الخط المركب

يُظهر نفس التركيب أن مساحة الخطوط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم رفعه إلى${\displaystyle G(2,n+1)}$ثم تم تضمينها كنوع فرعي من${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$. منذ${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$لديه${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)-1}$الأبعاد، و${\displaystyle G(2,n+1)}$لديه${\displaystyle 2(n-2)}$الأبعاد، ينبغي أن يكون من الممكن كتابتها على أنها تقاطع${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)}$الأسطح الفائقة. ومع ذلك،${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$هو تقاطع${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)}$المعادلات:$${\displaystyle Q_{ijkl}:=p_{ij}p_{kl}-p_{ik}p_{jl}+p_{il}p_{jk}=0\quad (1\leq i<j<k<l\leq n)}$$وبالتالي، يجب أن تكون هذه المعادلات معتمدة على بعضها البعض عندما${\displaystyle n\geq 5}$يُطلق على هذا اسم sygyzy .

على سبيل المثال، عندما${\displaystyle n=5}$، المساحة${\displaystyle G(2,5)}$هو فضاء فرعي ذو بُعد مشترك 3 من${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$يُعرَّف بأنه تقاطع 5 معادلات، لذا يوجد تكراران، ويمكن توضيح ذلك من خلال معادلة المصفوفة:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&p_{12}&p_{13}&p_{14}&p_{15}\\-p_{12}&0&p_{23}&p_{24}&p_{25}\\-p_{13}&-p_{23}&0&p_{34}&p_{35}\\-p_{14}&-p_{24}&-p_{34}&0&p_{45}\\-p_{15}&-p_{25}&-p_{35}&-p_{45}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\Q_{3}\\Q_{4}\\Q_{5}\end{pmatrix}}=0,\quad \begin{aligned}Q_{1}&=p_{23}p_{45}-p_{24}p_{35}+p_{25}p_{34}\\Q_{2}&=p_{13}p_{45}-p_{14}p_{35}+p_{15}p_{34}\\Q_{3}&=p_{12}p_{45}-p_{14}p_{25}+p_{15}p_{24}\\Q_{4}&=p_{12}p_{35}-p_{13}p_{25}+p_{15}p_{23}\\Q_{5}&=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}.\end{aligned}}}$$في الفضاء الفرعي لـ${\displaystyle \mathbb {A} ^{9}\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$أين${\displaystyle p_{12}=1}$الاقتران الخطي$${\displaystyle Q_{1}=p_{23}Q_{3}+p_{24}Q_{4}+p_{25}Q_{5},\quad Q_{2}=-p_{13}Q_{3}-p_{14}Q_{4}-p_{15}Q_{5}}$$أظهر أنه إذا${\displaystyle Q_{3},Q_{4},Q_{5}=0}$ثم يتحقق الشرطان الآخران تلقائيًا. وهذا هو التكرار.

سطح مُسطّر في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$هو منحنى في سطح كلاين الرباعي${\displaystyle G(2,4)\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$السطح المسطر هو مركب خطي عندما يكون تقاطع 3 مركبات خطية، كل منها مُعرَّف بواسطة متعدد حدود متجانس واحد على${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$.

بشكل عام، السطح المسطر هو مجموعة من الخطوط ذات مُعامل واحد. أما تطابق الخطوط فهو مجموعة ذات مُعاملين. ومن الأمثلة المحددة على ذلك مجموعة الخطوط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$متعامد مع سطح معين. تُظهر نظرية مالوس-دوبين أن البصريات الهندسية تحافظ على التطابقات المتعامدة.

أي تحويل خطي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يحفز تحولًا في${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1}}$الذي يحافظ${\displaystyle G(2,n+1)}$إذا حافظ التحويل أيضًا على${\displaystyle \omega }$إذن، فهو تحويل تماثلي . وبروح برنامج إرلانجن، يدرس علم الهندسة التماثلية ثوابت التحويلات التماثلية.

تُشكل التحويلات التبسيطية مجموعة تُسمى المجموعة التبسيطية . وتؤثر هذه المجموعة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، مما يؤدي إلى تقسيمه إلى مدارين: مدار للمتجهات غير الصفرية، ومدار آخر للمتجهات الصفرية. وهو يؤثر على${\displaystyle G(2,n+1)}$وكذلك، تقسيمها إلى مدارين: مدار للمستويات المتناحية، ومدار آخر للمستويات التبسيطية. وبشكل أعم، أي تحويل إسقاطي على${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{n})}$الذي يحافظ على مُركب الخط الخطي المُحدد بواسطة${\displaystyle \omega }$هو تحويل سيمبليكتيكي. ولهذا السبب كان لي يشير دائمًا إلى المجموعة السيمبليكتية على أنها "المجموعة الإسقاطية لمركب خطي". ^{[ 1 ]}

نموذج 2${\displaystyle \sigma }$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$يمكن أن يكون غير منحل أو منحل. الشكل التبسيطي غير منحل.

في الحالة المنحطة، تكون نواتها عبارة عن فضاء فرعي خطي غير تافه ذي أبعاد زوجية:${\displaystyle \ker \sigma$ :=\{v\in \mathbb {R} ^{n+1}|\sigma (v,\cdot )=0\}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} ، والتي تُسقط على سطح مستوٍ فردي الأبعاد في${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{n+1})}$.

شكل منحني متدهور ولكنه غير صفري من الدرجة الثانية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$يحتوي على نواة ثنائية الأبعاد، والتي تُسقط إلى خط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$أطلق بلوكر على مُركب الخط الخطي اسم مُركب الخط المُعرَّف بواسطة مُنحط${\displaystyle \sigma }$خاص ، و${\displaystyle \ker \sigma }$محورها .​

عرّف الشكل الثنائي الخطي${\displaystyle B(p,q):=\sum _{i<j}p_{ij}q_{ij}}$على${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}}$مركبان خطيان معرفان بواسطة فضاءين فرعيين خطيين${\displaystyle V,W\subset \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}}$تكون في حالة انقلاب ، أو في قطبية كلاين ، إذا${\displaystyle V,W}$هي مكملات متعامدة بالنسبة إلى${\displaystyle B}$.

