الانحراف البصري

في علم البصريات ، يُعدّ الانحراف خاصيةً من خواص الأنظمة البصرية، كالعدسات والمرايا ، تجعل الصورة المتكونة من النظام البصري غير مطابقة تمامًا للجسم المرصود . يؤدي الانحراف إلى تشويش الصورة المتكونة من العدسة، أو تشوه شكلها، أو ظهور حواف لونية أو غيرها من التأثيرات غير المرئية في الجسم، وتختلف طبيعة التشوه باختلاف نوع الانحراف.

يمكن تعريف الانحراف بأنه اختلاف أداء النظام البصري عن تنبؤات البصريات المحورية . ^{[ 1 ]} في أنظمة التصوير، يحدث الانحراف عندما لا يتقارب الضوء الصادر من نقطة ما في الجسم (أو لا يتباعد) في نقطة واحدة بعد مروره عبر النظام. ويعود سبب الانحراف إلى أن نظرية البصريات المحورية البسيطة لا تمثل نموذجًا دقيقًا تمامًا لتأثير النظام البصري على الضوء، وليس إلى عيوب في العناصر البصرية. ^{[ 2 ]}

ينتج عن نظام بصري لتكوين الصور يعاني من الانحرافات صورة غير واضحة. لذا، يحتاج مصنّعو الأدوات البصرية إلى تصحيح الأنظمة البصرية للتعويض عن هذه الانحرافات.

يمكن تحليل الانحرافات باستخدام تقنيات البصريات الهندسية . وتناقش المقالات المتعلقة بالانعكاس والانكسار والسطح الكاوي الخصائص العامة للأشعة المنعكسة والمنكسرة .

في العدسة المثالية ، يمر الضوء من أي نقطة على الجسم عبر العدسة ويتجمع في نقطة واحدة على مستوى الصورة (أو بشكل أعم، على سطح الصورة ). أما العدسات الحقيقية، حتى وإن كانت مثالية الصنع، فلا تُركّز الضوء بدقة في نقطة واحدة. تُسمى هذه الانحرافات عن أداء العدسة المثالي بانحرافات العدسة.

تنقسم الانحرافات إلى نوعين: أحادية اللون ولونية . تنتج الانحرافات أحادية اللون عن هندسة العدسة أو المرآة، وتحدث عند انعكاس الضوء وانكساره. وتظهر حتى عند استخدام ضوء أحادي اللون ، ومن هنا جاءت التسمية.

تنتج الانحرافات اللونية عن التشتت ، وهو تغير معامل انكسار العدسة بتغير الطول الموجي . وبسبب التشتت، تتجمع أطوال موجية مختلفة من الضوء في نقاط مختلفة. ولا تظهر الانحرافات اللونية عند استخدام ضوء أحادي اللون.

الانحرافات اللونية

يحدث الانحراف اللوني عندما لا تتجمع أطوال موجية مختلفة في نفس النقطة. ومن أنواع الانحراف اللوني ما يلي:

• الانحراف اللوني المحوري (أو "الطولي")
• الانحراف اللوني الجانبي (أو "المستعرض")

في نظام بصري مثالي وفقًا للنظرية الكلاسيكية للبصريات ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} تتحد أشعة الضوء المنبعثة من أي نقطة في الجسم في نقطة صورة واحدة ؛ وبالتالي، يُعاد إنتاج فضاء الجسم في فضاء الصورة. يسمح إدخال مصطلحات مساعدة بسيطة، منسوبة إلى غاوس ، ^{[ 5 ] [ 6 ]} تُسمى الأطوال البؤرية والمستويات البؤرية ، بتحديد صورة أي جسم لأي نظام. مع ذلك، فإن نظرية غاوس صحيحة فقط طالما أن الزوايا التي تصنعها جميع الأشعة مع المحور البصري (محور التناظر للنظام) متناهية الصغر، أي مع الأجسام والصور والعدسات متناهية الصغر؛ عمليًا، قد لا تتحقق هذه الشروط، وتكون الصور المسقطة بواسطة الأنظمة غير المصححة، بشكل عام، غير واضحة وغالبًا ما تكون ضبابية إذا تجاوزت فتحة العدسة أو مجال الرؤية حدودًا معينة. ^{[ 6 ]}

أظهرت دراسات جيمس كلارك ماكسويل ^{[ 7 ]} وإرنست آبي ^{[ ملاحظات 2 ]} أن خصائص هذه النسخ، أي الموضع النسبي وحجم الصور، ليست خصائص خاصة بالأنظمة البصرية، بل هي نتائج حتمية لافتراض (بحسب آبي) إعادة إنتاج جميع نقاط الفضاء في نقاط صورية، وهي مستقلة عن طريقة إعادة الإنتاج. ومع ذلك، بيّن هذان الباحثان أنه لا يمكن لأي نظام بصري تبرير هذه الافتراضات، لأنها تتعارض مع القوانين الأساسية للانعكاس والانكسار. وبالتالي، فإن نظرية غاوس لا تُقدّم سوى طريقة ملائمة لتقريب الواقع؛ فالأنظمة البصرية الواقعية لا ترقى إلى هذا المثال المثالي الذي يصعب تحقيقه. حاليًا، كل ما يمكن تحقيقه هو إسقاط مستوى واحد على مستوى آخر؛ ولكن حتى في هذه الحالة، تحدث دائمًا انحرافات، وقد يكون من غير المرجح تصحيحها بالكامل. ^{[ 6 ]}

انحراف النقاط المحورية (الانحراف الكروي بالمعنى المحدود)

ليكن S ( الشكل 1 ) أي نظام بصري _، فإن الأشعة الخارجة من نقطة محورية O بزاوية u1 تتحد في النقطة المحورية _{O′1 ،} وتلك الخارجة بزاوية u2 _تتحد في النقطة المحورية O′2 . إذا حدث انكسار عند سطح كروي مُجمِّع، أو من خلال عدسة محدبة رقيقة، فإن O′2 تقع أمام O′1 طالما أن الزاوية u2 أكبر من u1 ₍ تصحيح ناقص ) ؛ والعكس صحيح مع سطح أو عدسات مُشتِّتة ( تصحيح زائد ). في الحالة الأولى، يشبه شكل الكاوستيك علامة ">" (أكبر من)؛ وفي الثانية علامة "<" (أصغر من _{) .} إذا _{كانت الزاوية} u1 صغيرة _جدًا ، فإن O′1 هي الصورة الغاوسية ؛ ويُطلق _على O′1O′2 _{اسم الزيغ} الطولي ، و O′1R الزيغ _{الجانبي} للحزم ذات الفتحة u2 . إذا كانت الرقاقة ذات الزاوية u ₂ هي الرقاقة ذات الانحراف الأقصى من بين جميع الرقاقات المنقولة، فإنه في مستوى عمودي على المحور عند O ′ ₁ يوجد قرص دائري من التشويش نصف قطره O ′ ₁ R ، وفي مستوى موازٍ عند O ′ ₂ يوجد قرص آخر نصف قطره O ′ ₂ R ₂ ؛ وبين هذين القرصين يقع قرص أقل تشويش . ^{[ 6 ]}

