تدرج

في نظام الإحداثيات الديكارتية ثلاثي الأبعاد ذي المقياس الإقليدي ، يُعطى التدرج، إن وُجد، بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$$

حيث i و j و k هي متجهات الوحدة القياسية في اتجاهات الإحداثيات x و y و z على التوالي.

على سبيل المثال، تدرج الدالة $${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$$ يكون $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$$ أو $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.}$$

في بعض التطبيقات، من المعتاد تمثيل التدرج كمتجه صف أو متجه عمود لمكوناته في نظام إحداثيات مستطيل؛ تتبع هذه المقالة اصطلاح أن التدرج هو متجه عمود، بينما المشتق هو متجه صف.

في الإحداثيات الأسطوانية ، يتم إعطاء التدرج بواسطة: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi}}\mathbf {e} _ {\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$$

حيث ρ هي المسافة المحورية، و φ هي الزاوية السمتية أو زاوية السمت، و z هي الإحداثي المحوري، و e _ρ و e _φ و e _z هي متجهات وحدة تشير على طول اتجاهات الإحداثيات.

في الإحداثيات الكروية مع المقياس الإقليدي، يتم إعطاء التدرج بواسطة: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta}}\mathbf {e} _ {\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta}}{\frac {\جزئي f} {\جزئي \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },}$$

حيث r هي المسافة الشعاعية، و φ هي الزاوية السمتية و θ هي الزاوية القطبية، و e _r و e _θ و e _φ هي متجهات وحدة محلية تشير إلى اتجاهات الإحداثيات (أي الأساس المتغير المعياري ).

للحصول على معلومات حول التدرج في أنظمة الإحداثيات المتعامدة الأخرى ، انظر الإحداثيات المتعامدة (المؤثرات التفاضلية في ثلاثة أبعاد) .

نعتبر الإحداثيات العامة ، والتي نكتبها على النحو التالي: x₁ ^, …, xᵢ ^, …, xₙ ^، حيث n هو عدد أبعاد المجال. يشير الفهرس العلوي هنا إلى موضع الإحداثية أو المركبة في القائمة، لذا فإن ^x₂ يشير إلى المركبة الثانية - وليس إلى مربع x . يشير متغير الفهرس i إلى عنصر اختياري xᵢ ^. باستخدام ترميز أينشتاين ، يمكن كتابة التدرج على النحو التالي:

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$$(لاحظ أن ثنائيته هي${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$)

أين${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$و${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$تشير إلى القواعد المتغيرة والمتغايرة المحلية غير المعيارية على التوالي،${\displaystyle g^{ij}}$هو موتر القياس العكسي ، واتفاقية جمع أينشتاين تعني الجمع على i و j .

إذا كانت الإحداثيات متعامدة، فيمكننا بسهولة التعبير عن التدرج (والتفاضل ) بدلالة القواعد المعيارية، والتي نشير إليها باسم ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$و ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$باستخدام عوامل المقياس (المعروفة أيضًا باسم معاملات لاميه ) ${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert }$ :

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$$(و${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$)

حيث لا يمكننا استخدام ترميز أينشتاين، إذ يستحيل تجنب تكرار أكثر من مؤشرين. على الرغم من استخدام المؤشرات العليا والسفلى،${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$،${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$، و${\displaystyle h_{i}}$ليست متغايرة عكسياً ولا متغايرة مشتركة.

يُقيّم التعبير الأخير إلى التعبيرات المذكورة أعلاه للإحداثيات الأسطوانية والكروية.

يرتبط التدرج ارتباطًا وثيقًا بالمشتقة الكلية ( التفاضل الكلي ).${\displaystyle df}$هما منقولان ( ثنائيان ) لبعضهما البعض. باستخدام الاصطلاح الذي ينص على أن المتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم تمثيلها بواسطة متجهات عمودية ، وتلك المتجهات المرافقة (الخرائط الخطية)${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$يتم تمثيلها بواسطة متجهات صفية ، ^{[ أ ]} التدرج${\displaystyle \nabla f}$والمشتق${\displaystyle df}$يتم التعبير عنهما كمتجه عمودي ومتجه صف، على التوالي، بنفس المكونات، ولكنهما منقولان عن بعضهما البعض:

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};}$$$${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

على الرغم من تشابه مكوناتهما، إلا أنهما يختلفان في نوع الكائن الرياضي الذي يمثلانه: عند كل نقطة، يكون المشتق متجهًا مماسًا ، وهو شكل خطي (أو متجهًا مرافقًا) يعبر عن مقدار تغير الناتج (العددي) لتغير متناهي الصغر في المدخل (المتجهي)، بينما عند كل نقطة، يكون التدرج متجهًا مماسًا ، يمثل تغيرًا متناهي الصغر في المدخل (المتجهي). بالرموز، يمثل التدرج عنصرًا من الفضاء المماسي عند نقطة ما.${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$بينما المشتقة هي دالة من الفضاء المماسي إلى الأعداد الحقيقية،${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. المساحات المماسية عند كل نقطة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن تحديدها "بشكل طبيعي" ^{[ هـ ]} مع الفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وبالمثل، يمكن تحديد فضاء المماس التمام عند كل نقطة بشكل طبيعي مع فضاء المتجهات الثنائي.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$من المتجهات المرافقة؛ وبالتالي يمكن اعتبار قيمة التدرج عند نقطة ما كمتجه في الأصل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ليس فقط كمتجه مماس.

