مجموعة عديمة القوة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الزمر ، الزمرة العديمة القوة G هي زمرة لها سلسلة مركزية عليا تنتهي بـ G. وبصورة مكافئة، لها سلسلة مركزية ذات طول محدود أو تنتهي سلسلتها المركزية السفلى بـ {1}.

بشكل بديهي، الزمرة العديمة القوة هي زمرة "شبه تبديلية ". تستند هذه الفكرة إلى حقيقة أن الزمر العديمة القوة قابلة للحل ، وبالنسبة للزمر العديمة القوة المنتهية ، يجب أن يتبادل عنصران لهما رتبتان أوليتان نسبيًا . كما أن الزمر العديمة القوة المنتهية قابلة للحل الفائق . يُنسب الفضل في هذا المفهوم إلى عالم الرياضيات الروسي سيرجي تشيرنيكوف في ثلاثينيات القرن العشرين . ^[¹^]

تظهر الزمر العديمة القوة في نظرية غالوا ، وكذلك في تصنيف الزمر. كما أنها تبرز بشكل واضح في تصنيف زمر لي .

تُستخدم مصطلحات مماثلة لجبر لي (باستخدام قوس لي ) بما في ذلك الجبر الصفري ، والسلسلة المركزية السفلية ، والسلسلة المركزية العلوية .

تعريف

يعتمد هذا التعريف على فكرة السلسلة المركزية للمجموعة. وفيما يلي تعريفات مكافئة لمجموعة عديمة القوة $G$ :

تحتوي المجموعة $G على$ سلسلة مركزية ذات طول محدود. أي سلسلة من المجموعات الفرعية الطبيعية
$\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$
أين $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$ أو ما يعادل ذلك $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$ .
تحتوي $المجموعة G على$ سلسلة مركزية سفلية تنتهي في المجموعة الفرعية التافهة بعد عدد محدود من الخطوات. أي سلسلة من المجموعات الفرعية الطبيعية
$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$
أين $G_{i+1}=[G_{i},G]$ .
تحتوي $المجموعة G على$ سلسلة مركزية علوية تنتهي في المجموعة بأكملها بعد عدد محدود من الخطوات. أي سلسلة من المجموعات الفرعية الطبيعية
$\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$
أين $Z_{1}=Z(G)$ و $Z_{i+1}$ هل المجموعة الجزئية بحيث $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$ .

بالنسبة لمجموعة عديمة القوة، يُطلق على أصغر عدد صحيح $n$ بحيث يكون طول السلسلة المركزية للمجموعة $G هو$ $n$ اسم فئة انعدام القوة للمجموعة G $؛$ ويُقال إن G $عديمة$ القوة من الفئة $n$ . (بحسب التعريف، يكون الطول $n$ إذا كان هناك n = 1/n) $n+1$ مجموعات فرعية مختلفة في السلسلة، بما في ذلك المجموعة الفرعية التافهة والمجموعة بأكملها.)

بصورة مكافئة، تساوي فئة انعدام القوة للمجموعة $G$ طول السلسلة المركزية السفلى أو السلسلة المركزية العليا. إذا كانت فئة انعدام القوة لمجموعة ما لا تتجاوز $n$ ، فإنها تُسمى أحيانًا مجموعة منعدمة القوة من الرتبة $n$ .

يترتب مباشرةً من أيٍّ من الصيغ المذكورة أعلاه لتعريف انعدام القوة، أن المجموعة التافهة هي المجموعة الوحيدة من فئة انعدام القوة $0$ ، وأن مجموعات فئة انعدام القوة $1$ هي تحديدًا المجموعات الأبيلية غير التافهة. ^[²^]^[³^]

أمثلة

جزء من مخطط كايلي لمجموعة هايزنبرغ المنفصلة ، وهي مجموعة نيلبوتنت معروفة.