تُحدد أكبر فتحة للأقلام، التي تُشارك في إعادة إنتاج الجسم O ، أي الزاوية u ، عادةً بواسطة حافة إحدى العدسات أو بواسطة ثقب في صفيحة رقيقة موضوعة بين عدسات النظام أو أمامها أو خلفها. يُطلق على هذا الثقب اسم الحاجز أو الحجاب الحاجز ؛ وقد استخدم آبي مصطلح " حاجز الفتحة" _لكل من الثقب وحافة العدسة. يقوم المكون S1 للنظام، الموجود بين حاجز الفتحة والجسم O ، بإسقاط صورة للحجاب الحاجز، والتي أطلق عليها آبي اسم " بؤبؤ الدخول" ؛ أما بؤبؤ الخروج فهو الصورة المتكونة بواسطة المكون S2 _، الموجود خلف حاجز الفتحة. جميع الأشعة التي تنطلق من O وتمر عبر حاجز الفتحة تمر أيضًا عبر بؤبؤي الدخول والخروج، لأنهما صورتان لحاجز الفتحة. بما أن أقصى فتحة للأقلام الضوئية الخارجة من النقطة O هي الزاوية u التي تشكلها بؤبؤة الدخول عند هذه النقطة، فإن مقدار الانحراف سيتحدد بموقع وقطر بؤبؤة الدخول. إذا كان النظام خلف فتحة التوقف تمامًا، فإن هذه الفتحة هي بؤبؤة الدخول ( التوقف الأمامي )؛ وإذا كان أمامها تمامًا، فهي بؤبؤة الخروج ( التوقف الخلفي ). ^{[ 6 ]}

إذا كانت نقطة الجسم بعيدة جدًا، فإن جميع الأشعة التي يستقبلها العنصر الأول من النظام تكون متوازية، وتختلف نقاط تقاطعها، بعد اجتيازها النظام، وفقًا لارتفاع سقوطها العمودي، أي بُعدها عن المحور. يحل هذا البُعد محل الزاوية u في الاعتبارات السابقة؛ وتكون الفتحة، أي نصف قطر بؤبؤ الدخول، هي قيمتها القصوى. ^{[ 6 ]}

انحراف العناصر، أي أصغر الأجسام بزاوية قائمة على المحور

إذا كانت الأشعة الصادرة من النقطة O ( الشكل 1 ) متقاطعة، فلا يعني ذلك بالضرورة أن النقاط الواقعة في جزء من مستوى عمودي على المحور عند O ستكون متقاطعة أيضًا، حتى لو كان هذا الجزء من المستوى صغيرًا جدًا _. مع ازدياد قطر العدسة (أي مع ازدياد فتحة العدسة)، ستُعاد إنتاج النقطة المجاورة N _، ولكن مصحوبة بتشوهات مماثلة في مقدارها للتشوهات في النقطة ON . يمكن تجنب هذه التشوهات إذا تحقق شرط الجيب، وفقًا لنظرية آبي، sin u′1 / _sin u1 = sin u′2 / sin u2 ، لجميع _الأشعة التي تعيد إنتاج النقطة O. _إذا كانت النقطة O بعيدة جدًا ، فيجب استبدال u1 و u2 بـ _{h1 و h2 ،} وهما الارتفاعان العموديان للسقوط؛ _ويصبح شرط الجيب حينها sin u′1 / h1 = _sin u′2 / _h2 . يُطلق على النظام الذي يستوفي هذا الشرط ويخلو من الزيغ الكروي اسم نظام لا لوني (من اليونانية a- ، بمعنى نفي؛ plann ، بمعنى تجوال). وقد استخدم روبرت بلير هذا المصطلح لأول مرة لوصف حالة لا لونية فائقة، ثم استخدمه لاحقًا العديد من الكُتّاب للدلالة على الخلو من الزيغ الكروي أيضًا. ^{[ 6 ]}

بما أن الانحراف يزداد مع بُعد الشعاع عن مركز العدسة، فإن الانحراف يزداد مع زيادة قطر العدسة (أو، بالمقابل، مع قطر الفتحة)، وبالتالي يمكن تقليله عن طريق تقليل الفتحة، على حساب تقليل كمية الضوء التي تصل إلى مستوى الصورة.

انحراف النقاط الجانبية للأجسام (النقاط الواقعة خارج المحور) باستخدام أقلام رصاص ضيقة - الاستجماتيزم

إن النقطة O ( الشكل 2 ) الواقعة على مسافة محدودة من المحور (أو مع جسم بعيد جدًا، نقطة تشكل زاوية محدودة في النظام) لا تُعاد إنتاجها بوضوح حتى في هذه الحالة إذا تم تضييق حزمة الأشعة الصادرة منها والتي تعبر النظام إلى حد لا نهائي عن طريق تقليل فتحة العدسة؛ تتكون هذه الحزمة من الأشعة التي يمكن أن تمر من نقطة الجسم عبر بؤبؤ الدخول الذي أصبح الآن صغيرًا جدًا. يُلاحظ (مع تجاهل الحالات الاستثنائية) أن الحزمة لا تلتقي بالسطح الكاسر أو العاكس بزاوية قائمة؛ لذلك فهي عدسة لا بؤرية (من اليونانية a- ، نفي؛ stigmia ، نقطة). وباعتبار الشعاع المركزي المار عبر بؤبؤ الدخول محور الحزمة أو الشعاع الرئيسي ، يمكن القول: إن أشعة الحزمة لا تتقاطع في نقطة واحدة، بل في خطين بؤريين، يمكن افتراض أنهما متعامدان على الشعاع الرئيسي. من بين هذين السطحين، يقع أحدهما في المستوى الذي يحتوي على الشعاع الرئيسي ومحور النظام، أي في المقطع الرئيسي الأول أو المقطع الزوالي ، والآخر عمودي عليه، أي في المقطع الرئيسي الثاني أو المقطع السهمي. لذلك، لا نحصل على صورة لنقطة الجسم في أي مستوى اعتراض واحد خلف النظام، كما هو الحال في شاشة التركيز مثلاً؛ من ناحية أخرى، تتشكل الخطوط O ′ و O ″ بشكل منفصل في كل من المستويين ( وتتشكل أشكال بيضاوية في المستويات المجاورة)، وفي المستوى الواقع بين O ′ و O ″ تتشكل دائرة بأقل قدر من التشويش. تزداد المسافة O′O ″ ، والتي تُسمى فرق الاستجماتيزم، بشكل عام، مع الزاوية W التي يصنعها الشعاع الرئيسي OP مع محور النظام، أي مع مجال الرؤية. يتوافق سطحان للصورة الاستجماتيزمية مع مستوى جسم واحد؛ وهما متلامسان عند نقطة المحور؛ يقع على أحدهما خطوط البؤرة من النوع الأول، وعلى الآخر خطوط البؤرة من النوع الثاني. تُسمى الأنظمة التي تتطابق فيها الأسطح اللا بؤرية بالأنظمة اللا بؤرية أو البؤرية. ^{[ 6 ]}

يُعتقد أن السير إسحاق نيوتن هو مكتشف الاستجماتيزم؛ وقد حدد توماس يونغ موضع خطوط الصورة الاستجماتية؛ ^{[ 8 ]} وطوّر النظرية ألفار غولستراند . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 6 ]} وتُقدّم قائمة مراجع بقلم ب. كولمان في كتاب موريتز فون روهر " Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten" . ^{[ 11 ] [ 6 ]}

تشوه الصورة

حتى لو كانت الصورة حادة، فقد تكون مشوهة مقارنةً بالإسقاط المثالي عبر ثقب صغير . في الإسقاط عبر ثقب صغير، يتناسب تكبير الجسم عكسيًا مع بُعده عن الكاميرا على طول المحور البصري، بحيث تُعيد الكاميرا الموجهة مباشرةً إلى سطح مستوٍ إنتاج ذلك السطح. يمكن اعتبار التشوه بمثابة تمديد غير منتظم للصورة، أو، بشكل مكافئ، تباينًا في التكبير عبر مجال الرؤية. بينما قد يشمل "التشوه" أي تشويه عشوائي للصورة، فإن أكثر أنماط التشوه وضوحًا التي تنتجها بصريات التصوير التقليدية هو "تشوه البرميل"، حيث يتم تكبير مركز الصورة أكثر من محيطها ( الشكل 3أ ). أما العكس، حيث يتم تكبير المحيط أكثر من المركز، فيُعرف باسم "تشوه الوسادة" ( الشكل 3ب ). يُطلق على هذا التأثير اسم تشوه العدسة أو تشوه الصورة ، وهناك خوارزميات لتصحيحه.

