مرشح غير خطي

في معالجة الإشارات ، المرشح غير الخطي هو مرشح لا يكون خرجه دالة خطية لمدخلاته. أي إذا كان المرشح يخرج إشارات $R$ و $S$ لإشارتي مدخلات $r$ و $s$ بشكل منفصل، لكنه لا يخرج دائمًا $αR + βS$ عندما يكون المدخل عبارة عن تركيبة خطية $αr + βs$ .

قد تكون كل من المرشحات ذات المجال المستمر والمجال المنفصل غير خطية. ومن الأمثلة البسيطة على الأول جهاز كهربائي يكون جهد خرجه $R (t)$ في أي لحظة هو مربع جهد الدخل $r (t)$ ؛ أو يكون الدخل مقطوعًا إلى نطاق ثابت $[a, b]$ ، أي $R (t) = max(a, min(b, r (t)))$ . ومن الأمثلة المهمة على الأخير مرشح المتوسط المتحرك ، بحيث تكون كل عينة خرج $R i$ هي متوسط آخر ثلاث عينات إدخال $r i, r i -1, r i -2$ . ومثل المرشحات الخطية، قد تكون المرشحات غير الخطية ثابتة الإزاحة أو لا.

تستخدم المرشحات غير الخطية في العديد من التطبيقات، وخاصة في إزالة أنواع معينة من الضوضاء غير المضافة . على سبيل المثال، يستخدم المرشح المتوسط على نطاق واسع لإزالة ضوضاء المسامير - التي تؤثر فقط على نسبة صغيرة من العينات، وربما بكميات كبيرة جدًا. في الواقع، تستخدم جميع أجهزة الاستقبال الراديوية مرشحات غير خطية لتحويل إشارات الكيلو هرتز إلى جيجا هرتز إلى نطاق التردد الصوتي ؛ وتعتمد جميع عمليات معالجة الإشارات الرقمية على المرشحات غير الخطية ( محولات التناظرية إلى الرقمية ) لتحويل الإشارات التناظرية إلى أرقام ثنائية .

ومع ذلك، فإن المرشحات غير الخطية أصعب بكثير في الاستخدام والتصميم من المرشحات الخطية، وذلك لأنه لا يمكن استخدام أقوى الأدوات الرياضية لتحليل الإشارة (مثل استجابة النبضة واستجابة التردد ) عليها. على سبيل المثال، غالبًا ما تُستخدم المرشحات الخطية لإزالة الضوضاء والتشوهات الناتجة عن العمليات غير الخطية، وذلك ببساطة لأن المرشح غير الخطي المناسب سيكون من الصعب جدًا تصميمه وبنائه.

ومن خلال ما سبق، يمكننا أن نعرف أن المرشحات غير الخطية لها سلوك مختلف تمامًا مقارنة بالمرشحات الخطية. وأهم سمة هي أنه بالنسبة للمرشحات غير الخطية، فإن خرج المرشح أو استجابته لا يتبع المبادئ الموضحة سابقًا، وخاصة التدرج وثبات التحول. وعلاوة على ذلك، يمكن للمرشح غير الخطي أن ينتج نتائج تختلف بطريقة غير بديهية.

النظام الخطي

هناك عدة مبادئ تحدد النظام الخطي . التعريف الأساسي للخطية هو أن الناتج يجب أن يكون دالة خطية للمدخلات، أي

\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}

لأي قيم عددية و . هذه خاصية أساسية لتصميم النظام الخطي، وتُعرف باسم التراكب. لذا، يُقال عن النظام أنه غير خطي إذا كانت هذه المعادلة غير صالحة. وهذا يعني أنه عندما يكون النظام خطيًا، يمكن تطبيق مبدأ التراكب. هذه الحقيقة المهمة هي السبب في أن تقنيات تحليل النظام الخطي قد تم تطويرها بشكل جيد. $\alpha \,$ $\beta \,$

التطبيقات

إزالة الضوضاء

غالبًا ما تتلف الإشارات أثناء النقل أو المعالجة؛ والهدف المتكرر في تصميم المرشح هو استعادة الإشارة الأصلية، وهي العملية التي تسمى عادةً "إزالة الضوضاء". أبسط نوع من الفساد هو الضوضاء المضافة، عندما تتم إضافة الإشارة المرغوبة S مع إشارة غير مرغوب فيها N ليس لها اتصال معروف مع S. إذا كان للضوضاء N وصف إحصائي بسيط، مثل الضوضاء الغوسية ، فإن مرشح كالمان سيقلل N ويستعيد S إلى الحد المسموح به بواسطة نظرية شانون . على وجه الخصوص، إذا لم تتداخل S و N في مجال التردد ، فيمكن فصلهما تمامًا بواسطة مرشحات النطاق الترددي الخطي .

