هرم باسكال

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة
الطبقات الخمس الأولى لهرم باسكال. كل وجه (الشبكة البرتقالية) هو مثلث باسكال. تشير الأسهم إلى اشتقاق مصطلحين كمثال.

في الرياضيات ، هرم باسكال هو ترتيب ثلاثي الأبعاد لمعاملات مفكوك ثلاثية الحدود وتوزيعها . [ 1 ] يُعد هرم باسكال النظير ثلاثي الأبعاد لمثلث باسكال ثنائي الأبعاد ، الذي يحتوي على معاملات ذات الحدين التي تظهر في مفكوك ذات الحدين وتوزيعها . معاملات ذات الحدين وثلاثية الحدود، ومفكوكها، وتوزيعاتها ، هي مجموعات فرعية من البنى متعددة الحدود التي تحمل نفس الأسماء.

بنية رباعي الأوجه

نظرًا لأن رباعي الأوجه جسم ثلاثي الأبعاد، فإن عرضه على ورقة أو شاشة حاسوب أو أي وسيط ثنائي الأبعاد آخر أمر صعب. لنفترض أن رباعي الأوجه مُقسّم إلى عدد من المستويات أو الطبقات. الطبقة العلوية (الرأس) مُسماة "الطبقة 0". يمكن اعتبار الطبقات الأخرى بمثابة مناظر علوية لرباعي الأوجه بعد إزالة الطبقات السابقة. الطبقات الست الأولى هي كالتالي:

اشتقاق المستويات الخمسة الأولى من هرم باسكال - حيث تشير قيم متعددة إلى رقم واحد، يتم جمع هذه القيم.
الطبقة 0
1
الطبقة 1
11
1
الطبقة الثانية
121
22
1
الطبقة 3
1331
363
33
1
الطبقة الرابعة
14641
412124
6126
44
1
الطبقة 5
15101051
52030205
10303010
102010
55
1

تم عرض طبقات رباعي الأوجه عمداً مع توجيه الرأس لأسفل حتى لا يتم الخلط بينها وبين مثلث باسكال.

نظرة عامة على رباعي الأوجه

  • يوجد تناظر ثلاثي الاتجاهات للأرقام في كل طبقة.
  • عدد الحدود في الطبقة رقم n هو العدد المثلثي رقم ( n + 1) :(ن+1)(ن+2)2{\displaystyle {\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}⁠ .
  • مجموع قيم الأرقام في الطبقة رقم n هو 3n .
  • كل رقم في أي طبقة هو مجموع الأرقام الثلاثة المجاورة في الطبقة التي تعلوها.
  • كل رقم في أي طبقة هو نسبة عددية صحيحة بسيطة بين الأرقام المجاورة في نفس الطبقة.
  • كل رقم في أي طبقة هو معامل لتوزيع ثلاثي الحدود وتوسيع ثلاثي الحدود. هذا الترتيب غير الخطي يُسهّل ما يلي:
    • عرض مفكوك ثلاثية الحدود بطريقة متماسكة؛
    • احسب معاملات التوزيع الثلاثي الحدود؛
    • احسب عدد طبقات أي رباعي الأوجه.
  • الأرقام على طول الحواف الثلاثة للطبقة رقم n هي أرقام الخط رقم n في مثلث باسكال. وتتشابه جميع الخصائص المذكورة أعلاه تقريبًا مع مثلث باسكال ومعاملات متعددة الحدود.

ربط مفكوك ثلاثي الحدود

تُستمد أعداد رباعي الأوجه من مفكوك ثلاثية الحدود . تتكون الطبقة رقم n من جميع المعاملات عندما تكون ثلاثية الحدودأ+ب+ج{\displaystyle A+B+C}يتم رفعها إلى القوة النونية . يتم توسيع القوة النونية للثلاثية الحدودية بضرب الثلاثية الحدودية في نفسها بشكل متكرر:

(أ+ب+ج)(أ+ب+ج)ن=(أ+ب+ج)ن+1{\displaystyle (A+B+C)(A+B+C)^{n}=(A+B+C)^{n+1}}
طبقات هرم باسكال مستمدة من معاملات رسم بياني ثلاثي مقلوب للحدود في مفكوك قوى ثلاثية الحدود

