نظرية المجموعات (الموسيقى)

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة
مثال على علاقة Z على مجموعتين من النغمات يمكن تحليلهما أو اشتقاقهما من Z17، [ 1 ] مع تسمية الفواصل بين فئات النغمات لتسهيل المقارنة بين المجموعتين ومتجه الفواصل المشترك بينهما، 212320

تُقدّم نظرية المجموعات الموسيقية مفاهيم لتصنيف العناصر الموسيقية ووصف علاقاتها. وقد وضع هوارد هانسون العديد من المفاهيم لتحليل الموسيقى النغمية . [ 2 ] كما طوّر منظّرون آخرون، مثل ألين فورتي ، هذه النظرية لتحليل الموسيقى اللانغمية ، [ 3 ] مستندين إلى نظرية الاثنتي عشرة نغمة لميلتون بابيت . تتسم مفاهيم نظرية المجموعات الموسيقية بعموميتها، ويمكن تطبيقها على الأنماط النغمية واللانغمية في أي نظام ضبط متساوي ، بل وأكثر من ذلك في بعض الجوانب.

يتناول أحد فروع نظرية المجموعات الموسيقية مجموعات ( مجموعات وتباديل ) النغمات وفئاتها ( نظرية مجموعات فئات النغمات ) ، والتي قد تكون مرتبة أو غير مرتبة ، ويمكن ربطها بعمليات موسيقية مثل النقل ، والانعكاس اللحني ، والتتميم . كما يطبق بعض المنظرين أساليب نظرية المجموعات الموسيقية على تحليل الإيقاع .

مقارنة بنظرية المجموعات الرياضية

على الرغم من أن نظرية المجموعات الموسيقية يُعتقد غالبًا أنها تتضمن تطبيق نظرية المجموعات الرياضية على الموسيقى، إلا أن هناك اختلافات عديدة بين أساليب ومصطلحات كل منهما. فعلى سبيل المثال، يستخدم الموسيقيون مصطلحي النقل والانعكاس ، بينما يستخدم علماء الرياضيات مصطلحي الإزاحة والانعكاس . علاوة على ذلك، فبينما تشير نظرية المجموعات الموسيقية إلى المجموعات المرتبة، تشير الرياضيات عادةً إلى المتتاليات أو المجموعات المرتبة (مع أن الرياضيات تتحدث أيضًا عن المجموعات المرتبة ، ورغم أن هذه الأخيرة قد تشمل النوع الموسيقي بمعنى ما، إلا أنها أكثر تعقيدًا بكثير).

علاوة على ذلك، ترتبط نظرية المجموعات الموسيقية ارتباطًا أوثق بنظرية الزمر والتوافقية منها بنظرية المجموعات الرياضية، التي تُعنى بأمور مثل أحجام المجموعات اللانهائية. في التوافقية، تُسمى المجموعة الجزئية غير المرتبة المكونة من n عنصرًا، مثل فئات النغمات ، بالتوافقية ، بينما تُسمى المجموعة الجزئية المرتبة بالتبديل . يُنظر إلى نظرية المجموعات الموسيقية على أنها تطبيق للتوافقية على نظرية الموسيقى أكثر من كونها فرعًا من نظرية المجموعات الرياضية. ويكمن ارتباطها الرئيسي بنظرية المجموعات الرياضية في استخدام مصطلحات نظرية المجموعات للحديث عن المجموعات المنتهية. [ 4 ]

أنواع المجموعات

المفهوم الأساسي لنظرية المجموعات الموسيقية هو المجموعة (الموسيقية)، وهي عبارة عن مجموعة غير مرتبة من فئات النغمات. [ 5 ] وبشكل أدق، فإن مجموعة فئات النغمات هي تمثيل عددي يتكون من أعداد صحيحة مميزة (أي بدون تكرارات). [ 6 ] يمكن أن تتجلى عناصر المجموعة في الموسيقى على شكل أوتار متزامنة ، أو نغمات متتالية (كما في اللحن)، أو كليهما. تختلف اصطلاحات التدوين من مؤلف لآخر، ولكن عادةً ما تُحاط المجموعات بأقواس معقوفة: {}، [ 7 ] أو أقواس مربعة: []. [ 6 ]