من الناحية الحسابية، عند إعطاء متجه مماس، يمكن ضرب المتجه بالمشتقة (كمصفوفات)، وهو ما يساوي أخذ الضرب النقطي مع التدرج: $${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$$

لتكن U مجموعة مفتوحة في Rⁿ ^. إذا كانت الدالة f  : U → R قابلة للتفاضل، فإن تفاضل f هو مشتقة فريشيه للدالة f . وبالتالي، ^فإن ∇f دالة من U إلى الفضاء Rⁿ بحيث $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$$ حيث يمثل · الضرب النقطي.

ونتيجة لذلك، تنطبق الخصائص المعتادة للمشتقة على التدرج، على الرغم من أن التدرج ليس مشتقة بحد ذاته، بل هو ثنائي للمشتقة:

الخطية

يكون التدرج خطيًا بمعنى أنه إذا كانت f و g دالتين حقيقيتين قابلتين للتفاضل عند النقطة a ∈ R ⁿ ، وكان α و β ثابتين، فإن αf + βg قابلة للتفاضل عند a ، وعلاوة على ذلك$${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$$

قاعدة المنتج

إذا كانت f و g دالتين حقيقيتين قابلتين للتفاضل عند نقطة a ∈ R ⁿ ، فإن قاعدة الضرب تنص على أن حاصل ضرب fg قابل للتفاضل عند a ، و$${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$$

قاعدة السلسلة

لنفترض أن f  : A → R دالة حقيقية القيمة معرفة على مجموعة جزئية A من Rⁿ ^، وأن f قابلة للتفاضل عند النقطة a . هناك شكلان لقاعدة السلسلة ينطبقان على التدرج. أولًا، لنفترض أن الدالة g منحنى وسيطي ؛ أي أن الدالة g  : I → Rⁿ تُسقط مجموعة جزئية I ⊂ R على Rⁿ ^. إذا كانت g قابلة للتفاضل عند النقطة c ∈ I بحيث g ( c ) = a ، ^فإن$${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$$حيث ∘ هو عامل التركيب : ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) .

وبشكل أعم، إذا كان I ⊂ R ^k بدلاً من ذلك ، فإن ما يلي ينطبق: $${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$$ حيث ( Dg ) ^{T تشير إلى} مصفوفة جاكوبي المنقولة .

بالنسبة للصيغة الثانية لقاعدة السلسلة، لنفترض أن h  : I → R دالة حقيقية القيمة على مجموعة جزئية I من R ، وأن h قابلة للتفاضل عند النقطة f ( a ) ∈ I. عندئذٍ $${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$$

السطح المستوي، أو السطح المتساوي ، هو مجموعة جميع النقاط التي يكون لدالة ما قيمة معينة عندها.

إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل، فإن حاصل الضرب القياسي (∇ f ) _x ⋅ v لتدرجها عند النقطة x مع المتجه v يعطي المشتقة الاتجاهية للدالة f عند x في اتجاه v . وبالتالي، في هذه الحالة يكون تدرج f متعامدًا مع مستويات f . على سبيل المثال، يُعرَّف سطح المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد بمعادلة على الصورة F ( x , y , z ) = c . ويكون تدرج F حينها عموديًا على السطح.

بشكل أعم، يمكن قطع أي سطح فائق مضمن في مشعب ريماني بواسطة معادلة على الصورة F ( P ) = 0 بحيث لا يساوي dF صفرًا في أي مكان. ويكون تدرج F حينها عموديًا على السطح الفائق.

وبالمثل، يمكن تعريف سطح جبري أفيني بالمعادلة F ( x₁ _, ..., xₙ ₎ = 0 ، حيث F دالة متعددة الحدود. يكون تدرج F صفرًا عند نقطة شاذة على السطح (وهذا هو تعريف النقطة الشاذة). أما عند نقطة غير شاذة، فيكون متجهًا عموديًا غير صفري.

يُطلق على تدرج الدالة اسم حقل التدرج. حقل التدرج (المتصل) هو دائمًا حقل متجهي محافظ : يعتمد تكامله الخطي على طول أي مسار فقط على نقطتي نهاية المسار، ويمكن حسابه باستخدام نظرية التدرج (النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل للتكاملات الخطية). وعلى العكس، فإن الحقل المتجهي المحافظ (المتصل) هو دائمًا تدرج دالة.