يُضرب كل حد في التعبير الأول بكل حد في التعبير الثاني، ثم تُجمع معاملات الحدود المتشابهة (المتغيرات والأسس نفسها). إليك فكّ ( أ + ب + ج ) ⁴ :

1 أ 4 ب 0 ج 0 + 4 أ 3 ب 0 ج 1 + 6 أ 2 ب 0 ج 2 + 4 أ 1 ب 0 ج 3 + 1 أ 0 ب 0 ج 4 +

4 أ 3 ب 1 ج 0 + 12 أ 2 ب 1 ج 1 + 12 أ 1 ب 1 ج 2 + 4 أ 0 ب 1 ج 3 + 6 أ 2 ب 2 ج 0 + 12 أ 1 ب 2 ج 1 + 6 أ 0 ب 2 ج 2 + 4 أ 1 ب 3 ج 0 + 4 أ 0 ب 3 ج 1 +

1 أ 0 ب 4 ج 0  

كتابة المتسلسلة بهذه الطريقة غير الخطية تُظهرها بشكلٍ أوضح. كما تُبرز الصلة مع رباعي الأوجه - حيث تتطابق المعاملات هنا مع معاملات الطبقة الرابعة. جميع المعاملات والمتغيرات والأسس الضمنية، التي لا تُكتب عادةً، مُوضحة أيضًا لتوضيح علاقة أخرى مع رباعي الأوجه. (عادةً، "1 A " تعني " A "؛ و" B1 " تعني " B "؛ و" C0 " تعني "1"؛ وهكذا). مجموع أسس كل حد يساوي رقم الطبقة ( n )، أو 4 في هذه الحالة. والأهم من ذلك، أنه يُمكن حساب قيمة معاملات كل حد مباشرةً من الأسس. الصيغة هي ( x + y + z )! / ( x ! y ! z ! ) ، حيث x وy وz هي أسس A وB وC على التوالي، و"!" هو المضروب .ن!=1⋅2⋅3⋯ن{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n}صيغ الأس للطبقة الرابعة هي:

(4+0+0)!4!⋅0!⋅0! (3+0+1)!3!⋅0!⋅1! (2+0+2)!2!⋅0!⋅2! (1+0+3)!1!⋅0!⋅3! (0+0+4)!0!⋅0!⋅4!{\displaystyle \textstyle {(4+0+0)! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {(3+0+1)! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {(2+0+2)! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {(1+0+3)! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {(0+0+4)! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}}

(3+1+0)!3!⋅1!⋅0! (2+1+1)!2!⋅1!⋅1! (1+1+2)!1!⋅1!⋅2! (0+1+3)!0!⋅1!⋅3!{\displaystyle \textstyle {(3+1+0)! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {(2+1+1)! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {(1+1+2)! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {(0+1+3)! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}}

(2+2+0)!2!⋅2!⋅0! (1+2+1)!1!⋅2!⋅1! (0+2+2)!0!⋅2!⋅2!{\displaystyle \textstyle {(2+2+0)! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {(1+2+1)! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {(0+2+2)! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}}

(1+3+0)!1!⋅3!⋅0! (0+3+1)!0!⋅3!⋅1!{\displaystyle \textstyle {(1+3+0)! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {(0+3+1)! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}}

(0+4+0)!0!⋅4!⋅0!{\displaystyle \textstyle {(0+4+0)! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}}

يمكن رؤية أسس كل حد من حدود التوسع بوضوح، وتتبسط هذه الصيغ إلى معاملات التوسع ومعاملات رباعي الأوجه للطبقة 4.

