القسمة المطولة لكثيرات الحدود

في الجبر ، تُعدّ القسمة المطولة لكثيرات الحدود خوارزميةً لتقسيم كثيرة حدود على أخرى من نفس الدرجة أو أقل ، وهي نسخة معممة من تقنية القسمة المطولة الحسابية المعروفة . يمكن إجراؤها بسهولة يدويًا، لأنها تُقسّم مسألة القسمة المعقدة إلى مسائل أصغر. تُطبّق القسمة المطولة لكثيرات الحدود القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود : بدءًا من كثيرتي حدود A (المقسوم ) و B ( المقسوم عليه ) ، تُنتج، إذا لم تكن B تساوي صفرًا، ناتج قسمة Q وباقي R بحيث

A = BQ + R ,

إما أن تكون R = 0 أو أن تكون درجة R أقل من درجة B. تحدد هذه الشروط Q و R بشكل فريد؛ وتحدث النتيجة R = 0 إذا وفقط إذا كان B عاملاً في كثيرة الحدود A. وبالتالي، فإن القسمة المطولة وسيلة لاختبار ما إذا كانت كثيرة حدود ما تحتوي على أخرى كعامل، وإذا كان الأمر كذلك، لاستخراج العامل المشترك.

في بعض الأحيان يكون استخدام نسخة مختصرة تسمى القسمة التركيبية أسرع، مع كتابة أقل وحسابات أقل، خاصة عندما يكون المقسوم عليه متعدد الحدود الخطي.

القسمة المطولة لكثيرات الحدود ممكنة بشرط أن تنتمي معاملات كثيرات الحدود إلى نفس الحقل ، مما يعني أن القسمة على عناصر غير صفرية ممكنة دائمًا؛ ومن أمثلة الحقول الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة .

أوجد ناتج قسمة وباقي قسمة ${\displaystyle (x^{3}-2x^{2}-4)}$، الأرباح الموزعة ، بواسطة${\displaystyle (x-3)}$، المقسوم عليه .

يُعاد كتابة توزيع الأرباح أولاً على النحو التالي:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

ويمكن بعد ذلك تحديد ناتج القسمة والباقي على النحو التالي:

1. اقسم الحد الأول من المقسوم على الحد الأعلى من المقسوم عليه (أي الحد الذي يحتوي على أعلى قوة لـ x ، وهو في هذه الحالة x ). ضع النتيجة فوق الخط.${\displaystyle x^{3}\div x=x^{2}}$.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}}$

2. اضرب المقسوم عليه في الناتج الذي تم الحصول عليه للتو (الحد الأول من ناتج القسمة النهائي). اكتب الناتج تحت الحدين الأولين من المقسوم:${\displaystyle x^{2}\cdot (x-3)=x^{3}-3x^{2}}$.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}}$

3. اطرح الناتج الذي حصلت عليه للتو من الحدود المناسبة للمقسوم الأصلي (مع مراعاة أن طرح شيء يحمل علامة ناقص يعادل إضافة شيء يحمل علامة زائد)، واكتب النتيجة أسفله.${\displaystyle \left(x^{3}-2x^{2}\right)-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-2x^{2}+3x^{2}=x^{2}}$ثم، أنزل الحد التالي من المقسوم.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}}$

4. كرر الخطوات الثلاث السابقة، ولكن هذه المرة استخدم المصطلحين اللذين تم كتابتهما للتو كمقسوم.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. كرر الخطوة الرابعة. هذه المرة، لا يوجد شيء لإسقاطه.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

كثير الحدود الموجود أعلى الشريط هو ناتج القسمة q ( x )، والعدد المتبقي، 5، هو الباقي r ( x ).

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$

أو بدلاً من ذلك

${\displaystyle {\frac {x^{3}-2x^{2}-4}{x-3}}=\underbrace {x^{2}+x+3} _{q(x)}+{\frac {\overbrace {5} ^{r(x)}}{x-3}}}$

إن خوارزمية القسمة المطولة للحساب تشبه إلى حد كبير الخوارزمية المذكورة أعلاه، حيث يتم استبدال المتغير x (في الأساس 10) بالرقم المحدد 10، مع وجود قيد إضافي يتمثل في أن جميع المعاملات يجب أن تكون غير سالبة.