تُسمى الأنظمة الخالية من التشوه بالأنظمة التقويمية ( أورثوس ، يمين؛ سكوبين ، ينظر) أو الخطوط المستقيمة .

يختلف هذا الانحراف تمامًا عن انحراف حدة الصورة؛ ففي الصور غير الحادة، يبرز سؤال التشوه إذا لم يكن بالإمكان تمييز سوى أجزاء من الجسم في الشكل. إذا كانت بقعة الضوء في صورة غير حادة تُطابق نقطة من الجسم، فيمكن اعتبار مركز ثقل هذه البقعة هو نقطة الصورة، وهي النقطة التي يتقاطع عندها المستوى المُستقبِل للصورة، كشاشة التركيز مثلاً، مع الشعاع المار عبر منتصف الفتحة. يُبرر هذا الافتراض إذا ظلت الصورة الضعيفة على شاشة التركيز ثابتة عند تصغير الفتحة؛ وهذا ما يحدث عادةً في الواقع. يمر هذا الشعاع، الذي أطلق عليه آبي اسم الشعاع الرئيسي (لا يُخلط بينه وبين الأشعة الرئيسية في نظرية غاوس)، عبر مركز بؤبؤ الدخول قبل الانكسار الأول، ومركز بؤبؤ الخروج بعد الانكسار الأخير. ومن هذا، يتضح أن دقة الرسم تعتمد فقط على الأشعة الرئيسية، وهي مستقلة عن حدة أو انحناء مجال الصورة. بالرجوع إلى الشكل 4 ، نجد أن O′Q ′ / OQ = ( a′tan w ′ )/( a tan w ) = 1/ N ، حيث N هو مقياس أو تكبير الصورة. ولكي يكون N ثابتًا لجميع قيم w ، يجب أن يكون ( a′tan w ′ )/( a tan w ) ثابتًا أيضًا. إذا كانت النسبة a ′ / a ثابتة بدرجة كافية، كما هو الحال غالبًا، فإن العلاقة أعلاه تُختزل إلى شرط آيري ، أي أن tan w ′ /tan w ثابت. ^{[ 12 ]} تتحقق هذه العلاقة البسيطة في جميع الأنظمة المتناظرة بالنسبة إلى غشاءها (وتُسمى اختصارًا العدسات المتناظرة أو المتناظرة كليًا )، أو التي تتكون من عنصرين متشابهين ولكن مختلفين في الحجم، موضوعين من الغشاء بنسبة حجمهما، ويُظهران نفس الانحناء له (العدسات نصف المتناظرة)؛ في هذه الأنظمة ^tan w ′ / tan w = 1. ^[ 6 ^]

أشار كلٌّ من آر إتش بو (المجلة البريطانية للتصوير الفوتوغرافي، 1861) وتوماس ساتون (ملاحظات فوتوغرافية، 1862) إلى ضرورة ثبات النسبة a ′ / a  لتحقيق هذه العلاقة؛ وقد تناولها كلٌّ من أو. لومر وم. فون روهر (مجلة علم الأدوات، 1897، 17، و1898، 18، ص 4). ويتطلب ذلك إعادة إنتاج منتصف فتحة العدسة في مركزي بؤبؤي الدخول والخروج دون انحراف كروي. وقد بيّن م. فون روهر أنه بالنسبة للأنظمة التي لا تستوفي شرط آيري ولا شرط بو-ساتون، فإن النسبة ( a ′ cos w ′ )/( a tan w ) ستكون ثابتة لمسافة واحدة من الجسم. يتحقق هذا الشرط المركب تمامًا بواسطة الأهداف المتناظرة كليًا التي تتكاثر بمقياس 1، وبواسطة الأهداف المتناظرة نصفيًا، إذا كان مقياس التكاثر مساويًا لنسبة أحجام المكونين. ^{[ 6 ]}

نموذج زيرنيك للانحرافات

يمكن نمذجة ملامح الجبهة الموجية الدائرية المرتبطة بالانحرافات رياضيًا باستخدام كثيرات حدود زيرنيك . وقد طوّر فريتس زيرنيك هذه الكاتيونات في ثلاثينيات القرن العشرين، وهي متعامدة على دائرة نصف قطرها وحدة واحدة. ويمكن مطابقة منحنى ملامح الجبهة الموجية المعقدة والمشوهة باستخدام كثيرات حدود زيرنيك للحصول على مجموعة من معاملات المطابقة التي يمثل كل منها نوعًا مختلفًا من الانحرافات. وتتميز معاملات زيرنيك هذه بالاستقلال الخطي ، مما يسمح بعزل وتحديد مساهمات كل انحراف في الجبهة الموجية الكلية بشكل منفصل.

توجد كثيرات حدود زيرنيكه زوجية وفردية . تُعرَّف كثيرات حدود زيرنيكه الزوجية على النحو التالي:

$${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )}$$

ومتعددات حدود زيرنيك الغريبة كـ

$${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi )}$$

حيث m و n عددان صحيحان غير سالبين حيث n ≥ m ، و ϕ هي الزاوية السمتية بالراديان ، و ρ هي المسافة الشعاعية المعيارية. كثيرات الحدود الشعاعية${\displaystyle R_{n}^{m}}$لا تعتمد على السمت، وتُعرَّف على النحو التالي:

$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\begin{cases}\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(nk)!}{k!\,\left({n+m \over 2}-k\right)!\,\left({nm \over 2}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2\,k},&{\text{إذا كان nm زوجيًا}}\\0,&{\text{إذا كان nm فرديًا.}}\end{cases}}}$$

أول عدد قليل من كثيرات حدود زيرنيك، مضروبة بمعاملات التوفيق الخاصة بها، هي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle a_{0}\times 1}$	"المكبس"، يساوي متوسط ​​قيمة جبهة الموجة
${\displaystyle a_{1}\times \rho \cos(\phi )}$	"X-Tilt"، وهو انحراف الشعاع الكلي في الاتجاه السهمي
${\displaystyle a_{2}\times \rho \sin(\phi )}$	"ميل المحور Y"، وهو انحراف الشعاع الكلي في الاتجاه المماسي
${\displaystyle a_{3}\times (2\rho ^{2}-1)}$	"عدم التركيز"، جبهة موجية مكافئة ناتجة عن عدم التركيز
${\displaystyle a_{4}\times \rho ^{2}\cos(2\phi )}$	"الاستجماتيزم 0 درجة"، وهو شكل أسطواني على طول المحور X أو Y
${\displaystyle a_{5}\times \rho ^{2}\sin(2\phi )}$	"الاستجماتيزم بزاوية 45 درجة"، وهو شكل أسطواني موجه بزاوية ±45 درجة من المحور السيني.
${\displaystyle a_{6}\times (3\rho ^{2}-2)\rho \cos(\phi )}$	"إكس-كوما"، صورة كوماتية متوهجة في الاتجاه الأفقي
${\displaystyle a_{7}\times (3\rho ^{2}-2)\rho \sin(\phi )}$	"غيبوبة على شكل حرف Y"، صورة غيبوبة تتوهج في الاتجاه الرأسي
${\displaystyle a_{8}\times (6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	"انحراف كروي من الدرجة الثالثة"

حيث ρ هو نصف قطر البؤبؤ المعياري مع 0 ≤ ρ ≤ 1 ، و ϕ هي الزاوية السمتية حول البؤبؤ مع 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ، ومعاملات التوفيق a ₀ ، ... ، a ₈ هي أخطاء جبهة الموجة في الأطوال الموجية.