علاقة التوزيع الثلاثي

يمكن أيضًا إيجاد أعداد رباعي الأوجه في التوزيع الثلاثي الحدود . وهو توزيع احتمالي منفصل يُستخدم لتحديد فرصة وقوع مجموعة معينة من الأحداث، مع الأخذ في الاعتبار ثلاث نتائج محتملة. يتم ضرب عدد الطرق الممكنة لوقوع الأحداث في احتمالات وقوعها. صيغة التوزيع الثلاثي الحدود هي:

ن!x!y!z!(Pأ)x(Pب)y(Pج)z{\displaystyle {\frac {n!}{x!y!z!}}(P_{A})^{x}(P_{B})^{y}(P_{C})^{z}}

حيث x و y و z هي عدد مرات حدوث كل من النتائج الثلاثة؛ n هو عدد المحاولات ويساوي مجموع x+y+z ؛ و P A و P B و P C هي احتمالات حدوث كل من الأحداث الثلاثة.

على سبيل المثال، في انتخابات ثلاثية، حصل المرشحون على الأصوات التالية: أ، 16  %؛ ب، 30  %؛ ج، 54  %. ما احتمال أن تضم مجموعة نقاش عشوائية مكونة من أربعة أشخاص الناخبين التاليين: ناخب واحد لـ أ، ناخب واحد لـ ب، ناخبان لـ ج؟ الجواب هو:

4!1!1!2!(16%)1(30%)1(54%)2=12×0.0139968≈17%{\displaystyle {\frac {4!}{1!1!2!}}(16\,\%)^{1}(30\,\%)^{1}(54\,\%)^{2}=12\times 0.0139968\approx 17\,\%}

يمثل الرقم 12 معامل هذا الاحتمال، وهو عدد التوليفات الممكنة لتشكيل مجموعة التركيز "112". يوجد 15 ترتيبًا مختلفًا لمجموعات التركيز المكونة من أربعة أشخاص يمكن اختيارها. فيما يلي صيغ جميع هذه المعاملات الخمسة عشر:

4!4!⋅0!⋅0! 4!3!⋅0!⋅1! 4!2!⋅0!⋅2! 4!1!⋅0!⋅3! 4!0!⋅0!⋅4!{\displaystyle \textstyle {4! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {4! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {4! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {4! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {4! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}}

4!3!⋅1!⋅0! 4!2!⋅1!⋅1! 4!1!⋅1!⋅2! 4!0!⋅1!⋅3!{\displaystyle \textstyle {4! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {4! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {4! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {4! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}}

4!2!⋅2!⋅0! 4!1!⋅2!⋅1! 4!0!⋅2!⋅2!{\displaystyle \textstyle {4! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {4! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {4! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}}

4!1!⋅3!⋅0! 4!0!⋅3!⋅1!{\displaystyle \textstyle {4! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {4! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}}

4!0!⋅4!⋅0!{\displaystyle \textstyle {4! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}}

بسط هذه الكسور (أعلى الخط) هو نفسه لجميع التعبيرات. وهو يمثل حجم العينة - مجموعة من أربعة أشخاص - ويشير إلى أن معاملات هذه الترتيبات يمكن إيجادها في الطبقة الرابعة من رباعي الأوجه. أما الأرقام الثلاثة في المقام (أسفل الخط) فهي عدد أعضاء مجموعة التركيز الذين صوتوا لصالح أ، ب، ج، على التوالي.

تُستخدم الاختصارات عادةً للتعبير عن الدوال التوافقية بالصيغة التالية "choose" (والتي تُقرأ على النحو التالي "4 choose 4, 0, 0", إلخ).

(44،0،0) (43،0،1) (42،0،2) (41،0،3) (40،0،4){\displaystyle \textstyle {4 \choose 4,0,0}\ {4 \choose 3,0,1}\ {4 \choose 2,0,2}\ {4 \choose 1,0,3}\ {4 \choose 0,0,4}}

(43،1،0) (42،1،1) (41،1،2) (40،1،3){\displaystyle \textstyle {4 \choose 3,1,0}\ {4 \choose 2,1,1}\ {4 \choose 1,1,2}\ {4 \choose 0,1,3}}

(42،2،0) (41،2،1) (40،2،2){\displaystyle \textstyle {4 \choose 2,2,0}\ {4 \choose 1,2,1}\ {4 \choose 0,2,2}}

(41،3،0) (40،3،1){\displaystyle \textstyle {4 \choose 1,3,0}\ {4 \choose 0,3,1}}

(40،4،0){\displaystyle \textstyle {4 \choose 0,4,0}}

لكن قيمة هذه التعبيرات لا تزال مساوية لمعاملات الطبقة الرابعة من رباعي الأوجه. ويمكن تعميمها على أي طبقة بتغيير حجم العينة ( n ).

