نموذج ميرتون

في نموذج ميرتون الأساسي، تمتلك الشركة أصولاً ذات قيمة سوقية حالية${\displaystyle V_{0}}$والتقلب المستمر${\displaystyle \sigma _{V}}$وأصدرت سندًا واحدًا بدون فوائد يتطلب دفع مبلغ${\displaystyle D}$في ذلك الوقت${\displaystyle T}$يفترض النموذج عدم سداد أي مدفوعات للمساهمين قبل استحقاق الدين. وبموجب مقياس الحياد تجاه المخاطر ، تتبع قيمة أصول الشركة العملية التالية:

${\displaystyle dV_{t}=rV_{t}\,dt+\sigma _{V}V_{t}\,dW_{t},}$

أين${\displaystyle r}$هو معدل الفائدة الخالي من المخاطر والمركب باستمرار و${\displaystyle W_{t}}$هي عملية وينر . في النموذج الأساسي، لا يمكن أن يحدث التخلف عن السداد إلا عند تاريخ الاستحقاق. إذا${\displaystyle V_{T}<D}$إذا تخلفت الشركة عن السداد، يحصل حاملو السندات على أصول الشركة ولا يحصل المساهمون على شيء.${\displaystyle V_{T}\geq D}$يتم سداد الدين ويحصل المساهمون على القيمة المتبقية. وبالتالي، إذا${\displaystyle E_{T}}$و${\displaystyle B_{T}}$تشير إلى قيم حقوق الملكية والديون عند الاستحقاق،

${\displaystyle E_{T}=\max(V_{T}-D,0),}$

و

${\displaystyle B_{T}=\min(V_{T},D)=D-\max(D-V_{T},0).}$

وبالتالي، فإن حقوق الملكية تعادل خيار شراء أوروبي على أصول الشركة بسعر ممارسة${\displaystyle D}$بينما يعادل الدين المحفوف بالمخاطر الدين الخالي من التعثر مطروحًا منه خيار بيع أوروبي على أصول الشركة. ^{[ 1 ]}

بافتراض عدم وجود مدفوعات من أصول الشركة قبل تاريخ الاستحقاق، فإن صيغة بلاك-شولز-ميرتون تعطي القيمة السوقية الحالية لحقوق الملكية على النحو التالي:

${\displaystyle E_{0}=V_{0}N(d_{1})-De^{-rT}N(d_{2}),}$

أين

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(V_{0}/D)+(r+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{V}^{2})T}{\sigma _{V}{\sqrt {T}}}},}$

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{V}{\sqrt {T}},}$

و${\displaystyle N(\cdot )}$هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي . وبالتالي، فإن القيمة السوقية الحالية لديون الشركة هي

${\displaystyle B_{0}=V_{0}-E_{0}=V_{0}N(-d_{1})+De^{-rT}N(d_{2}).}$

إن احتمال التخلف عن السداد المحايد للمخاطر، والذي يستنتجه النموذج، هو

${\displaystyle \Pr _{\mathbb {Q} }(V_{T}<D)=N(-d_{2}).}$

في هذه التركيبة،${\displaystyle d_{2}}$يُفسر هذا المصطلح أيضاً بشكل شائع على أنه مدى قرب الشركة من التخلف عن السداد :${\displaystyle d_{2}}$كلما انخفضت النسبة، زادت احتمالية التخلف عن السداد التي يشير إليها النموذج. ^{[ 5 ]}

لا${\displaystyle V_{0}}$ولا${\displaystyle \sigma _{V}}$يمكن ملاحظتها بشكل مباشر. أما بالنسبة للشركات المساهمة العامة، فإن القيمة السوقية لحقوق الملكية${\displaystyle E_{0}}$وتقلبات الأسهم${\displaystyle \sigma _{E}}$يمكن ملاحظتها أو تقديرها. بتطبيق ليمّا إيتو على قيمة حقوق الملكية، نحصل على

${\displaystyle \sigma _{E}E_{0}=N(d_{1})\sigma _{V}V_{0}.}$

تشكل هذه المعادلة ومعادلة تقييم الأسهم المذكورة أعلاه زوجًا من المعادلات غير الخطية المتزامنة التي يمكن حلها لـ${\displaystyle V_{0}}$و${\displaystyle \sigma _{V}}$ويمكن بعد ذلك استخدام التقديرات الناتجة لحساب${\displaystyle d_{2}}$واحتمالية التخلف عن السداد الضمنية في النموذج. ^{[ 5 ]}