من ناحية أخرى، بالنسبة لأي شكل آخر من أشكال الضوضاء، ستكون هناك حاجة إلى نوع ما من المرشحات غير الخطية لاستعادة الإشارة إلى أقصى حد. بالنسبة للضوضاء المضاعفة (التي يتم ضربها بالإشارة بدلاً من إضافتها إليها)، على سبيل المثال، قد يكون من الكافي تحويل المدخلات إلى مقياس لوغاريتمي ، وتطبيق مرشح خطي، ثم تحويل النتيجة إلى مقياس خطي . في هذا المثال، الخطوتان الأولى والثالثة ليستا خطيتين.

قد تكون المرشحات غير الخطية مفيدة أيضًا عندما تكون بعض السمات "غير الخطية" للإشارة أكثر أهمية من محتويات المعلومات الإجمالية. في معالجة الصور الرقمية ، على سبيل المثال، قد يرغب المرء في الحفاظ على حدة حواف الظلال للأشياء في الصور الفوتوغرافية، أو اتصال الخطوط في الرسومات الممسوحة ضوئيًا. عادةً ما يعمل مرشح إزالة الضوضاء الخطي على طمس هذه السمات؛ قد يعطي المرشح غير الخطي نتائج أكثر إرضاءً (حتى لو كانت الصورة الضبابية أكثر "صحة" بالمعنى النظري للمعلومات).

تعمل العديد من مرشحات إزالة الضوضاء غير الخطية في مجال الوقت. وهي تفحص عادةً الإشارة الرقمية المدخلة ضمن نافذة محدودة تحيط بكل عينة، وتستخدم نموذج استدلال إحصائي (ضمنيًا أو صراحةً) لتقدير القيمة الأكثر احتمالية للإشارة الأصلية عند تلك النقطة. يُعرف تصميم مثل هذه المرشحات باسم مشكلة الترشيح لعملية عشوائية في نظرية التقدير ونظرية التحكم .

تتضمن أمثلة المرشحات غير الخطية ما يلي:

تحتل المرشحات غير الخطية أيضًا مكانة حاسمة في وظائف معالجة الصور. في خط الأنابيب النموذجي لمعالجة الصور في الوقت الفعلي، من الشائع تضمين العديد من المرشحات غير الخطية لتشكيل وتشكيل وكشف ومعالجة معلومات الصورة. علاوة على ذلك، يمكن تحديد معلمات كل من أنواع المرشحات هذه للعمل بطريقة واحدة في ظل ظروف معينة وبطريقة أخرى في ظل مجموعة مختلفة من الظروف باستخدام إنشاء قواعد المرشح التكيفي. تتنوع الأهداف من إزالة الضوضاء إلى تجريد الميزات. يعد ترشيح بيانات الصورة عملية قياسية تستخدم في جميع أنظمة معالجة الصور تقريبًا. المرشحات غير الخطية هي أكثر أشكال بناء المرشحات استخدامًا. على سبيل المثال، إذا كانت الصورة تحتوي على كمية منخفضة من الضوضاء ولكن ذات حجم مرتفع نسبيًا، فقد يكون المرشح المتوسط أكثر ملاءمة.

تصفية كوشنر-ستراتونوفيتش

السياق هنا هو صياغة مشكلة الترشيح غير الخطي من خلال عدسة نظرية العمليات العشوائية. في هذا السياق، يتم وصف كل من الإشارة العشوائية والملاحظات الجزئية الصاخبة من خلال العمليات العشوائية المستمرة في الزمن. يتم نمذجة الإشارة العشوائية غير المرصودة المراد تقديرها من خلال معادلة تفاضلية عشوائية غير خطية من نوع إيتو ودالة الملاحظة عبارة عن تحويل غير خطي مستمر في الزمن للإشارة غير المرصودة، وهي ملاحظة مضطربة بسبب ضوضاء الملاحظة المستمرة في الزمن. ونظرًا للطبيعة غير الخطية للديناميكيات، فإن مفاهيم مجال التردد المألوفة التي يمكن تطبيقها على المرشحات الخطية ليست قابلة للتطبيق، ويتم صياغة نظرية تستند إلى تمثيل مساحة الحالة. المعلومات الكاملة عن المرشح غير الخطي في وقت معين هي قانون احتمال الإشارة غير المرصودة في ذلك الوقت مشروطًا بتاريخ الملاحظات حتى ذلك الوقت. قد يكون لهذا القانون كثافة، وتتخذ المعادلة اللانهائية الأبعاد لكثافة هذا القانون شكل معادلة تفاضلية جزئية عشوائية (SPDE). تم حل مشكلة الترشيح غير الخطي الأمثل في هذا السياق في أواخر الخمسينيات وأوائل الستينيات من قبل رسلان إل ستراتونوفيتش ^[1]^[2]^[3]^[4] وهارولد جيه كوشنر . ^[5] يُطلق على المرشح الأمثل SPDE معادلة كوشنر-ستراتونوفيتش . في عام 1969، قدم موشيه زكاي ديناميكيات مبسطة لقانون الشرط غير الطبيعي للمرشح المعروف باسم معادلة زكاي . ^[6] وقد أثبت ميريل شاليات موريل ودومينيك ميشيل ^[7] أن الحل لا نهائي الأبعاد بشكل عام، وبالتالي يتطلب تقريبات ذات أبعاد محدودة. قد تكون هذه تعتمد على الاستدلالات مثل مرشح كالمان الممتد أو مرشحات الكثافة المفترضة التي وصفها بيتر إس. مايبيك ^[8] أو مرشحات الإسقاط التي قدمها داميانو بريجو وبرنارد هانزون وفرانسوا لو جلاند، ^[9] والتي ثبت أن بعض العائلات الفرعية منها تتطابق مع مرشحات الكثافة المفترضة. ^[10] مرشحات الجسيمات ^[11] هي خيار آخر، مرتبط بطرق مونت كارلو المتسلسلة.