تُسهّل هذه الصيغة التعبير عن مجموع جميع معاملات الطبقة n :

∑x،y،z(نx،y،z)=3ن{\displaystyle \textstyle \sum _{x,y,z}{n \choose x,y,z}=3^{n}}.

إضافة المعاملات بين الطبقات

الأرقام في كل طبقة ( ن ) من الهرم الرباعي هي مجموع الأرقام الثلاثة المجاورة لها في الطبقة ( ن - ١) التي تعلوها. يصعب ملاحظة هذه العلاقة دون دمج الطبقات. فيما يلي أرقام الطبقة الثالثة المكتوبة بخط مائل، متداخلة مع أرقام الطبقة الرابعة المكتوبة بخط غامق :

14641
1331
412124
363
6126
33
44
1
1

تتضح هذه العلاقة من خلال الرقم 12 السفلي المركزي في الطبقة الرابعة. فهو محاط بثلاثة أرقام من الطبقة الثالثة: 6 من جهة الشمال، و3 من جهة الجنوب الغربي، و3 من جهة الجنوب الشرقي. (الأرقام على الحافة لها رقمان متجاوران فقط في الطبقة التي تعلوها، والأرقام الثلاثة في الزوايا لها رقم متجاور واحد فقط في الطبقة التي تعلوها، ولذلك فهي دائمًا تساوي 1. يمكن افتراض أن الأرقام المفقودة تساوي 0، وبالتالي لا يوجد فقدان للعمومية). تنشأ هذه العلاقة بين الطبقات المتجاورة من خلال عملية توسيع ثلاثية الحدود على مرحلتين.

استكمالاً لهذا المثال، في الخطوة 1، يتم ضرب كل حد من حدود ( أ + ب + ج ) 3 في كل حد من حدود ( أ + ب + ج ) 1. ثلاث عمليات ضرب فقط من هذه العمليات هي المهمة في هذا المثال:

مصطلح الطبقة 3 اضرب في مصطلح المنتج
6 أ 1 ب 1 ج 11 ب 16 أ 1 ب 2 ج 1
3 أ 1 ب 2 ج 01 ج 13 أ 1 ب 2 ج 1
3 أ 0 ب 2 ج 11 أ 13 أ 1 ب 2 ج 1

ثم في الخطوة 2، ينتج عن جمع الحدود المتشابهة (نفس المتغيرات والأسس) ما يلي: 12 A 1 B 2 C 1 ، وهو الحد ( A + B + C ) 4 ؛ بينما 12 هو معامل الطبقة الرابعة من رباعي الأوجه.

يمكن التعبير عن العلاقة الجمعية رمزياً على النحو التالي:

ج(x،y،z)=ج(x-1،y،z)+ج(x،y-1،z)+ج(x،y،z-1){\displaystyle C(x,y,z)=C(x-1,y,z)+C(x,y-1,z)+C(x,y,z-1)}

حيث C( x,y,z ) هو معامل الحد ذي الأسس x و y و z وx+y+z=ن{\displaystyle x+y+z=n}⁠ هي طبقة من طبقات رباعي الأوجه.

لن تنجح هذه العلاقة إلا إذا تم عرض التوسع الثلاثي الحدودي بطريقة غير خطية كما هو موضح في القسم الخاص بـ "الارتباط بالتوسع الثلاثي الحدودي".

