التكامل غير المحدد

في التحليل الرياضي ، يُعد التكامل غير المحدود امتدادًا لمفهوم التكامل المحدد ليشمل الحالات التي تخالف الافتراضات المعتادة لهذا النوع من التكامل. ^{[ 1 ]} في سياق تكاملات ريمان (أو ما يكافئها، تكاملات داربو )، ينطوي هذا عادةً على عدم محدودية، سواءً للمجموعة التي يُجرى عليها التكامل أو للدالة المراد تكاملها، أو كليهما. وقد يشمل أيضًا مجموعات محدودة ولكنها غير مغلقة، أو دوال محدودة ولكنها غير متصلة . على الرغم من أن التكامل غير المحدود يُكتب عادةً بشكل رمزي تمامًا مثل التكامل المحدد القياسي، إلا أنه في الواقع يُمثل نهاية تكامل محدد أو مجموع نهايات من هذا النوع؛ ولذلك يُقال إن التكاملات غير المحدودة تتقارب أو تتباعد. ^{[ 2 ] [ 1 ]} إذا تم حساب التكامل المحدد المنتظم (والذي قد يُسمى مجازًا التكامل المحدود ) كما لو كان تكاملًا غير محدود، فستكون النتيجة نفسها.

في أبسط حالة لدالة حقيقية القيمة لمتغير واحد يتم تكاملها بمعنى ريمان (أو داربو) على فترة واحدة، قد تكون التكاملات غير المحددة بأي من الأشكال التالية:

1. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$
2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
3. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$
4. ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$، أين${\displaystyle f(x)}$غير محدد أو غير متصل في مكان ما على${\displaystyle [a,b]}$

الأشكال الثلاثة الأولى غير صحيحة لأن التكاملات تُجرى على فترة غير محدودة. (قد تكون غير صحيحة لأسباب أخرى أيضًا، كما هو موضح أدناه). يُوصف هذا النوع من التكامل أحيانًا بأنه من النوع "الأول" إذا كانت الدالة المراد تكاملها تستوفي شروط التكامل. ^{[ 2 ]} أما التكاملات في الشكل الرابع فهي غير صحيحة لأن${\displaystyle f(x)}$يوجد خط تقارب رأسي في مكان ما على الفترة${\displaystyle [a,b]}$يمكن وصفها بأنها من النوع "الثاني". ^{[ 2 ]} أما التكاملات التي تجمع بين جوانب كلا النوعين، فتوصف أحيانًا بأنها من النوع "الثالث". ^{[ 2 ]}

في كل حالة مما سبق، يجب إعادة كتابة التكامل غير المحدود باستخدام حد واحد أو أكثر، وذلك حسب سبب عدم محدودية التكامل. على سبيل المثال، في الحالة 1، إذا${\displaystyle f(x)}$متصلة على كامل الفترة${\displaystyle [a,\infty )}$، ثم

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

يُعتبر الحد الموجود على اليمين هو تعريف الترميز التكاملي الموجود على اليسار.

لو${\displaystyle f(x)}$مستمر فقط على${\displaystyle (a,\infty )}$وليس في${\displaystyle a}$ثم عادةً ما يُعاد كتابة هذا على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

لأي اختيار من${\displaystyle c>a}$هنا، يجب أن تتقارب كلتا النهايتين إلى قيمة محدودة حتى يُقال إن التكامل غير المحدود متقارب. هذا الشرط يتجنب الحالة الغامضة المتمثلة في جمع اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة (أي، "${\displaystyle \infty -\infty }$" شكل غير محدد "). بدلاً من ذلك، يمكن استخدام حد متكرر أو حد واحد يعتمد على القيمة الرئيسية لكوشي .

لو${\displaystyle f(x)}$مستمر على${\displaystyle [a,d)}$و${\displaystyle (d,\infty )}$، مع وجود انقطاع من أي نوع عند${\displaystyle d}$، ثم

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

لأي اختيار من${\displaystyle c>d}$تنطبق الملاحظات السابقة حول الأشكال غير المحددة، والنهايات المتكررة، والقيمة الرئيسية لكوشي هنا أيضًا.

الوظيفة${\displaystyle f(x)}$يمكن أن تحتوي على المزيد من الانقطاعات، وفي هذه الحالة ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود (أو تعبير أكثر تعقيدًا عن القيمة الرئيسية).

تُعالج الحالات من 2 إلى 4 بطريقة مماثلة. انظر الأمثلة أدناه.

يمكن أيضًا حساب التكاملات غير المحددة في سياق الأعداد المركبة، وفي أبعاد أعلى، وفي أطر نظرية أخرى مثل تكامل ليبيغ أو تكامل هينستوك-كورزويل . التكاملات التي تُعتبر غير محددة في إطار ما قد لا تُعتبر كذلك في أطر أخرى.