عبر نقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$القلم المستوي هو مجموعة جميع الخطوط المارة بهذه النقطة ضمن مستوى ثنائي الأبعاد. وهو مُضمّن في خط مستقيم في${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$.

وبشكل أعم، فإن مجموعة جميع الخطوط التي تمر بهذه النقطة داخل مستوى k- مسطح تكون مضمنة في مستوى (k-1)- مسطح في${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$.

بافتراض شقة من طابقين${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$، يتم ترقيم مجموعة جميع الخطوط فيها بواسطة أقلام كل نقطة في الخط. وهي مضمنة في مستوى ثنائي الأبعاد في${\displaystyle p(F)\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$يمكن اعتبار هذا بمثابة حزمة مستوية لنقطة في اللانهاية . وبالمثل، لكل${\displaystyle p(l)\in p(F)}$يوجد قلم رصاص مستوٍ من الخطوط في${\displaystyle p(F)}$كل سطر في قلم الرصاص${\displaystyle p(l)}$يتوافق مع قلم رصاص في نقطة في${\displaystyle l\subset F}$.

وبشكل أعم، فإن مجموعة جميع الخطوط داخل مستوى k- مسطح مضمنة في مستوى (2k-2) -مسطح في${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$.

بشكل عام، فإن مجموعة جميع الخطوط التي تحقق عددًا من القيود الخطية هي مجموعة خطوط خطية معقدة.

في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تشمل القيود الخطية ما يلي: المرور بنقطة، والتقاطع مع خط، والتوازي مع مستوى. مجموعة جميع الخطوط التي تتقاطع مع خطين وتكون موازية لمستوى (في الوضع العام ) هي سطح مُسطَّر مزدوجًا مُعرَّف بتقاطع ثلاثة مُركَّبات خطية. بشكل عام، مجموعة جميع الخطوط التي تُحقق ثلاثة قيود خطية هي سطح مُنتظم مُعرَّف بتقاطع ثلاثة مُركَّبات خطية.

تتوفر أمثلة أكثر غرابة. على سبيل المثال، عائلة خطوط ليجندريان المذكورة آنفًا والمحددة بواسطة${\displaystyle p_{12}+p_{34}=0}$هو عبارة عن مجموعة خطوط خطية، والتي يمكن تفسيرها على أنها قيد خطي لـ${\displaystyle dz-xdy+ydx}$.

في الحالة الخاصة التي يتحول فيها السطحان التربيعيان إلى أربعة مستويات، فإن الخطوط التي تتقاطع مع هذه المستويات الأربعة في أربع نقاط، والتي تساوي نسبة تقاطعها عددًا ثابتًا، تُشكل مُركبًا خطيًا تربيعيًا. هذا مُركب رباعي الأوجه ، وهو حالة خاصة من المُركب التوافقي.

نظرية فون ستودت : إعطاء خط${\displaystyle l}$في وضع عام مع رباعي الأوجه ذي رؤوس${\displaystyle ABCD}$ووجوههم الخاصة${\displaystyle abcd}$، النسبة التبادلية للمستويات الأربعة${\displaystyle [lA,lB,lC,lD]}$يساوي النسبة التبادلية للنقاط الأربع${\displaystyle [l\cap a,l\cap b,l\cap c,l\cap d]}$.

بالنسبة لأي مركب تربيعي ومركب خطي في الوضع العام، فإن تقاطعهما موجود في مركب رباعي الأوجه.

بشكل عام، يكون للمركب الخطي التربيعي المحدد بمعادلة تربيعية واحدة ثلاثة أبعاد، لذا يمر عبر كل نقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يوجد خط أحادي البعد كامل يرسم مخروطًا تربيعيًا. ويمكن إنشاء هذا المخروط بتقاطع القيد التربيعي مع القيد الخطي المتمثل في "المرور إلى نقطة".

مع ذلك، توجد مجموعة ثنائية الأبعاد من النقاط حيث ينهار هذا. تحديدًا، عند هذه النقاط، يتحول المخروط التربيعي إلى مستويين مسطحين. هذه النقاط هي النقاط الشاذة لمركب الخط التربيعي. مجموعة هذه النقاط هي سطحه الشاذ . السطح الشاذ هو سطح كومر . وهو سطح من الدرجة الرابعة . يتقاطع كل خط مع السطح في 4 نقاط، ويمر عبر كل خط 4 مستويات مماسية للسطح. يحتوي السطح على 16 نقطة شاذة ("عقدة") و16 مستوى شاذًا ("مستوي")، وهو الحد الأقصى الممكن لسطح من الدرجة الرابعة. توجد 6 عقد تقع في كل مستوى من المستويات الستة عشر، و6 مستويات تمر عبر كل عقدة من العقد الستة عشر.

وبالمثل، كل طائرة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يتقاطع مع مُركّب خطوط تربيعية أحادي البُعد. عمومًا، تُشكّل هذه الخطوط قطعًا مخروطيًا كغلاف لها . مع ذلك، توجد مجموعة من المستويات ثنائية الأبعاد حيث لا ينطبق هذا. تُسمى هذه المستويات بالمستويات الشاذة . غلاف هذه المستويات هو السطح الشاذ نفسه.

توجد عائلة أحادية البعد من عدد لا نهائي من المركبات التربيعية التي لها نفس السطح المفرد. وتسمى هذه المركبات بالمركبات المتفردة المشتركة .