النسبة بين معاملات الطبقة نفسها

في كل طبقة من طبقات الهرم الرباعي، تمثل الأعداد نسبًا عددية صحيحة بسيطة للأعداد المجاورة. ويوضح الشكل التالي هذه العلاقة للأزواج المتجاورة أفقيًا في الطبقة الرابعة:

1 ⟨ 1:4 ⟩ 4 ⟨ 2:3 ⟩ 6 ⟨ 3:2 ⟩ 4 ⟨ 4:1 ⟩ 1 4 ⟨ 1:3 ⟩ 12 ⟨ 2:2 ⟩ 12 ⟨ 3:1 ⟩ 4 6 ⟨ 1:2 ⟩ 12 ⟨ 2:1 ⟩ 6 4 ⟨ 1:1 ⟩ 4 1                    

ولأن رباعي الأوجه له تناظر ثلاثي الاتجاهات، فإن علاقة النسبة تنطبق أيضًا على الأزواج القطرية في كلا الاتجاهين، وكذلك على الأزواج الأفقية الموضحة.

تُحدد النسب بواسطة أسس الحدود المتجاورة المناظرة في مفكوك ثلاثية الحدود. على سبيل المثال، إحدى النسب في الرسم التوضيحي أعلاه هي:

4 ⟨ 1:3 ⟩ 12  

الحدود المقابلة في مفكوك ثلاثية الحدود هي:

4أ3ب1ج0{\displaystyle 4A^{3}B^{1}C^{0}}و12أ2ب1ج1{\displaystyle 12A^{2}B^{1}C^{1}}

تنطبق القواعد التالية على معاملات جميع أزواج الحدود المتجاورة في مفكوك ثلاثية الحدود:

  • يظل أس أحد المتغيرات دون تغيير ( B في هذه الحالة) ويمكن تجاهله.
  • أما بالنسبة للمتغيرين الآخرين، فيزداد أحد الأسين بمقدار 1 وينقص الأس الآخر بمقدار 1.
    • أسس A هي 3 و 2 (الأكبر في الحد الأيسر).
    • أسس C هي 0 و 1 (الأكبر في الحد الأيمن).
  • ترتبط المعاملات والأسس الأكبر ببعضها البعض:
    • 4 × 3 = 12 × 1
    • 4 / 12 = 1 / 3
  • هذه المعادلات تعطي النسبة: "1:3".

تنطبق القواعد نفسها على جميع الأزواج الأفقية والقطرية. ستتغير المتغيرات A وB وC.

توفر هذه العلاقة النسبية طريقة أخرى (وإن كانت معقدة بعض الشيء) لحساب معاملات رباعي الأوجه:

معامل الحد المجاور يساوي معامل الحد الحالي مضروبًا في أس الحد الحالي للمتغير المتناقص مقسومًا على أس الحد المجاور للمتغير المتزايد.

قد تكون نسبة المعاملات المتجاورة أوضح قليلاً عند التعبير عنها رمزياً. يمكن أن يحتوي كل حد على ما يصل إلى ستة حدود متجاورة:

عندما x = 0:ج(x،y،z-1)=ج(x،y-1،z)⋅zy،ج(x،y-1،z)=ج(x،y،z-1)⋅yz{\displaystyle C(x,y,z-1)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {z}{y}},\quad C(x,y-1,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {y}{z}}}
عندما تكون قيمة y تساوي صفرًا:ج(x-1،y،z)=ج(x،y،z-1)⋅xz،ج(x،y،z-1)=ج(x-1،y،z)⋅zx{\displaystyle C(x-1,y,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {x}{z}},\quad C(x,y,z-1)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {z}{x}}}
عندما تكون قيمة z تساوي صفرًا:ج(x،y-1،z)=ج(x-1،y،z)⋅yx،ج(x-1،y،z)=ج(x،y-1،z)⋅xy{\displaystyle C(x,y-1,z)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {y}{x}},\quad C(x-1,y,z)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {x}{y}}}

حيث C( x,y,z ) هو المعامل، و x وy وz هي الأسس. في الأيام التي سبقت الآلات الحاسبة الجيبية والحواسيب الشخصية، كان هذا الأسلوب يُستخدم كطريقة مختصرة لطلاب المدارس لكتابة مفكوك ذات الحدين دون الحاجة إلى المفككات الجبرية المملة أو حسابات المضروب المعقدة.

