فضاء متجانس

في الرياضيات ، يُعرَّف الفضاء المتجانس ، بشكل غير رسمي، بأنه فضاء يبدو متماثلاً في كل مكان عند التنقل فيه، حيث يكون هذا التنقل ناتجًا عن تأثير زمرة . تظهر الفضاءات المتجانسة في نظريات زمر لي ، والزمر الجبرية ، والزمر الطوبولوجية . وبشكل أدق، فإن الفضاء المتجانس لزمرة G هو فضاء طوبولوجي غير فارغ X تؤثر عليه G بشكل متعدٍّ . تُسمى عناصر G بتناظرات X.

تُعدّ حالة خاصة من هذا الأمر عندما تكون المجموعة G المعنية هي مجموعة التشاكل الذاتي للفضاء X - حيث يمكن أن تعني "مجموعة التشاكل الذاتي" مجموعة التماثل ، أو مجموعة التشاكل التفاضلي ، أو مجموعة التشاكل الموضعي . في هذه الحالة، يكون X متجانسًا إذا بدا X بديهيًا متطابقًا محليًا عند كل نقطة، سواء بمعنى التماثل (الهندسة الصلبة)، أو التشاكل التفاضلي ( الهندسة التفاضلية )، أو التشاكل الموضعي ( الطوبولوجيا ).

يصر بعض المؤلفين على أن يكون تأثير المجموعة G أمينًا (أي أن العناصر غير المطابقة تتصرف بطريقة غير تافهة)، على الرغم من أن هذه المقالة لا تتبنى هذا الرأي . وبالتالي، يوجد تأثير جماعي للمجموعة G على X يمكن اعتباره بمثابة الحفاظ على "بنية هندسية" معينة على X ، وتحويل X إلى مدار واحد للمجموعة G.

Let X be a non-empty set and G a group. Then X is called a G-space if it is equipped with an action of G on X.^[1] Note that automatically G acts by automorphisms (bijections) on the set. If X in addition belongs to some category, then the elements of G are assumed to act as automorphisms in the same category. That is, the maps on X coming from elements of G preserve the structure associated with the category (for example, if X is an object in Diff then the action is required to be by diffeomorphisms). A homogeneous space is a G-space on which G acts transitively.

If X is an object of the category C, then the structure of a G-space is a homomorphism:

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}$

into the group of automorphisms of the object X in the category C. The pair (X, ρ) defines a homogeneous space provided ρ(G) is a transitive group of symmetries of the underlying set of X.

من وجهة نظر برنامج إرلانجن ، يمكن للمرء أن يفهم أن "جميع النقاط متماثلة" في هندسة X. وقد كان هذا صحيحًا بالنسبة لجميع الهندسات المقترحة قبل الهندسة الريمانية ، في منتصف القرن التاسع عشر.

وهكذا، على سبيل المثال، تُعتبر الفضاءات الإقليدية والفضاءات الأفينية والفضاءات الإسقاطية ، بطرق طبيعية، فضاءات متجانسة بالنسبة لمجموعات التناظر الخاصة بها . وينطبق الأمر نفسه على النماذج الموجودة للهندسة غير الإقليدية ذات الانحناء الثابت ، مثل الفضاء الزائدي .

A further classical example is the space of lines in projective space of three dimensions (equivalently, the space of two-dimensional subspaces of a four-dimensional vector space). It is simple linear algebra to show that GL₄ acts transitively on those. We can parameterize them by line co-ordinates: these are the 2×2 minors of the 4×2 matrix with columns two basis vectors for the subspace. The geometry of the resulting homogeneous space is the line geometry of Julius Plücker.

In general, if X is a homogeneous space of G, and H_o is the stabilizer of some marked point o in X (a choice of origin), the points of X correspond to the left cosetsG/H_o, and the marked point o corresponds to the coset of the identity. Conversely, given a coset space G/H, it is a homogeneous space for G with a distinguished point, namely the coset of the identity. Thus a homogeneous space can be thought of as a coset space without a choice of origin.

For example, if H is the identity subgroup {e}, then X is the G-torsor, which explains why G-torsors are often described intuitively as "G with forgotten identity".

In general, a different choice of origin o will lead to a quotient of G by a different subgroup H_o′ that is related to H_o by an inner automorphism of G. Specifically,

$${\displaystyle H_{o'}=gH_{o}g^{-1}}$$

1

where g is any element of G for which go = o′. Note that the inner automorphism (1) does not depend on which such g is selected; it depends only on g modulo H_o.

إذا كان تأثير المجموعة G على X متصلاً ، وكانت X مجموعة هاوسدورف ، فإن H زمرة جزئية مغلقة من G. وبالتحديد، إذا كانت G زمرة لي ، فإن H زمرة جزئية من لي وفقًا لنظرية كارتان . وبالتالي ، فإن G / H فضاء أملس ، ومن ثم فإن X يحمل بنية ملساء فريدة متوافقة مع تأثير المجموعة.