لا ينطبق التعريف الأصلي لتكامل ريمان على دالة مثل${\displaystyle 1/{x^{2}}}$على الفترة [ 1, ∞) ، لأن مجال التكامل في هذه الحالة غير محدود . ومع ذلك، يمكن غالبًا توسيع تكامل ريمان بالاستمرارية ، وذلك بتعريف التكامل غير المحدود كنهاية .

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

كما أن التعريف الضيق لتكامل ريمان لا يشمل الدالة${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$على الفترة [ 0، 1 ] . تكمن المشكلة هنا في أن الدالة المراد تكاملها غير محدودة في مجال التكامل. بعبارة أخرى، يتطلب تعريف تكامل ريمان أن يكون كل من مجال التكامل والدالة المراد تكاملها محدودين . ومع ذلك، يوجد التكامل غير المحدود إذا فُهم على أنه النهاية.

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

قد تحتوي التكاملات أحيانًا على نقطتي تفرد تجعلها غير صحيحة. لنأخذ على سبيل المثال الدالة 1/(( x + 1) √x ) عند تكاملها من 0 إلى ∞ (كما هو موضح على اليمين). عند الحد الأدنى لمجال التكامل، عندما تقترب x من 0 ، تقترب الدالة من ∞ ، والحد الأعلى هو نفسه ∞ ، على الرغم من أن الدالة تقترب من 0. لذا، يُعد هذا تكاملًا غير صحيح مزدوجًا. عند التكامل، على سبيل المثال، من 1 إلى 3، يكفي استخدام مجموع ريمان العادي للحصول على نتيجة π /6. للتكامل من 1 إلى ∞ ، لا يمكن استخدام مجموع ريمان. مع ذلك، فإن أي حد أعلى محدود، ولنقل t (حيث t > 1 )، يُعطي نتيجة محددة جيدًا، وهي 2 arctan( √t ) − π/2 . لهذه النتيجة حد نهائي عندما تقترب t من اللانهاية، وهو π /2. وبالمثل، يسمح التكامل من 1/3 إلى 1 بمجموع ريمان أيضًا، مما ينتج عنه مصادفةً π /6. استبدال 1/3 بقيمة موجبة اختيارية s (حيث s < 1 ) آمنٌ بنفس القدر، مما يعطي π/2 − 2 arctan( √s) . هذا أيضًا له حدٌّ نهائي عندما تؤول s إلى الصفر، وهو π /2. بدمج نهايتي الجزأين، تكون نتيجة هذا التكامل غير المحدود هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$

لا تضمن هذه العملية النجاح؛ فقد لا توجد نهاية، أو قد تكون لانهائية. على سبيل المثال، لا يتقارب تكامل 1/ x على الفترة المحدودة من 0 إلى 1؛ ولا يتقارب تكامل 1/ √x على الفترة غير المحدودة من 1 إلى ∞ .

قد يحدث أيضًا أن تكون الدالة المراد تكاملها غير محدودة بالقرب من نقطة داخلية، وفي هذه الحالة يجب تقسيم التكامل عند تلك النقطة. ولكي يتقارب التكامل ككل، يجب أن توجد تكاملات حدية على كلا الجانبين وأن تكون محدودة. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{-s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$

لكن التكامل المماثل

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

لا يمكن إسناد قيمة لها بهذه الطريقة، لأن التكاملات فوق وتحت الصفر في مجال التكامل لا تتقارب بشكل مستقل. (مع ذلك، انظر القيمة الرئيسية لكوشي ).

يتقارب التكامل غير المحدود إذا كانت النهاية التي تحدده موجودة. وهكذا، على سبيل المثال، نقول إن التكامل غير المحدود

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$

توجد وتساوي L إذا كانت التكاملات تحت النهاية موجودة لجميع قيم t الكبيرة بما فيه الكفاية ، وقيمة النهاية تساوي L.

من الممكن أيضًا أن يتباعد التكامل غير المحدود إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، يمكن إسناد قيمة ∞ (أو −∞) للتكامل. على سبيل المثال

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$

مع ذلك، قد تتباعد التكاملات غير الصحيحة الأخرى ببساطة في أي اتجاه غير محدد، مثل

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

وهو غير موجود، حتى كعدد حقيقي موسع . وهذا ما يسمى بالتباعد بالتذبذب.

من عيوب أسلوب التكامل غير المحدود أنه يجب حساب النهاية بالنسبة لنقطة نهاية واحدة في كل مرة. فعلى سبيل المثال، يكون التكامل غير المحدود على الصورة التالية:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

يمكن تعريفها بأخذ حدين منفصلين؛ إلى أيهما

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

بشرط أن تكون النهاية المزدوجة محدودة. ويمكن تعريفها أيضاً على أنها زوج من التكاملات المعتلة المختلفة من النوع الأول:

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

حيث c هي أي نقطة مناسبة لبدء التكامل. وينطبق هذا التعريف أيضاً عندما يكون أحد هذين التكاملين لانهائياً، أو كليهما إذا كان لهما نفس الإشارة.

