رجل محلي محدود

في الرياضيات ، تكون الدالة محدودة محليًا إذا كانت محدودة حول كل نقطة. وتكون مجموعة من الدوال محدودة محليًا إذا كانت جميع الدوال محدودة حول أي نقطة في مجال تعريفها وبنفس العدد.

دالة ذات قيم حقيقية أو ذات قيم مركبة${\displaystyle f}$معرفة على فضاء طوبولوجي ما${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمدالة محدودة محليًا إذا كان لأي${\displaystyle x_{0}\in X}$يوجد حي${\displaystyle A}$ل${\displaystyle x_{0}}$بحيث${\displaystyle f(A)}$هي مجموعة محدودة . أي، بالنسبة لعدد ما${\displaystyle M>0}$يمتلك المرء $${\displaystyle |f(x)|\leq M\quad {\text{ لجميع }}x\in A.}$$

بمعنى آخر، لكل${\displaystyle x}$يمكن إيجاد ثابت، اعتمادًا على${\displaystyle x,}$وهي أكبر من جميع قيم الدالة في جوار${\displaystyle x.}$قارن هذا بدالة محدودة ، والتي لا يعتمد ثابتها على${\displaystyle x.}$من الواضح أنه إذا كانت الدالة محدودة، فإنها تكون محدودة محلياً. والعكس ليس صحيحاً بشكل عام (انظر أدناه).

يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الحالة التي${\displaystyle f:X\to Y}$تأخذ قيمًا في فضاء متري معين${\displaystyle (Y,d).}$ثم يجب استبدال المتباينة أعلاه بـ $${\displaystyle d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ لجميع }}x\in A,}$$ أين${\displaystyle y\in Y}$هي نقطة ما في الفضاء المتري. اختيار${\displaystyle y}$لا يؤثر ذلك على التعريف؛ اختيار تعريف مختلف${\displaystyle y}$سيؤدي ذلك على الأكثر إلى زيادة الثابت${\displaystyle r}$والتي تكون هذه المتباينة صحيحة بالنسبة لها.

• الوظيفة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$$محدود، لأن${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 1}$للجميع${\displaystyle x.}$لذلك، فهي محدودة محلياً أيضاً.

• الوظيفة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$ليست محدودة ، إذ تصبح كبيرة بشكل تعسفي. ومع ذلك، فهي محدودة محليًا لأنه لكل${\displaystyle a,}$${\displaystyle |f(x)|\leq M}$في الحي${\displaystyle (a-1,a+1),}$أين${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• الوظيفة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}}$$ليست محدودة ولا محدودة محلياً. في أي جوار للصفر، تأخذ هذه الدالة قيماً ذات مقدار كبير بشكل تعسفي.

• أي دالة متصلة تكون محدودة محليًا. إليك برهانًا على ذلك لدوال المتغير الحقيقي. ليكن${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$يكون متصلاً حيث${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ,}$وسنُبين ذلك${\displaystyle f}$محدودة محليًا عند${\displaystyle a}$للجميع${\displaystyle a\in U}$بأخذ ε = 1 في تعريف الاستمرارية، يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$للجميع${\displaystyle x\in U}$مع${\displaystyle |xa|<\delta }$والآن، باستخدام متباينة المثلث ،${\displaystyle |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,}$وهذا يعني أن${\displaystyle f}$محدودة محليًا عند${\displaystyle a}$(أخذ)${\displaystyle M=1+|f(a)|}$والحي${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$). يمكن تعميم هذه الحجة بسهولة عندما يكون مجال${\displaystyle f}$أي فضاء طوبولوجي.

• لكن عكس النتيجة السابقة ليس صحيحًا؛ أي أن الدالة غير المتصلة قد تكون محدودة محليًا. على سبيل المثال، لنأخذ الدالة التالية:${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$مقدم من${\displaystyle f(0)=1}$و${\displaystyle f(x)=0}$للجميع${\displaystyle x\neq 0.}$ثم${\displaystyle f}$غير متصلة عند الصفر ولكن${\displaystyle f}$هي محدودة محليًا؛ وهي ثابتة محليًا باستثناء الصفر، حيث يمكننا أخذ${\displaystyle M=1}$والحي${\displaystyle (-1,1),}$على سبيل المثال.

مجموعة (تُسمى أيضًا عائلة ) U من الدوال ذات القيم الحقيقية أو المركبة المعرفة على فضاء طوبولوجي ما${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم محدودة محليًا إذا كان لأي${\displaystyle x_{0}\in X}$يوجد حي${\displaystyle A}$ل${\displaystyle x_{0}}$وعدد موجب${\displaystyle M>0}$بحيث $${\displaystyle |f(x)|\leq M}$$ للجميع${\displaystyle x\in A}$و${\displaystyle f\in U.}$بمعنى آخر، يجب أن تكون جميع الدوال في العائلة محدودة محليًا، وحول كل نقطة يجب أن تكون محدودة بنفس الثابت.

ويمكن أيضًا توسيع هذا التعريف ليشمل الحالة التي تأخذ فيها الدوال في العائلة U قيمًا في فضاء متري ما، وذلك عن طريق استبدال القيمة المطلقة بدالة المسافة مرة أخرى.

• عائلة الدوال${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$أين${\displaystyle n=1,2,\ldots }$محدودة محليًا. في الواقع، إذا${\displaystyle x_{0}}$إذا كان عددًا حقيقيًا، فيمكن للمرء اختيار الحي${\displaystyle A}$أن تكون الفترة${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).}$ثم للجميع${\displaystyle x}$في هذه الفترة ولجميع${\displaystyle n\geq 1}$يمتلك المرء$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$مع${\displaystyle M=1+|x_{0}|.}$علاوة على ذلك، فإن حدود الأسرة موحدة ، لأن الحي لا${\displaystyle A}$ولا الثابت${\displaystyle M}$يعتمد على المؤشر${\displaystyle n.}$

• عائلة الدوال${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}$$تكون محدودة محليًا، إذا${\displaystyle n}$أكبر من الصفر. لأي${\displaystyle x_{0}}$يمكن للمرء اختيار الحي${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle \mathbb {R} }$نفسها. ثم لدينا$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$مع${\displaystyle M=1.}$لاحظ أن قيمة${\displaystyle M}$لا يعتمد ذلك على اختيار x ₀ أو جوارها${\displaystyle A.}$وبالتالي، فإن هذه العائلة ليست محدودة محلياً فحسب، بل إنها محدودة بشكل منتظم أيضاً.

• عائلة الدوال${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$ليست محدودة محليًا. في الواقع، بالنسبة لأي${\displaystyle x}$القيم${\displaystyle f_{n}(x)}$لا يمكن تحديدها لأنها${\displaystyle n}$يميل نحو اللانهاية.

قد يشير التقييد المحلي أيضًا إلى خاصية من خصائص فضاءات المتجهات الطوبولوجية ، أو إلى خصائص الدوال من فضاء طوبولوجي إلى فضاء متجه طوبولوجي (TVS).

• الفضاء البورنولوجي – الفضاء الذي تكون فيه المؤثرات المحدودة متصلة 
• المؤثر المحدود – نوع من التحويل الخطي 
• المجموعة المحدودة (الفضاء المتجهي الطوبولوجي) – تعميم لمفهوم التقييد 

• مدخل PlanetMath الخاص بالحدود المحلية
• مدخل nLab للفئة المحدودة محليًا