دالة الخسارة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

في مجال التحسين الرياضي ونظرية القرار ، تُعرف دالة الخسارة أو دالة التكلفة (وتُسمى أحيانًا دالة الخطأ) [ 1 ] بأنها دالة تربط حدثًا أو قيم متغير واحد أو أكثر بعدد حقيقي يُمثل بشكل بديهي "تكلفة" مرتبطة بهذا الحدث. تسعى مسألة التحسين إلى تقليل دالة الخسارة. وتكون دالة الهدف إما دالة خسارة أو عكسها (في مجالات محددة، تُسمى دالة المكافأة ، أو دالة الربح ، أو دالة المنفعة ، أو دالة اللياقة ، إلخ)، وفي هذه الحالة يجب تعظيمها. وقد تتضمن دالة الخسارة حدودًا من مستويات هرمية متعددة .

في الإحصاء، تُستخدم دالة الخسارة عادةً لتقدير المعلمات ، والحدث المعني هو دالة للفرق بين القيم المُقدَّرة والقيم الحقيقية لبيانات معينة. هذا المفهوم، الذي يعود إلى عهد لابلاس ، أعاد أبراهام والد تقديمه في الإحصاء في منتصف القرن العشرين. [ 2 ] في سياق الاقتصاد ، على سبيل المثال، يُمثل هذا عادةً التكلفة الاقتصادية أو الندم . في التصنيف ، يُمثل عقوبة التصنيف الخاطئ لمثال ما. في العلوم الاكتوارية ، يُستخدم في سياق التأمين لنمذجة المنافع المدفوعة على الأقساط، لا سيما منذ أعمال هارالد كرامر في عشرينيات القرن الماضي. [ 3 ] في التحكم الأمثل ، تُمثل الخسارة عقوبة عدم تحقيق القيمة المطلوبة. في إدارة المخاطر المالية ، تُربط الدالة بخسارة نقدية.

مقارنة دوال الخسارة الشائعة ( MAE ، SMAE، خسارة هوبر ، وخسارة لوغاريتمية-cosh) المستخدمة في الانحدار

أمثلة

يندم

جادل ليونارد ج. سافاج بأنه باستخدام الأساليب غير البايزية مثل minimax ، يجب أن تستند دالة الخسارة إلى فكرة الندم ، أي أن الخسارة المرتبطة بالقرار يجب أن تكون الفرق بين عواقب أفضل قرار كان من الممكن اتخاذه في ظل ظروف ستُعرف والقرار الذي تم اتخاذه بالفعل قبل أن تُعرف.

دالة الخسارة التربيعية

يُعد استخدام دالة الخسارة التربيعية شائعًا، على سبيل المثال عند استخدام تقنيات المربعات الصغرى . غالبًا ما تكون هذه الدالة أسهل في التعامل معها رياضيًا من دوال الخسارة الأخرى نظرًا لخصائص التباينات ، فضلًا عن كونها متناظرة: إذ يُسبب الخطأ الذي يزيد عن القيمة المستهدفة نفس مقدار الخسارة التي يُسببها الخطأ الذي يقل عن القيمة المستهدفة بنفس المقدار. إذا كانت القيمة المستهدفةت{\displaystyle t}إذاً، فإن دالة الخسارة التربيعية هي

λ(x)=ج(ت-x)2{\displaystyle \lambda (x)=C(tx)^{2}\;}

لبعض الثوابتج{\displaystyle C}لا تؤثر قيمة الثابت على القرار، ويمكن تجاهلها بتعيينها مساوية لـ 1. يُعرف هذا أيضًا باسم خسارة الخطأ التربيعي ( SEL ). [ 1 ]

تستخدم العديد من الإحصاءات الشائعة ، بما في ذلك اختبارات t ، ونماذج الانحدار ، وتصميم التجارب ، وغير ذلك الكثير، طرق المربعات الصغرى المطبقة باستخدام نظرية الانحدار الخطي ، والتي تستند إلى دالة الخسارة التربيعية.