كما هو الحال في تركيب فورييه باستخدام الجيب وجيب التمام ، يمكن تمثيل جبهة الموجة بدقة تامة باستخدام عدد كبير كافٍ من كثيرات حدود زيرنيكه ذات الرتبة الأعلى. مع ذلك، فإن جبهات الموجات ذات التدرجات الحادة جدًا أو البنية المكانية الترددية العالية جدًا ، مثل تلك الناتجة عن الانتشار عبر الاضطراب الجوي أو حقول التدفق الديناميكي الهوائي ، لا تُنمذج جيدًا باستخدام كثيرات حدود زيرنيكه، التي تميل إلى ترشيح الترددات المنخفضة لتوضيح التفاصيل المكانية الدقيقة في جبهة الموجة. في هذه الحالة، قد تُحسّن طرق المطابقة الأخرى، مثل الفراكتلات أو تحليل القيم المفردة، من نتائج المطابقة.

قدّم فريتس زيرنيكه كثيرات الحدود الدائرية لتقييم صورة النقطة لنظام بصري مشوّه، مع مراعاة تأثيرات الحيود . وكان آيري قد وصف صورة النقطة المثالية في وجود الحيود في وقت مبكر من عام 1835. واستغرق الأمر قرابة مئة عام للوصول إلى نظرية شاملة ونمذجة لصورة النقطة في الأنظمة المشوّهة (زيرنيكه ونيجبوير). يصف تحليل نيجبوير وزيرنيكه توزيع الشدة بالقرب من المستوى البؤري الأمثل. وقد طُوّرت مؤخرًا نظرية موسّعة تسمح بحساب سعة وشدة صورة النقطة على حجم أكبر بكثير في المنطقة البؤرية ( نظرية نيجبوير-زيرنيكه الموسّعة ). وقد وجدت هذه النظرية الموسّعة لتكوين صورة النقطة، أو "دالة انتشار النقطة"، تطبيقات في البحوث العامة حول تكوين الصور، وخاصة للأنظمة ذات الفتحة العددية العالية ، وفي توصيف الأنظمة البصرية فيما يتعلق بانحرافاتها. ^{[ 14 ]}

يُصنَّف استعراض أخطاء إعادة الإنتاج المتعددة السابق ضمن نظرية آبي للانحرافات، حيث تُناقَش الانحرافات المحددة بشكل منفصل؛ وهي نظرية ملائمة للاحتياجات العملية، إذ يُسعى في تصميم الأجهزة البصرية إلى التخلص من أخطاء معينة، ويُبرَّر اختيارها بالتجربة. أما من الناحية الرياضية، فإن هذا الاختيار اعتباطي؛ إذ إن إعادة إنتاج جسم محدود بفتحة محدودة يستلزم، على الأرجح، عددًا لا نهائيًا من الانحرافات. ويكون هذا العدد محدودًا فقط إذا افترضنا أن الجسم والفتحة متناهيان في الصغر من رتبة معينة ؛ ومع كل رتبة من رتب الصغر المتناهي، أي مع كل درجة من درجات التقريب للواقع (للأجسام والفتحات المحدودة)، يرتبط عدد معين من الانحرافات. ولا تُوفَّر هذه الصلة إلا من خلال النظريات التي تُعالج الانحرافات بشكل عام وتحليلي باستخدام المتسلسلات غير المحددة. ^{[ 6 ]}

يمكن تعريف شعاع ينطلق من نقطة الجسم O ( الشكل 5 ) بالإحداثيات ( ξ ، η ) . تقع هذه النقطة O في مستوى الجسم I ، بزاوية قائمة على المحور، وإحداثيين آخرين ( x ، y ) ، وهما النقطة التي يتقاطع عندها الشعاع مع بؤبؤ الدخول، أي المستوى II . وبالمثل، يمكن تعريف شعاع الصورة المقابل بالنقطتين ( ξ ′ ، η ′ ) و ( x ′ ، y ′ ) في المستويين I ′ و II ′ . قد تكون أصول أنظمة الإحداثيات المستوية الأربعة هذه على استقامة واحدة مع محور النظام البصري؛ وقد تكون المحاور المقابلة متوازية. كل من الإحداثيات الأربعة ξ ′ ، η ′ ، x ′ ، y ′ هي دوال لـ ξ ، η ، x ، y . وإذا افترضنا أن مجال الرؤية وفتحة العدسة متناهيان في الصغر، فإن ξ و η و x و y تكون من نفس رتبة الكميات المتناهية في الصغر؛ وبالتالي، بتوسيع ξ ′ و η ′ و x ′ و y ′ بدلالة قوى تصاعدية لـ ξ و η و x و y ، نحصل على متسلسلات لا يلزم فيها سوى النظر إلى أدنى القوى. من الواضح أنه إذا كان النظام البصري متناظرًا، وكانت أصول أنظمة الإحداثيات على استقامة واحدة مع المحور البصري والمحاور المقابلة متوازية، فإنه بتغيير إشارات ξ و η و x و y ، يجب أن تتغير إشارات ξ ′ و η ′ و x ′ و y ′ بالمثل، مع احتفاظها بقيمها الحسابية؛ وهذا يعني أن المتسلسلات تقتصر على القوى الفردية للمتغيرات غير المميزة. ^{[ 6 ]}

تتمثل طبيعة إعادة الإنتاج في اتحاد الأشعة المنبثقة من النقطة O في نقطة أخرى O ′ ؛ ولكن هذا لا ينطبق عمومًا، لأن ξ ′ و η ′ تتغيران إذا كانت ξ و η ثابتتين، بينما x و y متغيرتان. يمكن افتراض أن المستويين I ′ و II ′ رُسما حيث تتشكل صور المستويين I و II بواسطة أشعة قريبة من المحور وفقًا _لقواعد غاوس العادية؛ وبامتداد لهذه القواعد، وإن لم يكن مطابقًا للواقع، يمكن إنشاء صورة غاوس للنقطة O′₀ ، ذات الإحداثيات ξ′₀ و _{η′₀ ،} للنقطة O على مسافة معينة من المحور . بكتابة Δξ ′ = ξ ′ − ξ′₀ و Δη ′ = η ′ − η′₀ ، فإن Δξ ′ و Δη ′ هما الانحرافات الخاصة بـ ξ _و η و x و y ، وهما دالتان لهذه المقادير _{، وعند توسيعهما في متسلسلة} ، لا يحتويان إلا على قوى فردية، للأسباب نفسها المذكورة أعلاه . وبسبب انحرافات جميع الأشعة التي تمر عبر النقطة O ، تتشكل رقعة ضوئية في المستوى I ′ ، يعتمد حجمها على أدنى قوى ξ و η و x و y التي تحتويها الانحرافات . هذه الدرجات، التي أطلق عليها ج. بيتزفال ^{[ 15 ]} اسم الرتب العددية للصورة ، هي بالتالي قوى فردية فقط. الشرط اللازم لتكوين صورة من الرتبة m هو أن تكون معاملات قوى الرتبة الثالثة والخامسة ... ( m −) في متسلسلة Δξ ′ و Δη ′ ٢) يجب أن تتلاشى الدرجات من الرتبة الثالثة. وبما أن صور نظرية غاوس من الرتبة الثالثة، فإن المشكلة التالية هي الحصول على صورة من الرتبة الخامسة، أو جعل معاملات قوى الدرجة الثالثة تساوي صفرًا. وهذا يستلزم تحقيق خمس معادلات؛ بعبارة أخرى، هناك خمسة تحويلات من الرتبة الثالثة، يؤدي تلاشيها إلى إنتاج صورة من الرتبة الخامسة. ^{[ ٦ ]}

