأخذ في الحسبان حقيقة أن المجموعات الثلاث جميعها لانهائية . ولعل الأهم من ذلك، أنه في الواقع يخلط بين مفهوم "حجم" المجموعة.سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }مع الترتيب أو البنية الطوبولوجية الموضوعة عليها. في الواقع، اتضح أنه يمكن وضع الأعداد النسبية في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الصحيحة، وبالتالي فإن مجموعة الأعداد النسبية لها نفس الحجم ( العدد الأصلي ) لمجموعة الأعداد الصحيحة: كلاهما مجموعات قابلة للعد . [ 8 ]

قدّم كانتور برهانين على أن عدد عناصر مجموعة الأعداد الصحيحة أصغر تمامًا من عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية (انظر برهان كانتور الأول على عدم قابلية العد ، وحجة كانتور القطرية ). مع ذلك، لم يُشر برهاناته إلى مدى كون عدد عناصر الأعداد الصحيحة أقل من عدد عناصر الأعداد الحقيقية. اقترح كانتور فرضية الاستمرارية كحلٍّ محتمل لهذه المسألة.

ببساطة، تنص فرضية الاستمرارية (CH) على أن مجموعة الأعداد الحقيقية لها أقل عدد ممكن من العناصر أكبر من عدد عناصر مجموعة الأعداد الصحيحة. أي أن كل مجموعة غير منتهيةS⊆R{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية إما بشكل مباشر مع الأعداد الصحيحة، أو يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية بشكل مباشر معS{\displaystyle S}بما أن الأعداد الحقيقية متساوية في العدد مع مجموعة قوى الأعداد الصحيحة، أي|R|=2ℵ0{\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}، ويمكن إعادة صياغة CH على النحو التالي:

فرضية الاستمرارية —∄S:ℵ0<|S|<2ℵ0{\displaystyle \nexists S\colon \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}.

بافتراض بديهية الاختيار ، يوجد عدد أصلي أصغر فريدℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}أكبر منℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}وفرضية الاستمرارية بدورها تعادل المساواة2ℵ0=ℵ1{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}[ 9 ] [ 10 ]​

الاستقلال عن ZFC

إن استقلال فرضية الاستمرارية (CH) عن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (ZF) ينبع من العمل المشترك لكورت غودل وبول كوهين .

أثبت غودل [ 11 ] [ 2 ] أنه لا يمكن دحض فرضية الفرضية الصفرية (CH) من نظرية زيرو-فرانكل (ZF)، حتى لو تم اعتماد بديهية الاختيار (AC)، أي من نظرية زيرو-فرانكل. يُظهر برهان غودل أن كلاً من فرضية الفرضية الصفرية وبديهية الاختيار صحيحتان في الكون القابل للبناء.ل{\displaystyle L}نموذج داخلي لنظرية المجموعات ZF، يفترض فقط بديهيات ZF. يُظهر وجود نموذج داخلي لـ ZF تتحقق فيه بديهيات إضافية أن هذه البديهيات الإضافية متسقة (نسبيًا) مع ZF، شريطة أن تكون ZF نفسها متسقة. لا يمكن إثبات الشرط الأخير في ZF نفسها، بسبب نظريات عدم الاكتمال لغودل ، ولكنه يُعتقد على نطاق واسع بصحته ويمكن إثباته في نظريات مجموعات أقوى.

أثبت كوهين [ 7 ] [ 12 ] أنه لا يمكن إثبات فرضية CH من بديهيات ZFC، مُكملاً بذلك برهان الاستقلال الكلي. ولإثبات نتيجته، طوّر كوهين طريقة الإجبار ، التي أصبحت أداةً أساسيةً في نظرية المجموعات. تبدأ هذه الطريقة بنموذج ZF تتحقق فيه فرضية CH، ثم تُنشئ نموذجًا آخر يحتوي على مجموعات أكثر من النموذج الأصلي، بحيث لا تتحقق فرضية CH في النموذج الجديد. مُنح كوهين ميدالية فيلدز عام 1966 تقديرًا لبرهانه.