يستخدم بعض المنظرين الأقواس الزاوية ⟨ ⟩ للدلالة على المتتاليات المرتبة، [ 8 ] بينما يميز آخرون المجموعات المرتبة بفصل الأرقام بمسافات. [ 9 ] وهكذا، يمكن تدوين المجموعة غير المرتبة من فئات النغمات 0 و1 و2 (المقابلة في هذه الحالة لدو، دو دييز ، وري) على النحو {0,1,2}. أما المتتالية المرتبة دو دييز - ري فتُدوّن على النحو ⟨ 0,1,2 ⟩ أو (0,1,2). مع أن دو تُعتبر صفرًا في هذا المثال، إلا أن هذا ليس هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، قد يكون من المفيد تحليل مقطوعة موسيقية (سواء كانت نغمية أو لا نغمية) ذات مركز نغمي واضح هو فا، مع اعتبار فا صفرًا (وفي هذه الحالة، تُمثل {0,1,2} فا، فا دييز ، صول). (للاطلاع على استخدام الأرقام لتمثيل النوتات الموسيقية، انظر فئة النغمة ).

على الرغم من أن علماء نظرية المجموعات عادةً ما ينظرون في مجموعات من فئات النغمات المتساوية التوزيع، فإنه من الممكن النظر في مجموعات من النغمات، أو فئات النغمات غير المتساوية التوزيع، أو بدايات الإيقاع، أو "فئات النبض". [ 10 ] [ 11 ]

تُسمى المجموعات المكونة من عنصرين بالثنائيات ، والمجموعات المكونة من ثلاثة عناصر بالثلاثيات (وأحيانًا "الثلاثيات"، على الرغم من أن هذا يُخلط بسهولة مع المعنى التقليدي لكلمة ثلاثية ). تُسمى المجموعات ذات الأعداد الأكبر بالرباعيات (أو الرباعيات)، والخماسيات (أو الخماسيات)، والسداسيات (أو السداسيات)، والسباعيات (أو السباعيات أو، في بعض الأحيان، بمزج الجذور اللاتينية واليونانية، "السبتيات" - على سبيل المثال Rahn )، [ 12 ] والثمانيات (الثمانيات)، والتساعيات (التساعيات)، والعشريات (العشريات)، والأحد عشريات ، وأخيرًا، الاثني عشريات .

العمليات الأساسية

انعكاس فئة النغمة: 234te معكوسة حول الصفر لتصبح t9821

العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها على مجموعة موسيقية هي النقل والانعكاس . تُسمى المجموعات المرتبطة بالنقل أو الانعكاس بالمجموعات ذات الصلة النقلية أو الانعكاسية، وتنتمي إلى نفس فئة المجموعة . ولأن النقل والانعكاس هما تحويلان متساويان في فضاء فئات النغمات، فإنهما يحافظان على البنية الفاصلية للمجموعة، حتى وإن لم يحافظا على الطابع الموسيقي لعناصرها. ويمكن اعتبار هذا المبدأ الأساسي لنظرية المجموعات الموسيقية. عمليًا، غالبًا ما يتضمن التحليل الموسيقي القائم على نظرية المجموعات تحديد العلاقات النقلية أو الانعكاسية غير البديهية بين المجموعات الموجودة في مقطوعة موسيقية.

يتناول بعض المؤلفين عمليتي الإكمال والضرب أيضًا. مكملة المجموعة X هي المجموعة التي تتكون من جميع فئات النغمات غير الموجودة في X. [ 13 ] حاصل ضرب فئتين من النغمات هو حاصل ضرب أرقام فئات النغمات الخاصة بهما بتردد 12. ولأن الإكمال والضرب ليسا تحويلين متساويي القياس لفضاء فئات النغمات، فإنهما لا يحافظان بالضرورة على الطابع الموسيقي للأشياء التي يحولانها. وقد أكد مؤلفون آخرون، مثل ألين فورتي، على علاقة Z ، التي تنشأ بين مجموعتين تشتركان في نفس المحتوى الكلي للفواصل، أو متجه الفواصل ، ولكنهما ليستا متكافئتين من حيث النقل أو الانعكاس. [ 14 ] ويُطلق على هذه العلاقة أيضًا اسم "متساوية القياس"، كما استخدمه هانسون . [ 15 ] [ 16 ]

تشمل العمليات على التسلسلات المرتبة لفئات النغمات النقل والانعكاس، بالإضافة إلى الرجوع والتدوير . يؤدي الرجوع إلى التسلسل المرتب إلى عكس ترتيب عناصره. أما تدوير التسلسل المرتب فهو مكافئ للتبديل الدوري .