تدرج الدالة${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$عند النقطة x يكون اتجاه صعودها الأكثر حدة أيضًا، أي أنه يزيد من مشتقها الاتجاهي :

يترك${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ليكن متجه وحدة اختياري. مع تعريف المشتقة الاتجاهية على النحو التالي

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+vh)-f(x)}{h}},}$$

نحصل على ذلك عن طريق استبدال الدالة${\displaystyle f(x+vh)}$مع سلسلة تايلور الخاصة بها ،

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x)+\nabla f\cdot vh+R)-f(x)}{h}},}$$

أين${\displaystyle R}$يشير إلى الحدود ذات الرتبة الأعلى في${\displaystyle vh}$.

القسمة على${\displaystyle h}$وأخذ النهاية ينتج عنه حد محدود من الأعلى بواسطة متباينة كوشي-شفارتز ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle |\nabla _{v}f(x)|=|\nabla f\cdot v|\leq ||\nabla f||||v||=||\nabla f||.}$$

اختيار${\displaystyle v^{*}=\nabla f/||\nabla f||}$يُعظّم المشتق الاتجاهي، ويساوي الحد الأعلى

$${\displaystyle |\nabla _{v^{*}}f(x)|=||\nabla f||^{2}/||\nabla f||=||\nabla f||.}$$

مصفوفة جاكوبي هي تعميم للتدرج للدوال المتجهة ذات المتغيرات المتعددة والخرائط القابلة للتفاضل بين الفضاءات الإقليدية أو، بشكل أعم، بين المشعبات . ^{[ 9 ] [ 10 ]} وهناك تعميم آخر للدالة بين فضاءات باناخ وهو مشتق فريشيه .

لنفترض أن f  : R ⁿ → R ^m دالة بحيث توجد كل مشتقاتها الجزئية من الرتبة الأولى على ℝ ⁿ . عندئذٍ، تُعرَّف مصفوفة جاكوبي للدالة f بأنها مصفوفة من الرتبة m × n ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$أو ببساطة${\displaystyle \mathbf {J} }$المدخل ( i , j ) هو${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$بشكل صريح $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$$

بما أن المشتقة الكلية لحقل متجه هي عبارة عن تحويل خطي من متجهات إلى متجهات، فهي كمية موترية .

في الإحداثيات المستطيلة، يُعرَّف تدرج حقل متجه f = ( f ¹ , f ² , f ³ ) على النحو التالي:

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

(حيث يُستخدم ترميز جمع أينشتاين ، ويكون حاصل الضرب الموتري للمتجهين e_{_i} و e_{_k} موترًا ثنائيًا من النوع (2,0)). إجمالًا، يساوي هذا التعبير منقول مصفوفة جاكوبي:

$${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$$

في الإحداثيات المنحنية، أو بشكل أعم على مشعب منحني ، يتضمن التدرج رموز كريستوفيل :

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

حيث g ^jk هي مكونات موتر القياس العكسي و e _i هي متجهات أساس الإحداثيات.

وبصيغة أكثر ثباتًا، يمكن تعريف تدرج حقل متجه f بواسطة اتصال ليفي-سيفيتا وموتر القياس: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$$

حيث ∇ _c هي الوصلة.

لأي دالة سلسة f على مشعب ريماني ( M , g ) ، يكون تدرج f هو حقل المتجهات ∇f بحيث يكون لأي حقل متجه X ، $${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$$ إنه، $${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$$ حيث يرمز g ( _x ,) إلى الجداء الداخلي لمتجهات المماس عند x المعرّفة بالمقياس g ، و∂ Xf _هي الدالة التي تأخذ أي نقطة x ∈ M إلى المشتقة الاتجاهية لـ f في الاتجاه X ، محسوبة عند x . بعبارة أخرى، في مخطط إحداثيات φ من مجموعة جزئية مفتوحة من M إلى مجموعة جزئية مفتوحة من Rⁿ، تُعطى ⁽ ∂Xf ) ₍ x ) بالصيغة التالية :$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$$ حيث يشير X ^j إلى المكون j من X في مخطط الإحداثيات هذا.

إذن، يأخذ الشكل المحلي للتدرج الشكل التالي:

$${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$$

بتعميم الحالة M = R ⁿ ، يرتبط تدرج الدالة بمشتقتها الخارجية، لأن $${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$$ وبشكل أدق، فإن التدرج ∇ f هو حقل المتجهات المرتبط بالشكل التفاضلي 1- df باستخدام التشاكل الموسيقي$${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$$ (يسمى "حاد") معرف بواسطة المقياس g . العلاقة بين المشتقة الخارجية وتدرج دالة على R ⁿ هي حالة خاصة من هذا حيث يكون المقياس هو المقياس المسطح المعطى بواسطة الضرب النقطي.