كما ذُكر أعلاه، فإن كل زمرة أبيلية عديمة القوة. ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}
كمثال صغير غير تبديلي، لنأخذ زمرة الكواترنيون Q₈ _، وهي أصغر زمرة p غير تبديلية . مركزها { 1، -1} من الرتبة 2، ومتسلسلتها المركزية العليا هي {1}، {1، -1}، Q₈ _؛ لذا فهي زمرة عديمة القوة من الفئة 2.
الناتج المباشر لمجموعتين عديمتي القوة هو مجموعة عديمة القوة. ^{[ 5 ]}
جميع الزمر المنتهية ^من^الرتبةp هي في الواقع زمر عديمة القوة ( برهان ). بالنسبة لـ n > 1، فإن فئة انعدام القوة القصوى لزمرة من الرتبة pⁿ هي n - 1 (على سبيل المثال، الزمرة من الرتبة p² هي زمرة تبديلية). الزمر من الرتبة 2 ذات الفئة القصوى هي زمر الكواترنيون المعممة ، والزمر ثنائية السطوح ، والزمر شبه ثنائية السطوح .
علاوة على ذلك، فإن كل مجموعة نيلبوتنت منتهية هي حاصل الضرب المباشر لمجموعات p . ^{[ 5 ]}
الزمرة الضربية للمصفوفات المثلثية العلوية أحادية الرتبة من الرتبة n × n على أي حقل F هي زمرة عديمة القوة من فئة انعدام القوة n − 1. على وجه الخصوص، بأخذ n = 3 نحصل على زمرة هايزنبرغ H ، وهي مثال على زمرة عديمة القوة غير تبديلية ^{[ 6 ]} لانهائية. ^{[ 7 ]} ولها فئة انعدام قوة 2 مع سلسلة مركزية 1، Z ( H ) ، H.
إن المجموعة الضربية للمصفوفات المثلثية العلوية القابلة للعكس من الرتبة n × n على حقل F ليست بشكل عام عديمة القوة، ولكنها قابلة للحل .
أي مجموعة غير تبديلية G بحيث تكون G / Z ( G ) تبديلية لها فئة انعدام القوة 2، مع سلسلة مركزية {1}، Z ( G )، G .

تم تحديد الأعداد الطبيعية k التي تكون أي مجموعة من الرتبة k عديمة القوة (التسلسل A056867 في OEIS ) .

شرح المصطلح

تُسمى المجموعات عديمة القوة بهذا الاسم لأن "الفعل المرافق" لأي عنصر يكون عديم القوة ، مما يعني أنه بالنسبة لمجموعة عديمة القوة $G$ من درجة انعدام القدرة $n$ وعنصر $g$ ، الوظيفة $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ محدد بواسطة $\operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ (أين $[g,x]=g^{-1}x^{-1}gx$ هو مبدل $g$ و $x$ ) عديمة القوة بمعنى أن $n$ التكرار رقم 1 للدالة بسيط للغاية: $\left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e$ للجميع $x$ في $G$ .

هذه ليست سمة مميزة للمجموعات العديمة القوة: المجموعات التي $\operatorname {ad} _{g}$ هو عنصر عديم القوة من الدرجة $n$ (بالمعنى المذكور أعلاه) تسمى $n$ - زمر إنجل ، ^{[ 8 ]} ولا يشترط أن تكون عديمة القوة بشكل عام. وقد ثبت أنها عديمة القوة إذا كانت ذات رتبة منتهية ، ويُفترض أنها عديمة القوة طالما أنها مولدة توليداً منتهياً .

إن المجموعة الأبيلية هي تحديداً تلك التي يكون فيها الفعل المرافق ليس فقط عديم القوة ولكنه تافه (مجموعة إنجل 1).

ملكيات

بما أن كل مجموعة عوامل متتالية $Z i +1 / Z i$ في السلسلة المركزية العليا هي مجموعة تبديلية، والسلسلة منتهية، فإن كل مجموعة نيلبوتنت هي مجموعة قابلة للحل ذات بنية بسيطة نسبياً.