يمكن تمثيل النقل والانعكاس كعمليات حسابية أساسية. إذا كان x عددًا يُمثل فئة صوتية، فإن نقله بمقدار n نصف نغمة يُكتب T <sub>n</sub>  = x + n mod 12. أما الانعكاس فيُقابله انعكاس حول نقطة ثابتة في فضاء الفئات الصوتية . إذا كان x فئة صوتية، فإن الانعكاس برقم الدليل n يُكتب I <sub>n </sub> = n - x mod 12.           

علاقة التكافؤ

لكي تكون العلاقة في المجموعة S علاقة تكافؤ [في الجبر ]، يجب أن تستوفي ثلاثة شروط: أن تكون انعكاسية ، ومتناظرة ، ومتعدية . [ 17 ] في الواقع، لطالما كان المفهوم غير الرسمي للتكافؤ جزءًا من نظرية الموسيقى وتحليلها. مع ذلك، التزمت نظرية مجموعات PC بالتعريفات الرسمية للتكافؤ. [ 18 ]

فئات المجموعات المتبادلة والانعكاسية

يُقال إن مجموعتين مرتبطتين بالتبديل تنتميان إلى نفس فئة المجموعات التبديلية (T<sub> n</sub> ). ويُقال إن مجموعتين مرتبطتين بالتبديل أو الانعكاس تنتميان إلى نفس فئة المجموعات التبديلية/الانعكاسية (يُكتب الانعكاس T<sub> n</sub> I أو I<sub> n</sub> ). تتميز المجموعات التي تنتمي إلى نفس فئة المجموعات التبديلية بتشابه صوتي كبير؛ بينما قد تتضمن المجموعات التي تنتمي إلى نفس فئة المجموعات التبديلية/الانعكاسية وترين من النوع نفسه ولكن في مفتاحين موسيقيين مختلفين، مما يجعلهما أقل تشابهًا صوتيًا، ولكنهما يظلان فئة محددة. لهذا السبب، غالبًا ما يعتبر منظرو الموسيقى فئات المجموعات عناصر أساسية ذات أهمية موسيقية.

هناك اصطلاحان رئيسيان لتسمية فئات المجموعات الموسيقية المتساوية التوزيع. أحدهما، المعروف باسم رقم فورتي ، مشتق من ألين فورتي، الذي يُعد كتابه "بنية الموسيقى اللانغمية " (1973) من أوائل الأعمال في نظرية المجموعات الموسيقية. وقد خصّص فورتي لكل فئة مجموعة رقمًا على الصورة c – d ، حيث يشير c إلى عدد عناصر المجموعة و d إلى ترتيبها. [ 19 ] وهكذا، ينتمي التريكورد الكروماتي {0، 1، 2} إلى فئة المجموعة 3–1، مما يدل على أنه أول فئة مجموعة من ثلاث نغمات في قائمة فورتي. [ 20 ] أما التريكورد المُعزز {0، 4، 8}، فيحمل الرقم 3–12، وهو آخر تريكورد في قائمة فورتي.

تتمثل الانتقادات الرئيسية لتسمية فورتي فيما يلي: (1) تسميات فورتي اعتباطية ويصعب حفظها، وغالبًا ما يكون من الأسهل عمليًا سرد عنصر من فئة المجموعة؛ (2) يفترض نظام فورتي التوزيع المتساوي للأصوات، ولا يمكن توسيعه بسهولة ليشمل المجموعات الديوتونية، أو مجموعات النغمات (على عكس مجموعات فئات النغمات)، أو المجموعات المتعددة ، أو المجموعات في أنظمة ضبط أخرى؛ (3) يعتبر نظام فورتي الأصلي المجموعات ذات العلاقة الانعكاسية منتمية إلى نفس فئة المجموعة. وهذا يعني، على سبيل المثال، أن الثلاثية الكبرى والثلاثية الصغرى تُعتبران نفس المجموعة.