لن تنجح هذه العلاقة إلا إذا تم عرض التوسع الثلاثي الحدودي بطريقة غير خطية كما هو موضح في القسم الخاص بـ "الارتباط بالتوسع الثلاثي الحدودي".

العلاقة مع مثلث باسكال

من المعروف أن الأرقام على طول الحواف الخارجية الثلاثة للطبقة رقم n من رباعي الأوجه هي نفسها الأرقام على طول الخط رقم n من مثلث باسكال. مع ذلك، فإن العلاقة في الواقع أوسع بكثير من مجرد صف واحد من الأرقام. ويتضح هذا الأمر جليًا عند مقارنة مثلث باسكال حتى الخط 4 مع الطبقة 4 من رباعي الأوجه.

مثلث باسكال 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 طبقة رباعي الأوجه 4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1                                                            

بضرب أرقام كل صف من صفوف مثلث باسكال وصولاً إلى الصف رقم n في أرقام الصف رقم n ، نحصل على الطبقة رقم n من رباعي الأوجه. في المثال التالي، تظهر صفوف مثلث باسكال بخط مائل ، بينما تظهر صفوف رباعي الأوجه بخط غامق . [ 2 ]

1

× 1 = 1

1 ×    4 =             4   

١ ٢ ١       × ٦ =                ٦ ١٢ ٦      

١ ٣ ٣ ١          × ٤ =                      ٤ ١٢ ١٢ ٤         

1 4 6 4 1             × 1 =                        

1 4 6 4 1            

تشكل المضاعفات (1 4 6 4 1) الخط 4 من مثلث باسكال.

توضح هذه العلاقة أسرع وأسهل طريقة لحساب الأرقام لأي طبقة من طبقات رباعي الأوجه دون حساب المضروب، الذي سرعان ما يصبح أرقامًا ضخمة. ( تصبح الآلات الحاسبة ذات الدقة العالية بطيئة جدًا بعد الطبقة 200 من رباعي الأوجه).

إذا كانت معاملات مثلث باسكال تحمل الرمز C( i,j ) ومعاملات رباعي الأوجه تحمل الرمز C( n,i,j )، حيث n هي طبقة رباعي الأوجه، و i هو الصف، و j هو العمود، فيمكن التعبير عن العلاقة رمزياً على النحو التالي:

ج(أنا،ج)×ج(ن،أنا)=ج(ن،أنا،ج)،0≤أنا≤ن، 0≤ج≤أنا{\displaystyle C(i,j)\times C(n,i)=C(n,i,j),\quad 0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq i}

[ i, j, n ليست أسسًا هنا، إنها مجرد مؤشرات تسمية متسلسلة.]

خصائص أخرى

البناء الأسي

يمكن الحصول على أي طبقة n في خطوة واحدة باستخدام الصيغة التالية:

(بد(ن+1)+بد+1)ن،{\displaystyle \left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n},}

حيث b هو الأساس و d هو عدد أرقام أي من معاملات الحدود المتعددة المركزية ، أي

د=1+⌊سجلب⁡(نك1،ك2،ك3)⌋، ∑أنا=13كأنا=ن، ⌊ن3⌋≤كأنا≤⌈ن3⌉،{\displaystyle \textstyle d=1+\left\lfloor \log _{b}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}\right\rfloor ,\ \sum _{i=1}^{3}{k_{i}}=n,\ \left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \leq k_{i}\leq \left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil ,}

ثم لف أرقام النتيجة بواسطة d ( n +1)، والمسافة بواسطة d وإزالة الأصفار البادئة.

يمكن استخدام هذه الطريقة المعممة إلى أبعاد عشوائية للحصول على شرائح من أي شكل بسيط من أشكال باسكال .

أمثلة

بالنسبة للأساس b = 10، n = 5، d = 2:

(1012+102+1)5{\displaystyle \textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\right)^{5}}
= 1000000000101 5 = 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10 ~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 ٠٠٠٥٢٠٣٠٢٠٠٥ ٠٠ ٠٥ ٢٠ ٣٠ ٢٠ ٠٥ .. .٥ ٢٠ ٣٠ ٢٠ .٥ 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 ملفوفة بـ d(n+1) متباعدة بـ d أصفار بادئة محذوفة

بالنسبة للأساس b = 10، n = 20، d = 9:

(10189+109+1)20{\displaystyle \textstyle \left(10^{189}+10^{9}+1\right)^{20}}
الطبقة رقم 20 من هرم باسكال.