يُظهر برهان كوهين للاستقلال أن نظرية الجبر المتصل (CH) مستقلة عن نظرية ZFC. وقد أظهرت أبحاث أخرى أن نظرية الجبر المتصل مستقلة عن جميع بديهيات العدد الأساسي الكبير المعروفة في سياق نظرية ZFC. [ 13 ] علاوة على ذلك، فقد ثبت أن عدد عناصر المتصلج=2ℵ0{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}يمكن أن يكون أي عدد أصلي متوافق مع نظرية كونيغ . تُظهر نتيجة سولوفاي، التي تم إثباتها بعد فترة وجيزة من نتيجة كوهين حول استقلال فرضية الاستمرارية، أنه في أي نموذج من ZFC، إذاκ{\displaystyle \kappa }إذا كان عددًا أصليًا من نوع نهائي غير قابل للعد ، فهناك امتداد إجباري يكون فيه2ℵ0=κ{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }ومع ذلك، وفقًا لنظرية كونيغ، فإنه ليس من المتسق افتراض2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}يكونℵω{\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}أوℵω1+ω{\displaystyle \aleph _{\أوميغا _{1}+\أوميغا }}أو أي عدد أصلي له نهاية مشتركةω{\displaystyle \omega }.

ترتبط فرضية الاستمرارية ارتباطًا وثيقًا بالعديد من العبارات في التحليل ، وطوبولوجيا المجموعات النقطية ، ونظرية القياس . ونتيجةً لاستقلالها، فقد ثبت لاحقًا أن العديد من التخمينات الجوهرية في تلك المجالات مستقلة أيضًا.

إن استقلالية نظرية ZFC تعني استحالة إثبات أو دحض فرضية الاستمرارية ضمن إطار ZFC. مع ذلك، لا تُعتبر نتائج غودل وكوهين السلبية مقبولة عالميًا كدليل قاطع على عدم جدوى فرضية الاستمرارية. لا تزال فرضية الاستمرارية موضوعًا بحثيًا نشطًا: انظر وودين [14] [15] وكولنر [ 16 ] للاطلاع على نظرة عامة حول الوضع البحثي الحالي .

كانت فرضية الاستمرارية وبديهية الاختيار من بين أولى العبارات الرياضية الحقيقية التي ثبت استقلالها عن نظرية مجموعات ZF. مع أن وجود بعض العبارات المستقلة عن ZFC كان معروفًا قبل أكثر من عقدين من الزمن، فعلى سبيل المثال، بافتراض خصائص سلامة جيدة واتساق ZFC، فإن نظريات عدم الاكتمال لغودل ، المنشورة عام 1931، تثبت وجود عبارة رسمية Con(ZFC) (واحدة لكل نظام ترقيم مناسب لغودل ) تعبر عن اتساق ZFC، وهي مستقلة عنها أيضًا. وتصدق نتيجة الاستقلال هذه بالفعل على العديد من النظريات.

حجج مؤيدة ومعارضة لفرضية الاستمرارية

اعتقد غودل أن فرضية العدم خاطئة، وأن برهانه على اتساقها مع نظرية زيرميلو-فرانكل لا يُظهر إلا أن بديهيات زيرميلو-فرانكل لا تُحدد بدقة عالم المجموعات. كان غودل أفلاطونيًا ، ولذلك لم يجد غضاضة في تأكيد صحة أو خطأ العبارات بمعزل عن إمكانية إثباتها. أما كوهين، فرغم كونه شكليًا ، [ 17 ] فقد مال أيضًا إلى رفض فرضية العدم.

تاريخيًا، عارض علماء الرياضيات الذين فضلوا كونًا "غنيًا" و"واسعًا" من المجموعات فرضية البناء، بينما أيدها أولئك الذين فضلوا كونًا "منظمًا" و"قابلًا للتحكم". وقُدمت حجج متوازية مؤيدة ومعارضة لبديهية قابلية البناء ، التي تستلزم فرضية البناء. وفي الآونة الأخيرة، أشار ماثيو فورمان إلى أنه يمكن استخدام النزعة القصوى الأنطولوجية في الواقع للدفاع عن فرضية البناء، لأنه من بين النماذج التي لها نفس الأعداد الحقيقية، فإن النماذج التي تحتوي على "المزيد" من مجموعات الأعداد الحقيقية لديها فرصة أفضل لتحقيق فرضية البناء. [ 18 ]