لطالما اعتبرت الموسيقى الغربية ذات الطابع النغمي، على مرّ القرون، السلالم الكبيرة والصغيرة، بالإضافة إلى انعكاسات الأوتار، مختلفةً اختلافًا جوهريًا. فهي تُنتج بالفعل أجسامًا فيزيائية مختلفة تمامًا. ويُعدّ تجاهل الواقع الفيزيائي للصوت قيدًا واضحًا لنظرية الموسيقى اللانغمية. ومع ذلك، فقد دُفع بأن هذه النظرية لم تُبتكر لسدّ فراغٍ ناتج عن قصور النظريات القائمة في تفسير الموسيقى النغمية. بل إن نظرية فورتي تُستخدم لتفسير الموسيقى اللانغمية، حيث ابتكر المؤلف نظامًا قد لا يكون فيه التمييز بين {0، 4، 7} (المسمى "كبيرًا" في نظرية النغم) وانعكاسه {0، 3، 7} (المسمى "صغيرًا" في نظرية النغم) ذا صلة.

يُصنِّف نظام الترميز الثاني المجموعات وفقًا لشكلها الطبيعي ، والذي يعتمد على مفهوم الترتيب الطبيعي . لوضع مجموعة في ترتيب طبيعي، تُرتَّب على شكل سلم تصاعدي في فضاء فئات النغمات يمتد على أقل من أوكتاف. ثم تُبدَّل دوريًا حتى تصبح النغمة الأولى والأخيرة متقاربتين قدر الإمكان. في حالة التساوي، تُقلَّل المسافة بين النغمة الأولى والنغمة قبل الأخيرة. (في حالة التساوي هنا، تُقلَّل المسافة بين النغمة الأولى والنغمة قبل قبل الأخيرة، وهكذا). بالتالي، فإن المجموعة {0، 7، 4} في الترتيب الطبيعي هي {0، 4، 7}، بينما المجموعة {0، 2، 10} في الترتيب الطبيعي هي {10، 0، 2}. لوضع مجموعة في شكل طبيعي، ابدأ بوضعها في الترتيب الطبيعي، ثم انقلها بحيث تكون فئة النغمة الأولى 0. [ 21 ] غالبًا ما يقوم علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر بترتيب المجموعات باستخدام الترتيب الأبجدي أو الترتيب الثنائي (الأساس 2) أو ترميز غراي ، وكل منها يؤدي إلى أشكال طبيعية مختلفة ولكنها منطقية.

بما أن المجموعات المرتبطة بالتبديل تشترك في نفس الشكل الطبيعي، يمكن استخدام الأشكال الطبيعية لتسمية فئات مجموعة T n .

لتحديد فئة مجموعة T n /I n :

  • حدد فئة المجموعة T n .
  • اعكس المجموعة وابحث عن فئة مجموعة T n للانعكاس .
  • قارن بين هذين الشكلين الطبيعيين لمعرفة أيهما أكثر "امتلاءً من اليسار".

تُصنّف المجموعة الناتجة فئة المجموعة T n /I n للمجموعة الأولية.

التناظرات

عدد العمليات المختلفة في نظام ما التي تُسقط مجموعةً على نفسها هو درجة تناظر تلك المجموعة . [ 22 ] تُحدد درجة التناظر عدد العمليات التي تحافظ على مجموعات الفئات النغمية غير المرتبة لتقسيم ما؛ وتُبين مدى تطابق مجموعات فئات النغمات في ذلك التقسيم مع بعضها البعض تحت تأثير النقل أو الانعكاس. [ 23 ] لكل مجموعة تناظر واحد على الأقل، حيث تُسقط على نفسها تحت تأثير عملية التطابق T₀ . [ 24 ] تُسقط المجموعات المتناظرة نقليًا على نفسها لـ Tₙ حيث n لا يساوي صفرًا (mod 12). تُسقط المجموعات المتناظرة انعكاسيًا على نفسها تحت تأثير TₙI . بالنسبة لأي نوع Tₙ /TₙI مُعطى ، فإن جميع المجموعات لها نفس درجة التناظر. عدد المجموعات المختلفة في نوع ما هو 24 (العدد الإجمالي للعمليات، النقل والانعكاس، لـ n  =  0 إلى 11) مقسومًا على درجة تناظر النوع Tₙ / TₙI .