مجموع معاملات طبقة حسب الصفوف

بجمع الأرقام في كل صف من الطبقة n من هرم باسكال نحصل على

(بد+2)ن،{\displaystyle \left(b^{d}+2\right)^{n},}

حيث b هو الأساس و d هو عدد أرقام مجموع الصف "المركزي" (الصف الذي يحتوي على أكبر مجموع).

بالنسبة للأساس b = 10:

1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 --- 1 \ 1 ~ 02 \ 2 \ 2 ~ 04 \ 3 \ 3 ~ 06 \ 4 \ 4 ~ 08 1 ----- 1 \ 2 \ 1 ~ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ~ 12 \ 6 \12 \ 6 ~ 24 1 02 --------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \12 \12 \ 4 ~ 32 1 04 04 ------------- 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16 1 06 12 08 ------------------ 1 08 24 32 16 102 0 102 1 102 2 102 3 102 4

مجموع معاملات طبقة حسب الأعمدة

بجمع الأرقام في كل عمود من الطبقة n من هرم باسكال نحصل على

(ب2د+بد+1)ن،{\displaystyle \left(b^{2d}+b^{d}+1\right)^{n},}

حيث b هو الأساس و d هو عدد أرقام مجموع العمود "المركزي" (العمود الذي يحتوي على أكبر مجموع).

بالنسبة للأساس b = 10:

1 |1| |1| |1| | 1| | 1| --- 1| |1 |2| |2| |3| |3| | 4| | 4| | 5| | 5| 1 ----- 1| |2| |1 |3| |6| |3| | 6| |12| | 6| |10| |20| |10| 1 1 1 --------- 1| |3| |3| |1 | 4| |12| |12| | 4| |10| |30| |30| |10| 1 2 3 2 1 ------------- 1| | 4| | 6| | 4| | 1 | 5| |20| |30| |20| | 5| 1 3 6 7 6 3 1 -------------------------- 1| | 5| |10| |10| | 5| | 1 1 04 10 16 19 16 10 04 01 -------------------------------- 1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01 111 0 111 1 111 2 111 3 10101 4 10101 5

امتدادات ذات أبعاد أعلى

بدلاً من النظر في قوى ذات الحدين أو ثلاثية الحدود ((x+y)ن{\displaystyle (x+y)^{n}}أو(x+y+z)ن{\displaystyle (x+y+z)^{n}})، مما ينتج عنه مثلث باسكال وهرم باسكال، يمكن للمرء بدلاً من ذلك النظر في المعاملات عند رفع متعدد الحدودx1+x2+...+xم{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m}}إلى قوى مختلفة. إذا كان متعدد الحدود يحتوي علىم{\displaystyle m}يمكن ترتيب المعاملات الناتجة لتشكيلم{\displaystyle m}المعقد البسيط ذو الأبعاد n . مدخلاتن{\displaystyle n}مستوى المُعقَّد هو معاملات متعددة الحدود(نك1،ك2،...،كم)=ن!ك1!⋅ك2!⋯كم!{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}}أينك1،ك2،...،كم{\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}تختلف على جميع مجموعات الصفوف منم{\displaystyle m}الأعداد الصحيحة غير السالبة التي مجموعها يساوين{\displaystyle n}كل وجه من وجوهم{\displaystyle m}يُعطي المُركب البسيط ذو الأبعاد نسخة منم-1{\displaystyle m-1}المبسط ذو الأبعاد n، وينشأ من خلال النظر في تلك الحدود في التوسع متعدد الحدود التيxم{\displaystyle x_{m}}لا يظهر (أي يظهر بقوة)0{\displaystyle 0}ترتيب النقاط لـم=1{\displaystyle m=1}خلالم=4{\displaystyle m=4}يتم توضيح تحويل التسلسل A189225 ( في OEIS ) إلى شكل بسيط أدناه

المكونات الأربعة الأولى لخط باسكال.