تُستخدم دالة الخسارة التربيعية أيضًا في مسائل التحكم الأمثل الخطي التربيعي . في هذه المسائل، حتى في غياب عدم اليقين، قد لا يكون من الممكن تحقيق القيم المطلوبة لجميع المتغيرات المستهدفة. غالبًا ما تُعبَّر الخسارة بصيغة تربيعية بدلالة انحرافات المتغيرات محل الاهتمام عن قيمها المطلوبة؛ وهذا النهج عملي لأنه يُؤدي إلى شروط خطية من الدرجة الأولى . في سياق التحكم العشوائي ، تُستخدم القيمة المتوقعة للصيغة التربيعية. تُعطي الخسارة التربيعية أهمية أكبر للقيم الشاذة مقارنةً بالبيانات الحقيقية نظرًا لطبيعتها التربيعية، لذا تُستخدم بدائل مثل خسائر هوبر ، ولوغاريتم التماسك، وSMAE عندما تحتوي البيانات على العديد من القيم الشاذة الكبيرة.

تأثير استخدام دوال خسارة مختلفة عندما تحتوي البيانات على قيم متطرفة

دالة الخسارة 0-1

في الإحصاء ونظرية القرار ، تُعد دالة الخسارة 0-1 من دوال الخسارة شائعة الاستخدام

ل(y^،y)={0لو y=y^1لو y≠y^{\displaystyle L({\hat {y}},y)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}y={\hat {y}}\\1&{\text{إذا كان }}y\neq {\hat {y}}\end{cases}}}

في نظرية المعلومات ، تُعرف دالة الخسارة هذه باسم تشويه هامينغ .

بناء دوال الخسارة والهدف

في العديد من التطبيقات، تُحدد دوال الهدف، بما في ذلك دوال الخسارة كحالة خاصة، من خلال صياغة المشكلة. وفي حالات أخرى، يجب استنباط تفضيلات صانع القرار وتمثيلها بدالة عددية (تُسمى أيضًا دالة المنفعة ) بصيغة مناسبة للتحسين الأمثل - وهي المشكلة التي سلط راجنار فريش الضوء عليها في محاضرته عند استلام جائزة نوبل . [ 4 ] جُمعت الطرق الحالية لبناء دوال الهدف في وقائع مؤتمرين متخصصين. [ 5 ] [ 6 ] على وجه الخصوص، بيّن أندرانيك تانجيان أن دوال الهدف الأكثر استخدامًا - التربيعية والجمعية - تُحدد ببضع نقاط حياد . وقد استخدم هذه الخاصية في نماذج بناء دوال الهدف هذه من بيانات ترتيبية أو عددية تم استنباطها من خلال مقابلات بمساعدة الحاسوب مع صانعي القرار. [ 7 ] [ 8 ] ومن بين أمور أخرى، قام ببناء دوال هدف لتوزيع الميزانيات على النحو الأمثل لـ 16 جامعة وستفالية [ 9 ] والإعانات الأوروبية لتسوية معدلات البطالة بين 271 منطقة ألمانية. [ 10 ]

الخسارة المتوقعة

في بعض السياقات، تكون قيمة دالة الخسارة نفسها كمية عشوائية لأنها تعتمد على نتيجة متغير عشوائيX{\displaystyle X}.

إحصائيات

تتضمن كل من النظرية الإحصائية التكرارية والنظرية الإحصائية البايزية اتخاذ قرار بناءً على القيمة المتوقعة لدالة الخسارة؛ ومع ذلك، يتم تعريف هذه الكمية بشكل مختلف في ظل النموذجين.