قام ل. فون سايدل بحل معادلة هذه المعاملات بدلالة ثوابت النظام البصري، أي أنصاف الأقطار، والسماكات، ومعاملات الانكسار، والمسافات بين العدسات؛ [ ^{16 ] وفي} عام 1840، قام ج. بيتزفال بتصميم عدسة موضوعية للصور الشخصية، استنادًا إلى حسابات مماثلة لم تُنشر قط. ^{[ 17 ]} وقد طوّر س. فينترسوالدر النظرية، ^{[ 18 ]} ونشر أيضًا ورقة بحثية لسايدل بعد وفاته تتضمن عرضًا موجزًا ​​لعمله؛ ^{[ 19 ]} وقدّم أ. كيربر صيغة أبسط. ^{[ 20 ]} وقدّم أ. كونيغ وم. فون روهر ^{[ 21 ] : 317-323} طريقة كيربر، واستنتجا صيغ سايدل من اعتبارات هندسية تستند إلى طريقة آبي، وفسّرا النتائج التحليلية هندسيًا. ^{[ 21 ] : 212-316 [ 6 ]}

يمكن أيضًا التعبير عن الانحرافات باستخدام الدالة المميزة للنظام ومعاملاته التفاضلية، بدلاً من أنصاف أقطار العدسات وما إلى ذلك؛ هذه الصيغ ليست قابلة للتطبيق مباشرة، ولكنها تعطي العلاقة بين عدد الانحرافات ورتبتها. وهكذا استنتج ويليام روان هاميلتون انحرافات الرتبة الثالثة؛ ^{[ ٢٢ ]} وفي أزمنة لاحقة، واصل كليرك ماكسويل ( وقائع جمعية لندن الرياضية، ١٨٧٤-١٨٧٥؛ (انظر أيضًا مؤلفات آر إس هيث وإل إيه هيرمان))، وم. ثيسن ( برلين، أكاد. سيتزبر، ١٨٩٠، ٣٥، ص  ٨٠٤)، وهـ. برونز ( لايبزيغ، ماث. فيز. بير، ١٨٩٥، ٢١، ص  ٤١٠)، وبشكل خاص حقق نجاحًا كبيرًا ك. شوارتزشيلد ( غوتينغن، أكاد. أباندل، ١٩٠٥، ٤، رقم ١)، الذي اكتشف بذلك الانحرافات من الرتبة الخامسة (والتي يبلغ عددها تسعة)، وربما أقصر برهان للصيغ العملية (سيدل). أ. غولستراند (انظر أعلاه، وحوليات الفيزياء، ١٩٠٥، ١٨، ص  ٩٤١) أسس نظريته عن الانحرافات على الهندسة التفاضلية للأسطح. ^{[ 6 ]}

الانحرافات من الدرجة الثالثة هي: (1) انحراف نقطة المحور؛ (2) انحراف النقاط التي تكون المسافة بينها وبين المحور صغيرة جدًا، أقل من الدرجة الثالثة - حيث يندرج الانحراف عن شرط الجيب والانحراف الكروي معًا في فئة واحدة؛ (3) الاستجماتيزم؛ (4) انحناء المجال؛ (5) التشوه. ^{[ 6 ]}

1. تُتناول انحرافات الرتبة الثالثة لنقاط المحور في جميع كتب البصريات، وهي بالغة الأهمية في تصميم التلسكوبات. في التلسكوبات، تُعتبر فتحة العدسة عادةً هي القطر الخطي للعدسة الشيئية، وهي تختلف عن فتحة عدسة المجهر التي تُحدد بناءً على بؤبؤ الدخول أو مجال الرؤية كما يُرى من الجسم، وتُعبر عنها كقياس زاوي. يمكن إهمال انحرافات الرتب العليا في تصميم التلسكوبات في الغالب، بينما لا يمكن إهمالها في المجاهر. بالنسبة لعدسة واحدة ذات سُمك صغير جدًا وقوة معينة، يعتمد الانحراف على نسبة نصف القطر r : r ′ ، ويبلغ حده الأدنى (ولكنه لا يساوي الصفر أبدًا) عند قيمة معينة لهذه النسبة؛ ويتناسب عكسيًا مع معامل الانكسار (مع ثبات قوة العدسة). يمكن أن يكون الانحراف الكلي لعدستين رقيقتين جدًا أو أكثر متلامستين، وهو مجموع الانحرافات الفردية، مساويًا للصفر. وهذا ممكن أيضًا إذا كانت العدسات لها نفس الإشارة الجبرية. من بين العدسات المحدبة الرقيقة ذات معامل انكسار n = 1.5 ، يلزم أربع عدسات لتصحيح الزيغ الكروي من الدرجة الثالثة. مع ذلك، لا تُعدّ هذه الأنظمة ذات أهمية عملية كبيرة. في معظم الحالات، تُدمج عدستان رقيقتان، إحداهما ذات زيغ موجب قوي ( تصحيح ناقص، انظر أعلاه) تمامًا كالأخرى ذات زيغ سالب؛ يجب أن تكون الأولى عدسة محدبة والثانية عدسة سالبة؛ ومع ذلك، قد تختلف قوى العدسات للحفاظ على التأثير المطلوب. من الأفضل عمومًا الحصول على تأثير انكساري كبير باستخدام عدة عدسات ذات قوة أقل من عدسة واحدة عالية. باستخدام عدسة واحدة، وكذلك باستخدام عدة عدسات، وحتى باستخدام عدد لا نهائي من العدسات الرقيقة المتلامسة، لا يمكن إعادة إنتاج أكثر من نقطتين محوريتين دون حدوث زيغ من الدرجة الثالثة. يُعرف انعدام الزيغ لنقطتين محوريتين، إحداهما بعيدة جدًا، بشرط هيرشل ، الذي صاغه جون هيرشل . ^{[ 23 ]} جميع هذه القواعد صحيحة، طالما لا ينبغي أخذ سماكة العدسات والمسافات بينها في الاعتبار. ^{[ 6 ]}
2. يُعد شرط انعدام الانحراف الكروي من الدرجة الثالثة ذا أهمية بالغة لعدسات التلسكوب؛ ويُعرف بشرط فراونهوفر . (4) بعد إزالة الانحراف المحوري، والانحراف الكروي، والاستجماتيزم، تُعبّر معادلة بيتزفال عن العلاقة الخاصة بتسطيح المجال من الدرجة الثالثة .${\textstyle \sum _{\mathrm {I} }/r(n'-n)=0}$حيث يمثل r نصف قطر سطح الانكسار، و n و n ′ معامل الانكسار للوسط المجاور، و Σ إشارة الجمع لجميع أسطح الانكسار. ^{[ 6 ]}

تتمثل مشكلة التصوير الكلاسيكية في إعادة إنتاج مستوى محدود (الجسم) بدقة تامة على مستوى آخر (الصورة) من خلال فتحة محدودة. من المستحيل تحقيق ذلك بدقة تامة لأكثر من زوج واحد من هذه المستويات؛ وقد أثبت ماكسويل ذلك بشكل متزايد في عام 1858، وبرونز في عام 1895، وكاراثيودوري في عام 1926، انظر ملخص والتر. ^{[ 25 ]} أما بالنسبة لزوج واحد من المستويات (مثل ضبط بؤرة واحدة لعدسة موضوعية)، فيمكن من حيث المبدأ حل المشكلة بدقة تامة. ومن أمثلة هذا النظام المثالي نظريًا عدسة لونيبورغ وعدسة ماكسويل عين السمكة .