المكونات الأربعة الأولى لمثلث باسكال.

المكونات الأربعة الأولى لهرم باسكال الرباعي.

الشرائح الأربع الأولى من مصفوفة باسكال الرباعية. جميع النقاط ذات اللون نفسه تنتمي إلى نفس المكون النوني، من الأحمر (عندما n = 0) إلى الأزرق (عندما n = 3).

عدد المعاملات

بالنسبة للمكون النوني ( ( m − 1) -simplex) من متعدد الحدود m لباسكال ، فإن عدد معاملات التوسع متعدد الحدود الذي يتكون منه يُعطى بواسطة:

((ن-1)+(م-1)(م-1))+(ن+(م-2)(م-2))=(ن+(م-1)(م-1))=((من))،{\displaystyle {(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)}=\left(\!\!{\binom {m}{n}}\!\!\right),}

(حيث يمثل الأخير رمز الاختيار المتعدد ). يمكننا أن نرى هذا إما كمجموع عدد معاملات المكون ( ن - 1) (مركب ( م - 1) البسيط) لمركب باسكال ذي الـ م مع عدد معاملات المكون ( ن ) ( م - 2) البسيط) لمركب باسكال ذي الـ ( م - 1) ، أو من خلال عدد جميع التقسيمات الممكنة للقوة ن بين الأسس م .

أوجه التشابه مع مثلث باسكال ومعاملات متعددة الحدود

يلخص هذا الجدول خصائص مفكوك ثلاثية الحدود وتوزيع ثلاثية الحدود. ويقارنها بفكوك وتوزيعات ذات الحدين ومتعددة الحدود:

نوع كثير الحدودذات حدينثلاثي الحدودمتعدد الحدود
رتبة متعددة الحدود23م
مثال على كثير الحدود⁠أ+ب{\displaystyle A+B}⁠⁠أ+ب+ج{\displaystyle A+B+C}⁠⁠أ+ب+ج+⋯+م{\displaystyle A+B+C+\cdots +M}⁠
البنية الهندسية [1]مثلثرباعي الأوجهم -سيمبلكس
بنية العناصرخططبقةمجموعة
تناظر العنصرثنائي الاتجاهثلاثي الاتجاهاتطريق m
عدد المصطلحات لكل عنصرن + 1( ن + 1)( ن + 2) / 2( ن + 1)( ن + 2)...( ن + م - 1 ) / ( م - 1)! = ( ن + م - 1 )! / ن !( م - 1 ) !
مجموع المعاملات لكل عنصر2 ن3 نم ن
مثال على المصطلحأ × ب هـأ × ب × ج زأ × ب × ج ز ... م م
مجموع الأسس، جميع الحدودننن
معادلة المعامل [2]ن ! / س ! ص !​​ن ! / س ! ص ! ع !​​ن ! / س ! ص ! ع ! ... س م !​
مجموع المعاملات "أعلاه"23م
نسبة المعاملات المتجاورة26م ( م −1)
  • ^1 المبسط هو أبسط شكل هندسي خطي موجود في أي بُعد. المجسمات الرباعية والمثلثات أمثلة على ذلك في ثلاثة أبعاد وبُعدين على التوالي.
  • ^2 عادة ما يتم التعبير عنصيغةمعامل ذي الحدين على النحو التالي : n ! / x !( n − x )! ، حيثn−x=y.

مراجع

  1. ↑ ستايب، ج.؛ ستايب، ل. (1978). "هرم باسكال". معلم الرياضيات . 71 (6): 505-510 . doi : 10.5951/MT.71.6.0505 . JSTOR 27961325 . 
  2. ↑ بيدرسن، جان ؛ هيلتون، بيتر ؛ هولتون، ديريك (2002). آفاق رياضية : من غرفة ذات نوافذ عديدة . نيويورك، نيويورك [ua]: سبرينغر. ISBN  978-0387950648.