طريقة حساب المتوسط

• يوجد تقريبان في هذا ما يسمى بتقدير التقريب الأول : الاختزال إلى متوسط ​​حقل المتجهات وإهمال${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$شروط.
• التناسق فيما يتعلق بالحالة الأولية${\displaystyle x_{0}}$إذا قمنا بالتغيير${\displaystyle x_{0}}$يؤثر هذا على تقدير${\displaystyle L}$و${\displaystyle c}$يمكن الاطلاع على البرهان والمناقشة المتعلقة بهذا الأمر في كتاب ج. موردوك. ^{[ 3 ]}
• تبسيط الانتظام: هناك صيغة أكثر عمومية لهذه النظرية تتطلب فقط${\displaystyle f^{1}}$أن يكون ليبشيتز و${\displaystyle f^{[2]}}$متصلة. هذا برهان أحدث، ويمكن الاطلاع عليه في ساندرز وآخرون ^{[ 2 ]} . يعود نص النظرية المعروض هنا إلى إطار البرهان الذي اقترحه كريلوف-بوغوليوبوف، والذي يعتمد على إدخال تحويل شبه متطابق. وتكمن ميزة هذه الطريقة في إمكانية تطبيقها على حالات أكثر عمومية، مثل الأنظمة اللانهائية الأبعاد - المعادلات التفاضلية الجزئية أو المعادلات التفاضلية التأخيرية.
• يقدم ج. هيل تعميمات للحقول المتجهة شبه الدورية. ^{[ 4 ]}

أدرك كريلوف-بوغوليوبوف أن الديناميكيات البطيئة للنظام تحدد الرتبة الرئيسية للحل التقاربي.

ولإثبات ذلك، اقترحوا تحويلاً شبه متطابق، والذي تبين أنه تغيير في الإحداثيات مع مقياس زمني خاص به يحول النظام الأصلي إلى النظام المتوسط.

• يمكن تطبيق الأمر نفسه على الأجزاء الخطية المتغيرة مع الزمن. ورغم أن كتابة الحل الأساسي بشكل صريح قد تكون معقدة، إلا أن الإجراء متشابه. انظر ساندرز وآخرون ^{[ 2 ]} لمزيد من التفاصيل.
• إذا كانت القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$ليست جميعها تخيلية بحتة، وهذا ما يُسمى شرط القطع الزائد . في هذه الحالة، قد تُثير معادلة الاضطراب بعض المشاكل الخطيرة حتى لو${\displaystyle g}$^{[ 2 ]} تكون محدودة، لأن الحل ينمو بسرعة أسية. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، من الناحية النوعية، قد نتمكن من معرفة الحل التقاربي، مثل نتائج هارتمان-غروبمان وغيرها.
• في بعض الأحيان، قد تُنتج الإحداثيات القطبية أشكالًا قياسية أسهل في التحليل. ضع في اعتبارك${\displaystyle z_{1}=r\sin(t-\phi )~{\text{and}}~z_{2}=r\cos(t-\phi )}$، الذي يحدد الحالة الأولية${\displaystyle (r(0),\phi (0))}$والنظام$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.}$$

لو${\displaystyle g\in C^{1}}$يمكننا تطبيق المتوسط ​​طالما تم استبعاد جوار نقطة الأصل (لأن الإحداثيات القطبية تفشل): $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\bar {f}}_{1}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds\\[4pt]{\bar {f}}_{2}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi r}}\int _{0}^{2\pi }\sin(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds,\end{array}}}$$ حيث يكون النظام المتوسط $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=\varepsilon {\bar {f}}_{1}^{1}({\bar {r}})\\{\dot {\bar {\phi }}}=\varepsilon {\bar {f}}_{2}^{1}({\bar {r}}).\end{array}}}$$

تتضمن هذه الطريقة بعض الافتراضات والقيود. وتلعب هذه القيود دورًا هامًا عند حساب متوسط ​​المعادلة الأصلية التي لا تتبع الصيغة القياسية، ويمكننا مناقشة مثال مضاد لذلك. المثال التالي لتثبيط هذا التسرع في حساب المتوسط: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,\qquad z(0)=0,\quad {\dot {z}}(0)=1,}$$أين نضع${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=-4\cos ^{2}(t){\dot {z}}}$باتباع الترميز السابق.

يتوافق هذا النظام مع مذبذب توافقي مخمد حيث يتذبذب حد التخميد بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 4\varepsilon }$. حساب متوسط ​​حد الاحتكاك على مدار دورة واحدة من${\displaystyle 2\pi }$ينتج عن ذلك المعادلة التالية: $${\displaystyle {\ddot {\bar {z}}}+2\varepsilon {\dot {\bar {z}}}+{\bar {z}}=0,\qquad {\bar {z}}(0)=0,\quad {\dot {\bar {z}}}(0)=1.}$$الحل هو $${\displaystyle {\bar {z}}(t)={\frac {1}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}e^{-\varepsilon t}\sin {((1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}t)}.}$$ والتي يكون معدل تقاربها إلى نقطة الأصل${\displaystyle \varepsilon }$ينتج عن النظام المتوسط ​​المُستخلص من الصيغة القياسية ما يلي: $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(2+\cos(2{\bar {\phi }})),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}={\frac {1}{2}}\varepsilon \sin(2{\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$ والذي يُظهر بوضوح في الإحداثيات المستطيلة أن معدل التقارب إلى نقطة الأصل هو بالفعل${\textstyle {\frac {3}{2}}\varepsilon }$يختلف عن النظام السابق الذي يعتمد على المتوسطات الخام: $${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {3}{2}}\varepsilon t}\sin {t}}$$