كل مجموعة جزئية من مجموعة نيلبوتنت من الفئة $n$ هي نيلبوتنت من الفئة $n$ على الأكثر ؛ ^{[ 9 ]} بالإضافة إلى ذلك، إذا كان $f$ تشاكلًا لمجموعة نيلبوتنت من الفئة $n$ ، فإن صورة $f$ هي نيلبوتنت ^{[ 9 ]} $من الفئة n$ على الأكثر .

نظرية —

العبارات التالية متكافئة بالنسبة للمجموعات المنتهية، ^{[ 10 ]} مما يكشف عن بعض الخصائص المفيدة لخاصية انعدام القوة:

$G$ هي مجموعة عديمة القوة.
إذا كانت $H$ زمرة جزئية فعلية من $G$ ، فإن $H$ هي زمرة جزئية طبيعية فعلية من $NG (H)$ ( الزمرة الطبيعية لـ $H$ في $G$ ). تُسمى هذه الخاصية بخاصية الزمرة الطبيعية $،$ ويمكن صياغتها ببساطة على أنها "تنمو الزمر الطبيعية".
كل مجموعة فرعية من سيلو في $G$ هي مجموعة طبيعية.
$G$ هو الناتج المباشر لمجموعات سيلو الفرعية الخاصة به.
إذا كان $d$ يقسم رتبة G $،$ فإن $G$ لها مجموعة فرعية طبيعية من الرتبة $d$ .