ثمة وجهة نظر أخرى مفادها أن مفهوم المجموعة ليس دقيقًا بما يكفي لتحديد صحة أو خطأ فرضية العدم. وقد طرح سكوليم هذه الوجهة في وقت مبكر من عام ١٩٢٣ ، حتى قبل نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل. استند سكوليم في حجته إلى ما يُعرف الآن بمفارقة سكوليم ، وقد دُعمت لاحقًا باستقلال فرضية العدم عن بديهيات نظرية زيرو-فرانكل، إذ تكفي هذه البديهيات لإثبات الخصائص الأساسية للمجموعات وأعدادها. وللرد على هذه الوجهة، يكفي إثبات بديهيات جديدة مدعومة بالحدس وتُحسم فرضية العدم في أحد الاتجاهين. مع أن بديهية قابلية الإنشاء تُحسم فرضية العدم، إلا أنها لا تُعتبر صحيحة حدسيًا، تمامًا كما لا تُعتبر فرضية العدم خاطئة بشكل عام. [ ١٩ ]

تم اقتراح بديهيتين أخريين على الأقل لهما آثار على فرضية الاستمرارية، على الرغم من أن هاتين البديهيتين لم تحظيا بقبول واسع في الأوساط الرياضية حتى الآن. في عام ١٩٨٦، قدم كريس فرايلينج [ ٢٠ ] حجة ضد فرضية الاستمرارية، موضحًا أن نفيها يُكافئ بديهية التناظر لفرايلينج ، وهي عبارة مستمدة من حدس معين حول الاحتمالات . يعتقد فرايلينج أن هذه البديهية "واضحة بديهيًا" [ ٢٠ ] ، لكن آخرين اختلفوا معه. [ ٢١ ] [ ٢٢ ]

حظيت حجةٌ صعبةٌ ضد فرضية الفرضية الصفرية، طوّرها دبليو هيو وودين، باهتمامٍ كبيرٍ منذ عام 2000. [ 14 ] [ 15 ] لم يرفض فورمان حجة وودين رفضًا قاطعًا، لكنه حثّ على توخي الحذر. [ 23 ] اقترح وودين فرضيةً جديدةً أطلق عليها اسم "مسلمة (*)" ، أو "مسلمة النجمة". وتفترض مسلمة النجمة أن2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}يكونℵ2{\displaystyle \aleph _{2}}وبذلك دحضت فرضية CH. وقد تعززت فرضية ستار ببرهان مستقل في مايو 2021 أظهر إمكانية اشتقاقها من صيغة معدلة لفرضية مارتن القصوى . مع ذلك، صرّح وودين في العقد الثاني من الألفية الثانية بأنه يعتقد الآن بصحة فرضية CH، استنادًا إلى إيمانه بفرضيته الجديدة "النهائية L". [ 24 ] [ 25 ]

جادل سولومون فيفرمان بأن مسألة CH ليست مسألة رياضية محددة. [ 26 ] واقترح نظرية "التحديد" باستخدام نظام فرعي شبه حدسي من ZF يقبل المنطق الكلاسيكي للمحددات المحدودة ولكنه يستخدم المنطق الحدسي للمحددات غير المحدودة، واقترح أن يكون الاقتراحϕ{\displaystyle \phi }تكون "محددة" رياضياً إذا استطاعت النظرية شبه الحدسية إثبات(ϕ∨¬ϕ){\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}افترض أن CH غير محددة وفقًا لهذا المفهوم، واقترح بالتالي اعتبار CH بلا قيمة حقيقية. كتب بيتر كولنر تعليقًا نقديًا على مقال فيفرمان. [ 27 ]

يقترح جويل ديفيد هامكينز منهجًا متعدد الأكوان لنظرية المجموعات، ويجادل بأن "فرضية الاستمرارية تستقر على منظور الأكوان المتعددة بفضل معرفتنا الواسعة بكيفية سلوكها في الأكوان المتعددة، ونتيجة لذلك، لم يعد من الممكن حسمها بالطريقة التي كانت مأمولةً سابقًا". [ 28 ] وفي سياق متصل، كتب ساهارون شيلاه أنه "لا يتفق مع الرؤية الأفلاطونية البحتة القائلة بإمكانية حسم المشكلات المهمة في نظرية المجموعات، وأننا نحتاج فقط إلى اكتشاف البديهية الإضافية. تصوري الذهني هو أن لدينا العديد من نظريات المجموعات الممكنة، وكلها تتوافق مع ZFC". [ 29 ]