الخسارة المتوقعة وفقًا لأخصائيي الترددات

نبدأ بتعريف الخسارة المتوقعة في سياق الإحصاء التكراري. ويتم الحصول عليها بأخذ القيمة المتوقعة بالنسبة لتوزيع الاحتمالات .Pθ{\displaystyle P_{\theta }}من البيانات المرصودة،X{\displaystyle X}ويُشار إلى ذلك أيضًا باسم دالة المخاطرة [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] لقاعدة القراردلتا{\displaystyle \delta }والمعاملθ{\displaystyle \theta }هنا، تعتمد قاعدة القرار على نتيجةX{\displaystyle X}دالة المخاطرة معطاة بالصيغة التالية:

R(θ،دلتا)=هـθ⁡ل(θ،دلتا(X))=∫Xل(θ،دلتا(x))دPθ(x).{\displaystyle R(\theta ,\delta )=\operatorname {E} _{\theta }L{\big (}\theta ,\delta (X){\big )}=\int _{X}L{\big (}\theta ,\delta (x){\big )}\,\mathrm {d} P_{\theta }(x).}

هنا،θ{\displaystyle \theta }هي حالة طبيعية ثابتة ولكنها قد تكون غير معروفة،X{\displaystyle X}هو متجه من الملاحظات يتم سحبها عشوائياً من مجموعة سكانية ،هـθ{\displaystyle \operatorname {E} _{\theta }}هو التوقع لجميع قيم السكان لـX{\displaystyle X}،دPθ{\displaystyle \mathrm {d} P_{\theta }}هو مقياس احتمالي على فضاء الأحداث لـX{\displaystyle X}(مُعَلَّم بواسطةθ{\displaystyle \theta }) ويتم حساب التكامل على كامل نطاق الدعم لـX{\displaystyle X}.

مخاطر بايز

في النهج البايزي، يتم حساب التوقع باستخدام التوزيع المسبقπ*{\displaystyle \pi ^{*}}من المعلمةθ{\displaystyle \theta }:

ρ(π*،أ)=∫Θ∫Xل(θ،أ(x))دP(x|θ)دπ*(θ)=∫X∫Θل(θ،أ(x))دπ*(θ|x)دم(x){\displaystyle \rho (\pi ^{*},a)=\int _{\Theta}\int _{\mathbf {X}}L(\theta ,a({\mathbf {x}))\,\mathrm {d} P({\mathbf {x}}\vert \theta )\,\mathrm {d} \pi ^{*}(\theta )=\int _ {\mathbf {X}}\int _{\Theta} L(\theta ,a({\mathbf {x}}))\,\mathrm {d} \pi ^{*}(\theta \vert {\mathbf {x}})\,\mathrm {d} M({\mathbf {x}})}

أينم(x){\displaystyle M(\mathbf {x} )}يُعرف هذا باسم الاحتمالية التنبؤية حيثθ{\displaystyle \theta }تم "دمجها"π*(θ|x){\displaystyle \pi ^{*}(\theta |\mathbf {x} )}يمثل التوزيع الاحتمالي اللاحق، وقد تم تغيير ترتيب التكامل. عندئذٍ ينبغي اختيار الإجراءأ*{\displaystyle a^{*}}مما يقلل من هذه الخسارة المتوقعة، والتي يشار إليها باسم مخاطرة بايز . في المعادلة الأخيرة، الدالة التكاملية داخلدx{\displaystyle \mathrm {d} x}يُعرف هذا باسم المخاطر اللاحقة ، وتقليلها فيما يتعلق بالقرارأ{\displaystyle a}كما يقلل هذا القرار الأمثل من مخاطر بايز الإجمالية.أ*{\displaystyle a^{*}}تُعرف هذه القاعدة باسم قاعدة بايز (للقرار) - وهي تقلل متوسط ​​الخسارة في جميع الحالات الطبيعية الممكنةθ{\displaystyle \theta }، على جميع نتائج البيانات المحتملة (المرجحة احتماليًا). إحدى مزايا المنهج البايزي هي أنه يكفي اختيار الإجراء الأمثل بناءً على البيانات المرصودة الفعلية للحصول على إجراء أمثل بشكل موحد، بينما يُعد اختيار قاعدة القرار الأمثل التكرارية الفعلية كدالة لجميع الملاحظات الممكنة مشكلة أكثر صعوبة. ومع ذلك، وبنفس القدر من الأهمية، تعكس قاعدة بايز مراعاة نتائج الخسارة في ظل حالات طبيعية مختلفة.θ{\displaystyle \theta }.