مرشحات نقل الطاقة

مرشحات نقل الطاقة هي فئة من المرشحات الديناميكية غير الخطية التي يمكن استخدامها لنقل الطاقة بطريقة مصممة. ^[12] يمكن نقل الطاقة إلى نطاقات تردد أعلى أو أقل، أو توزيعها على نطاق مصمم، أو تركيزها. هناك العديد من تصميمات مرشح نقل الطاقة الممكنة، وهي توفر درجات إضافية من الحرية في تصميم المرشح والتي لا يمكن تحقيقها باستخدام التصميمات الخطية.

أنواع المرشحات غير الخطية

فلتر الحد الأدنى

مرشح الحد الأدنى المعروف أيضًا باسم التآكل في معالجة الصور الشكلية، هو مرشح مجال مكاني يستخدم لمعالجة الصور. يستبدل كل بكسل في الصورة بالقيمة الدنيا للبكسلات المجاورة لها.

يتم تحديد حجم وشكل الحي بواسطة عنصر هيكلي، وهو عادةً قناع مربع أو دائري.

يؤدي التحويل إلى استبدال البكسل المركزي بالبكسل الأغمق في نافذة التشغيل.

على سبيل المثال، إذا كان لديك نص مطبوع بشكل خفيف، فإن الفلتر الأدنى يجعل الحروف أكثر سمكًا.

فلتر ماكس

مرشح الحد الأقصى ، المعروف أيضًا باسم التمدد في معالجة الصور الشكلية، هو مرشح مجال مكاني آخر يستخدم لمعالجة الصور.

يقوم باستبدال كل بكسل في الصورة بالقيمة القصوى للبكسلات المجاورة لها، والتي يتم تحديدها مرة أخرى بواسطة عنصر هيكلي.

المرشحات القصوى والدنيا لا تتغير مع التحول. في حين يستبدل المرشح الأدنى البكسل المركزي بأغمق بكسل في النافذة الجارية، يستبدله المرشح الأقصى بأفتح بكسل.

على سبيل المثال، إذا كان لديك سلسلة نصية مرسومة بقلم سميك، فيمكنك جعل العلامة أنحف.

انظر أيضا

تقدير أفق التحرك
نظام غير خطي
مرشح الجسيمات
قسم فلتر كالمان غير المعطر في فلتر كالمان
مشكلة الترشيح غير الخطي
مرشحات الإسقاط