تُحل هذه المشكلة بطرق عملية بدقة كافية في الغالب للغرض الخاص بكل نوع من أنواع الأجهزة. ويمكن معالجة مشكلة إيجاد نظام يُعيد إنتاج جسم معين على مستوى معين بتكبير معين (مع مراعاة الانحرافات) باستخدام نظرية التقريب ؛ إلا أن الصعوبات التحليلية في معظم الحالات كانت أكبر من أن تُحل باستخدام طرق الحساب القديمة، ولكن يمكن تحسينها باستخدام أنظمة الحاسوب الحديثة. ومع ذلك، فقد تم التوصل إلى حلول في حالات خاصة. ^{[ 26 ]} في الوقت الحاضر، يستخدم المصممون دائمًا تقريبًا الطريقة العكسية: فهم يُنشئون نظامًا بناءً على تجارب معينة، وغالبًا ما تكون شخصية، ويختبرون، من خلال الحساب المثلثي لمسارات عدة أشعة، ما إذا كان النظام يُعطي إعادة الإنتاج المطلوبة (تُقدم أمثلة في كتاب أ. غليشن، Lehrbuch der geometrischen Optik ، لايبزيغ وبرلين، 1902). تُغيَّر أنصاف الأقطار والسماكات والمسافات باستمرار حتى تصبح أخطاء الصورة صغيرة بما يكفي. بهذه الطريقة، لا تُدرس إلا أخطاء معينة في إعادة الإنتاج، وخاصةً العناصر الفردية، أو جميع العناصر المذكورة أعلاه. غالبًا ما تُستخدم نظرية التقريب التحليلي بشكل مؤقت، لأن دقتها لا تكفي عمومًا. ^{[ 6 ]}

لتقليل الانحراف الكروي والانحراف عن شرط الجيب في كامل فتحة العدسة، يُعطى شعاع بزاوية فتحة محدودة u* (عرض الأجسام البعيدة جدًا: بارتفاع سقوط محدود h*) نفس مسافة التقاطع ونفس نسبة الجيب كما هو الحال مع شعاع مجاور للمحور (يجب ألا تكون u* أو h* أصغر بكثير من أكبر فتحة U أو H مستخدمة في النظام). الأشعة ذات زاوية فتحة أصغر من u* لن يكون لها نفس مسافة التقاطع ونفس نسبة الجيب؛ تُسمى هذه الانحرافات بالمناطق، ويسعى المصمم إلى تقليلها إلى أدنى حد. وينطبق الشيء نفسه على الأخطاء التي تعتمد على زاوية مجال الرؤية w: يتم التخلص من الاستجماتيزم وانحناء المجال والتشوه لقيمة محددة w*، بينما تظهر مناطق الاستجماتيزم وانحناء المجال والتشوه عند قيم w الأصغر. يُطلق أخصائي البصريات العملي على هذه الأنظمة اسم: أنظمة مصححة لزاوية الفتحة u* (ارتفاع السقوط h*) أو زاوية مجال الرؤية w*. غالبًا ما يتم تمثيل الزيغ الكروي وتغيرات نسب الجيب بيانيًا كدوال للفتحة، بنفس الطريقة التي يتم بها تمثيل انحرافات سطحي صورتين لا بؤريتين لمستوى الصورة لنقطة المحور كدوال لزوايا مجال الرؤية. ^{[ 6 ]}

وبالتالي، يعتمد الشكل النهائي للنظام العملي على حلول وسط؛ فتكبير فتحة العدسة يؤدي إلى تقليص مجال الرؤية المتاح، والعكس صحيح. لكن فتحة العدسة الأكبر ستوفر دقة أعلى. ويمكن اعتبار ما يلي مثالاً نموذجياً: ^{[ 6 ]}

1. أكبر فتحة؛ التصحيحات الضرورية هي - لنقطة المحور، وشرط الجيب؛ يتم تجاهل أخطاء مجال الرؤية تقريبًا؛ مثال - عدسات المجهر عالية الطاقة.
2. عدسة واسعة الزاوية ؛ التصحيحات الضرورية هي - للاستجماتيزم، وانحناء المجال، والتشوه؛ أخطاء فتحة العدسة لا تُؤخذ في الاعتبار إلا قليلاً؛ أمثلة - العدسات الشيئية والعدسات العينية ذات الزاوية الأوسع المستخدمة في التصوير الفوتوغرافي.
   بين هذين المثالين المتطرفين توجد العدسة العادية : يتم تصحيحها بشكل أكبر فيما يتعلق بفتحة العدسة؛ أما العدسات الموضوعية للمجموعات فتصحح بشكل أكبر فيما يتعلق بمجال الرؤية.
3. تتميز العدسات ذات البعد البؤري الطويل بمجالات رؤية ضيقة، وتُعدّ الانحرافات المحورية بالغة الأهمية. لذا، يُحرص على أن تكون مناطق الرؤية صغيرة قدر الإمكان، وأن يركز التصميم على البساطة. ولهذا السبب، تُعدّ هذه العدسات الأنسب للحسابات التحليلية.

في الأنظمة البصرية المكونة من عدسات، يعتمد موضع الصورة وحجمها وأخطاؤها على معامل انكسار الزجاج المستخدم (انظر العدسات (البصريات) والانحراف اللوني الأحادي أعلاه). وبما أن معامل الانكسار يتغير بتغير لون الضوء أو طول موجته (انظر التشتت )، فإن نظام العدسات (غير المصحح) يُسقط صورًا بألوان مختلفة في أماكن وأحجام متباينة نوعًا ما، وبانحرافات لونية مختلفة؛ أي أن هناك اختلافات لونية في مسافات التقاطع، وفي التكبير، وفي الانحرافات اللونية الأحادية. عند استخدام ضوء مختلط (مثل الضوء الأبيض)، تتشكل جميع هذه الصور، مما يُسبب تشويشًا يُسمى الانحراف اللوني؛ فعلى سبيل المثال، بدلًا من رؤية هامش أبيض على خلفية داكنة، يُرى هامش ملون، أو طيف ضيق. يُطلق على غياب هذا الخطأ اسم اللا لونية، ويُطلق على النظام البصري المصحح بهذه الطريقة اسم اللا لوني. يُقال إن النظام يعاني من نقص في التصحيح اللوني عندما يُظهر نفس نوع الخطأ اللوني الذي تُظهره العدسة المحدبة الرقيقة، وإلا يُقال إنه يعاني من زيادة في التصحيح. ^{[ 6 ]}

إذا تم إهمال الانحرافات أحادية اللون - أي قبول نظرية غاوس - فإن كل عملية إعادة إنتاج تتحدد بمواقع المستويات البؤرية، وقيمة البعد البؤري، أو إذا كانت الأبعاد البؤرية متساوية كما هو معتاد، بثلاثة ثوابت لإعادة الإنتاج. تُحدد هذه الثوابت ببيانات النظام (أقطار العدسات، وسماكاتها، ومسافاتها، ومعاملات انكسارها، إلخ)؛ وبالتالي، يمكن حساب اعتمادها على معامل الانكسار، ومن ثم على اللون. ^{[ 6 ] [ 27 ]} يجب معرفة معاملات الانكسار لأطوال موجية مختلفة لكل نوع من أنواع الزجاج المستخدم. وبهذه الطريقة، تُضمن الشروط التي تجعل أي ثابت لإعادة الإنتاج متساويًا للونين مختلفين، أي أن هذا الثابت يكون لونيًا. على سبيل المثال، من الممكن، باستخدام عدسة سميكة واحدة في الهواء، جعل موقع المستوى البؤري مساويًا لقيمة البعد البؤري لونيًا. إذا تم تحويل جميع ثوابت الاستنساخ الثلاثة إلى اللون اللا لوني، فإن الصورة الغاوسية لجميع مسافات الأجسام تكون متطابقة بالنسبة للونين، ويُقال إن النظام في حالة لا لونية مستقرة. ^{[ 6 ]}