يمكن تمثيل الخوارزمية في الشفرة الزائفة على النحو التالي، حيث +تمثل −و و ×العمليات الحسابية على كثيرات الحدود، و lead هي دالة تُرجع الحد الرئيسي (الحد ذو الدرجة الأعلى) لكثيرة حدود معينة كوسيط إدخال للدالة، و lead(remainder) / lead(denominator)تعطي كثيرة الحدود التي تم الحصول عليها بقسمة الحدين الرئيسيين:

دالة البسط / المقام هي يشترط أن يكون المقام ≠ 0 الناتج ← 0 الباقي ← البسط // في كل خطوة، البسط = المقام × ناتج القسمة + الباقي طالما أن الباقي لا يساوي صفرًا ودرجة الباقي أكبر من أو تساوي درجة المقام، نفّذ tmp ← lead(remainder) / lead(denominator) // قسمة الحدود الرئيسية الناتج ← الناتج + مؤقت الباقي ← الباقي − tmp × المقام أعد (الناتج، الباقي)

هذا يعمل بشكل جيد بنفس القدر عندما يكون degree(numerator) < degree(denominator)؛ في هذه الحالة تكون النتيجة بسيطة للغاية (0, numerator)، ولا يتم الدخول إلى حلقة while أبدًا.

تصف هذه الخوارزمية بالضبط طريقة الورقة والقلم المذكورة أعلاهdenominator : تُكتب على يسار ")"؛ quotientتُكتب، حدًا تلو الآخر، فوق الخط الأفقي، tmpوتخزن الحد الأخير من ناتج القسمة في كل تكرار للحلقة؛ تُستخدم المنطقة أسفل الخط الأفقي لحساب وكتابة القيم المتتالية لـ remainder.

لكل زوج من كثيرات الحدود ( A ، B ) بحيث B ≠ 0، فإن قسمة كثيرات الحدود تعطي ناتج قسمة Q وباقي قسمة R بحيث

${\displaystyle A=BQ+R,}$

إما أن R = 0 أو أن درجة R أقل من درجة B. علاوة على ذلك، فإن ( Q , R ) هو الزوج الوحيد من كثيرات الحدود التي تتمتع بهذه الخاصية.

تُسمى عملية الحصول على كثيرتي الحدود Q و R المُعرّفتين بشكلٍ فريد من A و B بالقسمة الإقليدية (أو تحويل القسمة ). وبالتالي، فإن القسمة المطولة لكثيرات الحدود هي خوارزمية للقسمة الإقليدية. ^{[ 1 ]}

عندما يكون المقسوم عليه متعدد حدود أحادي من الدرجة الأولى، فإن طريقة القسمة التركيبية تُعد بديلاً للقسمة المطولة، إذ تتطلب كتابة أقل وحسابات أقل. لتقسيم متعدد الحدود${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$بواسطة متعددة الحدود الخطية أحادية المعامل${\displaystyle x-c}$باستخدام القسمة التركيبية، يمكن كتابة مصفوفة من ثلاثة صفوف بمعاملات من${\displaystyle f(x)}$في الصف العلوي. المعامل الرئيسي${\displaystyle a_{n}}$يهبط إلى الصف السفلي، والمنتج مع${\displaystyle c}$مكتوب في الصف الثاني أسفل المعامل الثاني${\displaystyle a_{n-1}}$يُجمع هذان العددان، ويوضع مجموعهما في الصف الثالث، ثم يُضرب الناتج في${\displaystyle c}$مكتوب في السطر الثاني أدناه${\displaystyle a_{n-2}}$وهكذا دواليك. على سبيل المثال، الجدول الذي تم إنشاؤه لتقسيم${\displaystyle x^{3}-12x^{2}+24}$بواسطة${\displaystyle x-3}$يتم توليدها في الخطوات التالية: من الترتيب الأولي $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&24\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$$ تنتج الخطوة الأولى $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$$ تؤدي خطوات الجمع والضرب اللاحقة إلى $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&-27&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}}$$ تؤدي تكرار العملية إلى الجدول النهائي $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-57\\\end{array}}\end{array}}}$$ والذي يسجل القسمة${\displaystyle x^{3}-12x^{2}+24=(x-3)(x^{2}-9x-27)-57}$.

• نظرية باقي كثير الحدود
• حكم روفيني
• المجال الإقليدي
• قاعدة غروبنر
• القاسم المشترك الأكبر لكثيرتي حدود