مراجع

^ رسلان إل. ستراتونوفيتش (1959)، الأنظمة غير الخطية المثلى التي تؤدي إلى فصل الإشارة ذات المعلمات الثابتة عن الضوضاء . راديوفيزيكا، المجلد 2، العدد 6، الصفحات 892-901.
^ رسلان إل. ستراتونوفيتش (1959). حول نظرية الترشيح غير الخطي الأمثل للوظائف العشوائية . نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 4، الصفحات 223-225.
^ رسلان إل. ستراتونوفيتش (1960)، تطبيق نظرية عمليات ماركوف على الترشيح الأمثل . هندسة الراديو والفيزياء الإلكترونية، المجلد 5، العدد 11، الصفحات 1-19.
^ رسلان إل. ستراتونوفيتش (1960)، عمليات ماركوف الشرطية .نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 5، الصفحات 156-178.
^ كوشنر، هارولد. (1967)، الترشيح غير الخطي: المعادلات الديناميكية الدقيقة التي يلبيها الوضع الشرطي. معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات للتحكم الآلي، المجلد 12، العدد 3، الصفحات 262-267
^ موشيه زاكاي (1969)، حول الترشيح الأمثل لعمليات الانتشار. مجلة Zeitung Wahrsch.، المجلد 11، الصفحات 230-243. MR 242552 Zbl 0164.19201 doi :10.1007/BF00536382
^ شاليا-موريل، ميراي ودومينيك ميشيل (1984)، نتائج عدم وجود مرشح البعد النهائي. الاستوكاستك، المجلد 13، العدد 1+2، الصفحات 83-102.
^ بيتر س. مايبيك (1979)، النماذج العشوائية والتقدير والتحكم. المجلد 141، سلسلة الرياضيات في العلوم والهندسة، أكاديميك بريس
^ داميانو بريجو، وبرنارد هانزون، وفرانسوا ليغلاند (1998) نهج هندسي تفاضلي للترشيح غير الخطي: مرشح الإسقاط، معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات للتحكم التلقائي، المجلد 43، العدد 2، الصفحات 247-252.
^ داميانو بريجو، وبرنارد هانزون، وفرانسوا ليغلاند (1999)، الترشيح غير الخطي التقريبي عن طريق الإسقاط على متعددات الكثافات الأسية ، برنولي، المجلد 5، العدد 3، الصفحات 495-534
^ ديل مورال ، بيير (1998). “قياس العمليات القيمة وأنظمة الجسيمات المتفاعلة. التطبيق على مشاكل التصفية غير الخطية”. حوليات الاحتمالية التطبيقية . 8 (2) (منشورات مختبر الإحصاء والاحتمالات، 96-15 (1996) طبعة): 438-495. دوى : 10.1214/aoap/1028903535 .
^ Billings SA "تحديد النظام غير الخطي: طرق NARMAX في المجالات الزمنية والترددية والزمانية المكانية". Wiley، 2013

قراءة إضافية

جازوينسكي، أندرو هـ. (1970). العمليات العشوائية ونظرية الترشيح . نيويورك: أكاديميك بريس. ISBN 0-12-381550-9.

روابط خارجية

صفحة البروفيسور إيليا شموليفيتش حول معالجة الإشارات غير الخطية

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] رسلان إل. ستراتونوفيتش (1959)، الأنظمة غير الخطية المثلى التي تؤدي إلى فصل الإشارة ذات المعلمات الثابتة عن الضوضاء . راديوفيزيكا، المجلد 2، العدد 6، الصفحات 892-901.

[2] رسلان إل. ستراتونوفيتش (1959). حول نظرية الترشيح غير الخطي الأمثل للوظائف العشوائية . نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 4، الصفحات 223-225.

[3] رسلان إل. ستراتونوفيتش (1960)، تطبيق نظرية عمليات ماركوف على الترشيح الأمثل . هندسة الراديو والفيزياء الإلكترونية، المجلد 5، العدد 11، الصفحات 1-19.

[4] رسلان إل. ستراتونوفيتش (1960)، عمليات ماركوف الشرطية .نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 5، الصفحات 156-178.

[5] كوشنر، هارولد. (1967)، الترشيح غير الخطي: المعادلات الديناميكية الدقيقة التي يلبيها الوضع الشرطي. معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات للتحكم الآلي، المجلد 12، العدد 3، الصفحات 262-267

[6] موشيه زاكاي (1969)، حول الترشيح الأمثل لعمليات الانتشار. مجلة Zeitung Wahrsch.، المجلد 11، الصفحات 230-243. MR 242552 Zbl 0164.19201 doi :10.1007/BF00536382

[7] شاليا-موريل، ميراي ودومينيك ميشيل (1984)، نتائج عدم وجود مرشح البعد النهائي. الاستوكاستك، المجلد 13، العدد 1+2، الصفحات 83-102.

[8] بيتر س. مايبيك (1979)، النماذج العشوائية والتقدير والتحكم. المجلد 141، سلسلة الرياضيات في العلوم والهندسة، أكاديميك بريس

[9] داميانو بريجو، وبرنارد هانزون، وفرانسوا ليغلاند (1998) نهج هندسي تفاضلي للترشيح غير الخطي: مرشح الإسقاط، معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات للتحكم التلقائي، المجلد 43، العدد 2، الصفحات 247-252.

[10] داميانو بريجو، وبرنارد هانزون، وفرانسوا ليغلاند (1999)، الترشيح غير الخطي التقريبي عن طريق الإسقاط على متعددات الكثافات الأسية ، برنولي، المجلد 5، العدد 3، الصفحات 495-534

[:22-11] ديل مورال ، بيير (1998). “قياس العمليات القيمة وأنظمة الجسيمات المتفاعلة. التطبيق على مشاكل التصفية غير الخطية”. حوليات الاحتمالية التطبيقية . 8 (2) (منشورات مختبر الإحصاء والاحتمالات، 96-15 (1996) طبعة): 438-495. دوى : 10.1214/aoap/1028903535 .

[12] Billings SA "تحديد النظام غير الخطي: طرق NARMAX في المجالات الزمنية والترددية والزمانية المكانية". Wiley، 2013