المجسم الثماني

في الهندسة ، يُعرف المجسم الثماني الأوجه ( جمعها : ثمانيات الأوجه ) بأنه أي مجسم متعدد الأوجه له ثمانية أوجه . ومن الحالات الخاصة المجسم الثماني الأوجه المنتظم ، وهو مجسم أفلاطوني يتكون من ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع ، يلتقي أربعة منها عند كل رأس. كما توجد أنواع عديدة من المجسمات الثمانية الأوجه غير المنتظمة، بما في ذلك الأشكال المحدبة وغير المحدبة.

للمجسم الثماني الأوجه المنتظم ثمانية أضلاع مثلثة متساوية الأضلاع ، وستة رؤوس تلتقي عندها أربعة أضلاع، واثني عشر ضلعًا. ومجسمه الثنائي هو مكعب . ^{[ 1 ]} يمكن تمثيله كغلاف محدب لمتجهات الوحدة الستة المتوازية مع المحاور في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وهو أحد المجسمات الأفلاطونية الخمسة ، ^{[ 2 ]} والحالة ثلاثية الأبعاد لعائلة لانهائية من متعددات الوجوه المنتظمة ، وهي متعددات الوجوه المتقاطعة . ^{[ 3 ]} على الرغم من أنه لا يغطي الفضاء بمفرده، إلا أنه يمكن أن يغطيه مع المجسم الرباعي الأوجه المنتظم لتشكيل خلية النحل الرباعية الأوجه-الثمانية الأوجه . ^{[ 4 ]}

الأشكال متعددة السطوح التالية مكافئة تركيبياً للمجسم الثماني السطوح المنتظم. جميعها لها ستة رؤوس، وثمانية أوجه مثلثية، واثني عشر ضلعاً تتطابق تماماً مع خصائصه:

• الموشورات المثلثية المضادة : وجهان متساويان في الأضلاع، يقعان على مستويين متوازيين، ولهما محور تناظر مشترك. أما المثلثات الستة الأخرى فهي متساوية الساقين. يُعدّ المجسم الثماني الأوجه المنتظم حالة خاصة تكون فيها المثلثات الجانبية الستة متساوية الأضلاع أيضاً. ^{[ 5 ]}
• الهرم الثنائي الرباعي ، الذي يقع فيه واحد على الأقل من الأشكال الرباعية الاستوائية على مستوى واحد. أما ثماني السطوح المنتظم فهو حالة خاصة تكون فيها جميع الأشكال الرباعية الثلاثة مربعات مستوية. ^{[ 6 ]}
• متعدد السطوح شونهاردت ، وهو متعدد السطوح غير محدب لا يمكن تقسيمه إلى رباعيات السطوح دون إدخال رؤوس جديدة. ^{[ 7 ]}
• ثماني السطوح بريكارد ، وهو متعدد السطوح مرن غير محدب ومتقاطع ذاتيًا . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يحتوي المجسم الثماني الأوجه المنتظم على 6 رؤوس و12 ضلعًا، وهو الحد الأدنى للمجسم الثماني الأوجه؛ أما المجسمات الثمانية الأوجه غير المنتظمة فقد تحتوي على ما يصل إلى 12 رأسًا و18 ضلعًا. ^{[ 10 ]} يوجد 257 مجسمًا ثماني الأوجه محدبًا متميزًا طوبولوجيًا ، باستثناء الصور المرآوية. وبشكل أكثر تحديدًا، يوجد 2، 11، 42، 74، 76، 38، 14 مجسمًا ثماني الأوجه ذات 6 إلى 12 رأسًا على التوالي. ^{[ 11 ] [ 12 ]} يُعتبر مجسمان متعددا الأوجه متميزين طوبولوجيًا إذا كان لهما ترتيبات مختلفة جوهريًا للوجوه والرؤوس، بحيث يستحيل تشويه أحدهما إلى الآخر بمجرد تغيير أطوال الأضلاع أو الزوايا بين الأضلاع أو الوجوه. ^{[ 12 ]}

من بين المجسمات المحدبة الثمانية الأضلاع البارزة ما يلي:

• 
  المنشور السداسي : وجهان منه عبارة عن سداسيين منتظمين متوازيين؛ ستة مربعات تربط أزواجًا متناظرة من حواف السداسيات. مع انتظام جميع الوجوه وتناظر جميع الرؤوس، يُعد هذا المنشور متعدد السطوح منتظمًا . ^{[ 13 ]} وهو يُغطي الفضاء بالإزاحة كمتوازي سطوح . ^{[ 14 ]} المخروط الناقص السداسي مكافئ له طوبولوجيًا.
• 
  رباعي الأوجه المقطوع : تُقطع الأوجه الأربعة لرباعي الأوجه لتصبح سداسيات منتظمة، وتوجد أربعة أوجه مثلثية متساوية الأضلاع عند موضع قطع كل رأس من رؤوس رباعي الأوجه. وباعتباره متعدد السطوح منتظمًا وليس منشورًا أو منشورًا مضادًا ، يُصنف هذا المجسم ضمن مجسمات أرخميدس . ^{[ 15 ] [ 16 ]}
• 
  الجيروبيستيجيوم : منشوران مثلثان منتظمان ملتصقان فوق أحد جوانبهما المربعة بحيث لا يشترك أي مثلث في ضلع مع مثلث آخر. وباعتباره متعدد السطوح ذي أوجه مضلعات منتظمة، فهو مجسم جونسون . ^{[ 16 ]} وهو متعدد السطوح يملأ الفراغ . ^{[ 17 ]} ومتعدد السطوح الثنائي له هو أيضًا ثماني السطوح. ^{[ 18 ]}
• 
  المنشور المثلثي المُعزز : هو نتاج لصق منشور مثلثي بهرم مربع ، وله ستة أوجه مثلثة متساوية الأضلاع ووجهان مربعان. وهو أيضاً مجسم جونسون. ^{[ 16 ]}
• 
  القبة المثلثية : مجسم جونسون آخر، له وجه سداسي منتظم واحد، وثلاثة أوجه مربعة، وأربعة أوجه مثلثية متساوية الأضلاع. ^{[ 16 ]}
• 
  المجسم العشري الوجوه ثلاثي التناقص : مجسم جونسون آخر، يتم الحصول عليه عن طريق إزالة ثلاثة أهرامات خماسية من مجسم عشري الوجوه منتظم، مما ينتج عنه ثلاثة أوجه خماسية وخمسة أوجه مثلثية. ^{[ 19 ]}
• 
  الهرم السباعي : أحد أوجهه سباعي الأضلاع (عادةً ما يكون منتظمًا)، والأوجه السبعة المتبقية مثلثات (عادةً ما تكون متساوية الساقين ). ^{[ 20 ]} لا يمكن أن تكون جميع الأوجه المثلثية متساوية الأضلاع. وهو متعدد السطوح ذاتي التناظر .
• 
  شبه منحرف رباعي الأضلاع : وجوهه الثمانية عبارة عن أشكال طائرة ورقية متطابقة . ^{[ 21 ]} وهو، حتى التكافؤ الطوبولوجي، الشكل الثماني الوحيد الذي جميع وجوهه رباعية الأضلاع . ^{[ 22 ]}
• 
  المخروط المثلثي الناقص : هو الشكل الثنائي للهرم المثلثي الممدود (مجسم جونسون)، ويمكن تحقيقه بستة أوجه شبه منحرفة متساوية الساقين ووجهين مثلثين متساويي الأضلاع.
• 
  شبه منحرف مثلثي مقطوع ، ويسمى أيضًا مجسم دورر: يتم الحصول عليه عن طريق قطع زاويتين متقابلتين من مكعب أو معين، وله ستة أوجه خماسية ووجهان مثلثان. ^{[ 23 ]}
• 
  مُعَيِّنٌ كَامِلٌ مُسَطَّحٌ بِأَوَاعِ خَمْسِيَّةٍ وَأَوَاعِ مُستَخْبَصَةٍ. ^{[ 24 ]} ومثل الجيروبيفاستيجيوم، فهو مُجَسَّدٌ يملأ الفراغ. ^{[ 25 ]}