يمكن للمرء أن يذهب أبعد من ذلك إلى فضاءات المشاركة المزدوجة ، ولا سيما أشكال كليفورد-كلاين Γ\ G / H ، حيث Γ هي مجموعة فرعية منفصلة (من G ) تعمل بشكل غير متصل بشكل صحيح .

على سبيل المثال، في حالة هندسة الخطوط، يمكننا تحديد H كمجموعة فرعية ذات 12 بُعدًا من المجموعة الخطية العامة ذات 16 بُعدًا ، GL(4)، المعرفة بشروط على عناصر المصفوفة.

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0,

من خلال البحث عن مُثبِّت الفضاء الجزئي المُمتد بواسطة أول متجهين أساسيين قياسيين. وهذا يُثبت أن بُعد X هو 4.

بما أن الإحداثيات المتجانسة التي تُعطيها المحددات الصغرى هي ستة، فهذا يعني أن هذه المحددات ليست مستقلة عن بعضها البعض. في الواقع، تربط علاقة تربيعية واحدة بين المحددات الصغرى الستة، كما كان معروفًا لعلماء الهندسة في القرن التاسع عشر.

كان هذا المثال أول مثال معروف لفضاء غراسماني ، بخلاف الفضاء الإسقاطي. وهناك العديد من الفضاءات المتجانسة الأخرى للمجموعات الخطية الكلاسيكية شائعة الاستخدام في الرياضيات.

تم تقديم فكرة الفضاء المتجهي المتجانس مسبقًا بواسطة ميكيو ساتو .

هو فضاء متجهي محدود الأبعاد V ذو تأثير زمرة جبرية G ، بحيث يوجد مدار لـ G مفتوح لطوبولوجيا زاريسكي (وبالتالي كثيف). مثال على ذلك هو GL(1) المؤثر على فضاء أحادي البعد.

إن التعريف أكثر تقييدًا مما يبدو عليه في البداية: تتمتع هذه الفضاءات بخصائص رائعة، وهناك تصنيف للفضاءات المتجهة غير القابلة للاختزال والمتجانسة مسبقًا، وصولاً إلى تحويل يُعرف باسم "التقليب".

بفرض وجود زمرة بوانكاريه G وزمرتها الجزئية زمرة لورنتز H ، فإن فضاء المشاركات G / H هو فضاء مينكوفسكي . ^{[ 3 ]} إلى جانب فضاء دي سيتر وفضاء دي سيتر المضاد ، تُعدّ هذه الفضاءات الزمكانية اللورنتزية ذات التناظر الأقصى . توجد أيضًا فضاءات متجانسة ذات أهمية في الفيزياء غير لورنتزية، مثل فضاءات غاليليو وكارول وأرسطو. ^{[ 2 ]}

تستخدم علم الكونيات الفيزيائي، الذي يعتمد على النظرية النسبية العامة، نظام تصنيف بيانكي . تمثل الفضاءات المتجانسة في النسبية الجزء المكاني من المقاييس الخلفية لبعض النماذج الكونية ؛ فعلى سبيل المثال، يمكن تمثيل الحالات الثلاث لمقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر بمجموعات فرعية من أنواع بيانكي الأول (المسطح)، والخامس (المفتوح)، والسابع (المسطح أو المفتوح)، والتاسع (المغلق)، بينما يمثل كون ميكسماستر مثالًا غير متناحٍ لعلم الكونيات من نوع بيانكي التاسع. ^{[ 4 ]}

يقبل الفضاء المتجانس ذو الأبعاد N مجموعة من متجهات كيلينغ لا تقل عن N وتصل إلى 1/2 N ( N + 1) . ^{[ 5 ] بالنسبة لثلاثة أبعاد، يعطي هذا ما يصل إلى ستة حقول متجهات كيلينغ مستقلة خطيًا؛} تتميز الفضاءات المتجانسة ثلاثية الأبعاد بخاصية أنه يمكن استخدام التراكيب الخطية لهذه الحقول لإيجاد ثلاثة حقول متجهات كيلينغ غير معدومة في كل مكان ξ ^{( a )} _i .

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

حيث تُشكّل الثوابت البنيوية C  abc موترًا ثابتًا من الرتبة الثالثة ، متناظرًا عكسيًا في مؤشريه السفليين (على الجانب الأيسر، تشير الأقواس إلى التناظر العكسي، و";" تُمثّل المؤثر التفاضلي المتغير ). في حالة الكون المسطح المتجانس ، يكون أحد الاحتمالات هو C abc  = 0 (النوع الأول)، ولكن في حالة كون FLRW المغلق، يكون C  abc  = ε  abc  ، حيث ε  abc  هو رمز ليفي-سيفيتا .

• برنامج إرلانجن
• هندسة كلاين
• الكومة (الرياضيات)
• صنف متجانس