دليل

(أ)→(ب): بالاستقراء على $| G |$ ، إذا كانت $G$ زمرة تبديلية، فإنه لأي عنصر $H$ $،$ يكون $NG$ $(H) = G.$ وإذا لم تكن كذلك، فإذا $لم تكن$ $Z (G)$ محتواة في $H$ ، فإن $hZ (H) = h'H' = H ، وبالتالي فإن H \cdot Z$ ( $G$ $) تُعَيِّر H. إذا كانت Z$ $($ $G$ ) $محتواة في H ،$ فإن $H$ / $Z$ ( $G$ $)$ $محتواة$ $في$ G $/ Z (G) .$ لاحظ أن $G / Z (G) زمرة عديمة القوة$ $.$ بالتالي، توجد زمرة جزئية من $G / Z (G)$ تُعَيِّر $H / Z (G)،$ و $H / Z (G)$ هي زمرة جزئية فعلية منها. لذلك، بسحب هذه الزمرة الجزئية إلى الزمرة الجزئية في $G،$ فإنها تُعَيِّر $H.$ (هذا البرهان هو نفس البرهان المستخدم للزمر من الرتبة $p$ - الحقيقة الوحيدة التي احتجنا إليها هي أنه إذا كانت $G عديمة القوة، فإن$ $G$ $/$ $Z$ $($ $G$ $)$ كذلك - لذلك تم حذف التفاصيل).
(ب)→(ج): ليكن $p₁, p₂, ..., pₛ$ أعدادًا أولية مختلفة تقسم رتبتها، وليكن $Pᵢ$ $زمرة سيلو$ $جزئية طبيعية$ $من$ $N$ ، $حيث$ $1$ ≤ $i \leq s .$ ولتكن $P = Pᵢ$ لبعض $i،$ ولتكن $N = NG$ $($ $P$ $)$ . بما أن $P$ زمرة سيلو جزئية طبيعية من $N$ $،$ فإن $P$ $مميزة$ في N. $وبما$ أن $P$ مميزة في $N$ $،$ و $N$ $زمرة$ جزئية طبيعية من $NG$ $($ $N$ $)$ ، فإن $P$ زمرة جزئية طبيعية من $NG$ $($ $N$ $)$ $.$ هذا يعني أن $NG$ $($ $N$ $)$ $زمرة$ جزئية من $N$ $،$ وبالتالي $NG$ $($ $N$ $) =$ $N.$ $من (ب ) إذن$ $،$ يجب أن يكون $N$ $=$ $G$ ، مما يعطي (ج).
(ج)→(د): ليكن $p₁, p₂, ..., pₛ$ أعدادًا أولية مختلفة تقسم رتبتها، وليكن Pᵢ $\in Sylᵢ$ $(G) ، حيث$ $1$ $\leq$ $i$ $\leq$ $s$ $.$ لأي t $،$ حيث $1$ $\leq$ $t$ $\leq$ $s$ $،$ $نُبين$ استقرائيًا $أن$ $P₁P₂$ $\cdot\cdot\cdot Pᵢ متماثل$ مع $P₁$ $\times P₂ \times \cdot\cdot\cdot$ $\times$ $Pᵢ$ $.$
لاحظ أولًا أن كل $عنصر$ $Pᵢ هو$ $عنصر$ طبيعي في $G،$ $لذا فإن P₁P₂$ ··· $Pᵗ$ $زمرة جزئية من$ G. $ليكن$ H $هو$ $حاصل$ ضرب $P₁P₂ \cdot\cdot\cdot Pᵗ⁻¹$ $،$ وليكن $K =$ $Pᵗ$ $،$ إذن بالاستقراء، $فإن$ $H متماثل مع P₁$ $\times$ P₂ $\cdot\cdot\cdot$ $\times$ $Pᵗ⁻¹$ $.$ $على$ $وجه$ $الخصوص$ $،$ | $H$ $| = |P₁| \cdot |P₂| \cdot\cdot\cdot\cdot \cdot$ $|$ $Pᵗ⁻¹$ $|$ $.$ $بما$ $أن$ $|$ $K$ $|$ $=$ $|$ $Pᵗ$ $|$ $،$ $فإن$ رتبتي $H$ $و$ $K$ $أوليتان$ $فيما$ $بينهما$ $.$ $تنص$ نظرية $لاغرانج$ على $أن$ $تقاطع$ $H$ $و$ K $يساوي$ 1. $بحسب$ التعريف، $P₁P₂$ $\cdot\cdot\cdot$ $Pᵗ$ $=$ $HK$ $،$ $وبالتالي$ $فإن$ HK $متماثل$ $مع$ H $\times$ $K$ $الذي$ يساوي $P₁$ $\times$ $P₂$ $\cdot\cdot\cdot$ $\times$ $Pᵗ$ $.$ $بهذا$ يكتمل الاستقراء. والآن خذ $t$ $=$ $s$ للحصول على (d).
(د)→(هـ): لاحظ أن الزمرة p من الرتبة $p k$ لها زمرة جزئية طبيعية من الرتبة $p m$ لكل $1 \leq m \leq k$ . وبما أن $G$ هي حاصل ضرب مباشر لزمر سيلو الجزئية الخاصة بها، ولأن خاصية الطبيعية محفوظة عند الضرب المباشر للزمر، فإن $G$ لها زمرة جزئية طبيعية من الرتبة $d$ لكل قاسم $d$ من $| G |$ .
(هـ)→(أ): لأي عدد أولي $p$ يقسم $| G |$ ، تكون زمرة سيلو الجزئية $p$ زمرة طبيعية. بالتالي، يمكننا تطبيق (د) (بما أننا أثبتنا (ج)→(د) مسبقًا). ولأن كل زمرة p منتهية هي زمرة معدومة القوة، نستنتج أن G (حاصل ضرب زمر p) هي زمرة معدومة القوة.

يمكن تعميم العبارة (د) على المجموعات اللانهائية: إذا كانت $G$ مجموعة نيلبوتنت، فإن كل مجموعة فرعية من سيلو $G p$ من $G$ هي مجموعة طبيعية، والضرب المباشر لهذه المجموعات الفرعية من سيلو هو المجموعة الفرعية لجميع العناصر ذات الرتبة المحدودة في $G$ (انظر المجموعة الفرعية الالتوائية ).