أمثلة في الإحصاء

الخيار الاقتصادي في ظل عدم اليقين

في علم الاقتصاد، غالبًا ما يُنمذج اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين باستخدام دالة المنفعة لفون نيومان-مورغنسترن للمتغير غير المؤكد محل الاهتمام، مثل ثروة نهاية الفترة. وبما أن قيمة هذا المتغير غير مؤكدة، فإن قيمة دالة المنفعة غير مؤكدة أيضًا؛ إذ يتم تعظيم القيمة المتوقعة للمنفعة.

قواعد القرار

تعتمد قاعدة القرار على معيار الأمثلية لاتخاذ القرار. ومن المعايير الشائعة الاستخدام ما يلي:

  • Minimax : اختر قاعدة القرار ذات أقل خسارة أسوأ - أي قلل من أسوأ حالة (أقصى خسارة ممكنة):أرزمأناندلتا الأعلىθ∈Θ R(θ،دلتا).{\displaystyle {\underset {\delta }{\operatorname {arg\,min} }}\ \max _{\theta \in \Theta }\ R(\theta ,\delta ).}
  • الثبات : اختر قاعدة القرار التي تفي بشرط الثبات.
  • اختر قاعدة القرار ذات أقل متوسط ​​خسارة (أي، قلل القيمة المتوقعة لدالة الخسارة):أرزمأناندلتاهـθ∈Θ⁡[R(θ،دلتا)]=أرزمأناندلتا ∫θ∈ΘR(θ،دلتا)ص(θ)دθ.{\displaystyle {\underset {\delta }{\operatorname {arg\,min} }}\operatorname {E} _{\theta \in \Theta }[R(\theta ,\delta )]={\underset {\delta }{\operatorname {arg\,min} }}\ \int _{\theta \in \Theta }R(\theta ,\delta )\,p(\theta )\,d\theta .}

اختيار دالة الخسارة

تتطلب الممارسة الإحصائية السليمة اختيار مُقدِّر يتوافق مع التباين المقبول الفعلي الذي يُلاحظ في سياق مشكلة تطبيقية معينة. وبالتالي، في الاستخدام التطبيقي لدوال الخسارة، يعتمد اختيار الطريقة الإحصائية المناسبة لنمذجة مشكلة تطبيقية على معرفة الخسائر التي ستُتكبَّد نتيجة الخطأ في ظل الظروف الخاصة بالمشكلة. [ 15 ]

من الأمثلة الشائعة تقدير " الموقع ". وفقًا للافتراضات الإحصائية المعتادة، يُعد المتوسط ​​الحسابي هو الإحصائية الأمثل لتقدير الموقع، حيث يقلل من الخسارة المتوقعة في ظل دالة خسارة مربع الخطأ ، بينما يُعد الوسيط هو المُقدِّر الأمثل لتقدير الموقع، حيث يقلل من الخسارة المتوقعة في ظل دالة خسارة الفرق المطلق. مع ذلك، قد تكون مُقدِّرات أخرى هي الأمثل في ظروف أخرى أقل شيوعًا.

في علم الاقتصاد، عندما يكون الفاعل محايدًا تجاه المخاطر ، تُعبّر دالة الهدف ببساطة عن القيمة المتوقعة لكمية نقدية، مثل الربح أو الدخل أو الثروة في نهاية الفترة. أما بالنسبة للفاعلين الذين يتجنبون المخاطر أو يميلون إليها ، فتُقاس الخسارة بمعكوس دالة المنفعة ، وتكون دالة الهدف المراد تحسينها هي القيمة المتوقعة للمنفعة.

توجد مقاييس أخرى للتكلفة، على سبيل المثال معدل الوفيات أو معدل الإصابة بالأمراض في مجال الصحة العامة أو هندسة السلامة .

بالنسبة لمعظم خوارزميات التحسين ، من المستحسن أن تكون دالة الخسارة متصلة وقابلة للتفاضل عالميًا .