عمليًا، من الأفضل (وفقًا لنظرية آبي) تحديد الانحراف اللوني (على سبيل المثال، انحراف مسافة التقاطع) لموقع ثابت للجسم، والتعبير عنه بمجموع يجمع فيه كل مكون مقدار الانحراف الناتج عن كل سطح انكساري. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 6 ]} في مستوى يحتوي على نقطة صورة بلون معين، يُنتج لون آخر قرصًا من التشويش؛ وهذا مشابه للتشويش الناتج عن منطقتين في الانحراف الكروي. بالنسبة للأجسام البعيدة جدًا، يتناسب نصف قطر قرص التشويش اللوني طرديًا مع الفتحة الخطية، ولا يعتمد على البعد البؤري ( انظر أعلاه ، الانحراف اللوني الأحادي لنقطة المحور )؛ وبما أن هذا القرص يصبح أقل ضررًا مع زيادة حجم صورة جسم معين، أو مع زيادة البعد البؤري، فإنه يترتب على ذلك أن تدهور الصورة يتناسب طرديًا مع نسبة الفتحة إلى البعد البؤري، أي الفتحة النسبية. (وهذا يفسر الأطوال البؤرية العملاقة التي كانت رائجة قبل اكتشاف اللا لونية.) ^{[ 6 ]}

أمثلة:

أخفق نيوتن في إدراك وجود أوساط ذات قدرات تشتيت مختلفة، وهو ما يتطلبه انعدام اللون؛ ونتيجة لذلك، بنى عاكسات كبيرة بدلًا من الكاسرات. توصل جيمس غريغوري وليونهارد أويلر إلى الرؤية الصحيحة انطلاقًا من مفهوم خاطئ لانعدام لون العين؛ وقد تم تحديد هذا المفهوم من قبل تشيستر مور هول عام 1728، وكلينغينستيرنا عام 1754، ودولوند عام 1757، الذين بنوا التلسكوبات اللا لونية الشهيرة. (انظر: التلسكوب ). ^{[ 6 ]}

زجاج ذو قدرة تشتيت أضعف (أكبر)${\displaystyle v}$يُطلق على الزجاج اسم زجاج التاج ؛ أما الزجاج ذو القدرة التشتيتية الأكبر فيُسمى زجاج الصوان . لصنع عدسة تجميعية لا لونية (${\displaystyle f}$بناءً على المعادلة (4)، يُستنتج أنه يجب اختيار عدسة تجميعية (I) من زجاج التاج وعدسة تشتيتية (II) من زجاج الصوان؛ فالعدسة الثانية، على الرغم من كونها أضعف، تُصحح الانحراف اللوني للعدسة الأولى بفضل قدرتها التشتيتية الأكبر. أما بالنسبة للعدسة التشتيتية اللا لونية، فيجب اعتماد العكس. وهذا هو النوع الشائع حاليًا، على سبيل المثال، في عدسات التلسكوب؛ حيث يجب أن تُحقق قيم الأقطار الأربعة المعادلتين (2) و(4). ويمكن أيضًا افتراض شرطين آخرين: الأول هو دائمًا إزالة الانحراف على المحور؛ والثاني إما شرط هيرشل ^{[ 23 ]} أو شرط فراونهوفر، والأخير هو الأفضل (انظر أعلاه، الانحراف اللوني الأحادي ). لكن عمليًا، غالبًا ما يكون من المفيد تجنب الشرط الثاني بجعل العدسات متلامسة، أي متساوية الأقطار. بحسب ب. رودولف (Eder's Jahrb. f. Photog.، 1891، 5، ص  225؛ 1893، 7، ص  221)، تسمح العدسات الشيئية الرقيقة المُلصقة بإزالة الزيغ الكروي على المحور، إذا كان معامل انكسار العدسة المُجمّعة أصغر، كما ذُكر سابقًا؛ ومن ناحية أخرى، فإنها تسمح بإزالة الاستجماتيزم وانحناء المجال، إذا كان معامل انكسار العدسة المُجمّعة أكبر (وهذا ما يُستنتج من معادلة بيتزفال؛ انظر ل. سيدل، Astr. Nachr.، 1856، ص  289). إذا كان النظام المُلصق موجبًا، فلا بد أن تكون العدسة الأقوى موجبة أيضًا؛ ووفقًا للمعادلة (4)، فإن القوة التشتتية الأضعف (الأكبر) تنتمي إلى القوة الأكبر.${\displaystyle v}$أي الزجاج التاجي؛ وبالتالي، يجب أن يتمتع الزجاج التاجي بمعامل انكسار أعلى للصور المستوية واللا بؤرية. أما في جميع أنواع الزجاج السابقة، فقد زادت القدرة على التشتيت مع زيادة معامل الانكسار؛ أي${\displaystyle v}$انخفضت مع${\displaystyle n}$ازدادت؛ لكن بعض أنواع زجاج يينا التي صنعها إي. آبي وأو. شوت كانت زجاجًا تاجيًا ذا معامل انكسار عالٍ، وتُسمى الأنظمة اللا لونية المصنوعة من هذا الزجاج التاجي، مع زجاج الصوان ذي معامل الانكسار المنخفض، بالعدسات اللا لونية الجديدة، وقد استخدمها بي. رودولف في أولى العدسات اللا بؤرية (العدسات الشيئية الفوتوغرافية). ^{[ 6 ]}

بدلاً من صنع${\displaystyle df}$إذا اختفت العدسة، يمكن إسناد قيمة معينة لها، مما ينتج، بإضافة العدستين، أي انحراف لوني مرغوب فيه، على سبيل المثال، انحرافًا لونيًا كافيًا لإزالة انحراف موجود في أجزاء أخرى من النظام. إذا كانت العدستان الأولى والثانية ملتصقتين ولهما نفس معامل الانكسار للون واحد، فإن تأثيرهما على ذلك اللون يكون كتأثير عدسة من قطعة واحدة؛ من خلال هذا التفكيك للعدسة، يمكن جعلها لونية أو لا لونية حسب الرغبة، دون تغيير تأثيرها الكروي. إذا كان تأثيرها اللوني (${\displaystyle df/f}$إذا كانت أكبر من تلك الخاصة بنفس العدسة، ولأن هذه العدسة مصنوعة من الزجاج الأكثر تشتتًا من بين النوعين المستخدمين، فإنها تسمى عدسة فائقة اللون. ^{[ 6 ]}

لعدستين رقيقتين تفصل بينهما مسافة${\displaystyle D}$شرط الإصابة بانعدام اللون هو${\displaystyle D=v_{1}f_{1}+v_{2}f_{2}}$؛ لو${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$(على سبيل المثال، إذا كانت العدسات مصنوعة من نفس الزجاج)، فإن هذا يختزل إلى${\displaystyle D=(f_{1}+f_{2})/2}$، والمعروفة باسم حالة العيون. ^{[ 6 ]}

إذا تم جعل ثابت إعادة الإنتاج، كالبعد البؤري مثلاً، متساوياً للونين، فإنه لا يكون كذلك بالنسبة للألوان الأخرى عند استخدام نوعين مختلفين من العدسات. فعلى سبيل المثال، يتحقق شرط اللا لونية (4) لعدستين رقيقتين متلامستين في جزء واحد فقط من الطيف، لأن${\displaystyle dn_{2}/dn_{1}}$يتفاوت ضمن الطيف. وقد تأكدت هذه الحقيقة لأول مرة على يد يوهان فراونهوفر، الذي حدد الألوان باستخدام الخطوط الداكنة في الطيف الشمسي؛ وأظهر أن نسبة تشتت نوعين من الزجاج تختلف بنحو 20% من الأحمر إلى البنفسجي (بينما يبلغ الاختلاف بين الزجاج والماء حوالي 50%). لذلك، إذا كان لدينا لونان، أ و ب،${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f}$ثم بالنسبة للون ثالث، c، يكون البعد البؤري مختلفًا؛ أي إذا كان c يقع بين a و b، فإن${\displaystyle f_{c}<f}$والعكس صحيح؛ وتنتج هذه النتائج الجبرية من حقيقة أن تشتت زجاج التاج الموجب يغلب باتجاه اللون الأحمر، بينما يغلب تشتت زجاج الصوان السالب باتجاه اللون البنفسجي. تُسمى هذه الأخطاء اللونية للأنظمة، التي تكون لا لونية للونين، بالطيف الثانوي ، وتعتمد على فتحة العدسة والبعد البؤري بنفس طريقة اعتماد الأخطاء اللونية الأولية. ^{[ 6 ]}