فرضية الاستمرارية المعممة

تنص فرضية الاستمرارية المعممة (GCH) على أنه إذا كانت قيمة عنصر مجموعة لانهائية تقع بين قيمة عنصر مجموعة لانهائية S وقيمة عنصر مجموعة القوىP(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}إذا كان S ، فإن له نفس عدد العناصر مثل S أوP(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}أي، بالنسبة لأي عدد أصلي لانهائيλ{\displaystyle \lambda }لا يوجد عدد أساسيκ{\displaystyle \kappa }بحيثλ<κ<2λ{\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}GCH يعادل:

ℵα+1=2ℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}لكل عدد ترتيبيα{\displaystyle \alpha }[ 9 ]

(تسمى أحيانًا فرضية أليف لكانتور ).

توفر أرقام بيث تدوينًا بديلًا لهذه الحالة:ℵα=ℶα{\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}لكل عدد ترتيبيα{\displaystyle \alpha }تُعدّ فرضية الاستمرارية حالة خاصة للترتيبيα=1{\displaystyle \alpha =1}اقترح فيليب جوردان مصطلح GCH لأول مرة . [ 30 ] للاطلاع على التاريخ المبكر لمصطلح GCH، انظر مور. [ 31 ]

على غرار فرضية الاختيار (CH)، فإن فرضية الاختيار العامة (GCH) مستقلة أيضًا عن نظرية ZFC، لكن سيربينسكي أثبت أن ZF + GCH يستلزم بديهية الاختيار (AC) (وبالتالي نفي بديهية الحتمية ، AD)، لذا فإن الاختيار وGCH ليسا مستقلين في ZF؛ فلا توجد نماذج لـ ZF تتحقق فيها GCH وتفشل AC. ولإثبات ذلك، بيّن سيربينسكي أن GCH يستلزم أن كل عدد أصلي n أصغر من عدد أليف معين ، وبالتالي يمكن ترتيبه. ويتم ذلك بإثبات أن n أصغر من2ℵ0+ن{\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}وهو أصغر من عدد هارتوغز الخاص به - وهذا يستخدم المساواة2ℵ0+ن=2⋅2ℵ0+ن{\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}للاطلاع على الدليل الكامل، انظر جيلمان. [ 32 ]

أثبت كورت غودل أن GCH هي نتيجة لـ ZF + V=L (المسلمة التي تنص على أن كل مجموعة قابلة للإنشاء بالنسبة للأعداد الترتيبية)، وبالتالي فهي متسقة مع ZFC. وبما أن GCH تستلزم CH، فإن نموذج كوهين الذي لا تتحقق فيه CH هو نموذج لا تتحقق فيه GCH، وبالتالي لا يمكن إثبات GCH من ZFC. استخدم دبليو  بي  إيستون طريقة الإجبار التي طورها كوهين لإثبات نظرية إيستون ، والتي تُظهر أنها متسقة مع ZFC للأعداد الأصلية الكبيرة كيفما كانت.ℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }}عدم تلبية2ℵα=ℵα+1{\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}في وقت لاحق، أثبت فورمان وودين (بافتراض اتساق الأعداد الكاردينالية الكبيرة جدًا) أنه من المتسق أن2κ>κ+{\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}ينطبق هذا على كل عدد أصلي لا نهائيκ{\displaystyle \kappa }وفي وقت لاحق، وسّع وودين هذا المفهوم من خلال إظهار اتساق2κ=κ++{\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}لكلκ{\displaystyle \kappa }أظهر كارمي ميريموفيتش [ 33 ] أنه لكل n  ≥  1 ، يتوافق مع نظرية ZFC أنه لكل عدد أصلي لانهائي κ ، يكون 2κ هو العدد التالي النوني لـ κ (بافتراض اتساق بعض بديهيات الأعداد الأصلية الكبيرة). من جهة أخرى، أثبت لازلو باتاي [ 34 ] أنه إذا كان γ عددًا ترتيبيًا، ولكل عدد أصلي لانهائي κ ، يكون 2κ هو العدد التالي γ لـ κ ، فإن γ يكون عددًا نهائيًا.