من أكثر دوال الخسارة استخداماً دالة الخسارة التربيعية ،ل(أ)=أ2{\displaystyle L(a)=a^{2}}والخسارة المطلقة ،ل(أ)=|أ|{\displaystyle L(a)=|a|}إلا أن الخسارة المطلقة لها عيب يتمثل في أنها غير قابلة للتفاضل عندأ=0{\displaystyle a=0}تتمثل عيوب دالة الخسارة التربيعية في ميلها إلى التأثر بالقيم المتطرفة - عند جمعها على مجموعة منأ{\displaystyle a}'s (كما في∑أنا=1نل(أأنا){\textstyle \sum _{i=1}^{n}L(a_{i})})، يميل المجموع النهائي إلى أن يكون نتيجة لعدد قليل من القيم الكبيرة بشكل خاصأ{\displaystyle a}القيم، بدلاً من التعبير عن المتوسطأ{\displaystyle a}-قيمة.

إن اختيار دالة الخسارة ليس اختيارًا عشوائيًا، بل هو اختيار دقيق للغاية، وقد تتميز دالة الخسارة أحيانًا بخصائصها المرغوبة. [ 16 ] ومن بين مبادئ الاختيار، على سبيل المثال، شرط اكتمال فئة الإحصاءات المتناظرة في حالة المشاهدات المستقلة والمتطابقة التوزيع ، ومبدأ المعلومات الكاملة، وغيرها.