تُقسّم المجموعات المتناظرة نقلياً الأوكتاف بالتساوي، أو يمكن كتابتها كاتحاد لمجموعات متساوية الحجم تُقسّم الأوكتاف بالتساوي بدورها. أما الأوتار المتناظرة انعكاسياً، فهي ثابتة تحت الانعكاسات في فضاء فئات النغمات. وهذا يعني أنه يمكن ترتيب الأوتار دورياً بحيث تكون سلسلة الفواصل بين النوتات المتتالية هي نفسها سواءً قُرئت من الأمام أو الخلف. على سبيل المثال، في الترتيب الدوري (0، 1، 2، 7)، الفاصل بين النوتة الأولى والثانية هو 1، والفاصل بين النوتة الثانية والثالثة هو 1، والفاصل بين النوتة الثالثة والرابعة هو 5، والفاصل بين النوتة الرابعة والأولى هو 5. [ 25 ]

نحصل على نفس المتتالية إذا بدأنا بالعنصر الثالث من المتسلسلة وتحركنا للخلف: الفاصل الزمني بين العنصر الثالث والثاني هو 1؛ والفاصل الزمني بين العنصر الثاني والأول هو 1؛ والفاصل الزمني بين العنصر الأول والرابع هو 5؛ والفاصل الزمني بين العنصر الأخير والثالث هو 5. وبالتالي، يوجد تناظر بين T₀ و T₂I ، وهناك 12 مجموعة في فئة التكافؤ Tₙ / TₙI . [ 25 ]

انظر أيضاً

مراجع

مصادر

  • أليجانت، برايان. 2001. "التقسيمات المتقاطعة كتناغم وقيادة صوتية في موسيقى الاثنتي عشرة نغمة". طيف نظرية الموسيقى 23، العدد 1 (الربيع): 1-40.
  • كوهين، ألين لورانس. 2004. هوارد هانسون في النظرية والتطبيق . مساهمات في دراسة الموسيقى والرقص 66. ويستبورت، كونيتيكت ولندن: براغر. ISBN 0-313-32135-3.
  • كوهن، ريتشارد . 1992. "الدمج التحويلي لمجموعات فئات الإيقاع في موسيقى ستيف رايش ذات التحول الطوري". وجهات نظر الموسيقى الجديدة 30، العدد 2 (الصيف): 146-177.
  • فورتي، ألين . 1973. بنية الموسيقى اللانغمية . نيو هيفن ولندن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-01610-7(قماش) رقم الكتاب المعياري الدولي 0-300-02120-8(غلاف ورقي).
  • هانسون، هوارد . 1960. المواد التوافقية للموسيقى الحديثة: موارد السلم الموسيقي المعدل . نيويورك: أبليتون-سينشري-كروفتس.
  • ران، جون . 1980. نظرية اللحن اللانغمي الأساسية . نيويورك: شيرمر بوكس؛ لندن وتورنتو: برنتيس هول إنترناشونال. ISBN 0-02-873160-3.
  • شويجر، ميشيل. 2008. تحليل الموسيقى اللانغمية: نظرية مجموعة طبقات الصوت وسياقاتها . ISBN 978-1-58046-270-9.
  • واربورتون، دان. 1988. "مصطلحات عملية للموسيقى البسيطة". إنتغرال 2: 135-159.

للمزيد من القراءة

  • كارتر، إليوت . 2002. كتاب هارموني ، حرره نيكولاس هوبكنز وجون إف. لينك. نيويورك: كارل فيشر. ISBN 0-8258-4594-7.
  • ليوين، ديفيد . 1993. الشكل الموسيقي والتحول: أربع مقالات تحليلية . نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-05686-9أُعيد طبعه، مع مقدمة بقلم إدوارد جولين، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، 2007. رقم ISBN 978-0-19-531712-1.
  • ليوين، ديفيد. 1987. الفواصل الموسيقية العامة والتحولات . نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-03493-8أُعيد طبعه، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، 2007. رقم ISBN 978-0-19-531713-8.
  • موريس، روبرت . 1987. التأليف الموسيقي باستخدام فئات النغمات: نظرية التصميم التأليفي . نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-03684-1.
  • بيرل، جورج . 1996. نظام الاثنتي عشرة نغمة ، الطبعة الثانية، منقحة وموسعة. بيركلي: مطبعة جامعة كاليفورنيا. ISBN 0-520-20142-6(الطبعة الأولى 1977، رقم ISBN) 0-520-03387-6)
  • ستار، دانيال. 1978. "المجموعات، والثبات، والتقسيمات". مجلة نظرية الموسيقى 22، العدد 1 (الربيع): 1-42.
  • ستراوس، جوزيف ن. 2005. مقدمة في نظرية ما بعد النغمية ، الطبعة الثالثة. أبر سادل ريفر، نيو جيرسي: برنتيس هول. ISBN 0-13-189890-6.