لأي مجموعتين غير منتهيتين A و B ، إذا كان هناك عنصر تقابلي من A إلى B، فإنه يوجد عنصر تقابلي من المجموعات الجزئية من A إلى المجموعات الجزئية من B. وبالتالي، لأي عددين أصليين غير منتهيين A و B ،أ<ب→2أ≤2ب{\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}إذا كانت A و B محدودتين، فإن المتباينة الأقوىأ<ب→2أ<2ب{\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}يثبت ذلك. تشير GCH إلى أن هذا التباين الصارم والأقوى ينطبق على الأعداد الكاردينالية اللانهائية وكذلك الأعداد الكاردينالية المحدودة.

آثار GCH على الأسس الرئيسية

على الرغم من أن فرضية الاستمرارية المعممة تشير بشكل مباشر فقط إلى الأسس الأصلية التي يكون أساسها 2، إلا أنه يمكن استنتاج قيم الأسس الأصلية منهاℵαℵβ{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}في جميع الحالات. يشير GCH إلى أنه بالنسبة للأعداد الترتيبية α و β : [ 35 ]

  • ℵαℵβ=ℵβ+1{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}عندما α ≤ β +1 ؛
  • ℵαℵβ=ℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }}عندما يكون β +1 < α وℵβ<انظر⁡(ℵα){\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}حيث cf هي عملية النهاية المشتركة ؛ و
  • ℵαℵβ=ℵα+1{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}}عندما يكون β +1 < α وℵβ≥انظر⁡(ℵα){\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}.

تنتج المساواة الأولى (عندما α ≤ β +1 ) من:

ℵαℵβ≤ℵβ+1ℵβ=(2ℵβ)ℵβ=2ℵβ⋅ℵβ=2ℵβ=ℵβ+1{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}} بينما:

ℵβ+1=2ℵβ≤ℵαℵβ.{\displaystyle \aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}.}

المساواة الثالثة (عندما β + 1 < α وℵβ≥انظر⁡(ℵα){\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}) يتبع من:

ℵαℵβ≥ℵαانظر⁡(ℵα)>ℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }}

بحسب نظرية كونيغ ، بينما:

ℵαℵβ≤ℵαℵα≤(2ℵα)ℵα=2ℵα⋅ℵα=2ℵα=ℵα+1{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ كانتور ، جورج (1878). "عين بيتراج زور Mannigfaltigkeitslehre" . مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik . 1878 (84): 242-258 . دوى : 10.1515/crll.1878.84.242 (غير نشط في 17 ديسمبر 2025).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من ديسمبر 2025 ( رابط )
  2. 1 2 3 غودل، كورت (1940). اتساق بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية المعممة مع بديهيات نظرية المجموعات . دراسات حوليات الرياضيات (العدد 3). برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون - عبر أرشيف الإنترنت .
  3. 1 2 مور، غريغوري هـ. (1989). "نحو تاريخ لمسألة كانتور المتصلة". في: رو، ديفيد إي .؛ مكليلاري، جون (محرران). تاريخ الرياضيات الحديثة: وقائع ندوة تاريخ الرياضيات الحديثة، المجلد 1: الأفكار واستقبالها . مطبعة بوسطن الأكاديمية. ISBN 978-0125996617.
  4. ↑ إيبينغهاوس، هاينز-ديتر (2 يونيو 2007). "مؤتمر هايدلبرغ 1904". إرنست زيرميلو: مدخل إلى حياته وعمله . سبرينغر . ص 51. ISBN  978-3-540-49553-6.
  5. ^ دريبن، بيرتون ؛ كاناموري، أكيهيرو (1997). "نظرية هيلبرت والمجموعة" . توليف . 110 (1): 77- 125. ISSN 0039-7857 . 
  6. ↑ مور، غريغوري هـ. (1990). "ملاحظة تمهيدية لعامي 1947 و 1964 ". الأعمال الكاملة لكورت غودل: المجلد الثاني، المنشورات 1938-1974 . مطبعة جامعة أكسفورد . الصفحات 154-175 . ISBN  9780195039726.
  7. 1 2 كوهين، بول ج. (15 ديسمبر 1963). "استقلالية فرضية الاستمرارية، [ الجزء الأول ] " . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 50 (6): 1143-1148 . Bibcode : 1963PNAS...50.1143C . doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557 .    
  8. ↑ للاطلاع على رسم تخطيطي للبرهان، انظر قابلية عد الأعداد النسبية
  9. 1 2 غولدراي، ديريك (1996). نظرية المجموعات الكلاسيكية . تشابمان وهول .
  10. ↑ آصف كاراغيلا ( https://math.stackexchange.com/users/622/asaf-karagila )، كيف نصيغ فرضية الاستمرارية دون مسلمة الاختيار؟، الرابط (الإصدار: 2017-04-13): https://math.stackexchange.com/q/404813
  11. ↑ غودل، كورت (1938). "اتساق بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية المعممة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 24 (12): 556-557 . Bibcode : 1938PNAS...24..556G . doi : 10.1073 / pnas.24.12.556 . PMC 1077160. PMID 16577857 .  
  12. ↑ كوهين، بول ج. (15 يناير 1964). "استقلالية فرضية الاستمرارية، [ الجزء ] الثاني" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 51 (1): 105-110 . Bibcode : 1964PNAS...51..105C . doi : 10.1073 / pnas.51.1.105 . JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132 .    
  13. ↑ فيفرمان، سولومون (فبراير 1999). "هل تحتاج الرياضيات إلى بديهيات جديدة؟". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 106 (2): 99-111 . CiteSeerX 10.1.1.37.295 . doi : 10.2307/2589047 . JSTOR 2589047 .  
  14. 1 2 وودين، دبليو. هيو (2001). "فرضية الاستمرارية، الجزء الأول" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 48 (6): 567-576 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 10-10-2022. 
  15. 1 2 وودين، دبليو. هيو (2001). "فرضية الاستمرارية، الجزء الثاني" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 48 (7): 681-690 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 10-10-2022. 
  16. ↑ كويلنر، بيتر (2011). "فرضية الاستمرارية" (ملف PDF) . استكشاف آفاق الاستقلال . سلسلة محاضرات جامعة هارفارد. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 24 يناير 2012.
  17. ↑ غودمان، نيكولاس د . (1979). "الرياضيات كعلم موضوعي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 86 (7): 540-551 . doi : 10.2307/2320581 . JSTOR 2320581. MR 0542765. يُطلق على هذا الرأي غالبًا اسم الشكلية . يمكن العثور على مواقف مشابهة إلى حد ما في أعمال هاسكل كاري [5]، وأبراهام روبنسون [ 17]، وبول كوهين [4].     
  18. ↑ مادي 1988 ، ص 500.
  19. ↑ كونين، كينيث (1980). نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . أمستردام، هولندا: نورث هولاند. ص 171. ISBN  978-0-444-85401-8.
  20. 1 2 فرايلينغ، كريس (1986). "بديهيات التناظر: رمي السهام على خط الأعداد الحقيقية". مجلة المنطق الرمزي . 51 (1) . رابطة المنطق الرمزي: 190-200 . doi : 10.2307/2273955 . JSTOR 2273955. S2CID 38174418 .  
  21. ↑ باجيميل، ف. (1989-1990). "إلقاء سهم على حجة فرايلينغ ضد فرضية الاستمرارية" . مجلة التحليل الحقيقي . 15 (1): 342-345 . doi : 10.2307/44152014 . JSTOR 44152014. MR 1042552 .  
  22. ↑ هامكينز، جويل ديفيد (يناير 2015). "هل يمكن تحقيق الحل الأمثل لفرضية الاستمرارية؟". مجلة نوتردام للمنطق الصوري . 56 (1). arXiv : 1203.4026 . doi : 10.1215/00294527-2835047 .
  23. ↑ فورمان، مات (2003). "هل تم حسم فرضية الاستمرارية؟" (ملف PDF) . مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 10 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 فبراير 2006 .
  24. ↑ وولتشوفر، ناتالي (15 يوليو 2021). "كم عدد الأعداد الموجودة؟ برهان اللانهاية يقرب الرياضيات من الإجابة" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 ديسمبر 2021 .
  25. ↑ ريتبرغ، كولين ج. (مارس 2015). "كيف غيّر وودين رأيه: أفكار جديدة حول فرضية الاستمرارية". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 69 (2): 125-151 . doi : 10.1007/s00407-014-0142-8 . S2CID 122205863 . 
  26. ↑ فيفرمان، سولومون (2011). "هل تُعدّ فرضية الاستمرارية مسألة رياضية محددة؟" (ملف PDF) . استكشاف آفاق الاستقلال . سلسلة محاضرات جامعة هارفارد. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 10 أكتوبر 2022.
  27. ↑ كولنر، بيتر (2011). "فيرمان حول عدم تحديد CH" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 19-03-2012.
  28. ↑ هامكينز، جويل ديفيد (2012). "الكون المتعدد في نظرية المجموعات". مراجعة المنطق الرمزي . 5 (3): 416-449 . arXiv : 1108.4223 . doi : 10.1017/S1755020311000359 . S2CID 33807508 . 
  29. ↑ شيلاه، ساهارون (2003). "أحلام منطقية". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 40 (2): 203-228 . arXiv : math/0211398 . doi : 10.1090/s0273-0979-03-00981-9 . S2CID 1510438 . 
  30. ↑ جوردان، فيليب إي بي (1905). "حول الأعداد الأصلية المتسامية ذات الشكل الأسي" . المجلة الفلسفية . السلسلة 6. 9 (49): 42-56 . doi : 10.1080/14786440509463254 . 
  31. ↑ مور، غريغوري هـ. (2011). "التاريخ المبكر لفرضية الاستمرارية المعممة: 1878-1938". نشرة المنطق الرمزي . 17 (4): 489-532 . doi : 10.2178/bsl/1318855631 . MR 2896574 . 
  32. ↑ جيلمان، ليونارد (2002). "مفاجأتان كلاسيكيتان تتعلقان ببديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية" ( ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 109 (6): 544-553 . doi : 10.2307/2695444 . JSTOR 2695444. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 10-10-2022. 
  33. ↑ ميريموفيتش، كارمي (2007). "دالة أسية ذات فجوة محدودة ثابتة في كل مكان". مجلة المنطق الرمزي . 72 (2): 361-417 . arXiv : math/0005179 . doi : 10.2178 / jsl/1185803615 . MR 2320282. S2CID 15577499 .  
  34. ^ باتاي، ل. (1930). "Unter suchungen über die à-reihe". Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn (في المانيا). 37 : 127 – 142.
  35. ^ هايدن ، سيمور. كينيسون، جون ف. (1968). نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل . كولومبوس، أوهايو: تشارلز إي ميريل. ص. 147، التمرين 76.  
  • مادي، بينيلوبي (يونيو 1988). "الإيمان بالمسلمات، [الجزء  الأول]". مجلة المنطق الرمزي . 53 (2). رابطة المنطق الرمزي: 481-511 . doi : 10.2307/2274520 . JSTOR 2274520 . 