تتشارك العديد من خصائص المجموعات العديمة القوة مع المجموعات المركزية الفائقة .

ملحوظات

↑ ديكسون، إم آر؛ كيريتشينكو، في في؛ كورداتشينكو، إل إيه؛ أوتال، جيه؛ سيمكو، إن إن؛ شيميتكوف، إل إيه؛ سوبوتين، آي يا. (2012). "إس إن تشيرنيكوف وتطور نظرية الزمر اللانهائية". الجبر والرياضيات المتقطعة . 13 (2): 169-208 .
1 2 سوبرونينكو (1976). مجموعات المصفوفات . ص 205.
↑ تاباشنيكوفا وسميث (2000). موضوعات في نظرية الزمر (سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية) . ص 169.
↑ هانغرفورد (1974). الجبر . ص 100.
1 2 زاسنهاوس (1999). نظرية المجموعات . ص 143.
^ هيسيلر (2002). التسلسلات التلقائية (معارض دي جرويتر في الرياضيات، 36) . ص. 15.
↑ بالمر (2001). جبر باناخ والنظرية العامة لجبر * . ص 1283.
↑ بالنسبة للمصطلح، قارن بنظرية إنجل ، وكذلك حول خاصية انعدام القوة.
1 2 بيكتيل (1971)، ص 51، النظرية 5.1.3
↑ إسحاق (2008)، نظرية 1.26

مراجع

بيشتيل، هومر (1971). نظرية المجموعات . أديسون-ويسلي .
فون هيسيلر، فريدريش (2002). التسلسلات التلقائية . معارض دي جرويتر في الرياضيات. المجلد. 36. برلين: والتر دي جرويتر . رقم ISBN 3-11-015629-6.
هانجرفورد، توماس دبليو (1974). الجبر . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-90518-9.
إسحاق، آي. مارتن (2008). نظرية الزمر المنتهية . الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0-8218-4344-4.
بالمر، ثيودور دبليو. (1994). جبر باناخ والنظرية العامة لجبر * . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-36638-0.
ستامباخ، أورس (1973). علم التماثل في نظرية الزمر . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 359. سبرينغر-فيرلاغ.مراجعة
سوبرونينكو، د. أ. (1976). مجموعات المصفوفات . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-1341-2.
تاباشنيكوفا، أولغا؛ سميث، جيف (2000). موضوعات في نظرية الزمر . سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية. سبرينغر. ISBN 1-85233-235-2.
زاسنهاوس، هانز (1999). نظرية المجموعات . نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 0-486-40922-8.

[Dixon-1] ديكسون، إم آر؛ كيريتشينكو، في في؛ كورداتشينكو، إل إيه؛ أوتال، جيه؛ سيمكو، إن إن؛ شيميتكوف، إل إيه؛ سوبوتين، آي يا. (2012). "إس إن تشيرنيكوف وتطور نظرية الزمر اللانهائية". الجبر والرياضيات المتقطعة . 13 (2): 169-208 .

[Suprunenko-76-2] 1 2 سوبرونينكو (1976). مجموعات المصفوفات . ص 205.

[3] تاباشنيكوفا وسميث (2000). موضوعات في نظرية الزمر (سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية) . ص 169.

[4] هانغرفورد (1974). الجبر . ص 100.

[Zassenhaus-5] 1 2 زاسنهاوس (1999). نظرية المجموعات . ص 143.

[6] هيسيلر (2002). التسلسلات التلقائية (معارض دي جرويتر في الرياضيات، 36) . ص. 15.

[7] بالمر (2001). جبر باناخ والنظرية العامة لجبر * . ص 1283.

[8] بالنسبة للمصطلح، قارن بنظرية إنجل ، وكذلك حول خاصية انعدام القوة.

[theo7.1.3-9] 1 2 بيكتيل (1971)، ص 51، النظرية 5.1.3

[10] إسحاق (2008)، نظرية 1.26

[

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