من الأمثلة على التكامل غير المحدود حيث تكون كلتا نقطتي النهاية لانهائيتين هو التكامل الغاوسي${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$مثال على قيمة تساوي اللانهاية هو${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$لكن لا يمكن حتى تعريف التكاملات الأخرى من هذا النوع بشكل لا لبس فيه، مثل${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$بما أن النهاية المزدوجة لا نهائية ، فإن طريقة التكامل الثنائي

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$

ينتج عنه شكل غير محدد ،${\displaystyle \infty -\infty }$في هذه الحالة ، يمكن تعريف التكامل غير المحدود بمعنى القيمة الرئيسية لكوشي :

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$

الأسئلة التي يجب معالجتها لتحديد التكامل غير المحدود هي:

• هل يوجد حد؟
• هل يمكن حساب الحد؟

السؤال الأول يتعلق بالتحليل الرياضي . أما السؤال الثاني فيمكن معالجته باستخدام تقنيات التفاضل والتكامل، ولكن في بعض الحالات أيضاً باستخدام التكامل الكفافي ، وتحويلات فورييه ، وغيرها من الطرق الأكثر تقدماً.

توجد أكثر من نظرية للتكامل . من وجهة نظر حساب التفاضل والتكامل، تُعتبر نظرية ريمان التكاملية عادةً النظرية الافتراضية. عند استخدام التكاملات المعتلة، قد يكون لنظرية التكامل المستخدمة أهمية.

• بالنسبة لتكامل ريمان (أو تكامل داربو ، وهو مكافئ له)، فإن التكامل غير الصحيح ضروري لكل من الفترات غير المحدودة (لأنه لا يمكن تقسيم الفترة إلى عدد محدود من الفترات الفرعية ذات الطول المحدود) وللدوال غير المحدودة ذات التكامل المحدود (لأنه، بافتراض أنها غير محدودة من الأعلى، فإن التكامل العلوي سيكون لانهائيًا، لكن التكامل السفلي سيكون محدودًا).
• يتعامل تكامل لوبيغ بشكل مختلف مع المجالات غير المحدودة والدوال غير المحدودة، بحيث أن التكامل الذي يوجد فقط كتكامل ريمان غير صحيح غالبًا ما يوجد كتكامل لوبيغ (صحيح)، مثل${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$من ناحية أخرى، توجد أيضاً تكاملات لها تكامل ريمان غير صحيح ولكنها لا تملك تكامل ليبيغ (صحيح)، مثل${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$لا تعتبر نظرية لوبيغ هذا الأمر نقصاً: من وجهة نظر نظرية القياس ،${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$ولا يمكن تعريفها تعريفًا مُرضيًا. مع ذلك، في بعض الحالات، قد يكون من المُلائم استخدام تكاملات ليبيغ غير المُناسبة، كما هو الحال، على سبيل المثال، عند تعريف القيمة الرئيسية لكوشي . يُعد تكامل ليبيغ أساسيًا إلى حدٍ ما في المعالجة النظرية لتحويل فورييه ، مع استخدام واسع النطاق للتكاملات على كامل خط الأعداد الحقيقية.
• بالنسبة لتكامل هينستوك-كورزويل ، فإن التكامل غير الصحيح ليس ضرورياً ، وهذا يعتبر نقطة قوة في النظرية: فهو يشمل جميع الدوال القابلة للتكامل وفقًا لـ Lebesgue والدوال القابلة للتكامل غير الصحيح وفقًا لـ Riemann.

في بعض الحالات، التكامل

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$

يمكن تعريفها على أنها تكامل ( تكامل ليبيغ ، على سبيل المثال) دون الرجوع إلى النهاية

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

لكن لا يمكن حسابها بسهولة بطريقة أخرى. يحدث هذا غالبًا عندما يكون للدالة f المراد تكاملها من a إلى c خط تقارب رأسي عند c ، أو إذا كانت c  =  ∞ (انظر الشكلين 1 و2). في مثل هذه الحالات، يسمح تكامل ريمان غير المحدد بحساب تكامل ليبيغ للدالة. تحديدًا، تنطبق النظرية التالية ( أبوستول 1974 ، النظرية 10.33) :

• إذا كانت الدالة f قابلة للتكامل وفقًا لريمان على الفترة [ a , b ] لكل b  ≥ a ، فإن التكاملات الجزئية 

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

إذا كانت محدودة عندما b → ∞، فإن تكاملات ريمان غير الصحيحة   

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$

كلاهما موجود. علاوة على ذلك، فإن الدالة f قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ على الفترة [ a , ∞)، وتكاملها وفقًا لمقياس ليبيغ يساوي تكاملها غير الصحيح وفقًا لمقياس ريمان.