مصادر

  • تتضمن هذه المقالة موادًا من فرضية الاستمرارية المعممة على موقع PlanetMath ، المرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي - النسبة للمؤلف - الترخيص بالمثل . مؤرشفة بتاريخ 8 فبراير 2017 على موقع Wayback Machine.

للمزيد من القراءة

  • كوهين، بول جوزيف (2008) [1966]. نظرية المجموعات وفرضية الاستمرارية . مينولا، مدينة نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46921-8.
  • ديلز، إتش جي؛ وودين، دبليو إتش (1987). مقدمة في الاستقلالية للمحللين . كامبريدج.
  • إندرتون، هربرت (1977). عناصر نظرية المجموعات . دار النشر الأكاديمية.
  • غودل، ك.: ما هي مشكلة كانتور المتصلة؟، أعيد طبعه في مجموعة بيناسيراف وبوتنام فلسفة الرياضيات ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة كامبريدج، 1983. ملخص لحجج غودل ضد CH.
  • مارتن، د. (1976). "مشكلة هيلبرت الأولى: فرضية الاستمرارية"، في التطورات الرياضية الناشئة عن مشاكل هيلبرت، وقائع ندوات في الرياضيات البحتة XXVIII، تحرير ف. براودر. الجمعية الرياضية الأمريكية، 1976، ص  81-92. ISBN 0-8218-1428-1
  • ماكغوف، نانسي. "فرضية الاستمرارية" .
  • وولتشوفر، ناتالي (15 يوليو 2021). "كم عدد الأرقام الموجودة؟ برهان اللانهاية يقرب الرياضيات من الإجابة" .

اقتباسات متعلقة بفرضية الاستمرارية على موقع ويكي الاقتباسات