كان فان دير بول مهتمًا بالحصول على حلول تقريبية لمعادلات من النوع $${\displaystyle {\ddot {z}}+\varepsilon (1-z^{2}){\dot {z}}+z=0,}$$ أين${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=(1-z^{2}){\dot {z}}}$باتباع الترميز السابق، يُطلق على هذا النظام غالبًا اسم مذبذب فان دير بول . يوفر تطبيق المتوسط ​​الدوري على هذا المذبذب غير الخطي معرفة نوعية بفضاء الطور دون الحاجة إلى حل النظام بشكل صريح.

النظام المتوسط ​​هو $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(1-{\frac {1}{4}}{\bar {r}}^{2})\\{\dot {\bar {\phi }}}=0,\end{array}}}$$ ويمكننا تحليل النقاط الثابتة واستقرارها. توجد نقطة ثابتة غير مستقرة عند نقطة الأصل، ودورة حدية مستقرة ممثلة بـ${\displaystyle {\bar {r}}=2}$.

يمكن صياغة وجود مثل هذه الدورة الحدية المستقرة كنظرية.

نظرية (وجود مدار دوري) ^{[ 5 ]} : إذا${\displaystyle p_{0}}$هي نقطة ثابتة زائدية لـ $${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)}$$ثم يوجد${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$، $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon )}$$ يتميز بمدار دوري زائدي فريد${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }(t)=p_{0}+{\mathcal {O}}(\varepsilon )}$من نفس نوع الاستقرار مثل${\displaystyle p_{0}}$.

يمكن الاطلاع على البرهان في غوكنهايمر وهولمز، ^{[ 5 ]} وساندرز وآخرون ^{[ 2 ]} وبالنسبة لحالة الزاوية في شيكون. ^{[ 1 ]}

تفترض نظرية المتوسط ​​وجود منطقة متصلة ومحدودة${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$مما يؤثر على الفترة الزمنية${\displaystyle L}$فيما يتعلق بصحة النتيجة. يوضح المثال التالي ذلك. لنفترض $${\displaystyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1,}$$ أين${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=8{\dot {z}}^{2}\cos(t)}$يتكون النظام المتوسط ​​من $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=3\varepsilon {\bar {r}}^{2}\cos({\bar {\phi }}),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}=-\varepsilon {\bar {r}}\sin({\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$ وهذا في ظل هذه الظروف الأولية يشير إلى أن الحل الأصلي يتصرف مثل $${\displaystyle z(t)={\frac {\sin(t)}{1-3\varepsilon t}}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$ حيث ينطبق ذلك على منطقة محدودة فوق${\displaystyle 0\leq \varepsilon t\leq L<{\frac {1}{3}}}$.

لنفترض وجود بندول مخمد تهتز نقطة تعليقه عموديًا بإشارة ذات سعة صغيرة وتردد عالٍ (يُعرف هذا عادةً باسم التذبذب ). تُعطى معادلة الحركة لهذا البندول بالصيغة التالية: $${\displaystyle m(l{\ddot {\theta }}-ak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta )=-mg\sin \theta -k(l{\dot {\theta }}+a\omega \cos \omega t\sin \theta )}$$ أين${\displaystyle a\sin \omega t}$يصف حركة نقطة التعليق،${\displaystyle k}$يصف تخميد البندول، و${\displaystyle \theta }$هي الزاوية التي يصنعها البندول مع الخط الرأسي.

يُعطى شكل فضاء الطور لهذه المعادلة بواسطة$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {t}}&=1\\{\dot {\theta }}&=p\\{\dot {p}}&={\frac {1}{ml}}(mak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta -mg\sin \theta -k(lp+a\omega \cos \omega t\sin \theta ))\end{aligned}}}$$ حيث أدخلنا المتغير${\displaystyle p}$وكتب النظام كنظام مستقل من الدرجة الأولى في${\displaystyle (t,\theta ,p)}$-فضاء.

لنفترض أن التردد الزاوي للاهتزازات الرأسية،${\displaystyle \omega }$، وهو أكبر بكثير من التردد الطبيعي للبندول،${\textstyle {\sqrt {g/l}}}$لنفترض أيضاً أن سعة الاهتزازات الرأسية،${\displaystyle a}$، وهو أقل بكثير من الطول${\displaystyle l}$للبندول. سيرسم مسار البندول في فضاء الطور شكلاً حلزونياً حول منحنى${\displaystyle C}$، والمضي قدماً${\displaystyle C}$بوتيرة بطيئة${\displaystyle {\sqrt {g/l}}}$لكن التحرك حولها بسرعة${\displaystyle \omega }$نصف قطر اللولب حول${\displaystyle C}$سيكون صغيرًا ومتناسبًا مع${\displaystyle a}$. متوسط ​​سلوك المسار، على مدى زمني أكبر بكثير من${\displaystyle 2\pi /\omega }$، سيكون اتباع المنحنى${\displaystyle C}$.