في الشكل 6 ، المأخوذ من كتاب M. von Rohr Theorie und Geschichte des Photographyischen Objectivs ، فإن الإحداثيات هي الأطوال البؤرية، والأطوال الموجية الإحداثية. تظهر خطوط فراونهوفر المستخدمة في الجدول المجاور . ^{[ 6 ]}

تُضبط الأطوال البؤرية متساوية للخطين C و F. في نطاق 550  نانومتر، يكون المماس للمنحنى موازيًا لمحور الأطوال الموجية؛ ويتغير الطول البؤري بأقل قدر ممكن ضمن نطاق واسع نسبيًا من الألوان، ولذلك يكون اتحاد الألوان في أفضل حالاته في هذا النطاق. علاوة على ذلك، فإن هذه المنطقة من الطيف هي التي تبدو الأكثر سطوعًا للعين البشرية، وبالتالي فإن منحنى الطيف الثانوي هذا، الذي تم الحصول عليه من خلال جعل${\displaystyle f_{C}=f_{F}}$وفقًا لتجارب السير جي جي ستوكس (وقائع الجمعية الملكية، 1878)، يُعدّ هذا الأسلوب الأنسب للأجهزة البصرية ( اللا لونية البصرية ). وبالمثل، في أنظمة التصوير الفوتوغرافي، يجب وضع قمة منحنى اللون عند موضع أقصى حساسية للوحات؛ ويُفترض عمومًا أن يكون هذا الموضع عند G'؛ ولتحقيق ذلك، يتم دمج خطي F والزئبق البنفسجي. تُعتمد هذه التقنية خصيصًا في عدسات التصوير الفلكي ( اللا لونية الضوئية البحتة ). أما في التصوير الفوتوغرافي العادي، فيوجد هذا العيب: لا تتطابق الصورة على شاشة التركيز مع الضبط الصحيح للوحة الحساسة للتصوير؛ في التصوير الفلكي، يكون هذا الاختلاف ثابتًا، بينما في الأنواع الأخرى يعتمد على بُعد الأجرام. ولهذا السبب، يتم دمج الخطين D وG' في عدسات التصوير الفوتوغرافي العادية؛ فتكون الصورة البصرية والضوئية أقل دقة لونية، لكنهما تقعان في نفس الموضع. وبالتالي فإن أفضل تصحيح يكمن في F (وهذا ما يُعرف بالتصحيح الشعاعي أو التحرر من التركيز الكيميائي ). ^{[ 6 ]}

هل يجب أن يكون هناك عدستان متلامستان لهما نفس البعد البؤري لثلاثة ألوان أ، ب، وج، أي${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f_{c}=f}$ثم التشتت الجزئي النسبي${\displaystyle (n_{c}-n_{b})(n_{a}-n_{b})}$يجب أن تكون متساوية لنوعي الزجاج المستخدمين. ويتضح ذلك من خلال النظر في المعادلة (4) لزوجي الألوان ac و bc. حتى وقت قريب، لم يكن معروفًا وجود زجاج بدرجة امتصاص متناسبة؛ لكن ر. بلير (معاملات جمعية إدنبرة، 1791، 3، ص  3)، وب. بارلو، وإف إس آرتشر تغلبوا على هذه الصعوبة من خلال بناء عدسات سائلة بين جدران زجاجية. حضّر فراونهوفر زجاجًا قلل من الطيف الثانوي؛ لكن النجاح الدائم لم يُضمن إلا مع تقديم زجاج يينا بواسطة إي. آبي وأو. شوت. عند استخدام زجاج لا يتمتع بتشتت متناسب، يمكن التخلص من انحراف اللون الثالث بعدستين، إذا سُمح بوجود فاصل بينهما؛ أو بثلاث عدسات متلامسة، والتي قد لا تتكون جميعها من الزجاج القديم. عند توحيد ثلاثة ألوان، يتم الحصول على لا لونية من رتبة أعلى ؛ لا يزال هناك طيف ثالثي متبقٍ، لكن يمكن دائمًا إهماله. ^{[ 6 ]}

إن نظرية غاوس ليست سوى تقريب؛ إذ لا تزال الانحرافات اللونية أو الكروية تحدث، وتختلف هذه الانحرافات باختلاف الألوان؛ وإذا ما تم تعويضها للون معين، فإن صورة اللون الآخر ستكون مشوشة. والأهم من ذلك كله هو الاختلاف اللوني لانحراف نقطة المحور، والذي لا يزال موجودًا ليشوه الصورة، حتى بعد دمج الأشعة المحورية ذات الألوان المختلفة بواسطة تركيبة مناسبة من العدسات. إذا تم تصحيح نظام جماعي لنقطة المحور لطول موجي محدد، فعندئذٍ، نظرًا للتشتت الأكبر في المكونات السالبة - عدسات الصوان - سيحدث تصحيح زائد للأطوال الموجية الأقصر (وهذا هو خطأ المكونات السالبة)، وتصحيح ناقص للأطوال الموجية الأطول (خطأ عدسات التاج الزجاجية يغلب في اللون الأحمر). وقد تناول جان لو رون دالمبير هذا الخطأ ، وبشكل أكثر تفصيلًا، سي إف غاوس. يزداد هذا الخطأ بسرعة مع فتحة العدسة، ويكون أكثر أهمية مع الفتحات المتوسطة من الطيف الثانوي للأشعة المحورية؛ وبالتالي، يجب التخلص من الزيغ الكروي للونين، وإذا كان ذلك مستحيلاً، فيجب التخلص منه للأطوال الموجية المحددة الأكثر فعالية للجهاز المعني (يُقدم تمثيل بياني لهذا الخطأ في كتاب م. فون روهر، نظرية وتاريخ العدسة الفوتوغرافية ). ^{[ 6 ]}

إن شرط إعادة إنتاج عنصر سطحي في موضع نقطة مُعاد إنتاجها بدقة - وهو ثابت علاقة الجيب - يجب أن يتحقق أيضًا مع الفتحات الكبيرة لعدة ألوان. نجح إي. آبي في حساب عدسات مجهرية خالية من خطأ نقطة المحور وتُحقق شرط الجيب لعدة ألوان، والتي كانت بالتالي، وفقًا لتعريفه، لا كروية لعدة ألوان ؛ أطلق على هذه الأنظمة اسم العدسات اللا لونية . ومع ذلك، فبينما يكون تكبير المناطق الفردية متساويًا، إلا أنه ليس متساويًا للأحمر كما هو الحال بالنسبة للأزرق؛ وهناك فرق لوني في التكبير. ينتج هذا الفرق بنفس المقدار، ولكن في الاتجاه المعاكس، بواسطة العدسات العينية التي استخدمها آبي مع هذه العدسات ( العدسات العينية المُعوضة )، بحيث يتم التخلص منه في صورة المجهر بأكملها. أفضل عدسات التلسكوب، والعدسات الفوتوغرافية المُخصصة للعمل ثلاثي الألوان، هي أيضًا عدسات لا لونية، حتى وإن لم تكن تتمتع بنفس جودة التصحيح التي تتمتع بها عدسات المجهر. نادراً ما يكون للاختلافات اللونية الناتجة عن أخطاء الاستنساخ الأخرى أهمية عملية. ^{[ 6 ]}

• انحرافات العين
• التلسكوب البصري §  الانحرافات الخمسة لسيدل
• ترميز الموجة الأمامية

• عدسات المجهر: قسم الانحرافات البصرية على موقع Molecular Expressions الإلكتروني ، مايكل دبليو. ديفيدسون، مورتيمر أبراموفيتز، شركة أوليمبوس أمريكا، وجامعة ولاية فلوريدا