يجادل دبليو إدواردز ديمينغ ونسيم نيكولاس طالب بأن الواقع التجريبي، وليس الخصائص الرياضية المثالية، يجب أن يكون الأساس الوحيد لاختيار دوال الخسارة، فالخسائر الحقيقية غالبًا ما تكون غير مثالية رياضيًا، وغير قابلة للتفاضل، وغير متصلة، وغير متناظرة، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، يمكن للشخص الذي يصل قبل إغلاق بوابة الطائرة أن يلحق بها، بينما لا يستطيع الشخص الذي يصل بعد ذلك اللحاق بها، وهذا التباين وعدم التناظر يجعلان الوصول متأخرًا قليلًا أكثر تكلفة بكثير من الوصول مبكرًا قليلًا. في جرعات الأدوية، قد تكون تكلفة الجرعة القليلة جدًا هي انعدام الفعالية، بينما قد تكون تكلفة الجرعة الزائدة هي سمية محتملة، وهذا مثال آخر على عدم التناظر. قد تتحمل حركة المرور والأنابيب والجسور والأنظمة البيئية والمناخات، وما إلى ذلك، زيادة الحمل أو الإجهاد مع تغيير طفيف ملحوظ حتى نقطة معينة، ثم تتكدس أو تنهار بشكل كارثي. يرى ديمينغ وطالب أن هذه الحالات شائعة في مشاكل الحياة الواقعية، وربما أكثر شيوعًا من الحالات الكلاسيكية السلسة والمتصلة والمتناظرة والتفاضلية. [ 17 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 هاستي، تريفور؛ تيبشيراني، روبرت ؛ فريدمان، جيروم هـ. (2001). عناصر التعلم الإحصائي . سبرينغر. ص  18. ISBN 0-387-95284-5.
  2. ↑ والد، أ. (1950). دوال القرار الإحصائي . وايلي – عبر APA Psycnet.
  3. ↑ كرامر، هـ. (1930). في النظرية الرياضية للمخاطر . سنترالتريكرييت.
  4. ↑ فريش، راجنار (1969). "من النظرية الطوباوية إلى التطبيقات العملية: حالة الاقتصاد القياسي". محاضرة جائزة نوبل . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 فبراير 2021 .
  5. ↑ تانجيان، أندرانيك؛ غروبر، جوزيف (1997). بناء دوال الهدف ذات القيم العددية. وقائع المؤتمر الدولي الثالث حول نماذج القرار الاقتصادي القياسي: بناء دوال الهدف ذات القيم العددية، جامعة هاغن، الذي عُقد في الأكاديمية الكاثوليكية شفيرته في الفترة من 5 إلى 8 سبتمبر 1995. سلسلة محاضرات في الاقتصاد والأنظمة الرياضية. المجلد 453. برلين: سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-48773-6 . ISBN  978-3-540-63061-6.
  6. ↑ تانجيان، أندرانيك؛ غروبر، جوزيف (2002). بناء وتطبيق دوال الهدف. وقائع المؤتمر الدولي الرابع حول نماذج القرار الاقتصادي القياسي: بناء وتطبيق دوال الهدف، جامعة هاغن، المنعقد في هاوس نورديل، 28-31 أغسطس 2000. سلسلة محاضرات في الاقتصاد والأنظمة الرياضية. المجلد 510. برلين: سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-56038-5 . ISBN  978-3-540-42669-1.
  7. ↑ تانجيان، أندرانيك (2002). "بناء دالة هدف تربيعية شبه مقعرة من خلال مقابلة صانع القرار". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 141 (3): 608-640 . doi : 10.1016/S0377-2217(01)00185-0 . S2CID 39623350 . 
  8. ↑ تانجيان، أندرانيك (2004). "نموذج لبناء دوال الهدف الجمعية ترتيبيًا". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 159 (2): 476-512 . doi : 10.1016/S0377-2217(03)00413-2 . S2CID 31019036 . 
  9. ↑ تانجيان، أندرانيك (2004). "إعادة توزيع ميزانيات الجامعات مقارنةً بالوضع الراهن". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 157 (2): 409-428 . doi : 10.1016/S0377-2217(03)00271-6 .
  10. ↑ تانجيان، أندرانيك (2008). "التحسين متعدد المعايير لسياسة التوظيف الإقليمية: تحليل محاكاة لألمانيا" . مراجعة التنمية الحضرية والإقليمية . 20 (2): 103-122 . doi : 10.1111/j.1467-940X.2008.00144.x .
  11. ↑ نيكولين، ماجستير (2001) [1994]، "مخاطر الإجراء الإحصائي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  12. ↑ بيرغر، جيمس أو. (1985). نظرية القرار الإحصائي والتحليل البايزي ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رمز Bibcode : 1985sdtb.book.....B . رقم ISBN  978-0-387-96098-2MR 0804611 .​ 
  13. ↑ ديغروت، موريس (2004) [1970]. القرارات الإحصائية المثلى . مكتبة وايلي كلاسيكس. ISBN 978-0-471-68029-1. MR 2288194 . 
  14. ↑ روبرت، كريستيان ب. (2007). الاختيار البايزي . نصوص سبرينغر في الإحصاء ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/0-387-71599-1 . ISBN  978-0-387-95231-4MR 1835885 .​ 
  15. ^ بفانزاجل، ج. (1994). النظرية الإحصائية البارامترية . برلين: والتر دي جرويتر. رقم ISBN 978-3-11-013863-4.
  16. ↑ تُقدَّم معلوماتٌ مُفصَّلةٌ حول المبادئ الرياضية لاختيار دالة الخسارة في الفصل الثاني من كتاب كليبانوف، ب.؛ راتشيف، سفيتلوزات ت.؛ فابوزي، فرانك ج. (2009). النماذج القوية وغير القوية في الإحصاء . نيويورك: دار نوفا ساينتيفيك للنشر.(والمراجع هناك).
  17. ↑ ديمينغ، دبليو. إدواردز (2000). الخروج من الأزمة . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 9780262541152.

للمزيد من القراءة

  • هورويتز، آن ر. (1987). "دوال الخسارة والسياسة العامة". مجلة الاقتصاد الكلي . 9 (4): 489-504 . doi : 10.1016/0164-0704(87)90016-4 .
  • وود، روجر ن. (1976). "دوال المنفعة غير المتماثلة لصانعي السياسات والسياسة المثلى في ظل عدم اليقين". مجلة إيكونومتريكا . 44 (1): 53-66 . doi : 10.2307/1911380 . JSTOR 1911380 .