على سبيل المثال، التكامل

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

ويمكن تفسيرها بشكل بديل على أنها التكامل غير المحدود

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

أو يمكن تفسيرها بدلاً من ذلك على أنها تكامل ليبيغ على المجموعة (0، ∞). وبما أن كلا النوعين من التكاملات متوافقان، فإنه يمكن اختيار الطريقة الأولى لحساب قيمة التكامل، حتى لو رغب المرء في النهاية في اعتباره تكامل ليبيغ. وبالتالي، فإن التكاملات غير المحددة أدوات مفيدة بوضوح للحصول على القيم الفعلية للتكاملات.

في حالات أخرى، قد لا يكون تكامل لوبيغ بين نقطتين نهائيتين مُعرّفًا، لأن تكاملي الجزأين الموجب والسالب للدالة f كلاهما لانهائي، لكن تكامل ريمان غير المحدود قد يظل موجودًا. تُسمى هذه الحالات بالتكاملات "غير المحدودة حقًا"، أي لا يمكن تعريف قيمها إلا كحدود. على سبيل المثال،

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

لا يمكن تفسيرها على أنها تكامل ليبيغ، لأن

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

لكن${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ومع ذلك، فهي قابلة للتكامل بين أي نقطتي نهاية محدودتين، وعادة ما يُفهم تكاملها بين 0 و ∞ على أنه النهاية:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

يمكن للمرء أن يتحدث عن نقاط التفرد في التكامل غير الصحيح، أي تلك النقاط على خط الأعداد الحقيقية الممتد التي تُستخدم عندها النهايات.

ضع في اعتبارك الفرق في قيمتي النهايتين:

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$

الأول هو القيمة الرئيسية لكوشي للتعبير غير المحدد بشكل جيد.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

وبالمثل، لدينا

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$

لكن

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

الأول هو القيمة الرئيسية للتعبير غير المحدد بشكل جيد.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

جميع الحدود المذكورة أعلاه هي حالات من الشكل غير المحدد${\displaystyle \infty -\infty }$.

لا تؤثر هذه الأمراض على الدوال "القابلة للتكامل وفقًا لـ Lebesgue"، أي الدوال التي تكون تكاملاتها ذات قيم مطلقة محدودة.

قد يتباعد التكامل المعتل بمعنى أن النهاية التي تحدده قد لا تكون موجودة. في هذه الحالة، توجد تعريفات أكثر دقة للنهاية يمكنها أن تُنتج قيمة متقاربة للتكامل المعتل. تُسمى هذه التعريفات بطرق الجمع .

إحدى طرق الجمع، الشائعة في تحليل فورييه ، هي طريقة جمع سيزارو . التكامل

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

هو سيزارو قابل للجمع (C،  α) إذا

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$

موجودة ومحدودة ( تيتشمارش 1948 ، §1.15) . قيمة هذه النهاية، إن وجدت، هي  مجموع التكامل (C، α).

يكون التكامل  قابلاً للجمع (C, 0) تحديدًا عندما يكون موجودًا كتكامل غير محدود. ومع ذلك، توجد تكاملات  قابلة للجمع (C, α) لـ α  >  0، لكنها لا تتقارب كتكاملات غير محدودة (بمعنى ريمان أو ليبيغ). أحد الأمثلة على ذلك هو التكامل

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$

والتي تفشل في الوجود كتكامل غير صحيح، ولكنها قابلة للجمع (C، α ) لكل α  >  0. هذه نسخة تكاملية من متسلسلة جراندي .

يمكن تعريف التكامل المعتل أيضًا لدوال ذات عدة متغيرات. ويختلف التعريف قليلاً، اعتمادًا على ما إذا كان التكامل مطلوبًا على مجال غير محدود، مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو تكامل دالة ذات نقاط تفرد، مثل${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$.

• أبوستول، ت. (1974)، التحليل الرياضي ، أديسون-ويسلي، رقم ISBN 978-0-201-00288-1.
• أبوستول، ت. (1967)، حساب التفاضل والتكامل، المجلد 1 (  الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده.
• أوتار كاو، إيغوو كالو (2008)، الطرق العددية مع التطبيقات (  الطبعة الأولى)، autarkaw.com
• تيتشمارش، إي (1948)، مقدمة في نظرية تكاملات فورييه (الطبعة الثانية  )، نيويورك، نيويورك: شركة تشيلسي للنشر (نُشرت عام 1986)، رقم ISBN 978-0-8284-0324-5{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• كوبر، جيفري (2005)، تحليل العمل ، جلف بروفيشنال
• غورباد، سودير؛ ليماي، بالموهان (2010)، دورة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والتحليل ، سبرينغر

• الأساليب العددية لحل التكاملات غير المحددة في معهد الأساليب العددية الشاملة